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人教版（新教材）数学八年级下册
第二十二章 函数
22.2.2 函数的表示方法
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1.函数的图象：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
知识回顾
2.函数图象的画法步骤
（1）列表：表中给出一些自变量的值及其对应的函数值.
（2）描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点.
（3）连线：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来.
22.2.2 函数图象的应用 教学过程幻灯片内容
第1页：回顾导入——衔接旧知，明确目标
1. 旧知回顾：提问学生“上节课我们学习了函数的图象，谁能说说函数图象的定义是什么？画函数图象的三步法是哪三步？”（引导学生回答：函数图象是由自变量与函数对应值组成的坐标点构成的图形；三步法为列表→描点→连线）
2. 情境导入：呈现问题“小明从家骑车去图书馆，中途休息了一段时间，之后骑车返回，其离家距离随时间变化的图象如下（文字描述图象特征：横轴为时间t，纵轴为离家距离s，图象先上升、再水平、最后下降），你能从图象中看出小明什么时候出发、什么时候到达图书馆、休息了多久吗？”
3. 导入目标：明确本节课核心任务——学会从函数图象中提取关键信息，能利用函数图象解决实际问题和简单的函数相关问题。
第2页：核心讲解——从图象中提取信息
1. 信息提取维度梳理：结合导入情境的图象，引导学生总结从函数图象中可提取的核心信息：
（1）特殊点信息：与坐标轴交点、图象转折点的意义（如导入情境中，图象起点对应出发时间和初始距离，上升终点对应到达图书馆的时间和距离，水平线段的起点和终点对应休息的起止时间）；
（2）变化趋势信息：图象上升、下降、水平分别对应函数值随自变量的增大而增大、减小、不变（如导入情境中，上升段表示离家距离随时间增大而增大，水平段表示距离不变即休息，下降段表示距离随时间增大而减小）；
（3）对应值信息：根据自变量取值找函数值，或根据函数值找自变量取值（如已知某时间t，可从图象中找对应离家距离s；已知离家距离s，可找对应时间t）。
第3页：例题讲解——图象应用实战
1. 例题1（实际问题应用）：如图是某电动车行驶时，剩余电量y（单位：%）随行驶时间x（单位：h）变化的函数图象，根据图象回答下列问题：
（1）电动车出发时的剩余电量是多少？（2）行驶3小时后，剩余电量是多少？（3）剩余电量为50%时，电动车行驶了多久？（4）该电动车行驶多少小时后，剩余电量为0？
2. 解题过程示范：
（1）找出发时的剩余电量：出发时x=0，对应图象起点的纵坐标，由图象可知y=100，故出发时剩余电量100%；
（2）行驶3小时后剩余电量：找x=3对应的y值，由图象可知x=3时y=40，故剩余电量40%；
（3）剩余电量50%时的行驶时间：找y=50对应的x值，由图象可知y=50时x=2，故行驶了2小时；
第4页：进阶例题与巩固练习
1. 例题2（函数关系应用）：已知函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点(0,2)和(3,8)，求该函数的解析式。
解题步骤：（1）明确图象上的点满足函数解析式，将(0,2)代入y=kx+b得2=k×0+b，解得b=2；（2）将(3,8)和b=2代入得8=3k+2，解得k=2；（3）故函数解析式为y=2x+2。
2. 巩固练习（分组完成）：
第一组：某商场销售某种商品，销售量y（件）随销售单价x（元）变化的图象如下，根据图象回答：销售单价为50元时，销售量是多少？销售量为30件时，销售单价是多少？
第二组：已知一次函数的图象经过点(1,3)和(-1,-1)，求该函数的解析式，并判断点(2,5)是否在该函数的图象上。
3. 点评总结：核对练习答案，强调“图象上的点与函数解析式的对应关系”是解决此类问题的核心，提取信息时要准确对应横纵坐标。
4. 易错点提醒：读取图象信息时，注意区分横纵坐标对应的变量；利用图象求解析式时，确保代入点的坐标准确，计算无误。
5. 学生实践：第一组动手分析图象，第二组根据点的坐标求解析式，教师巡视指导。
第5页：课堂小结——梳理脉络，深化理解
1. 师生共同回顾核心内容：
（1）函数图象的应用方向：提取特殊点、变化趋势、对应值等信息；解决实际问题；求函数解析式；判断点是否在函数图象上；
（2）核心方法：利用“图象上的点与函数对应值一一对应”“图象特征反映变量变化规律”的本质，将图形信息转化为数学信息；
（3）解题关键：准确识别横纵坐标对应的变量，仔细读取图象信息，规范代入计算。
2. 重难点强调：从图象中提取有效信息是基础，利用图象与函数解析式的关系解决问题是核心，要始终牢记“数形结合”思想；
3. 思想升华：总结“数形结合”思想的价值——图象能直观呈现变量关系，解析式能精准描述变量关系，二者结合可更高效地解决函数问题，为后续复杂函数应用奠定基础。
通过前几节课的学习，同学们知道要表示一个具体的函数，除了可以写出函数解析式，还可以用哪些方式表示吗？
还可以列表格
还可以画函数图象
课堂导入
解析式法：用数学式子表示函数关系的方法叫做解析式法，其中的等式叫做函数解析式.
