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人教版（新教材）数学八年级下册
第二十一章 四边形
21.3.2.2 菱形的判定
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
知识回顾
问题：菱形的定义是什么？性质有哪些？
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
性质：1.具有平行四边形的一切性质.
2.菱形本身具有的特殊性质：
①四条边都相等；
②两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
③菱形是轴对称图形..
3.菱形的面积=底×高或对角线乘积的一半.
21.3.2.1 菱形的性质 教学课件幻灯片教学过程内容
幻灯片1：情境导入（3分钟）
1. 展示生活中的菱形实例：菱形衣架、菱形窗格、菱形地砖、菱形风筝等实物图片，引导学生观察这些图形的共同特征。
2. 提问引导：“这些图形都是我们熟悉的平行四边形吗？它们与一般的平行四边形相比，有什么特殊之处？” 引导学生发现这些图形的四条边都相等。
3. 引出课题：像这样四条边都相等的平行四边形叫做菱形，今天我们就一起来探究菱形的性质。
幻灯片2：探究一：菱形的边与角的性质（10分钟）
1. 回顾平行四边形性质：平行四边形的对边相等、对角相等、邻角互补。
2. 动手操作：让学生拿出准备好的菱形纸片，测量四条边的长度，观察四个角的度数。
3. 小组讨论：“菱形作为特殊的平行四边形，除了具备平行四边形的所有性质外，边和角还有哪些特殊性质？”
4. 归纳总结：各小组分享探究结果，教师引导得出菱形的边的特殊性质：菱形的四条边都相等。
5. 验证角的性质：通过测量和推理，明确菱形的角与平行四边形的角性质一致，即对角相等、邻角互补，无特殊之处。
幻灯片3：探究二：菱形的对角线的性质（15分钟）
1. 回顾平行四边形对角线性质：平行四边形的对角线互相平分。
2. 动手探究：让学生在菱形纸片上画出两条对角线，测量对角线的长度、对角线与边的夹角、对角线之间的夹角。
3. 合作交流：小组内讨论“菱形的对角线与平行四边形的对角线相比，有什么不同？” 引导学生发现菱形的对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角。
4. 逻辑证明：教师引导学生结合菱形的定义（四条边相等的平行四边形）和三角形全等的知识，证明菱形对角线互相垂直且平分一组对角。
5. 总结性质：师生共同梳理，明确菱形的对角线性质：菱形的对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角。
幻灯片4：菱形性质的梳理与几何语言表达（5分钟）
1. 性质梳理：教师带领学生回顾菱形的所有性质，分为一般性质（继承平行四边形的性质）和特殊性质（四条边相等、对角线互相垂直且平分一组对角）。
2. 几何语言表达：结合图形，用规范的几何语言表述菱形的性质。例如：若四边形ABCD是菱形，则AB=BC=CD=DA；AC⊥BD；AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC等。
3. 强调重点：菱形的特殊性质是后续解题的关键，需牢记并能灵活运用。
幻灯片5：例题讲解（12分钟）
例题1：如图，在菱形ABCD中，AB=5，AC=6，求菱形的周长和BD的长度。
1. 分析题目：引导学生明确已知条件（菱形的边长AB=5，对角线AC=6），所求问题（周长、另一条对角线BD）。
2. 解题思路：利用菱形四条边相等的性质求周长；利用菱形对角线互相垂直且平分的性质，结合勾股定理求BD的长度。
3. 规范解题：教师板书详细解题过程，示范规范的几何推理步骤。
4. 变式提问：若将题目中“AC=6”改为“BD=8”，求AC的长度和菱形的面积，引导学生举一反三。
幻灯片6：课堂练习（8分钟）
1. 基础练习1：菱形的两条对角线长分别为6和8，则菱形的边长为______，周长为______。（考查菱形对角线性质和勾股定理）
2. 基础练习2：在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=4，则对角线BD的长为______。（考查菱形边的性质和等边三角形判定）
3. 提升练习：如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AD的中点，连接OE，若OE=2，求菱形的边长。（考查菱形对角线互相平分和直角三角形斜边中线性质）
4. 反馈点评：学生完成后，教师进行快速批改和点评，针对共性问题进行重点讲解。
幻灯片7：课堂小结（5分钟）
1. 知识回顾：引导学生自主总结本节课所学的菱形的性质（一般性质和特殊性质）。
2. 方法梳理：回顾探究菱形性质的过程（观察—猜想—验证—证明），强调特殊与一般的关系（菱形是特殊的平行四边形，继承平行四边形性质的同时具有特殊性质）。
3. 易错提醒：提醒学生在运用菱形对角线性质时，注意“互相垂直”和“平分一组对角”这两个关键点，避免遗漏。
根据菱形的定义，可得菱形的第一个判定方法：
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
A
B
D
C
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，
且AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形.
思考：你还有其他的判定方法吗？
探索新知
前面我们用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字. 在四周围上一根橡皮筋，做成一个平行四边形. 那么转动木条，这个平行四边形什么时候变成菱形？对此你有什么猜想.
