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(共23张PPT)
人教版（新教材）数学八年级下册
第二十二章 函数
22.1.1 变量与常量
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
在这个过程中，哪些量变化了？哪些量没变？
汽车以 60 km/h 的速度匀速行驶，行驶路程为 s km，行驶时间为 t h.
这些量有什么关系呢？
思考1 汽车以 60 km/h 的速度匀速行驶，行驶路程为 s km，行驶时间为 t h. 请填写下表，其中路程 s 随行驶时间 t 的变化而变化吗？
t/h 1 2 3 4 5
s/km
60
120
180
240
300
不变的量
变化的量
知识点：常量和变量
新知探究
变化的量
22.1.1 变量与常量 教学过程幻灯片内容
幻灯片1：情境导入——感知生活中的变化
1. 教师引导：同学们，我们的生活中充满了各种各样的变化。大家不妨想一想，生活里有哪些事物的数量在不断变化呢？（预留30秒思考时间）
2. 互动提问：邀请2-3名学生分享举例，如“时间在不停流逝”“每天的气温会变化”“跑步的路程越跑越长”“购买的商品数量不同，总价也不同”等。
3. 素材展示：课件呈现动态素材——钟摆摆动的动画、一天的气温变化曲线、汽车行驶时仪表盘速度变化的图片。
4. 引出课题：教师总结：“大家发现的这些变化现象中，都涉及到一些数量。这些数量里，有的始终不变，有的却在不断改变。今天我们就来专门研究这些变化与不变的量——变量与常量。”
幻灯片2：探究新知——分析具体情境，初步感知概念
情境一：匀速行驶的汽车
展示问题：一辆汽车以60千米/小时的速度匀速行驶，从A地前往B地。
思考提问：
1. 这段行驶过程中，哪些数量是固定不变的？
2. 哪些数量会随着行驶过程不断变化？
3. 变化的数量之间有什么关联？
学生活动：独立思考1分钟后，同桌交流观点。
教师引导总结：速度60千米/小时是固定不变的；行驶时间和行驶路程是不断变化的，且路程会随着时间的增加而增加。
幻灯片3：探究新知——再析情境，抽象概念
情境二：购买文具
展示问题：一支钢笔的单价是5元，购买x支钢笔，应付y元。
思考提问：
1. 这里的单价5元会变化吗？
2. x和y的值会变化吗？y的变化依赖于什么？
学生活动：自主分析后，举手回答问题。
概念提炼：教师结合两个情境总结定义——在一个变化过程中，数值始终保持不变的量，叫做常量；数值发生变化的量，叫做变量。
强调要点：常量和变量是相对的，关键取决于我们研究的具体变化过程。
幻灯片4：即时练习——巩固概念辨析
1. 课件展示3个基础情境，学生快速判断其中的常量与变量：
情境1：长方形的长固定为10cm，宽为w cm，面积为S cm 。（常量：长10cm；变量：宽w、面积S）
情境2：电费收费标准为0.5元/度，用电量为a度，应付电费b元。（常量：0.5元/度；变量：用电量a、电费b）
情境3：圆的半径为r，周长为C。（常量：圆周率π；变量：半径r、周长C）
2. 互动反馈：逐题邀请学生回答，教师纠正偏差，强调“固定不变的量”的判断标准。
幻灯片5：深化探究——变量间的依赖关系
1. 回顾衔接：结合“购买钢笔”情境（y=5x）提问：“当x取确定的值时，y的值是唯一确定的吗？比如x=3时，y是多少？x=5时呢？”
2. 新情境分析：展示水壶烧水时水温随时间变化的表格（含时间t/min和水温T/℃对应数据）。
思考提问：
（1）表格中涉及哪两个变量？
（2）当时间t取一个确定的值时，水温T有几个值与之对应？
3. 学生活动：小组讨论2分钟，梳理变量间的关系。
4. 总结提炼：在两个相关联的变量中，一个变量的变化会引起另一个变量的变化，且当一个变量取定一个值时，另一个变量有唯一确定的值与之对应，我们称前者为自变量，后者为因变量（为后续函数学习铺垫）。
幻灯片6：课堂活动——小组合作探究
1. 活动任务：将学生分成4-6人小组，发放任务单，完成2个情境的探究：
情境A：蓄水池为空，以每分钟2立方米的速度注水，注水时间为t分钟，水量为V立方米。①找出常量、自变量、因变量；②写出V与t的关系式。
情境B：活期储蓄月利率0.3%，本金1000元，存期x个月，本息和为y元（不扣利息税）。①找出常量、自变量、因变量；②写出y与x的关系式。
2. 教师指导：巡视各小组，关注学生对“自变量、因变量”的区分，以及关系式的规范书写。
3. 成果展示：各小组推选代表分享探究结果，全班点评，教师规范关系式书写（如V=2t、y=1000+1000×0.3%x）。
幻灯片7：辨析巩固——抢答判断，突破难点
1. 活动形式：快速抢答，学生判断“y是否是x的函数”，并说明理由（聚焦“唯一确定”核心）：
（1）正方形的面积y与边长x。（是，x确定则y唯一确定）
（2）一个数x与它的平方根y。（否，x=4时y=±2，不唯一）
（3）班级学生的身高y与学号x。（是，每个学号对应唯一身高）
2. 难点突破：针对第2题，教师详细讲解“唯一确定”的关键意义，纠正“变量只要相关就是函数”的误区。
幻灯片8：课堂小结——梳理知识体系
1. 师生共同回顾：
（1）核心概念：常量、变量（自变量、因变量）的定义；
（2）判断方法：常量是变化过程中固定不变的量，变量是数值变化的量；
（3）关键关系：自变量与因变量的依赖关系，“唯一确定”的核心特征；
（4）数学思想：从具体情境抽象出数学概念的建模思想。
2. 教师寄语：鼓励学生用“变量与常量”的眼光观察生活中的变化现象，感受数学与生活的联系。
变化的量和不变的量分别是什么？
用含有t 的式子表示s，则有______.
