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人教版（新教材）数学八年级下册
第二十一章 四边形
章末复习
1
复习引入
2
新知讲解
3
典例讲解
5
课堂检测
4
新知讲解
6
变式训练
7
中考考法
8
小结梳理
学习目录
知识结构图
平行四边形
四边形
两组对边
分别平行
只有一组
对边平行
梯形
一个角
是直角
一组
邻边相等
距形
菱形
一组
邻边相等
一个角
是直角
正方形
21.3.3.2 正方形的判定 教学课件教学过程分页内容
第1页：复习导入（3分钟）
1. 回顾旧知：提问学生“我们已经学习了哪些特殊的平行四边形？它们的定义和判定方法分别是什么？”
2. 梳理关系：引导学生梳理矩形、菱形与平行四边形的从属关系，明确“矩形是有一个角为直角的平行四边形，菱形是有一组邻边相等的平行四边形”。
3. 引出课题：展示正方形实物图（如魔方、地砖），提问“正方形既是特殊的矩形，也是特殊的菱形，那么如何判定一个图形是正方形呢？今天我们就来探究正方形的判定方法。”
第2页：探究一：从矩形出发判定正方形（8分钟）
1. 提出问题：“矩形具备什么条件时会成为正方形？” 引导学生思考：矩形的四个角都是直角，若要成为正方形，还需满足边的条件。
2. 合作探究：让学生分组讨论，结合矩形和正方形的性质对比，得出猜想“有一组邻边相等的矩形是正方形”。
3. 逻辑证明：引导学生结合矩形的定义和正方形的定义进行证明。已知：四边形ABCD是矩形，AB=AD。求证：四边形ABCD是正方形。证明：∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠A=90°，AB=CD，AD=BC。又∵ AB=AD，∴ AB=BC=CD=AD，且∠A=90°，∴ 四边形ABCD是正方形。
4. 得出结论：板书判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形。
第3页：探究二：从菱形出发判定正方形（8分钟）
1. 类比提问：“菱形具备什么条件时会成为正方形？” 引导学生类比探究一的思路，从角的角度思考：菱形的四条边相等，若要成为正方形，还需满足角的条件。
2. 自主探究：让学生独立思考并写出猜想“有一个角是直角的菱形是正方形”。
3. 验证证明：请一名学生上台板演证明过程，其余学生在练习本上完成。已知：四边形ABCD是菱形，∠A=90°。求证：四边形ABCD是正方形。证明：∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AB=BC=CD=AD，AB∥CD，AD∥BC。又∵ ∠A=90°，∴ ∠B=∠C=∠D=90°，∴ 四边形ABCD是正方形。
4. 得出结论：板书判定定理2：有一个角是直角的菱形是正方形。
第4页：探究三：从平行四边形出发判定正方形（10分钟）
1. 深层提问：“如果从平行四边形出发，需要满足什么条件才能判定为正方形？” 引导学生结合前两个判定定理，思考平行四边形成为正方形的双重条件。
2. 小组讨论：组织学生分组讨论，明确“平行四边形要成为正方形，既要满足矩形的条件，又要满足菱形的条件”，进而得出猜想“有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形”。
3. 推理验证：引导学生结合平行四边形、矩形、菱形的定义进行推理。∵ 平行四边形中，有一组邻边相等则为菱形，有一个角是直角则为矩形，∴ 既是菱形又是矩形的平行四边形是正方形。
4. 拓展思考：提问“还有其他判定正方形的方法吗？” 引导学生得出“对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形”，并简要说明证明思路（对角线相等的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故为正方形）。
5. 汇总判定方法：梳理并板书正方形的三种核心判定方法，强调“正方形是特殊的矩形和菱形，判定时需抓住‘边相等’和‘角为直角’的双重特征”。
第5页：例题讲解（12分钟）
