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甘肃省兰州外国语高级中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷
1．（2025高一上·兰州期中）已知集合，，则实数的取值集合为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】集合关系中的参数取值问题；子集与交集、并集运算的转换
【解析】【解答】解：由，得：，
①若 时， ，此时，，满足 ，符合题意；
②若 时， 集合，不满足集合元素互异性，故舍去；
③若 时，则有 ，解得 或 ，
当 时，，，满足 ，符合题意；
当 时，集合，不满足集合元素互异性，故舍去，
综上所述，实数 的取值集合为 .
故答案为：B.
【分析】依题意，由得，对进行分类讨论，再根据不同的值验证是否满足集合元素互异性，从而得出实数的取值集合.
2．（2025高一上·兰州期中）已知，且，则的最小值为（　　）
A． B．4 C．3 D．2
【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为，
所以，
当且仅当时，即当时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：B.
【分析】利用1的代换结合基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
3．（2025高一上·兰州期中）已知条件，条件，则是的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：因为是的真子集，
所以：”是：的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】先判断集合间的包含关系，再利用充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
4．（2025高一上·兰州期中）若函数在区间上是增函数，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：因为函数在区间上是增函数，
所以，解得.
故答案为：D.
【分析】根据函数的单调性得到，解不等式得出实数a的取值范围.
5．（2025高一上·兰州期中）函数的定义域为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：由函数有意义，
得，解得或，
则所求定义域为.
故答案为：B.
【分析】利用给定函数有意义，从而列出不等式组，解不等式组求出函数的定义域.
6．（2025高一上·兰州期中）设、是非空集合，定义且，若，，则等于
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】交、并、补集的混合运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：解不等式，即，解得，则集合，
即，，
由集合的定义可得：.
故答案为：A.
【分析】根据已知求得集合和，最后利用题中的定义求集合即可.
7．（2025高一上·兰州期中）函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
满足，则为奇函数，排除B；
由，排除D；
由，排除C.
故答案为：A．
【分析】求函数的定义域，根据函数的奇偶性判断函数的奇偶性，再根据的正负判断即可.
8．（2025高一上·兰州期中）已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于的不等式的解集是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：定义在上的偶函数，
，，
当时，单调递减，
当时，单调递减，
定义在上的偶函数，则，
，，，
当时，单调递减，，
，则，解得或，
的定义域为，，
，，
或和要同时成立，，
关于的不等式的解集为.
故答案为：C.
【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称求出的值，再利用是偶函数可得，将不等式转化为，再利用当时，单调递减，将转化为，从而解出此不等式，再利用的定义域为，从而得到，解此不等式组得出关于的不等式的解集.
9．（2025高一上·兰州期中）下列函数中，既是偶函数又在上是递减的函数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A、易知函数是偶函数，且在上单调递减，故A正确；
B、易知函数是奇函数，故B错误；
C、函数是偶函数，且在上单调递减，故C正确；
D、函数是非奇非偶函数，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据函数的奇偶性和单调性逐项判断即可.
10．（2025高一上·兰州期中）下列各项中，与表示同一函数的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B,C,D
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】解：A、函数的定义域为的定义域为，定义域不同，不死同一函数，故A错误；
B、函数的定义域为，
由，得，函数的定义域为，
定义域相同、对应法则相同，是同一函数，故B正确；
C、函数的定义域均为，且对应关系相同， 是同一函数， 故C正确；
D、定义域均为，且对应关系相同， 是同一函数，故D正确.
故答案为：BCD．
【分析】根据同一函数的定义逐项判断即可.
11．（2025高一上·兰州期中）已知关于的不等式的解集为或 ，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为或
D．
【答案】A,C
【知识点】一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：A、由关于的不等式的解集为或，
可得二次函数的开口方向向上，即，故A正确；
B、易知、4是方程的两根，由韦达定理得，解得，
不等式化为，因为，所以，则不等式的解集为，故B错误；
C、由B，不等式转化为，
整理可得，解得或，
则不等式的解集为或，故C正确；
D、由B，可得，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据不等式的解集可知二次函数的开口方向，即可判断A；易知、4是方程的两根，可得，代入选项BCD判断即可.
12．（2025高一上·兰州期中）　 　.
【答案】
【知识点】根式与有理数指数幂的互化；有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】根据已知条件和根式与指数的运算法则，从而化简求值.
13．（2025高一上·兰州期中）已知命题“，”为真命题，则的最大值为　 　．
【答案】
【知识点】命题的真假判断与应用；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：由命题“，”是真命题，
得，
又，，，
所以的最大值为.
故答案为：.
【分析】利用全称命题将已知条件转化为，再求出函数最值得出实数a的取值范围，从而得出实数a的最大值.
14．（2025高一上·兰州期中）已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围为　 　
【答案】
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：依题意，对任意当时，都有，
所以在上单调递增，则，
解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】根据题意判断出函数的单调性，再利用函数的单调性列出关于a的不等式组，从而得出实数的取值范围.