这个过程反映出路程 s 随时间 t 的变化而变化.
s=60t
思考2 电影票的售价为10元/张，第一场售出150张，第二场售出205张，第三场售出310张，三场电影的票房收入分别为多少元？设一场电影售出 x 张票，票房收入为 y 元， y 的值随 x 的变化而变化吗？
解:第一场电影的票房收入为15010=1500（元）;
第二场电影的票房收入为20510=2050（元）;
第三场电影的票房收入为31010=3100（元）.
变化的量
变化的量
不变的量
变化的量和不变的量分别是什么？
用含有x的式子表示y，则有______.
y=10x
这个过程反映出y的值随x的变化而变化.
思考3 风吹动水面产生的圆形水波（即涟漪）慢慢地扩大，在这一过程中，当圆的半径 r 分别为10cm，20cm，30cm时，圆的面积 S 分别为多少？S 的值随 r 的变化而变化吗？
解：当半径为10 cm时，圆的面积为100；
当半径为20 cm时，圆的面积为400；
当半径为30 cm时，圆的面积为900.
变化的量
变化的量
变化的量和不变的量分别是什么？
用含有r的式子表示S，则有______.
S=
不变的量是圆周率π.
这个过程反映出S 的值随 r 的变化而变化.
在一个变化过程中，有些量的数值是变化的，有些量的数值是始终不变的.
s=60t
y=10x
S=
y=5-x
l=15+0.5x
从以上5个问题中，你可以得出什么样的结论？
定义：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量.
说明：(1)“常量”是已知数，是指在整个变化过程中保持不变的量；但“常量”不等于“常数”，它可以是数值不变的字母. 如在匀速运动中的速度v 就是一个常量.
(2)变量与常量是相对的，前提是“在一个变化过程 中”，一个量在某一变化过程中是常量，而在另一个变化过程中，它可能是变量. 如在s＝vt中，当s一定时，v，t为变量，s为常量；当t一定时，s，v为变量，t为常量.
(3)变量与字母的指数没有关系，如在y＝2x2中，x是变量，而不能说x2是变量.
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1．[2025济南历城区月考]小明同学到超市购买矿泉水，如图是收银机打印的购物小票部分内容，在购物过程中，他发现付款金额随购物数量的变化而变化，则其中的常量是(　　)
A．商品名称　　
B．数量　　
C．单价　　
D．金额
C
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A
返回
D
返回
4．我国是一个严重缺水的国家，大家应该加倍珍惜水资源，节约用水．据测试，拧不紧的水龙头每秒钟会滴下2滴水，每滴水约0.05 mL，丽丽同学在洗手时没有把水龙头拧紧，当丽丽离开x h后水龙头滴了y mL的水. 在这段文字涉及的量中，哪些是常量？哪些是变量？
【解】常量为2，0.05，变量为x，y.
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5．如图，把两根木条的一端用螺栓固定在一起，木条可以自由转动．在转动过程中，是常量的为(　　)
A．∠BAC的度数
B．AB的长度
C．BC的长度
D．△ABC的面积
B
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6．下列说法不正确的是(　　)
A．正方形面积公式S＝a2中有两个变量：S，a
B．圆的面积公式S＝πr2中的π是常量
C．在一个关系式中，用字母表示的量可能不是变量
D．如果a＝b，那么a，b都是常量
D
7．[2025渭南期末]小明为了解水温变化规律，测量并记录了一杯开水在室温下的温度变化情况，如下表：
时间t/min 0 10 20 30 40 50 60
水温/℃ 98 55 35 24 22 22 22
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下列说法不正确的是(　　)
A．在这一变化过程中，时间和水温是变量
B．水温随着时间的推移逐渐减小，最后保持不变
C．依据表格中反映出的规律可知：当t＝70 min时，水温是22 ℃
D．时间每增加10 min，水温降低43 ℃
D
8．某工厂有一个容积为280 m3的水池，现用3台抽水机从蓄满水的水池中同时抽水，已知每台抽水机每小时抽水30 m3．
(1)抽水2 h后，水池中还有________ m3的水．
100
【点拨】由题意得280－3×30×2＝100(m3)，即抽水2 h后，水池中还有100 m3的水．
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(2)在这一变化过程中哪些是常量？哪些是变量？
【解】在这一变化过程中，水池的容积、抽水机的台数、每台抽水机每小时抽水的体积是常量；抽水时间、水池中水的体积是变量．
变量和常量
定义
判断
方法
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量.
1.看是否在某一个变化过程中；
2.看数值是否发生改变.
谢谢观看！

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