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人教版（新教材）数学八年级下册
第二十一章 四边形
21.3.3.1 正方形的性质
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
仔细观察下列实际生活中的物品，你会发现里面都有正方形的形象．
正方形是我们熟悉的图形，回忆一下小学学过的正方形，它有什么性质？
新课导入
21.3.3.1 正方形的性质 教学课件分页内容
第1页：温故知新，情境导入
1. 回顾旧知：我们已经学习了哪些特殊的平行四边形？它们分别有什么核心性质？（引导学生梳理矩形、菱形的定义及边、角、对角线性质）
2. 问题情境：① 若一个四边形既是矩形又是菱形，它会是什么图形？② 展示生活实例（魔方表面、正方形手帕、地砖），引导学生观察这类图形的共同特征。
3. 揭示课题：今天我们深入探究这种“完美”的特殊平行四边形——正方形的性质。
第2页：探究一：正方形的定义建构
1. 动态演示：通过多媒体展示平行四边形变形成正方形的过程（两种路径：① 平行四边形→矩形→正方形；② 平行四边形→菱形→正方形）。
2. 小组讨论：结合演示过程，尝试给正方形下定义。
3. 归纳定义：师生共同总结——有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
4. 深化理解：正方形是特殊的平行四边形、特殊的矩形、特殊的菱形，因此它兼具这三类图形的所有性质。
第3页：探究二：正方形的性质（动手操作）
1. 操作任务：请同学们拿出正方形纸片、直尺、量角器，分组完成以下操作并记录结果：
① 观察并测量边：四条边长度是否相等？对边是否平行？
② 观察并测量角：四个角是否都是直角？
③ 观察并测量对角线：两条对角线长度关系、位置关系如何？是否平分一组对角？
④ 折叠探究对称性：正方形是轴对称图形吗？有几条对称轴？是否是中心对称图形？
第4页：探究三：正方形的性质归纳
1. 小组汇报：各小组分享操作结果，补充完善。
2. 性质总结（文字语言）：
① 边：四条边都相等，对边平行；
② 角：四个角都是直角；
③ 对角线：相等且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；
④ 对称性：既是轴对称图形（4条对称轴：两条对角线所在直线、两组对边中点连线所在直线），又是中心对称图形（对称中心为对角线交点）。
3. 符号语言转化：若四边形ABCD是正方形，则：AB=BC=CD=DA，AB∥CD、AD∥BC；∠A=∠B=∠C=∠D=90°；AC=BD，AC⊥BD，OA=OC=OB=OD，AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC。
第5页：辨析深化：正方形与特殊平行四边形的关系
1. 思考讨论：① 正方形是矩形吗？是菱形吗？为什么？② 反过来，矩形一定是正方形吗？菱形一定是正方形吗？需要补充什么条件？
2. 关系图示：展示平行四边形、矩形、菱形、正方形的包含关系图，强化“特殊与一般”的辩证认知。
3. 即时判断：下列说法正确的是（ ），并说明理由：
① 正方形的四条边都相等；② 正方形的对角线兼具矩形和菱形的所有对角线性质；③ 有一个角是直角的菱形是正方形；④ 对角线相等的平行四边形是正方形；⑤ 正方形有2条对称轴。
第6页：例题示范：性质的应用
1. 例题：求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形。
2. 师生共析：① 明确已知条件（四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD交于点O）和求证结论；② 思考解题思路：利用正方形对角线相等、垂直平分的性质，推导线段等量关系和角的直角关系，再用全等判定定理证明。
3. 规范证明：
证明：∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AC=BD，AC⊥BD，OA=OC=OB=OD（正方形对角线相等且互相垂直平分）。
∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形。
又∵ AB=BC=CD=DA，
∴ △ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO（SSS）。
第7页：拓展练习与课堂小结
1. 拓展练习：① 正方形ABCD中，对角线AC=4cm，求正方形的边长和面积；② 图中共有多少个等腰直角三角形？（结合例题图形）
2. 课堂小结：① 梳理正方形的定义和核心性质（边、角、对角线、对称性）；② 回顾正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系；③ 总结运用正方形性质解题的关键思路。
探索新知
正方形
一个角是直角
一组邻边相等
正方形
平行四边形
一个角是直角
矩形
平行四边形
一组邻边相等
菱形
有一组邻边相等的矩形是正方形.
有一个角是直角的菱形是正方形.
定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
一组邻边
正方形
矩形
相等
正方形
一个角是
菱形
直角
正方形是我们熟悉的几何图形，它的四条边都相等，四个角都是直角. 正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形，因此它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.
平行四边形 矩形特殊性质 菱形特殊性质
性质 边 对边平行且相等 四条边都相等
角 对角相等，邻角互补 四个角都是直角
对角线 对角线互相平分 对角线相等 对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
猜想：1.正方形的四个角都是直角，四条边都相等.
2.正方形的对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角.
已知：如图，四边形ABCD是正方形.
求证：正方形ABCD四条边都相等，四个角都是直角.
尝试证明
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A=90°，AB=AD（正方形的定义）.
又∵正方形是平行四边形，
所以四边形ABCD是矩形（矩形的定义），
且四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD.
A
B
C
D
已知：如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC、BD相交与点O. 求证：AO=BO=CO=DO，AC⊥BD.
尝试证明
A
B
C
D
O
证明：在四边形ABCD 中，
∵正方形是矩形，
∴AO=BO=CO=DO.
又∵正方形是菱形，
∴AC⊥BD.
请同学们拿出准备好的正方形纸片，折一折，观察并思考：正方形是不是轴对称图形？如果是，那么它有几条对称轴？
是轴对称图形，有4条对称轴.