15．（2025高一上·兰州期中）已知集合，.
（1）当时，求，；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）解：当时，集合，因为集合，
所以，；
（2）解：若，则或，解得或，
故的取值范围是.
【知识点】并集及其运算；交集及其运算
【解析】【分析】（1）将代入求得集合B，再根据集合的并集、交集的定义直接求解即可；
（2）根据集合的交集列式求解即可.
（1）当时，，而，
则，.
（2）由，得或，解得或，
所以的取值范围是.
16．（2025高一上·兰州期中）解下列不等式：
（1）
（2）
（3）；
【答案】（1）解：由，
可得，
所以或，
则不等式的解集为.
（2）解：由，
可得，
所以，
则不等式的解集为.
（3）解：由，
得：，
则，
所以，
解得：，
则不等式的解集为.
【知识点】一元二次不等式及其解法；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）（2）根据一元二次不等式的求解方法，从而得出不等式的解集.
（3）先移项通分，再结合一元二次不等式的求解方法，从而得出不等式的解集.
（1）由可得，
所以或，即解集为；
（2）由可得，
所以，即解集为；
（3）由
得：，
即，
即，
解得：，
即解集为
17．（2025高一上·兰州期中）已知是定义在上的偶函数，且时，．
（1）求函数的表达式；
（2）判断并证明函数在区间上的单调性．
【答案】（1）解：设，则，
所以，
因为函数为偶函数，
所以，
则，
所以．
（2）解：设，
则，∵，∴，，
∴，
∴在为减函数．
【知识点】函数单调性的判断与证明；奇函数与偶函数的性质
【解析】【分析】（1）设，则，根据函数是偶函数可知，再分两段写出函数解析式，从而得出函数的表达式.
（2）利用函数单调性的定义，则判断并证出函数在区间上的单调性．
（1）解：设，则，，
因为函数为偶函数，所以，即，
所以．
（2）解：设，，
∵，∴，，
∴，∴在为单调减函数．
18．（2025高一上·兰州期中）已知函数
（1）求的值及函数的解析式；
（2）求关于x的不等式解集.（其中）
【答案】（1）解：令，可得，
由题意，函数，
令，则，
所以，
则.
（2）解：由（1）知，，
则不等式转化为，
所以，
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
综上所述，当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）利用已知条件代入求出函数的值；再利用换元法得出函数的解析式.
（2）将不等式写出因式乘积的形式，讨论两个因式的根的大小，再利用一元二次不等式求解方法，从而求出不等式的解集.
（1）令，可得
由题意，函数，令，所以，
则，所以.
（2）由（1）知，
即不等式转化为，则，
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
综上所述，当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为.
19．（2025高一上·兰州期中）若定义在R上的函数对任意实数x，y恒有，当时，，且．
（1）求证：为奇函数；
（2）求在上的最小值；
（3）若不等式：恒成立，求a的取值范围；
【答案】（1）证明：函数的定义域为R，
令，则，解得.
令，则，得，
所以函数为奇函数.
（2）解：任取，则，因为当时，，则，
由（1）知，，即，
所以为R上的减函数，可知在上的最小值为，
因为，，，
所以，即在上的最小值为.
（3）解：由（2）可求，
所以，
由（2）可知为减函数，所以时，即恒成立，
时，，不等式恒成立；
时，有恒成立，由函数在上单调递增，
则有，所以a的取值范围为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值；函数的奇偶性；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）奇偶性证明：利用抽象函数的赋值法（令得，令结合奇函数定义）证明。
（2）最值求解：先通过作差法证明函数的单调性，再结合单调性确定最值点，利用已知条件计算最值。
（3）不等式求解：利用函数的奇偶性与单调性，将抽象函数不等式转化为具体的代数不等式，再结合参数范围恒成立的条件求解参数。
（1）函数的定义域为R，
令，则，解得.
令，则，得，
所以函数为奇函数.
（2）任取，则，因为当时，，则，
由（1）知，，即，
所以为R上的减函数，可知在上的最小值为，
因为，，，
所以，即在上的最小值为.
（3）由（2）可求，
所以，
由（2）可知为减函数，所以时，即恒成立，
时，，不等式恒成立；
时，有恒成立，由函数在上单调递增，
则有，所以a的取值范围为.
1 / 1甘肃省兰州外国语高级中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷
1．（2025高一上·兰州期中）已知集合，，则实数的取值集合为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025高一上·兰州期中）已知，且，则的最小值为（　　）
A． B．4 C．3 D．2
3．（2025高一上·兰州期中）已知条件，条件，则是的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要
4．（2025高一上·兰州期中）若函数在区间上是增函数，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025高一上·兰州期中）函数的定义域为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025高一上·兰州期中）设、是非空集合，定义且，若，，则等于
A． B．
C． D．
7．（2025高一上·兰州期中）函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025高一上·兰州期中）已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于的不等式的解集是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025高一上·兰州期中）下列函数中，既是偶函数又在上是递减的函数是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025高一上·兰州期中）下列各项中，与表示同一函数的是（　　）
A．
B．
C．
D．
11．（2025高一上·兰州期中）已知关于的不等式的解集为或 ，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．不等式的解集为
C．不等式的解集为或
D．
12．（2025高一上·兰州期中）　 　.
