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人教版（新教材）数学八年级下册
第二十三章 一次函数
23.2.1.2正比例函数的图象和性质
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
1.会画正比例函数的图象.
2.能根据正比例函数图象的规律探究正比例函数的性质.
23.2.1.1 正比例函数 教学过程幻灯片内容
第1页：情境导入——抽象正比例函数概念
1. 生活情境呈现：给出2个具有正比例关系的实例，引导学生分析变量关系并列式：
（1）苹果单价为5元/斤，购买重量x（斤）与总价y（元）的关系；（2）汽车匀速行驶，速度为70km/h，行驶时间t（h）与行驶路程s（km）的关系。学生列式后，教师板书：①y=5x；②s=70t。
2. 概念抽象：引导学生观察两个解析式的共同特征——均为y=kx（k为常数，k≠0）的形式，引出课题“正比例函数”，明确本节课核心任务：理解正比例函数的定义、掌握其基本特征。
第2页：概念讲解——明晰定义与核心特征
1. 定义呈现：一般地，形如y=kx（k是常数，且k≠0）的函数，叫做正比例函数。其中x是自变量，y是x的函数，k叫做比例系数。
2. 关键词解读：
（1）k是常数，且k≠0：若k=0，解析式变为y=0，此时是常函数，不是正比例函数；（2）解析式为整式，自变量x的次数为1；（3）当x=0时，y=0，即正比例函数图象必过原点(0,0)（初步渗透图象特征）。
3. 即时辨析：判断下列函数是否为正比例函数，若是，指出比例系数k：（1）y=3x；（2）y=-x；（3）y=2x ；（4）y=0。引导学生逐一分析，明确（1）是（k=3）、（2）是（k=-1）、（3）不是（自变量次数为2）、（4）不是（k=0）。
第3页：简单作图——感知正比例函数图象
1. 示范作图：以y=2x为例，用“两点法”快速作图：
（1）找关键点：因正比例函数过原点(0,0)，再选取一个简单x值（如x=1），计算得y=2，即另一点(1,2)；（2）描点：在坐标系中准确描出(0,0)和(1,2)；（3）连线：用平滑直线连接两点，得到y=2x的图象。
2. 学生实践：分组用两点法画出y=3x和y=-2x的图象（第一组画y=3x，第二组画y=-2x），教师巡视指导，强调两点法的便捷性。
3. 图象总结：引导学生观察图象，发现共性——均为经过原点的直线，得出结论：正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点(0,0)的直线，记为直线y=kx。
4. 简单性质感知：观察y=2x、y=3x（k>0）的图象，发现从左到右呈上升趋势；y=-2x（k<0）的图象从左到右呈下降趋势，为后续性质学习铺垫。
5. 方法小结：画正比例函数图象的简便方法——两点法，只需找原点(0,0)和另一个易计算的点即可快速作图。
第4页：巩固练习——深化概念与作图应用
1. 练习1：已知函数y=(m+2)x是正比例函数，求m的取值范围。
解题步骤：根据正比例函数定义，比例系数k≠0，即m+2≠0，解得m≠-2。强调易错点：忽略k≠0的条件。
2. 练习2：用两点法画出y=-x的图象，并说出图象经过的象限。
解题示范：（1）找两点：(0,0)和(1,-1)；（2）描点连线；（3）观察图象，经过第二、四象限。
3. 练习3：已知正比例函数y=kx的图象经过点(2,6)，求k的值。
解题步骤：（1）图象上的点满足函数解析式，将(2,6)代入y=kx得6=2k；（2）解得k=3。总结方法：已知图象过某点，将点的坐标代入解析式可求比例系数k。
4. 学生实践：独立完成练习，同桌互查，教师针对共性问题集中讲解。
5. 点评总结：强调解决正比例函数相关问题的核心是紧扣定义（k≠0）和图象特征（过原点），代入法是求比例系数的常用方法。
第5页：课堂小结——梳理知识，深化认知
1. 师生共同回顾核心内容：
（1）正比例函数的定义：形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数；（2）核心特征：k≠0、自变量次数为1、图象是经过原点的直线；（3）作图方法：两点法（原点+一个易求点）；（4）核心应用：根据定义求参数、根据图象过点求k值。
2. 重难点强调：正比例函数的定义是核心，k≠0是关键限制条件；图象过原点是重要特征，可用于快速判断函数是否为正比例函数；代入法是解决参数问题的核心方法。
3. 思想渗透：总结“从具体情境到抽象概念”的数学建模思想，以及“数形结合”思想的初步应用，说明正比例函数是描述线性正比例关系的重要数学模型，为后续深入学习函数图象和性质奠定基础。
4. 衔接预告：本节课我们认识了正比例函数的定义、特征和简单作图，下节课将进一步探究其图象的详细性质及应用。
5. 课堂反馈：快速提问2-3名学生，检查对“正比例函数定义”“k≠0条件”的掌握情况，及时巩固核心知识。
正比例函数：一般地，形如 y=kx（k 是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中 k 叫做比例系数.
注意：正比例函数必须满足两个条件：
①比例系数k是常数，且k≠0.
②两个变量x，y的次数都是1.
知识回顾
例1 画出下列正比例函数的图象.
(1)y=2x ; (2)y=x;
知识点：正比例函数的图象和性质
新知探究
(3)y= 1.5x; (4)y=-4x .
y=2x
如图，在直角坐标系中描出表中 x 和 y 的值对应坐标的点. 将这些点连接起来，得到一条经过原点和第三、第一象限的直线. 它就是函数y=2x的图象.