我们之前是怎么求函数解析式的？
知识点1：解析式法
新知探究
例1 已知矩形 ABCD 的周长为 20，AB 的长为 y，BC 的长为x．写出 y 关于 x 的函数解析式(x为自变量).
解：由题意，得 2x+2y=20，
即 y=10-x，
∵ x，y 为矩形的边长，
∴ x>0，y>0，
∴ 0∴ y 关于 x 的函数解析式为 y=10-x(0优点
能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的对应关系.
很难直观地看出函数的变化规律，而且有些函数不能用解析式法表示出来，如气温与时间的函数关系.
缺点
解析式法有什么优缺点呢？
列表法：通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法.
例2 以下式子，对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一的对应值，即 y 是 x 的函数.从 x 的取值范围中选取一些数值，算出 y 的对应值，列表.
y=2x+3
知识点2：列表法
新知探究
x …… -2 -1 0 1 2 ……
y …… -1 1 3 5 7 ……
从式子 y=2x+3 可以看出，x 取任意实数时这个式子都有意义，所以 x 的取值范围是全体实数.
从 x 的取值范围中选取一些数值，算出 y 的对应值，列表：
列表法有什么优/缺点呢？
优点：一目了然，对表格中已有自变量的每一个值，可直接找到与它对应的函数值.
缺点：列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数的变化规律.
图象法：用图象表示两个变量间的函数关系的方法叫做图象法.
例3 根据以上例题列出的表格，画出相应的函数图象.
知识点3：图象法
新知探究
y=2x+3
O
1
2
3
4
1
4
-3
-2
-1
x …… -2 -1 0 1 2 ……
y …… -1 1 3 5 7 ……
7
x
y
从函数图象可以看出，直线从左向右上升，即当x由小变大时，y=2x+3随之增大.
优点：直观、形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质.
图象法有什么优缺点呢？
缺点：从自变量的值常常难以找到对应函数的准确值.
例4 一个水库的水位在最近5h内持续上涨，下表记录了这5h内 6个时间点的水位高度，其中 t 表示时间，y 表示水位高度.
t/h 0 1 2 3 4 5
y/m 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5
（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，这些点是否在一条直线上？由此你能发现水位变化有什么规律吗？
解：如图，描出表中数据对应的点.可以看出，这6个点在一条直线上.
（1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，这些点是否在一条直线上？由此你发现水位变化有什么规律？
结合表中数据，可以发现每小时水位上升 0.3 m.由此猜想，如果画出这 5 h 内其他时刻(如 t=2.5 h 等)及其水位高度所对应的点，它们可能也在这条直线上，即在这个时间段中水位可能是始终以同一速度均匀上升的.
（2）水位高度 y 是否为时间 t 的函数？如果是，试写出一个符合表中数据的函数解析式，并画出这个函数的图象. 这个函数能表示水位的变化规律吗？
解：由于水位在最近 5 h内持续上
涨，对于时间 t 的每一个确定的值，
水位高度 y 都有唯一的值与其对应，
所以 y 是 t 的函数.开始时水位高度
为 3 m，以后每小时水位上升 0.3 m.
函数 y=0.3t+3(0≤t≤5) 是符合表中数据的一个函数，它表示经过 t h 水位上升 0.3t m，即水位 y 为(0.3t+3) m. 其图象是图中点 A(0，3)和点B(5，4.5)之间的线段 AB.
如果在这 5 h内，水位一直匀速上升，即升速为 0.3 m/h，那么函数y=0.3t+3(0≤t≤5)就精确地表示了这种变化规律.即使在这5h内，水位的升速有些变化，而由于每小时水位上升 0.3m 是确定的，因此这个函数也可以近似地表示水位的变化规律.