1. 例题呈现：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F。求证：四边形CEDF是正方形。
2. 分析思路：引导学生思考：① 先判断四边形CEDF的形状（平行四边形）；② 再证明它是矩形（有三个角是直角）；③ 最后证明它有一组邻边相等（角平分线的性质）。
3. 规范证明：板书证明过程：∵ DE⊥AC，DF⊥BC，∠ACB=90°，∴ ∠DEC=∠DFC=∠ACB=90°，∴ 四边形CEDF是矩形。又∵ CD是∠ACB的平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，∴ DE=DF，∴ 矩形CEDF是正方形。
4. 变式提问：“如果将题目中的Rt△ABC改为一般三角形，还能判定四边形CEDF是正方形吗？为什么？” 强化学生对判定条件的理解。
第6页：数学活动——黄金矩形和剪拼正方形（15分钟）
1. 活动引入（3分钟）：展示黄金矩形相关实物图（如巴特农神庙、书籍封面），提问“这些图形为何看起来如此和谐美观？它们蕴含着特殊的比例关系——黄金比例。今天我们就通过剪拼活动，探索黄金矩形与正方形的关联。” 明确活动目标：① 认识黄金矩形的特征；② 掌握将黄金矩形剪拼为正方形的方法；③ 深化对正方形判定的理解。
2. 新知铺垫（2分钟）：讲解黄金矩形定义：宽与长的比值为(√5 - 1)/2（约0.618）的矩形叫做黄金矩形。出示一个标准黄金矩形纸片（标注长为a，宽为b，b/a=(√5 - 1)/2），引导学生观察其特征。
3. 剪拼探究（7分钟）：① 分组操作：每组发放一张黄金矩形纸片、剪刀、直尺、铅笔，要求学生尝试通过剪拼，将黄金矩形转化为一个正方形。② 引导思考：“剪拼的核心是保证面积不变，如何利用黄金矩形的边长关系剪出合适的部分？” 提示学生先以黄金矩形的宽为边长，在矩形内部剪出一个正方形（标注正方形ABCD，剩余部分为矩形AEFD）。③ 验证发现：让学生测量剩余矩形AEFD的长和宽，计算比值，发现其仍是黄金矩形，体会“黄金矩形剪去一个正方形后仍为黄金矩形”的特性。④ 成果展示：邀请2-3组上台展示剪拼过程，说明剪拼依据。
4. 逻辑关联（3分钟）：提问“我们剪拼出的图形为何是正方形？如何用今天所学的正方形判定定理验证？” 引导学生回答：剪去的部分以黄金矩形的宽为边长，故四条边相等，且矩形的角为直角，因此剪出的图形是“有一组邻边相等的矩形”，符合正方形判定定理1，故为正方形。强化“剪拼操作”与“理论判定”的联系，深化对判定定理的应用。
1. 知识梳理：引导学生回顾两部分核心内容：① 正方形的三种核心判定方法：从矩形出发（有一组邻边相等）、从菱形出发（有一个角是直角）、从平行四边形出发（双重条件）；② 黄金矩形特征及剪拼正方形的方法，明确剪拼与正方形判定的关联。
2. 思想总结：强调“类比探究”（类比矩形、菱形的判定思路）和“转化思想”（将正方形的判定转化为矩形或菱形的判定）的应用。
3. 易错提醒：总结常见错误，如“只满足一个条件就判定为正方形”，提醒学生判定时需同时满足矩形和菱形的相关条件。
知识回顾
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系
平行四边形
矩形
菱形
正
方
形
几种特殊四边形的性质
边 角 对角线 对称性
平行四边形
矩形
菱形
正方形
对边平行且相等
对角相等
互相平分
对边平行且相等
四个角
都是直角
互相平分且相等
轴对称图形
对边平行
且四边相等
对角相等
轴对称图形
互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角
对边平行
且四边相等
四个角
都是直角
互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角
轴对称图形
几种特殊四边形的常用判定方法
条件
平行四边形
矩形
菱形
正方形
1. 定义：两组对边分别平行； 2. 两组对边分别相等； 3. 两组对角分别相等；4. 对角线互相平分；5. 一组对边平行且相等.
1.定义：有一个角是直角的平行四边形；2. 对角线相等的平行四边形；3. 有三个角是直角的四边形.
1. 定义：一组邻边相等的平行四边形 ；2. 对角线互相垂直的平行四边形；3. 四条边都相等的四边形.
