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人教版（新教材）数学八年级下册
第二十三章 一次函数
23.1 一次函数的概念
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1.理解一次函数的概念，明确一次函数与正比例函数之间的联系.
2.会根据实际问题列出一次函数的解析式.
某登山队大本营所在地的气温为 5℃，海拔每升高
1 km 气温下降 6℃. 登山队员由大本营向上登高 x km 时，他们所在位置的气温是 y ℃. 试用函数解析式表示 y 与 x 的关系.
你知道 y 关于 x 的函数解析式是什么函数关系吗？
分析：y 随 x 变化的规律为从大本营向上，当海拔增加 x km 时，气温从 5℃ 减少 6x ℃.
函数解析式为：y=5-6x，也可以写作 y=-6x+5.
当登山队员由大本营向上登高 0.5 km 时，他们所在位置的气温就是当 x=0.5 时函数 y=-6x+5 的值，即 y=-6×0.5+5=2(℃)
知识点：一次函数的概念
新知探究
函数解析式 y=-6x+5是正比例函数吗？
函数解析式 y=-6x+5 不是正比例函数，因为不满足正比例函数的概念，正比例函数为 y=kx（k是常数，k≠0）.
思考 下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式.
（1）有人发现，在20℃～25℃时蟋蟀每分鸣叫次数 c 与温度 t（单位：℃）有关，即 c 的值约是 t 的 7 倍与 35 的差.
（2）一种计算成年人标准体重 G（单位：kg）的方法是：以厘米为单位量出身高值 h，再减常数 105，所得的差是G 的值.
c=7t-35（20≤t≤25）
G=h-105
（3）某城市的市内电话的月收费额 y（单位：元）包括月租费 22 元和拨打电话 x min 的计时费（按 0.1元/min 收取）.
（4）把一个长 10 cm、宽 5 cm 的长方形的长减少x cm，宽不变，长方形的面积 y（单位：）随 x 的变化而变化.
y=0.1x+22
y=-5x+50（0≤x<10）
上述问题中，表示变量之间关系的函数解析式分别为：
（1）c=7t-35（20≤t≤25）; （2）G=h-105;
（3）y=0.1x+22 ; （4）y=-5x+50（0≤x<10）.
这些函数解析式有哪些共同特征？
（1）c=7t-35（20≤t≤25）;
（3）y=0.1x+22;
（4）y=-5x+50（0≤x<10）.
（2）G=h-105;
-35，-105，22，50 看作“b”
可将c，G，y，y 看作“y”；
7，1，0.1，-5 看作“k”；
t、h、x、x 看作“x”；
以上四个函数解析式都是常数k与自变量的积与常数b的和的形式，这样的函数叫做一次函数.
一次函数 一般地，形如 y=kx+b（k，b 是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数.当 b=0 时，y=kx+b 即 y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
注意：一次函数y=kx+b(k≠0)有三个特征:①k≠0;
②自变量x的次数是1;③常数b可以是任意实数.
正比例函数是特殊的一次函数，即正比例函数都是一次函数，但是一次函数不一定是正比例函数.
正比例函数与一次函数有什么关系呢？一次函数是正比例函数吗？
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B
2．下列说法中，正确的个数是(　　)
①正比例函数一定是一次函数；
②一次函数一定是正比例函数；
③当速度一定时，路程s是时间t的一次函数；
④圆的面积是圆的半径r的正比例函数．
A．1 B．2 C．3 D．4
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【点拨】①正比例函数一定是一次函数，正确；②一次函数一定是正比例函数，错误；③速度一定，路程s与时间t的关系式为s＝vt，是一次函数，正确；④圆的面积是圆的半径r的平方的正比例函数，错误．
【答案】B
3．弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的．胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长(或压缩)的长度x成正比，即F＝kx，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为mg，其中g为常数．
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如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6 cm. 在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5 kg时，弹簧长度为6.5 cm，那么，当弹簧长度为6.8 cm时，所挂物体的质量为________kg．
0.8
4．用函数解析式表示下列问题中y与x的关系，并判断y是否为x的一次函数，是否为正比例函数．
(1)每盒铅笔12支，售价2.4元，铅笔售价y(元)与铅笔支数x(支)之间的关系；
(2)汽车由北京驶往相距120 km的天津，它的平均速度是40 km/h，汽车距天津的路程y(km)与行驶时间x(h)的关系．
【解】y＝120－40x(0≤x≤3)，y是x的一次函数，不是x的
正比例函数．
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【点步骤】列一次函数解析式的步骤：
(1)分析题意，找出变量之间的等量关系；
(2)用含有变量的解析式表示另一个变量；
(3)确定自变量的取值范围．
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5．已知一次函数y＝kx＋b，当x增加3时，y减小2，若y的值增加6，则x的值发生的变化是(　　)
A．增加2　 B．减少2
C．增加9　 D．减少9
D
6．如图①，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．
如图②给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系可以表示为(　　)
A．y＝3x
B．y＝4x
C．y＝3x＋1
D．y＝4x＋1
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【点拨】由题图可知，小桌的长为小桌宽的2倍，则小桌的长为2x尺，∴y＝x＋x＋2x＝4x.
【答案】B
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7．已知y＝y1＋y2，y1与x成正比例关系，y2与x－2成正比例关系，当x＝1时，y＝0；当x＝－3时，y＝4．当x＝3时，y的值为________．
－2
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8．定义[p，q]为一次函数y＝px＋q的特征数，即一次函数y＝2x＋1的特征数为[2，1]，若特征数为[t，t＋3]的一次函数为正比例函数，则t的值为________．
－3
9．[2025合肥蜀山区期中]已知函数y＝(m＋1)·x2－|m|＋n＋4.
(1)当m，n为何值时，此函数是一次函数？
【解】由题意，得2－|m|＝1，解得m＝±1.
因为m＋1≠0，所以m≠－1.所以m＝1.
所以当m＝1，n为任意实数时，这个函数是一次函数．
返回
(2)当m，n为何值时，此函数是正比例函数？
【解】由题意，得2－|m|＝1，n＋4＝0，
解得m＝±1，n＝－4.
因为m＋1≠0，所以m≠－1.所以m＝1.
所以当m＝1，n＝－4时，这个函数是正比例函数．
一次函数
定义
注意
一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的函数，叫做一次函数.
正比例函数是特殊的一次函数.
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