（3）据估计这种上涨规律还会持续 2 h，预测再过 2 h 水位高度将达到多少米？
如果水位的变化规律不变，则可利用上述函数预测，再过 2 h，即 t=5+2=7(h) 时，水位高度y=0.3×7+3=5.1(m).
把图中的函数图象(线段AB)向右延伸到 t=7 所对应的位置，从图象也能看出这时的水位高度约为 5.1 m.
返回
A
返回
D
d/cm 50 80 100 150
b/cm 25 40 50 75
返回
3．[2025成都成华区期末]如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水. 下列图象能大致反映水槽中水的深度h与注水时间t的函数关系的是(　　)
D
返回
4．某超市“6．18”期间做促销优惠活动，凡一次性购物金额超过100元者，超过100元的部分按8．5折优惠．小宇在此期间到该超市为单位购买单价为60元的办公用品x(x＞2)件，则应付款y(元)与商品件数x(件)的关系式是____________．
y＝51x＋15
5．已知用于爆破工程的炸药包的导火线长100 cm，正常情况下，导火线每秒燃烧4 cm．
(1)导火线燃烧时剩余的长度l(cm)与燃烧时间t(s)之间的函数关系式是______________．
(2)点燃导火线________s后爆炸，自变量t的取值范围是________；
l＝100－4t
25
0≤t≤25
返回
(3)填表：
t/s 0 5 10 15 20 25
l/cm
(4)根据上表中的对应值在图中
画出这个函数的图象；
(5)由图象可知：点燃导火线12.5
s时，导火线还剩______cm．
100
80
60
40
20
0
【解】如图．
50
6．某班同学在探究弹簧长度跟外力的关系变化时，试验记录得到的数据如下表：
砝码的质量x/g 0 50 100 150 200 250 300 400 500
指针的位置y/cm 2 3 4 5 6 7 7.5 7.5 7.5
则y关于x的函数图象是(　　)
返回
【点拨】根据题表可知，在没有砝码时指针的位置是2 cm，有砝码时，砝码的质量每增加50 g，指针的位置增加1 cm，指针的位置增加到7.5 cm后，指针的位置不随砝码的增加而伸长，都是7.5 cm.则当砝码的质量是275 g时，指针的位置是7.5 cm.
【答案】D
7．某书定价8元/本，如果一次购买10本以上，超过10本的部分打八折，那么付款金额y(元)与购书数量x(本)之间的函数关系如何，同学们对此展开了讨论：
①小明说：y与x之间的函数关系为y＝6.4x＋16；
②小刚说：y与x之间的函数关系为y＝8x；
③小聪说：y与x之间的函数关系在0≤x≤10时，y＝8x；在x>10时，y＝6.4x＋16；
④小斌说：我认为用下面的列表法也能表示它们之间的 关系；
购书数量x/本 1 2 3 4 … 9 10 11 12 …
付款金额y/元 8 16 24 32 … 72 80 86.4 92.8 …
返回
⑤小志补充说：如图所示的图象也能表示它们之间的关系.
其中，表示函数关系正确的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
返回
8．观察下图，回答问题：
(1)设图形的周长为L，梯形的个数为n，试写出L与n的函数关系式：______________；
(2)当n＝11时，图形的周长是________．
L＝3n＋2
35
9．由于惯性，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能(车速不超过140 km/h)，对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表：
刹车时车速v /(km/h) 0 10 20 30 40 50 …
刹车距离s /m 0 2.5 5 7.5 10 12.5 …
请解答下列各题：
(1)当刹车时车速为60 km/h时，刹车距离是________m．
(2)根据上表反映的规律写出该种型号汽车s与v之间的关系式：_________________．
15
s＝0.25v(0≤v≤140)
(3)该型号汽车在高速公路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为32 m，推测刹车时车速是多少？并说明事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？ (相关法规：《中华人民共和国道路交通安全法实施条例》第七十八条：在高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过每小时120公里)
返回
【解】当s＝32时，32＝0.25v，
∴v＝128.∴推测刹车时车速是128 km/h.
∵120<128，∴事故发生时，汽车是超速行驶．
函数表示法
解析
式法
列表法
用数学式子表示函数关系的方法叫做解析式法，其中的等式叫做函数解析式.
通过列出自变量的值与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法.
图象法
用图象表示两个变量间的函数关系的方法叫做图象法.
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