1. 定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形；
2. 有一组邻边相等的矩形；3. 有一个角是直角的菱形；
4. 对角线垂直平分且相等
任意
四边形
平行
四边形
正方形
矩形
菱形
5种判定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角且一组邻边相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
其他重要概念及性质
1. 两条平行线之间的距离：
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫作两条平行线之间的距离.
a
b
A
B
C
D
E
F
两条平行线之间的距离处处相等.
2. 三角形的中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
A
B
C
D
E
DE∥BC，且 DE = BC .
3. 直角三角形斜边上的中线：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
A
B
C
O
BO = BD = AC .
D
复习巩固
1. 选择题.
（1）若四边形的四个内角的度数比为 1 ∶ 2 ∶ 3 ∶ 4，则其中最大的内角是（ ）.
（A）120° （B）135° （C）144° （D）150°
解析：由题意设四边形的四个内角的度数分别为 x°，2x°，3x°，4x°. 由四边形的内角和为 360°，得 x + 2x + 3x + 4x = 360.
∴x = 36.
∴其中最大的内角是 4×36°= 144°. 故选 C.
C
【选自教材第86-88页 复习题21】
（2）若平行四边形中两个内角的度数比为 1 ∶ 2，则其中较小的内角是（ ）.
（A）45° （B）60° （C）90° （D）120°
解析：由题意可知这两个内角为相邻的两个角.设这两个内角的度数
分别为 x°，2x°. 由平行四边形的邻角互补，得 x + 2x = 180，
∴x = 60，∴其中较小的内角是 60°.故选 B.
B
（3）若菱形的周长为 8，高为 1，则菱形两个相邻的内角的度数比为（ ）.
（A）3 ∶ 1 （B）4 ∶ 1 （C）5 ∶ 1 （D）6 ∶ 1
解析：由题意知高 AE = 1，∠AEB = 90°.
∵四边形 ABCD 是菱形，∴AB = 8÷ 4= 2.
由AE = 1，AB = 2，易知∠B = 30°，
∴可知∠BAD = 150°.
∴菱形两个相邻的内角的度数比为 150°∶ 30°= 5 ∶ 1.
故选 C.
C
（4）如图，在正方形 ABCD 的外侧，作等边三角形 ADE，则∠AEB 为（ ）.
（A）10°
（B）15°
（C）20°
（D）30°
解析：由题意得∠BAE = ∠BAD + ∠DAE = 90°+ 60°= 150°，
AB = AD = AE，∴∠AEB = ∠ABE = (180°－∠BAE) = 15°.
故选 B.
B
2. 一个多边形的每个内角都相等，且每个内角与它相邻外角
的度数比为 3 ∶ 1. 这个多边形的内角和是多少？
解：∵多边形的每个内角都相等，
∴每个外角也相等.
又每个内角与它相邻外角的度数和为 180°，且度数比为 3 ∶ 1，
∴每个外角的度数为 180°× = 45°.
∵360°÷45°= 8，
∴这个多边形是八边形.
∴这个多边形的内角和是 (8－2)×180°= 1080°.
3. 如图，将 ABCD 的对角线 BD 向两个方向延长，分别至点 E，F，且使 BE = DF. 求证：四边形 AECF 是平行四边形.
证明：如图，连接 AC，交 BD 于点 O.
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AO = CO，BO = DO.
又 BE = DF，
∴BO + BE = DO + DF，即 EO = FO.
∴四边形 AECF 是平行四边形.
4. 矩形对角线组成的对顶角中，有一组是两个 50°的角.
对角线与各边组成的角是多少度？
解：如图，∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AO = BO = CO = DO.
又∠AOB = 50°，∴∠BOC = 130°，
∴∠OAB = ∠OBA = （180°－∠AOB）= 65°，
∠OBC = ∠OCB = （180°－∠BOC）= 25°.
∴矩形的对角线与各边组成的角分别为 65°和25°.
5. 如图，你能用一根绳子检查一个书架的侧边是否和上、下底边都垂直吗？为什么？
解：能.方法是先检查两组对边 AB 和 CD，AD 和 BC 是否分别相等，
再检查对角线 AC 与 BD 是否相等.若相等，则侧边与上、下底边都
垂直；若不相等，则侧边与上、下底边不垂直.
