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人教版（新教材）数学八年级下册
第二十三章 一次函数
23.2.1.1 正比例函数
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1.理解并掌握正比例函数的概念.
2.正确利用正比例函数的相关知识解决具体问题.
两个变量 x，y 成正比例，且比例系数是 k (k≠0)，你能写出 y 与 x 的关系式吗？
课堂导入
23.2.1.1 正比例函数 教学过程幻灯片内容
第1页：情境导入——抽象正比例函数概念
1. 生活情境呈现：给出2个具有正比例关系的实例，引导学生分析变量关系并列式：
（1）苹果单价为5元/斤，购买重量x（斤）与总价y（元）的关系；（2）汽车匀速行驶，速度为70km/h，行驶时间t（h）与行驶路程s（km）的关系。学生列式后，教师板书：①y=5x；②s=70t。
2. 概念抽象：引导学生观察两个解析式的共同特征——均为y=kx（k为常数，k≠0）的形式，引出课题“正比例函数”，明确本节课核心任务：理解正比例函数的定义、掌握其基本特征。
第2页：概念讲解——明晰定义与核心特征
1. 定义呈现：一般地，形如y=kx（k是常数，且k≠0）的函数，叫做正比例函数。其中x是自变量，y是x的函数，k叫做比例系数。
2. 关键词解读：
（1）k是常数，且k≠0：若k=0，解析式变为y=0，此时是常函数，不是正比例函数；（2）解析式为整式，自变量x的次数为1；（3）当x=0时，y=0，即正比例函数图象必过原点(0,0)（初步渗透图象特征）。
3. 即时辨析：判断下列函数是否为正比例函数，若是，指出比例系数k：（1）y=3x；（2）y=-x；（3）y=2x ；（4）y=0。引导学生逐一分析，明确（1）是（k=3）、（2）是（k=-1）、（3）不是（自变量次数为2）、（4）不是（k=0）。
第3页：简单作图——感知正比例函数图象
1. 示范作图：以y=2x为例，用“两点法”快速作图：
（1）找关键点：因正比例函数过原点(0,0)，再选取一个简单x值（如x=1），计算得y=2，即另一点(1,2)；（2）描点：在坐标系中准确描出(0,0)和(1,2)；（3）连线：用平滑直线连接两点，得到y=2x的图象。
2. 学生实践：分组用两点法画出y=3x和y=-2x的图象（第一组画y=3x，第二组画y=-2x），教师巡视指导，强调两点法的便捷性。
3. 图象总结：引导学生观察图象，发现共性——均为经过原点的直线，得出结论：正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点(0,0)的直线，记为直线y=kx。
4. 简单性质感知：观察y=2x、y=3x（k>0）的图象，发现从左到右呈上升趋势；y=-2x（k<0）的图象从左到右呈下降趋势，为后续性质学习铺垫。
5. 方法小结：画正比例函数图象的简便方法——两点法，只需找原点(0,0)和另一个易计算的点即可快速作图。
第4页：巩固练习——深化概念与作图应用
1. 练习1：已知函数y=(m+2)x是正比例函数，求m的取值范围。
解题步骤：根据正比例函数定义，比例系数k≠0，即m+2≠0，解得m≠-2。强调易错点：忽略k≠0的条件。
2. 练习2：用两点法画出y=-x的图象，并说出图象经过的象限。
解题示范：（1）找两点：(0,0)和(1,-1)；（2）描点连线；（3）观察图象，经过第二、四象限。
3. 练习3：已知正比例函数y=kx的图象经过点(2,6)，求k的值。
解题步骤：（1）图象上的点满足函数解析式，将(2,6)代入y=kx得6=2k；（2）解得k=3。总结方法：已知图象过某点，将点的坐标代入解析式可求比例系数k。
4. 学生实践：独立完成练习，同桌互查，教师针对共性问题集中讲解。
5. 点评总结：强调解决正比例函数相关问题的核心是紧扣定义（k≠0）和图象特征（过原点），代入法是求比例系数的常用方法。
第5页：课堂小结——梳理知识，深化认知
1. 师生共同回顾核心内容：
（1）正比例函数的定义：形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数；（2）核心特征：k≠0、自变量次数为1、图象是经过原点的直线；（3）作图方法：两点法（原点+一个易求点）；（4）核心应用：根据定义求参数、根据图象过点求k值。
2. 重难点强调：正比例函数的定义是核心，k≠0是关键限制条件；图象过原点是重要特征，可用于快速判断函数是否为正比例函数；代入法是解决参数问题的核心方法。
3. 思想渗透：总结“从具体情境到抽象概念”的数学建模思想，以及“数形结合”思想的初步应用，说明正比例函数是描述线性正比例关系的重要数学模型，为后续深入学习函数图象和性质奠定基础。
4. 衔接预告：本节课我们认识了正比例函数的定义、特征和简单作图，下节课将进一步探究其图象的详细性质及应用。
