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人教版（新教材）数学八年级下册
第二十一章 四边形
21.3.1.2 矩形的判定
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
复习回顾
问题1：矩形的定义是什么？
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形.
问题2：矩形有哪些性质？
矩形
边：对边平行且相等
角：四个角都是直角
对角线：对角线互相平分且相等
21.3.1.2 矩形的判定 教学课件教学过程内容
第1页：复习回顾，导入新课
1. 回顾矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。引导学生明确矩形的本质是“特殊的平行四边形”，特殊之处在于“一个角是直角”。
2. 回顾矩形的性质：（1）边：对边平行且相等；（2）角：四个角都是直角；（3）对角线：相等且互相平分。
3. 导入问题：我们已经知道了矩形的定义和性质，那么反过来，如何判定一个平行四边形是矩形？除了利用定义，还有没有其他的判定方法？今天我们就来探究矩形的判定。
第2页：探究一：基于定义的矩形判定
1. 定义判定法的梳理：根据矩形的定义，“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，这是矩形最基本的判定方法。
2. 几何语言表述：已知四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°，则四边形ABCD是矩形。
3. 思考辨析：（1）“有一个角是直角的四边形是矩形吗？”引导学生画图举例（如直角梯形），明确需强调“平行四边形”这个前提；（2）“有两个角是直角的四边形是矩形吗？”同样通过画图辨析，强化前提条件的重要性。
第3页：探究二：对角线相等的平行四边形是矩形
1. 提出猜想：结合矩形性质“对角线相等”，引导学生猜想“对角线相等的平行四边形是矩形”。
2. 逻辑证明：已知：如图，在 ABCD中，AC=BD。求证： ABCD是矩形。
证明过程引导：由平行四边形性质知AB=CD，AB∥CD，结合AC=BD，AD=DA，可证△ABD≌△DCA（SSS），得∠BAD=∠CDA；又因AB∥CD，∠BAD+∠CDA=180°，故∠BAD=90°，根据定义可判定 ABCD是矩形。
3. 结论总结：对角线相等的平行四边形是矩形。几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，∴四边形ABCD是矩形。
4. 辨析：“对角线相等的四边形是矩形吗？”引导学生举例（如等腰梯形），明确需“平行四边形”前提。
第4页：探究三：有三个角是直角的四边形是矩形
1. 提出问题：如果一个四边形有三个角是直角，它是不是矩形？
2. 推导过程：（1）由四边形内角和为360°，若三个角是直角，则第四个角=360°-3×90°=90°，即四个角都是直角；（2）有三个角是直角的四边形，对边必然平行（同旁内角互补，两直线平行），故该四边形是平行四边形；（3）结合矩形定义，可判定为矩形。
3. 结论总结：有三个角是直角的四边形是矩形。几何语言：∵∠A=∠B=∠C=90°，∴四边形ABCD是矩形。
第5页：矩形判定方法汇总
1. 定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
2. 定理1：对角线相等的平行四边形是矩形；
3. 定理2：有三个角是直角的四边形是矩形。
2. 方法辨析：引导学生区分“平行四边形”为前提的判定（定义法、定理1）和直接判定四边形为矩形的方法（定理2），明确不同场景下的选择思路。
第6页：例题解析（一）
例题1：如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°。求∠OAB的度数。
分析引导：（1）由平行四边形性质知OA=OC，OB=OD，结合OA=OD，得OA=OB=OC=OD，即AC=BD；（2）根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，判定 ABCD是矩形；（3）由矩形性质知∠DAB=90°，故∠OAB=∠DAB-∠OAD=90°-50°=40°。
解答过程板书：（规范几何语言表述，强化步骤完整性）
第7页：例题解析（二）
例题2：求证：四个角都相等的四边形是矩形。
分析引导：（1）设四边形四个角为∠A、∠B、∠C、∠D，由题意∠A=∠B=∠C=∠D；（2）四边形内角和360°，故每个角=90°；（3）根据“有三个角是直角的四边形是矩形”，可证结论。
证明过程书写：（强调逻辑严谨性，规范几何证明格式）
第8页：课堂练习（基础巩固）
1. 判断题：（1）有一个角是直角的四边形是矩形；（×）（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（√）（3）四个角都相等的四边形是矩形；（√）（4）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（√，提示：对角线互相平分的四边形是平行四边形，再结合对角线相等判定）
2. 填空题：在 ABCD中，若∠A+∠C=180°，则∠A=____°时， ABCD是矩形。（答案：90，提示：平行四边形对角相等，故∠A=∠C，结合和为180°得∠A=90°）
3. 解答题：如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且∠1=∠2。求证： ABCD是矩形。（提示：由∠1=∠2得OA=OB，结合平行四边形对角线互相平分得OA=OC，OB=OD，故AC=BD，进而判定矩形）
第9页：课堂小结
1. 矩形的三种判定方法（定义法、定理1、定理2）及对应的几何语言；
2. 判定矩形的关键思路：要么先证是平行四边形，再添加“一个角是直角”或“对角线相等”的条件；要么直接证四边形有三个角是直角；
3. 易错点提醒：注意判定方法的前提条件，避免忽略“平行四边形”而直接判定。
问题3：你知道如何判定一个平行四边形是矩形吗？
定义判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形.
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形.
思考：你还有其他的判定方法吗？
A
B
C
D
探索新知
性 质
猜 想
判定定理
逆命题
证明
你还记得学习平行四边形的判定时，我们是如何猜想并进行证明的吗？
同样，我们能否通过研究矩形性质定理的逆命题，得到判定矩形的方法呢？
我们知道，矩形是对角线相等的平行四边形. 反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？
注意对角线相等的四边形不一定是矩形.