理由：如图，∵AB = CD，AD = BC，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
又 AC = BD，∴ ABCD 为矩形，
∴∠BAD = ∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = 90°，
即此时边 AB，CD 与上、下底边 AD，BC 都垂直.
6. 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，且 DE∥AC，CE∥BD. 求证：四边形 OCED 是菱形.
证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形 OCED 是平行四边形.
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴DO = CO.
∴ OCED 是菱形.
7. 如图，正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，
且 E，F，G，H 分别是 AO，BO，CO，DO 的中点.
求证：四边形 EFGH 是正方形.
证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AC ⊥ BD，AO = BO = CO = DO.
∵E，F，G，H 分别是 AO，BO，CO，DO 的中点，
∴EO = AO，FO = BO，GO = CO，HO = DO，
∴EO = FO = GO = HO.
∴四边形 EFGH 是平行四边形，EG = FH. ∴ EFGH 是矩形.
又EG ⊥ FH，∴矩形 EFGH 是正方形.
综合运用
8. 如图，六边形 ABCDEF 的内角都相等，∠DAB = 60°. AB 与DE
有怎样的位置关系？BC 与 EF 有这种关系吗？证明你的结论.
解：AB∥DE，BC∥EF.
证明：∵六边形 ABCDEF 的内角都相等，
∴六边形 ABCDEF 的每一个内角均为 180°×(6－2)÷6 = 120°.
∵∠ABC = 120°，∠DAB = 60°，
∴∠ABC + ∠DAB = 180°，∴AD∥BC .
∴∠C +∠ADC = 180°，∴∠ADC = 180°－∠C = 60°.
∴∠ADE = ∠CDE－∠ADC = 60°.
∴∠DAB =∠ADE，∠E + ∠ADE = 180°. ∴AB∥DE，AD∥EF .
又 BC∥AD，∴BC∥EF .
9. 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，BE∥DF，且分别
交对角线 AC 于点 E，F，连接 ED，BF . 求证∠1 = ∠2.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB = CD，AB∥CD.
∴∠BAE = ∠DCF.
∵BE∥DF，∴∠BEF = ∠DFE.
由图知，∠AEB + ∠BEF = 180°，
∠CFD + ∠DFE = 180°，
∴∠AEB = ∠CFD.
∴△ABE≌△CDF（AAS）. ∴BE = DF.
又BE∥DF，∴四边形 EBFD 是平行四边形.
∴DE∥BF . ∴∠1 = ∠2.
10. 顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫作四边形的中点
四边形，在第64页“例6”中已经证明了四边形的中点四边形是平行
四边形.
（1）平行四边形的中点四边形是什么形状？为什么？
（2）矩形、菱形和正方形的中点四边形分别是什么形状？为什么？
解：如图. 四边形 ABCD 的对角线交于点 O，E，F，
G，H 分别为 AB，BC，CD，DA 的中点.
（1）任意平行四边形的中点四边形为平行四边形，理由如下：
∵E，F，G，H 分别是 AB，BC，CD，DA 的中点，
∴EF，GH 分别是 △ABC，△DAC 的中位线.
∴EF = AC，EF∥AC，GH = AC，GH∥AC .
∴EF GH . ∴四边形 EFGH 是平行四边形.
（2）任意矩形、菱形、正方形的中点四边形分别为菱形、矩形、正方形. 理由如下：
①若四边形 ABCD 为矩形，则 AC = BD .
由题意可得 EH = BD，EF = AC，
∴EH = EF . ∴ EFGH 为菱形.
②若四边形 ABCD为菱形，则 AC ⊥ BD.
又 EH∥BD，EF∥AC，
∴EF ⊥ EH. ∴∠FEH = 90°. ∴ EFGH 为矩形.
③若四边形 ABCD 为正方形，则 AC⊥ BD 且 AC = BD，
易知 EH ⊥ EF 且 EH = EF，∴ EFGH 为正方形.
11. 如果一个四边形是轴对称图形，并且有两条互相垂直的
对称轴，它一定是菱形吗？一定是正方形吗？
解：如果一个四边形是轴对称图形，并且有两条互相垂直的对称轴，它不一定是菱形，也不一定是正方形（这个四边形可能是矩形）.
