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人教版（新教材）数学八年级下册
第二十一章 四边形
21.3.2.1 菱形的性质
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
复习回顾
我们已经学习了特殊的平行四边形——矩形，它是从哪个角度特殊化来进行研究的？它有哪些性质？
平行四边形
矩形
一个角是直角
平行四边形 矩形
边 对边平行且相等 对边平行且相等
角 对角相等，邻角互补 四个角都是直角
对角线 对角线互相平分 对角线相等且互相平分
对称性 中心对称 既是中心对称，又是轴对称
探索新知
平行四边形的角特殊化得到特殊的平行四边形——矩形；平行四边形的边特殊化，我们得到的特殊的平行四边形是什么，它有什么特征？
平行四边形
一组邻边相等
点击链接打开几何画板
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
菱形
★菱形是特殊的平行四边形.
★平行四边形不一定是菱形.
21.3.2.1 菱形的性质 教学课件幻灯片教学过程内容
幻灯片1：情境导入（3分钟）
1. 展示生活中的菱形实例：菱形衣架、菱形窗格、菱形地砖、菱形风筝等实物图片，引导学生观察这些图形的共同特征。
2. 提问引导：“这些图形都是我们熟悉的平行四边形吗？它们与一般的平行四边形相比，有什么特殊之处？” 引导学生发现这些图形的四条边都相等。
3. 引出课题：像这样四条边都相等的平行四边形叫做菱形，今天我们就一起来探究菱形的性质。
幻灯片2：探究一：菱形的边与角的性质（10分钟）
1. 回顾平行四边形性质：平行四边形的对边相等、对角相等、邻角互补。
2. 动手操作：让学生拿出准备好的菱形纸片，测量四条边的长度，观察四个角的度数。
3. 小组讨论：“菱形作为特殊的平行四边形，除了具备平行四边形的所有性质外，边和角还有哪些特殊性质？”
4. 归纳总结：各小组分享探究结果，教师引导得出菱形的边的特殊性质：菱形的四条边都相等。
5. 验证角的性质：通过测量和推理，明确菱形的角与平行四边形的角性质一致，即对角相等、邻角互补，无特殊之处。
幻灯片3：探究二：菱形的对角线的性质（15分钟）
1. 回顾平行四边形对角线性质：平行四边形的对角线互相平分。
2. 动手探究：让学生在菱形纸片上画出两条对角线，测量对角线的长度、对角线与边的夹角、对角线之间的夹角。
3. 合作交流：小组内讨论“菱形的对角线与平行四边形的对角线相比，有什么不同？” 引导学生发现菱形的对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角。
4. 逻辑证明：教师引导学生结合菱形的定义（四条边相等的平行四边形）和三角形全等的知识，证明菱形对角线互相垂直且平分一组对角。
5. 总结性质：师生共同梳理，明确菱形的对角线性质：菱形的对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角。
幻灯片4：菱形性质的梳理与几何语言表达（5分钟）
1. 性质梳理：教师带领学生回顾菱形的所有性质，分为一般性质（继承平行四边形的性质）和特殊性质（四条边相等、对角线互相垂直且平分一组对角）。
2. 几何语言表达：结合图形，用规范的几何语言表述菱形的性质。例如：若四边形ABCD是菱形，则AB=BC=CD=DA；AC⊥BD；AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC等。
3. 强调重点：菱形的特殊性质是后续解题的关键，需牢记并能灵活运用。
幻灯片5：例题讲解（12分钟）
例题1：如图，在菱形ABCD中，AB=5，AC=6，求菱形的周长和BD的长度。
1. 分析题目：引导学生明确已知条件（菱形的边长AB=5，对角线AC=6），所求问题（周长、另一条对角线BD）。
2. 解题思路：利用菱形四条边相等的性质求周长；利用菱形对角线互相垂直且平分的性质，结合勾股定理求BD的长度。
3. 规范解题：教师板书详细解题过程，示范规范的几何推理步骤。
4. 变式提问：若将题目中“AC=6”改为“BD=8”，求AC的长度和菱形的面积，引导学生举一反三。
幻灯片6：课堂练习（8分钟）
1. 基础练习1：菱形的两条对角线长分别为6和8，则菱形的边长为______，周长为______。（考查菱形对角线性质和勾股定理）
2. 基础练习2：在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=4，则对角线BD的长为______。（考查菱形边的性质和等边三角形判定）
3. 提升练习：如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AD的中点，连接OE，若OE=2，求菱形的边长。（考查菱形对角线互相平分和直角三角形斜边中线性质）
4. 反馈点评：学生完成后，教师进行快速批改和点评，针对共性问题进行重点讲解。
幻灯片7：课堂小结（5分钟）
1. 知识回顾：引导学生自主总结本节课所学的菱形的性质（一般性质和特殊性质）。
2. 方法梳理：回顾探究菱形性质的过程（观察—猜想—验证—证明），强调特殊与一般的关系（菱形是特殊的平行四边形，继承平行四边形性质的同时具有特殊性质）。
3. 易错提醒：提醒学生在运用菱形对角线性质时，注意“互相垂直”和“平分一组对角”这两个关键点，避免遗漏。
菱形也是常见的几何图形.