等腰梯形的两条对角线也相等.
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD.
求证：四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
O
证明：∵AB=DC，BC=CB，AC=DB，
∴ △ABC≌△DCB .
∴∠ABC=∠DCB .
∵ AB∥CD，
∴∠ABC +∠DCB = 180°.
∴ ∠ABC=90°.
∴ □ ABCD 是矩形 (矩形的定义).
尝试证明
对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
且 AC = BD.
∴四边形 ABCD 是矩形.
A
B
C
D
O
归纳总结
矩形的判定定理1：
数学来源于生活
工人师傅在做矩形门窗或零件时，为了确保它们的形状是矩形，不仅要测量它们的两组对边是否分别相等，还要测量它们的两条对角线是否相等，你知道其中的道理吗？
对角线相等的平行四边形是矩形.
练 习
如图，□ABCD的对角线AC，BD 相交于点O，△OAB是等边三角形，且 AB = 2. 求□ABCD的面积.
A
B
C
D
O
提示：
（方法一）先判定矩形，再根据勾股定理求 BC.
（方法二）S ABCD = 4 S△OAB .
【选自教材第71页 练习 第2题】
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
又△OAB 是等边三角形，AB = 2，
∴AO = BO = AB = 2，∴AC = BD = 4，
∴□ABCD 是矩形，∴∠ABC = 90°.
在Rt△ABC 中，由勾股定理，BC= = = 2 ，
∴S矩形ABCD = AB·BC =2×2 = 4 .
∴AO = CO= AC，BO = DO = BD .
A
B
C
D
O
我们知道，矩形是四个角都是直角的四边形，它的逆命题是什么？成立吗？
逆命题：四个角都是直角的四边形是矩形.
成立.
至少有几个角是直角的四边形是矩形？
一个直角
两个直角
三个直角
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形.
已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
证明：∵∠A=∠B=∠C=90°，
∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°.
∴AD∥BC，AB∥CD .
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
又∠B = 90°，∴四边形ABCD是矩形.
尝试证明
有三个角是直角的四边形是矩形.
归纳总结
矩形的判定定理2：
A
B
C
D
几何语言：
在四边形ABCD中，
∵∠A=∠B=∠C=90°，
∴四边形 ABCD 是矩形.
练 习
1.依据所标数据，下列不一定是矩形的是（ ）
B
2.求证：四个角都相等的四边形是矩形.
已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D.
求证：四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
证明：由四边形的内角和为360°，
得∠A+∠B+∠C+∠D=360°.
∵∠A=∠B=∠C=∠D，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∴四边形 ABCD 是矩形.
【选自教材第71页 练习 第1题】
如图，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H. 求证：四边形 EFGH 是矩形.
例 2
分析：根据已知条件，容易证明
四边形 EFGH 的一个内角∠F为直角，
同理可证∠H，∠AEB 也为直角，
从而证明四边形 EFGH 是矩形.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD .
∴∠BAD + ∠ADC = 180°.
又 AF，DF 分别平分∠BAD，∠ADC，
∴∠DAF + ∠ADF = ∠BAD + ∠ADC
= (∠BAD + ∠ADC) = 90°.
∴∠F = 90°.
同理∠H = ∠AEB = 90°.
∴∠FEH = ∠AEB = 90°.
∴四边形 EFGH 是矩形.
练 习
如图，在△ABC 中，AB=AC，D，E分别是线段BC，AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF . 求证：四边形ADCF是矩形.
【选自教材第71页 练习 第3题】
证明：∵AF∥BC，∴∠EAF = ∠EDB .
∵E 是 AD 的中点，∴AE = DE.
∴△AEF ≌△DEB（ASA）. ∴AF = BD.
在△AEF 和△DEB 中，
∠AEF = ∠DEB，
AE = DE，
∠EAF = ∠EDB，
∵AB = AC，D 是 BC 的中点，
又 AF∥DC，∴四边形 ADCF 是平行四边形.
又∠ADC = 90°，∴□ADCF是矩形.
∴∠ADC = 90°，BD = DC，∴AF = DC.
归纳总结
判定矩形时，首先要分清是在平行四边形基础上判定，还是在四边形基础上判定.
四边形
有三个角是直角
矩形
对角线互相平分且相等
矩形
平行
四边形
对角线相等
矩形
有一个角是直角
矩形
返回
1．在数学活动课上，老师让同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是几个学习小组拟定的方案，其中正确的方案是(　　)
A．测量其中三个角是否为直角
B．测量两组对边是否相等
C．测量对角线是否相互平分
D．测量对角线是否相等
A
返回
2．如图，有下列四个条件：①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④∠ADC＝∠BAD，从中选取一个作为补充条件，使 ABCD为矩形，其中错误的是(　　)
A．①
B．②
C．③
D．④
A
返回
3．如图，过四边形ABCD的四个顶点分别作对角线AC，BD的平行线，若所围成的四边形EFGH是矩形，则原四边形ABCD需满足的条件是__________．
AC⊥BD
返回
4．一种燕尾夹如图①所示，图②是在闭合状态时的示意图，图③是在打开状态时的示意图(数据如图，单位：mm)．则在图③时，点B，D之间的距离为________mm.
20
返回
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE，BF．当∠ACB为________°时，四边形ABFE为矩形．
60
矩形的判定方法
从四边形来判定
从平行四边形来判定
矩形的常用判定方法
定义法
判定1
判定2
判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形.
判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形.
谢谢观看！

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