12. 两个全等的三角形纸片，用它们能够拼成什么四边形？要想拼成一个矩形，需要两个什么样的全等三角形？要想拼成菱形或正方形呢？动手剪拼一下，并说明理由.
解：用它们能够拼成平行四边形（如图①）；
要想拼成一个矩形，需要两个全等的直角三角形（如图②）；
要想拼成菱形，需要两个全等的等腰三角形（如图③）；
要想拼成正方形，需要两个全等的等腰直角三角形（如图④）
13. 如果你身旁没有量角器和三角尺，又需要作 30°的角，可以采用下面的方法（如图所示）：
（1）对折矩形纸片 ABCD，使 AD 与 BC 重合，得到折痕 EF，把纸片展平.
（2）再一次折叠纸片，使点 A 落在 EF 上，并使折痕经过点 B，
得到折痕 BM. 同时得到线段 BN，把纸片展平.
由此得到∠ABM，∠MBN 和∠NBC 都是 30°，请你写出证明过程.
证明：如图，连接 AN.
由对折可得 ∠ABM = ∠MBN，EF 垂直平分 AB，AB = BN，
∴AN = BN. ∴AB = BN = AN.
∴△ABN 是等边三角形. ∴∠ABN = 60°.
∴∠ABM = ∠MBN = ∠ABN = 30°，
∠NBC = ∠ABC－∠ABN = 90°－60°= 30°.
14. 如图，过 ABCD 的对角线 AC 的中点 O 作两条互相垂直的直线，
分别交 AB，BC，CD，DA 于 E，F，G，H 四点，连接 EF，FG，
GH，HE. 判断四边形 EFGH 的形状，并说明理由.
解：四边形 EFGH 为菱形. 理由如下：
∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴AO = CO，DC∥AB.
∴∠GCO =∠EAO.
又∠COG = ∠AOE，
∴△GCO≌△EAO（ASA）. ∴GO = EO.
同理得 HO = FO，∴四边形 EFGH 为平行四边形.
又 GE ⊥ HF，∴ EFGH 为菱形.
拓广探索
15. 如图，四边形 ABCD 是正方形，E 是边 BC 的中点，∠AEF = 90°，
且 EF 交正方形外角的平分线 CF 于点 F. 求证 AE = EF.（提示：
取 AB 的中点 G，连接 EG.）
证明：如图，取 AB 的中点 G，连接 EG.
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠B = ∠BCD = 90°，AB = BC.
∴∠DCH = 180°－∠BCD = 90°.
∵G，E 分别为 AB，BC 的中点，
∴AG = BG = BE = CE.
∴∠BGE = 45°，∴∠AGE = 180°－∠BGE = 135°.
H
G
∵CF 平分∠DCH，∴∠DCF = ∠DCH = 45°.
∴∠ECF = ∠BCD + ∠DCF = 135°，∴∠ECF = ∠AGE.
∵∠ABC = ∠AEF = 90°，
∴∠BAE + ∠BEA = 90°，∠BEA + ∠FEC = 90°，
∴∠BAE = ∠CEF.
在△AGE和△ECF中，
∠GAE =∠CEF，
AG = EC，
∠AGE = ∠ECF，
∴△AGE≌△ECF（ASA）. ∴AE = EF .
H
G
16. 如图，正方形 ABCD 的对角线相交于点 O，O 又是正方形
A1B1C1O 的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等. 无论
正方形A1B1C1O 绕点 O 怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，
总等于一个正方形面积的 . 想一想这是为什么，并说明理由.
解：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴OA = OB，∠OAE = ∠OBF = 45°，
AC ⊥ BD. ∴∠AOE + ∠EOB = 90°.
∵四边形 A1B1C1O 是正方形，
∴∠EOF = 90°.
∴∠EOB + ∠BOF = 90°. ∴∠AOE = ∠BOF.
在△AOE 和△BOF 中，
∠OAE = ∠OBF，
OA = OB，
∠AOE = ∠BOF，
∴△AOE≌△BOF（ASA）. ∴S△AOE = S△BOF .
∴S四边形OEBF = S△BOE + S△BOF = S△BOE + S△AOE = S△AOB = S正方形ABCD .