归纳总结
A
B
C
D
O
正方形的性质：
边
对边平行
四条边都相等
角：四个角都是直角
对角线
对角线相等
对角线互相垂直平分
每一条对角线平分一组对角
对称性：是轴对称图形，有4条对称轴.
求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
例 5
已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC，BD 相交于点 O .
求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO 是全等的等腰直角三角形.
A
B
D
C
O
证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AC = BD，AC ⊥ BD .
∴∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠AOD = 90°，
AO = BO = CO = DO .
∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO
都是等腰直角三角形，并且
△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
A
B
D
C
O
（SAS）
正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？与同学讨论一下，并列表或画框图表示这些关系.
平行四边形
矩形
菱形
正
方
形
一个角是直角
平行四边形
矩形
一组邻边相等
一个角是直角
一组邻边相等
菱形
一组邻边相等
一个角是直角
正方形
练 习
1.（1）把一张矩形纸片按如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片.
为什么？
（2）如何从一块矩形木板中裁出一块面积最大的正方形木板呢？
解：（1）如图，由折叠知 AB = AD，
∠B =∠ADC = 90°. ∵∠BAD = 90°，
∴四边形 ABCD 是矩形，且 AB = AD，
由正方形是有一组邻边相等的矩
形可知，四边形 ABCD 是正方形.
（2）如（1）所示的正方形面积最大，即令正方形的边长等于长方形的宽.
【选自教材第76页 练习 第1题】
A
B
D
C
2. 如图，一块正方形场地的四个顶点分别是 A，B，C，D .
李明和张华在边 AB 上取了一点 E，EC = 30 m，EB = 10 m.
这块场地的面积和对角线长分别是多少？
解：如图，连接 AC .
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠B = 90°，AB = BC .
在Rt△BEC 中，∠B = 90°，EB = 10 m，EC = 30m，
由勾股定理，BC = = = 20（m）.
【选自教材第76页 练习 第2题】
在Rt△ABC 中，∠B = 90°，AB = BC = 20 m，
由勾股定理，AC =
∴S正方形ABCD = BC2 = = 800（m2）.
∴这块场地的面积为 800 m2，对角线长为 40 m.
2. 如图，一块正方形场地的四个顶点分别是 A，B，C，D .
李明和张华在边 AB 上取了一点 E，EC = 30 m，EB = 10 m.
这块场地的面积和对角线长分别是多少？
= = 40（m）
【选自教材第76页 练习 第2题】
3. 如图，一个正方形草坪的四个顶点分别是 A，B，C，D .
要修建 BE 和 AF 两条路，使点 E，F 分别在边 AD，CD 上，
且 DE = CF. 这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？
解：这两条路等长，它们互相垂直. 理由：
如图，设 AF 与 BE 交于点 O.
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB = AD = CD，∠BAE = ∠D = 90°.
又 DE = CF，∴AD－DE = CD－CF，即AE = DF.
∴△ABE≌△DAF（SAS）.
∴BE = AF，∠AEB = ∠DFA.
∵∠D = 90°，∴∠DFA + ∠DAF = 90°.
∴∠AEB + ∠DAF = 90°. ∴∠AOE = 90°，即 BE ⊥ AF .
O
【选自教材第77页 练习 第3题】
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1．如图，四边形ABCD是正方形，AD平行于x轴，A，C两点的坐标分别为(－2，2)，(1，－1)，则
点B的坐标是(　　)
A．(－1，－2) B．(－1，－3)
C．(－2，－1)　 D．(－3，－1)
C
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2．如图，在正方形ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，过点O作OE⊥OF，分别交AB，BC于点E，F，若AE＝4，CF＝3，则EF的长为(　　)
A．3
B．4
C．5
D．6
C
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D
返回
4．如图，在正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，连接BF，则∠AFB的度数为________．
22.5°
5．如图，在正方形ABCD中，点P在AB边上，AE⊥DP于点E，CF⊥DP于点F，若AE＝4，CF＝7，则EF＝________．
3
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【点拨】∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝90°.∵AE⊥DP，CF⊥DP，∴∠AED＝∠DFC＝90°. ∵∠ADE＋∠CDF＝∠CDF＋∠DCF＝90°，∴∠ADE＝∠DCF.∴△ADE≌△DCF(AAS)．∴AE＝DF＝4，DE＝CF＝7.∴EF＝DE－DF＝7－4＝3.
6．[2025广安]如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，BD＝10，DE＝BF，连接AE，AF，CE，CF．
(1)求证：△ADE≌△CBF．
【证明】∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝BC，∠ADE＝∠CBF＝45°，
又∵DE＝BF，∴△ADE≌△CBF(SAS)．
【解】连接AC交BD于点O，如图．
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7．如图，M是正方形ABCD内的一点，且MC＝MD＝AD，则∠AMB的度数为(　　)
A．120°
B．135°
C．145°
D．150°
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【点拨】∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°.又∵MC＝MD＝AD，∴△MDC是等边三角形. ∴∠MDC＝60°.∵∠ADC＝90°，∴∠ADM＝30°.
∴∠MAD＝75°.∴∠BAM＝15°.同理可得∠ABM＝15°，∴∠AMB＝180°－15°－15°＝150°.
【答案】D
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【答案】A
9．[2025内江]如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点B的坐标为(1，0)．点E在边CD上．将△ADE沿AE折叠，点D落在点F处．若点F的坐标为(0，3)．则点E的坐标为________．
【点拨】如图，设CD与y轴交于点G，AB＝x，易知DG＝OA，AD＝AB＝OG＝x.∵点B的坐标为(1，0)，∴OA＝x－1.由折叠知AF＝AD＝x，DE＝EF.∵点F的坐标为(0，3)，∴OF＝3.
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正方形的定义和性质
定义
性质
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形.
四个角都是直角
四条边都相等
对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角
谢谢观看！

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