窗格
中国结
活动挂架
你还能举出一些例子吗？
点击图片播放视频
做一做
A
B
C
D
活动：根据前面视频的方法做一个菱形，并猜一猜它有什么性质.
试着证明你的猜想.
已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O.
求证：（1）AB=BC=CD=AD；
（2）AC⊥BD；∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
A
B
C
D
O
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC (平行四边形的对边相等).
又∵AB=AD，
∴AB=BC=CD=AD .
A
B
C
D
O
（2）证明：∵AB=AD，
∴△ABD是等腰三角形.
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD（平行四边形的对角线互相平分）.
在等腰三角形ABD中，∵OB=OD，
∴AO⊥BD，AO平分∠BAD.
即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.
同理可证∠DCA=∠BCA，∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
归纳总结
性质1：菱形的四条边都相等.
几何语言：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB = BC = CD = AD .
性质2：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
几何语言：∵四边形 ABCD 是菱形，∴AC ⊥ BD，
AC 平分∠BAD，CA 平分∠BCD，
BD 平分∠ABC，DB 平分∠ADC.
A
B
C
D
O
菱形是特殊的平行四边形，它除了具有平行四边形的所有性质外还有平行四边形所没有的特殊性质.
平行四边形的性质
菱形的特殊性质
角：对角相等.
边：对边平行且相等.
对角线：互相平分.
轴对称：是轴对称图形，对称轴是每条对角线所在的直线.
边：四条边都相等.
对角线：互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
角：对角相等.
练 习
1.菱形不具有的性质是（ ）
A.四条边都相等 B.对角线相等
C.是轴对称图形 D.对角线互相垂直
2.如图，BD是菱形ABCD的一条对角线，点E在BC的延长线上.若∠ADB=32°，则∠DCE的度数为_______.
B
64°
3. 如图，在菱形 ABCD 中，BD=4，∠A ∶ ∠ABC = 1 ∶ 2 .
求△ABD 的周长.
A
B
C
D
解：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AD∥BC，AB = AD.
∴∠A + ∠ABC = 180°.
又∠A∶∠ABC = 1∶2，
∴∠A = 60°，∠ABC = 120°.
又 AB = AD，∴△ABD 是等边三角形.
∴AB = AD = BD = 4.
∴△ABD 的周长 = AB + AD + BD = 12.
【选自教材第73页 练习 第2题】
A
B
C
D
O
由于菱形的对角线互相垂直，可以发现，菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形.
菱形的面积计算除了像平行四边形那样利用底×高，是否可以转化成三角形来求得？
A
B
C
D
O
如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 交于点 O,
试用对角线表示出菱形 ABCD 的面积.
解：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AC ⊥ BD .
∴S菱形ABCD = S△ABC + S△ADC
= AC·BO + AC·DO
= AC·( BO + DO )
= AC·BD .
菱形的面积 = 底×高
= 对角线乘积的一半
知识串联
两组对边分别平行
有一个角
是直角
一组邻边相等
四边形
平行四边形
矩形
菱形
性质
边
对角线
面积
如图，菱形花坛 ABCD 的边长为 20 m，∠ABC = 60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路 AC 和 BD. 求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）.