1．如图，在五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3是外角，则∠1＋∠2＋∠3＝(　　)
A．100°
B．180°
C．210°
D．270°
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【点拨】如图，延长AB，DC.∵AB∥CD，
∴∠4＋∠5＝180°.
∵多边形的外角和为360°.
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝360°，
∴∠1＋∠2＋∠3＝360°－(∠4＋∠5)＝360°－180°＝180°.
【答案】B
2．按要求完成下列各小题．
(1)一个多边形的内角和比它的外角和多900°，求这个多边形的边数；
【解】设这个多边形的边数为n，根据题意，得(n－2)× 180°＝360°＋900°，∴n＝9.∴这个多边形的边数是9.
(2)如图，若正五边形ABCDE和长方形AFCG按如图方式叠放在一起，求∠EAF的度数．
返回
【解】∵正五边形的内角和为(5－2)×180°＝540°，
∴其每个内角为540°÷5＝108°. ∴∠ABC＝∠EAB＝108°.
∴∠ABF＝180°－∠ABC＝180°－108°＝72°.
∵长方形每个内角为90°，∴∠F＝90°.
∴∠BAF＝180°－∠F－∠ABF＝180°－90°－72°＝18°.
∴∠EAF＝∠EAB＋∠BAF＝108°＋18°＝126°.
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3．如图，在下列给出的条件中，可以判定四边形ABCD为平行四边形的条件是(　　)
A．AD＝BC，∠B＝∠D
B．AD∥BC，AB＝CD
C．AB＝CD，AD＝BC
D．AB∥CD，∠A＝∠B
C
4．如图，在 ABCD中，AD＝5，BE＝8，△DCE的面积为6，则△ABE的面积为________．
16
返回
5．如图，在 ACFD中，点B，E分别在AC，DF上，AB＝FE，AF交CE于点N．
(1)求证：四边形BCED是平行四边形；
【证明】∵四边形ACFD是平行四边形，
∴AC∥DF，AC＝DF.
∵AB＝FE，∴BC＝DE.∴四边形BCED是平行四边形．
返回
(2)已知DE＝6，连接BN，若BN平分∠DBC，则CN的长为________．
6
【点拨】由(1)可知，BC＝DE，四边形BCED是平行四边形，∴BD∥CE.∴∠DBN＝∠CNB.∵BN平分∠DBC，∴∠DBN＝∠CBN.∴∠CBN＝∠CNB.
∴CN＝CB＝DE＝6.
返回
6．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E，F，G分别是BC，AC，AD的中点，若∠EFG＝130°，则∠EGF的度数为(　　)
A．20°
B．25°
C．30°
D．35°
B
7．在周长为600米的三角形地块中修建如图所示的三条水渠，则水渠的总长为________米．
300
返回
8．[2025杭州一模]如图，△ABC是边长为6的等边三角形，点D为AB延长线上一点，AB∶AD＝3∶5，过D作CB所在直线的垂线，垂足为E，连接CD，F为DC的中点，则线段EF的长是________．
返回
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9．如图是一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α＝________时，该活动框架是矩形．
90°
10．[2025河北]如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A落在点A′处，A′D交BC于点E．将△CDE沿DE折叠，点C落在△BDE内的点C′处，下列结论一定正确的是(　　)
A．∠1＝45°－α
B．∠1＝α
C．∠2＝90°－α
D．∠2＝2α
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【答案】D
11．如图，在矩形ABCD中，AD＝18，AB＝24．　
(1)求点B到AC的距离；
(2)点E为边DC上的一个动点，△AD′E与△ADE关于直线AE对称，当△CD′E为直角三角形时，直接写出DE的长．
【解】DE的长为18或9.
②当∠ED′C＝90°时，如图②，
根据轴对称的性质得∠AD′E＝∠D＝90°，
AD′＝AD＝18，DE＝D′E，∴∠AD′E＋
∠CD′E＝180°.∴A，D′，C在同一直线上．由(1)得AC＝30，∴CD′＝30－18＝12.设DE＝D′E＝x，则EC＝CD－DE＝24－x，在Rt△D′EC中，D′E2＋D′C2＝EC2，即x2＋122＝(24－x)2，解得x＝9，即DE＝9.综上所述，DE的长为18或9.
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【答案】C
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