O
1
2
3
4
4
-4
-3
-2
-1
x
y
解：(1)y=2x 中自变量 x 的取值范围是全体实数，选取 y 与x 的几组对应值.
x … -2 -1 0 1 2 …
y … -4 -2 0 2 4 …
-4
(2)y= x 中自变量 x 的取值范围是全体实数，选取 y 与 x 的几组对应值.
x … -2 -1 0 1 2 …
y … 0 …
y=x
O
1
2
1
2
-2
-1
x
y
如图,在直角坐标系中描出表中x 和 y 的值对应坐标的点,将这些点连接起来，得到一条经过原点和第三、第一象限的直线.它就是函数 y=x 的函数图象.
-1
y=-1.5x
O
1
2
3
4
-3
3
-4
-3
-2
-1
x
y
(3)y= 1.5x 中自变量 x 的取值范围是全体实数，选取 y 与 x 的几组对应值.
x … -2 -1 0 1 2 …
y … 3 1.5 0 -1.5 -3 …
如图，在直角坐标系中描出表中 x 和 y 的值对应坐标的点，将这些点连接起来，得到一条经过原点和第二、第四象限的直线，它就是函数 y=-1.5x 的函数图象.
(4)y= 4x 中自变量 x 的取值范围是全体实数，选取y 与 x 的几组对应值.
x … -1 -0.5 0 0.5 1 …
y … 4 2 0 -2 -4 …
y=-4x
O
1
2
2
4
-2
-1
x
y
-4
-2
如图，在直角坐标系中描出表中x 和 y
的值对应坐标的点，将这些点连接起
来，得到一条经过原点和第二、第四象
限的直线，它就是函数 y=-4x 的函数图象.
以上 4 个函数的图象都是经过原点的直线.
其中函数y=2x 和 y=x 的图象经过第三、第一象限，从左向右上升；
函数 y= 1.5x 和 y= 4x 的图象经过第二、
第四象限，从左向右下降.
1.正比例函数的图象:一般地，正比例函数 y=kx（k 是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线 y=kx.
通过上述结论，你能归纳出正比例函数图象的定义和性质吗？
2.正比例函数图象的性质
当k>0时，直线 y=kx 经过第三、第一象限，从左向右上升，即随着 x 的增大 y 也增大；
当k<0时，直线 y=kx 经过第二、第四象限，从左向右下降，即随着 x 的增大 y 反而减小.
注意：正比例函数图象的位置和函数的增减性只与 k 的正负有关.
思考 画正比例函数的图象时，怎样画最简单？为什么？
3.正比例函数图象的画法：因为两点确定一条直线，所以可用两点法画正比例函数y=kx（k≠0）的图象.一般地，过原点和点（1，k）（k是常数，k≠0）的直线，即正比例函数y=kx（k≠0）的图象.
1. 正比例函数 y = (k2)x 的图象如图所示，则 k 的取值范围是（ ）.
A. k>0 B. k<0 C. k>2 D. k<2
D
x
y
O
跟踪训练
新知探究
k2<0
经过第二、第四象限
2.直线 y=(+3)x 的图象经过哪些象限？y 随 x 的增大怎样变化？
解：因为函数 y=(+3)x 中，+3>0 在任意实数范围内都成立，所以函数图象经过第三、第一象限，且 y 随着 x 的增大而增大.
6．如图，正比例函数y＝kx的图象经过点A，
(1)请你求出该正比例函数的解析式；
【解】由题图可知点A的坐标为(－1，2)，将其代入y＝kx，得k＝－2，则该正比例函数的解析式为y＝－2x.
(2)若这个函数的图象还经过点B(m，m＋3)，请你求出m 的值；
【解】将点B(m，m＋3)的坐标代入y＝－2x，
得－2m＝m＋3，解得m＝－1.
返回
返回
C
返回
8．如图表示光从空气进入水中入水前与入水后的光路图，若建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的解析式分别为y1＝k1x，y2＝k2x，则关于k1与k2的关系，正确的是(　　)
A．k1＞0，k2＜0
B．k1＜0，k2＞0
C．|k1|＜|k2|
D．|k1|＞|k2|
C
返回
9．正比例函数y＝kx(k＜0)，当1≤x≤5时，函数y的最大值和最小值之差为4，则k＝________．
－1
【点拨】因为正比例函数y＝kx(k<0)，所以y随x的增大而减小．当x＝1时，y＝k，当x＝5时，y＝5k.所以易知 k－5k＝4，解得k＝－1.
10．规定：[k，b]是一次函数y＝kx＋b(k，b为实数，且k≠0)的“特征数”．若“特征数”为[m＋1，m2－4]的一次函数是正比例函数，且y随x的增大而减小，则点(3＋2m， 1－m)所在的象限是第________象限．
二
返回
【点拨】∵“特征数”为[m＋1，m2－4]的一次函数是正比例函数，∴m2－4＝0，解得m＝2或m＝－2.∵y随x的增大而减小，∴m＋1＜0，∴m＜－1.∴m＝－2.∴3＋2m＝3＋2×(－2)＝－1，1－m＝1－(－2)＝3，∴点(3＋2m，1－m)即点(－1，3)在第二象限．
11．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，2)，点B是正比例函数y＝x图象上一动点，点C是y轴上一动点，则△ABC周长的最小值为________．
【点拨】作点A关于直线y＝x的对称点P，关于y轴的对称点Q，连接PQ交直线y＝x于点B，交y轴于点C，如图．
返回
正比例函数
图象
性质
一般地，正比例函数 y=kx（k 是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线 y=kx.
与比例系数k的正负有关
画法
一般地，过原点和点（1，k）（k是常数，k≠0）的直线，即正比例函数y=kx（k≠0）的图象.
谢谢观看！

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