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
已知：如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
且BD⊥AC. 求证：□ABCD是菱形.
证明：∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴OA = OC .
∵AC ⊥ BD，∴BO垂直平分 AC，
∴AB = CB，
∴□ABCD 是菱形.
O
A
B
C
D
尝试证明
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
菱形的判定定理1：
归纳总结
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，
且BD⊥AC，
∴□ABCD是菱形．
O
A
B
C
D
如图，在□ ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线与边AD，BC 分别相交于点 E，F. 求证：四边形 AFCE 是菱形.
例 4
A
B
C
D
F
E
O
1
2
分析：已知 AC ⊥ EF，由“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，只需证明
四边形 AFCE 是平行四边形. 由题意可
知 AO = CO，还需证明 EO = FO .
如图，在□ ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线与边AD，BC 分别相交于点 E，F. 求证：四边形 AFCE 是菱形.
例 4
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AE∥CF .
∴∠1 = ∠2 .
又∠AOE = ∠COF，AO = CO，
∴△AOE≌△COF .
∴EO = FO .
∴四边形 AFCE 是平行四边形.
又 AC ⊥ EF，
∴四边形 AFCE 是菱形.
A
B
C
D
F
E
O
1
2
练 习
1.如图，在□ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若添加一个条件，可推出□ABCD是菱形，则该条件可以是（ ）
A. AB=AC B. AC=BD
C. AC⊥BD D. AB⊥AC
C
2. 如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O 且
互相垂直平分. 求证：四边形 ABCD 是菱形.
证明：∵对角线 AC，BD 互相垂直平分，
∴AC ⊥ BD，AO = CO，DO = BO .
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
又AC ⊥ BD，∴□ABCD是菱形.
O
D
A
B
C
【选自教材第75页 练习 第1题】
用四根长度一样的木条，首尾顺次相接. 得到的四边形是菱形吗？请说明理由.
动手操作
猜想：四条边相等的四边形是菱形.
已知：如图，在四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = DA .
求证：四边形 ABCD 是菱形.
证明：∵AB = CD，DA = BC，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
又 AB = BC，
∴ □ ABCD 是菱形.
A
B
C
D
尝试证明
菱形的判定定理2：
归纳总结
四条边相等的四边形是菱形.
几何语言：
∵AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD是菱形.
A
B
C
D
A
B
C
D
F
E
O
1
2
3
如图，在□ ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线与边AD，BC 分别相交于点 E，F. 求证：四边形 AFCE 是菱形.
例 4
尝试利用“四条边相等的四边形是菱形”证明.
证明：∵EF 垂直平分 AC，
∴AE = EC，AF = FC . ∴∠1 =∠3.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AE∥BC，
∴∠1 = ∠2，∴∠2 = ∠3.
又OC = OC，∠EOC = ∠FOC = 90°，
∴△EOC ≌ △FOC（ASA）.
∴EC = FC = AE = AF .
∴四边形 AFCE 是菱形.
练 习
1.如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点. 求证：四边形EFGH是菱形.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC，AB=CD．
∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，
∴AH=DH=BF=CF，AE=BE=CG=DG．
∴△AHE≌△BFE≌△CFG≌△DHG(SAS)，
∴HE=FE=FG=HG，
∴四边形EFGH是菱形．
2. 如图，两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形 ABCD 是一个菱形吗？为什么？
解：四边形 ABCD 是一个菱形. 理由：
如图，过点 A 分别作 AE ⊥ BC 于点 E，AF ⊥ CD 于点 F . 由题意，得 AE = AF.
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形，∴∠B =∠D.
又∠AEB = ∠AFD = 90°，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AB = AD，∴ □ ABCD 是菱形.
A
B
C
D
E
F
【选自教材第75页 练习 第2题】
3. 一张三角形纸片如图所示，请你用纸片折出一个菱形，
使∠A 是菱形的一个内角，和点 A 相对的顶点在边 BC
上，并说明所折图形是菱形的理由.
解：如图，将△ABC 折叠，使 AB，AC 重合，得折痕 AD . 展开后再次折叠使点 A，D 重合，得折痕 EF，连接 DE，DF，则四边形 AEDF 为菱形.
A
B
C
E
D
F
【选自教材第75页 练习 第3题】
A
B
C
E
D
F
O
理由：设 AD，EF 相交于点 O .
由折叠可知，∠EAO = ∠FAO，EF 垂直平分AD .
∴∠AOE = ∠AOF = 90°，AE = DE，AF = DF .
∴△AEO≌△AFO（ASA）.
∴AE = AF . ∴AE = AF = DE = DF .
∴四边形 AEDF 为菱形.
在△AEO 和△AFO 中，
∠EAO = ∠FAO，
AO = AO，
∠AOE = ∠AOF，
4.如图，在□ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF 于点O，交BC于点E，连接EF.