例 3
A
B
C
D
O
30°
20 m
解：设 AC，BD 相交于点 O.
∵花坛 ABCD 的形状是菱形，
∴AC ⊥ BD，∠ABO = ∠ABC = × 60°= 30°.
在Rt△ABO 中，AO = AB = × 20 = 10，
BO = = = 10.
∴花坛的两条小路长 AC = 2AO = 20（m）
BD = 2BO = 20 ≈ 34.64（m）.
花坛的面积 S菱形ABCD = 4 × S△ABO
= 4 × AO·BO = 200 ≈ 346.4（m2）.
A
B
C
D
O
30°
20 m
练 习
1. 四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 AB = 5，
AO = 4. 求 AC，BD 的长以及菱形 ABCD 的面积.
解：如图. ∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AC ⊥ BD，AO = CO，BO = DO.
在 Rt△AOB 中，AB = 5，AO = 4，
∴BO = = = 3.
∴AC = 2AO = 8，BD = 2BO = 6.
∴S菱形ABCD = AC·BD = ×8×6 = 24.
D
A
B
C
O
【选自教材第73页 练习 第1题】
2. 如图，在菱形 ABCD 中，∠A = 60°，连接对角线 BD，E，
F 分别是边 AB，BC 的中点，分别连接 DE，DF，EF.
求证：△DEF 是等边三角形.
证明：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AB = AD = CD = BC，∠C = ∠A = 60°，
∴△ABD，△CBD 是等边三角形，
∴∠ADB =∠CDB = 60°.
∵E，F 分别是边 AB，BC 的中点，
∴∠BDE = ∠ADB = 30°，∠BDF = ∠CDB = 30°，
AE = AB，CF = BC .
【选自教材第74页 练习 第3题】
∴∠EDF = ∠BDE + ∠BDF = 60°，AE = CF .
∵AD = CD，∠A = ∠C，AE = CF，
∴△ADE≌△CDF（SAS）. ∴DE = DF .
∴△DEF 是等边三角形.
2. 如图，在菱形 ABCD 中，∠A = 60°，连接对角线 BD，E，
F 分别是边 AB，BC 的中点，分别连接 DE，DF，EF.
求证：△DEF 是等边三角形.
【选自教材第74页 练习 第3题】
菱形的性质
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
特殊性质
四条边都相等
对角线互相垂直平，且每一条对角线平分一组对角
是轴对称图形，对称轴有两条，为对角线所在的直线
菱形的面积=底×高或对角线乘积的一半
A
B
C
D
O
返回
1．如图，在菱形ABCD中，∠1＝25°，则∠B的度数为(　　)
A．110°
B．120°
C．130°
D．140°
C
返回
B
返回
【答案】A
【答案】C
返回
返回
5．我们常常在建筑中看到四边形的元素．如图，墙面上砌出的菱形窗户的边长为1 m(边框宽度忽略不计)，其中较小的内角为60°，则该菱形窗户的采光面积为________m2．
6．如图，四边形ABCD是菱形，CD＝5，BD＝8，AE⊥BC于点E，则AE的长为________．
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7．如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，连接EF．
(1)求证：AE＝AF；
【证明】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D.
∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°.
∴△ABE≌△ADF(AAS)．∴AE＝AF.
(2)若∠B＝60°，求∠AEF的度数．
【解】∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＋∠BAD＝180°.
又∵∠B＝60°，∴∠BAD＝120°.
∵∠AEB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAE＝30°.
由(1)知△ABE≌△ADF，∴∠BAE＝∠DAF＝30°.
∴∠EAF＝120°－30°－30°＝60°.
又∵AE＝AF，∴△AEF是等边三角形．∴∠AEF＝60°.
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【点方法】利用菱形的性质解决问题的方法
利用菱形的性质，可解决实际问题中有关菱形边、角的计算(或证明线段、角的相等)问题，一般是根据菱形的性质，将有关的边、角的求解问题，转化到三角形中(或证明三角形的全等)，再利用学过的知识进行求解(或证出线段、角的相等)，从而解决问题．
【答案】A
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9．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝6，AC是一条对角线，E是AC上一点，过点E作EF⊥AB，垂足为F，连接DE．若CE＝AF，则DE的长为________．
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