5. 课堂反馈：快速提问2-3名学生，检查对“正比例函数定义”“k≠0条件”的掌握情况，及时巩固核心知识。
问题1 2011 年开始运营的京沪高速铁路全长 1 318 km. 设列车的平均速度为 300 km/h. 考虑以下问题：
知识点：正比例函数的概念
新知探究
（2）京沪高铁列车的行程 y（单位：km）与运行时间 t（单位：h）之间有何数量关系？
(2)京沪高铁列车的行程 y 是运行时间 t 的函数：
y=300t（0≤t≤4.4）
（1）乘京沪高铁列车，从始发站北京南站到终点站上海虹桥站，约需多少小时（结果保留小数点后一位）？
解：(1)京沪高铁列车全程运行时间约需1 318300
4.4（h）
（3）京沪高铁列车从北京南站出发 2.5 h 后，是否已经过了距始发站 1 100 km 的南京南站？
解：京沪高铁列车从北京南站出发 2.5 h 的行程，是当t=2.5 时函数 y=300t 的值，即 y=3002.5=750（km），
此时列车尚未到达距始发站 1 100 km 的南京南站.
思考 下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式.
（1）圆的周长 l 随半径 r 的变化而变化.
（2）铁的密度为 7.9 g/，铁块的质量 m（单位：g）随它的体积 V（单位：）的变化而变化.
l=2r
m=7.9V
（3）每个练习本的厚度为 0.5 cm，一些练习本摞在一起的总厚度 h（单位：cm）随练习本的本数 n 的变化而变化.
（4）冷冻一个 0℃ 的物体，使它每分下降 2℃ ，物体的温度 T（单位：℃）随冷冻时间 t（单位：min）的变化而变化.
h=0.5n
T=-2t
上述问题中，表示变量之间关系的函数解析式分别为：
（1）l=2r ； （2）m=7.9V ；
（3）h=0.5n ； （4）T=-2t.
以上四个函数解析式有什么共同特点？这样的函数解析式怎么定义？
以上四个函数解析式都是常数与自变量的积的形式，这样的函数叫做正比例函数.
概念 ： 一般地，形如 y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.
注意：
（1）正比例函数必须满足两个条件：
①比例系数k是常数，且k≠0；
②两个变量x, y的次数都是1.
（2）一般情况下，正比例函数自变量的取值范围是全体实数，但在实际问题中，还要使实际问题有意义.
1．下列关于正比例函数y＝3x的说法中，正确的是(　　)
A．当x＝3时，y＝1
B．它的图象是一条过原点的直线
C．y随x的增大而减小
D．它的图象经过第二、四象限
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【点拨】A.当x＝3时，y＝9，故本选项错误；B.因为y＝3x是正比例函数，所以它的图象是一条过原点的直线，故本选项正确；C.因为3>0，所以y随x的增大而增大，故本选项错误；D.因为y＝3x是正比例函数，3>0，所以此函数的图象经过第一、三象限，故本选项错误．
【答案】B
2．已知点P(m，0)在x轴负半轴上，P1(－3，y1)，P2(5，y2)是正比例函数y＝mx的图象上的两个点，则y1，y2的大小关系是(　　)
A．y1>y2 B．y1C．y1＝y2 D．不能确定
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【点拨】因为点P(m，0)在x轴负半轴上，所以m<0.所以y随x的增大而减小．又因为P1(－3，y1)，P2(5，y2)是正比例函数y＝mx的图象上的两个点，且－3<5，所以y1>y2.
【答案】A
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D
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4．如图，三个正比例函数的图象分别对应的解析式是①y＝ax；②y＝bx；③y＝cx．请用“>”连接a，b，c：____________．
b＞a＞c
5．如图，将2×2的正方形网格放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点．每个小正方形的边长都是1，正方形ABCD的顶点都在格点上．若直线y＝kx(k≠0)与正方形ABCD有公共点，则k的取值范围是____________．
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正比例函数
定义
注意
一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中 k 叫做比例系数.
①比例系数 k 是常数，且 k≠0；
②两个变量 x，y 的次数都是1.
谢谢观看！

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