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
A
B
E
C
D
F
O
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠EBF=∠AFB．
∵BF 平分∠ABC，∴∠ABF=∠EBF，∴∠ABF=∠AFB，∴AB=AF．
∵AE⊥BF，∴∠AOB=∠EOB=90°．
又BO=BO，∴△ABO≌△EBO(ASA)，∴AB=BE．∴BE=AF．
又BE∥AF，∴四边形ABEF是平行四边形．
又AB=AF，∴四边形ABEF是菱形．
（2）若AE=6，BF=8，CE=3，求□ABCD的面积．
A
B
E
C
D
F
O
解:如图，过点F作FG⊥BC于点G．
G
∵四边形ABEF是菱形，AE=6，BF=8，
∴OE= AE=3，OB= BF=4.
在Rt△BOE中，BE=
∵S菱形ABEF= AE·BF=BE·FG，∴FG= .
∵BC=BE+CE=5+3=8，∴S□ABCD=BC·FG=8× = .
返回
1．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝OC，且AB∥CD，则添加下列一个条件能判定四边形ABCD是菱形的是(　　)
A．AC＝BD
B．∠ADB＝∠CDB
C．∠ABC＝∠DCB
D．AD＝BC
B
返回
2．如图，点O既是AB的中点，又是CD的中点，且AB⊥ CD，连接AC，BC，AD，BD．若AC＝2，则四边形ACBD的周长是(　　)
A．6　　
B．8　　
C．10　　
D．不能确定
B
3．[2025内江]按如下步骤作四边形ABCD：(1)画∠EAF；(2)以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AE，AF于点B，D；(3)分别以点B和点D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；(4)连接BC，DC，BD．若∠A＝40°，则∠BDC的度数是(　　)
A．64°　 B．66°
C．68°　 D．70°
返回
【答案】D
返回
4．如图，在△ABC中，D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF，请你添加一个条件：____________，使四边形BECF是菱形．
AB＝AC
(答案不唯一)
5．[2025永州期末]如图，E，F分别在BC和CD上，AB＝AE＝AF＝AD＝BC＝CD＝EF，则∠D＝________°．
80
返回
【点拨】∵AB＝BC＝CD＝AD，∴四边形ABCD为菱形. ∴∠B＝∠D，AD∥BC.∴∠C＋∠D＝180°.∵AD＝AF，∴∠D＝∠AFD.∵∠AFC＋∠AFD＝180°，∴∠AFC＝∠C.同理∠C＝∠AEC，∴∠C＝∠AEC＝∠AFC.易得△AEF是等边三角形，∴∠EAF＝60°.又∵∠EAF＋∠AEC＋∠C＋∠AFC＝360°，∴∠C＝100°.∴∠D＝180°－100°＝80°.
6．[2025遂宁]如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE＝EF＝FD，且AF⊥AB，CE⊥CD.
(1)求证：△ABF≌△CDE；
【证明】∵AF⊥AB，CE⊥CD，
∴∠BAF＝∠DCE＝90°.
∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠CDE.
∵BE＝EF＝FD，∴BF＝DE.
∴△ABF≌△CDE(AAS)．
(2)连接AE，CF，若∠ABD＝30°，请判断四边形AECF的形状，并说明理由．
【解】四边形AECF是菱形．理由如下：
如图．∵△ABF≌△CDE，
∴AF＝CE，∠AFB＝∠CED.∴AF∥CE.
∴四边形AECF是平行四边形．
返回
7．[2025威海期中]如图是一张平行四边形纸片ABCD，要求利用所学知识将它变成一个菱形，
甲、乙两位同学的作法分别如下：对于甲、乙两人的作法，正确的是(　　)
甲：连接AC，作AC的中垂线交AD，BC于E，F，则四边形AFCE是菱形．
乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC于点E，交AD于点F，则四边形ABEF是菱形．
A．甲正确，乙错误　　 B．甲、乙均错误
C．甲错误，乙正确　　 D．甲、乙均正确
【点拨】根据甲的作法作出图形，如图①所示．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠DAC＝∠BCA.
∵EF是AC的垂直平分线，∴OA＝OC，AE＝EC.
又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF(ASA)．
∴AE＝CF.∴四边形AECF是平行四边形．
又∵AE＝EC，
∴四边形AECF是菱形，故甲的作法正确；
返回
根据乙的作法作出图形，如图②所示．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∴∠1＝∠2，∠6＝∠7.∵AE平分∠BAF，BF平分∠ABC，∴∠2＝∠3，∠5＝∠6.∴∠1＝∠3，∠5＝∠7.∴AB＝AF，AB＝BE.
∴AF＝BE.∴四边形ABEF是平行四边形．
∴四边形ABEF是菱形，故乙的作法正确．
综上所述，甲、乙均正确，故选D.
【答案】D
菱形的判定
定义法
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
判定定理
四条边相等的四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
运用定理进行计算和证明
谢谢观看！

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