13．（2025高一上·兰州期中）已知命题“，”为真命题，则的最大值为　 　．
14．（2025高一上·兰州期中）已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围为　 　
15．（2025高一上·兰州期中）已知集合，.
（1）当时，求，；
（2）若，求的取值范围.
16．（2025高一上·兰州期中）解下列不等式：
（1）
（2）
（3）；
17．（2025高一上·兰州期中）已知是定义在上的偶函数，且时，．
（1）求函数的表达式；
（2）判断并证明函数在区间上的单调性．
18．（2025高一上·兰州期中）已知函数
（1）求的值及函数的解析式；
（2）求关于x的不等式解集.（其中）
19．（2025高一上·兰州期中）若定义在R上的函数对任意实数x，y恒有，当时，，且．
（1）求证：为奇函数；
（2）求在上的最小值；
（3）若不等式：恒成立，求a的取值范围；
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】集合关系中的参数取值问题；子集与交集、并集运算的转换
【解析】【解答】解：由，得：，
①若 时， ，此时，，满足 ，符合题意；
②若 时， 集合，不满足集合元素互异性，故舍去；
③若 时，则有 ，解得 或 ，
当 时，，，满足 ，符合题意；
当 时，集合，不满足集合元素互异性，故舍去，
综上所述，实数 的取值集合为 .
故答案为：B.
【分析】依题意，由得，对进行分类讨论，再根据不同的值验证是否满足集合元素互异性，从而得出实数的取值集合.
2．【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为，
所以，
当且仅当时，即当时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：B.
【分析】利用1的代换结合基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
3．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：因为是的真子集，
所以：”是：的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】先判断集合间的包含关系，再利用充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
4．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：因为函数在区间上是增函数，
所以，解得.
故答案为：D.
【分析】根据函数的单调性得到，解不等式得出实数a的取值范围.
5．【答案】B
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：由函数有意义，
得，解得或，
则所求定义域为.
故答案为：B.
【分析】利用给定函数有意义，从而列出不等式组，解不等式组求出函数的定义域.
6．【答案】A
【知识点】交、并、补集的混合运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：解不等式，即，解得，则集合，
即，，
由集合的定义可得：.
故答案为：A.
【分析】根据已知求得集合和，最后利用题中的定义求集合即可.
7．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
满足，则为奇函数，排除B；
由，排除D；
由，排除C.
故答案为：A．
【分析】求函数的定义域，根据函数的奇偶性判断函数的奇偶性，再根据的正负判断即可.
8．【答案】C
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：定义在上的偶函数，
，，
当时，单调递减，
当时，单调递减，
定义在上的偶函数，则，
，，，
当时，单调递减，，
，则，解得或，
的定义域为，，
，，
或和要同时成立，，
关于的不等式的解集为.
故答案为：C.
【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称求出的值，再利用是偶函数可得，将不等式转化为，再利用当时，单调递减，将转化为，从而解出此不等式，再利用的定义域为，从而得到，解此不等式组得出关于的不等式的解集.
9．【答案】A,C
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A、易知函数是偶函数，且在上单调递减，故A正确；
B、易知函数是奇函数，故B错误；
C、函数是偶函数，且在上单调递减，故C正确；
D、函数是非奇非偶函数，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据函数的奇偶性和单调性逐项判断即可.
10．【答案】B,C,D
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】解：A、函数的定义域为的定义域为，定义域不同，不死同一函数，故A错误；
B、函数的定义域为，
由，得，函数的定义域为，
定义域相同、对应法则相同，是同一函数，故B正确；
C、函数的定义域均为，且对应关系相同， 是同一函数， 故C正确；
D、定义域均为，且对应关系相同， 是同一函数，故D正确.
故答案为：BCD．
【分析】根据同一函数的定义逐项判断即可.
11．【答案】A,C
【知识点】一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：A、由关于的不等式的解集为或，
可得二次函数的开口方向向上，即，故A正确；
B、易知、4是方程的两根，由韦达定理得，解得，
不等式化为，因为，所以，则不等式的解集为，故B错误；
C、由B，不等式转化为，
整理可得，解得或，
则不等式的解集为或，故C正确；
D、由B，可得，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据不等式的解集可知二次函数的开口方向，即可判断A；易知、4是方程的两根，可得，代入选项BCD判断即可.
12．【答案】
【知识点】根式与有理数指数幂的互化；有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】根据已知条件和根式与指数的运算法则，从而化简求值.
13．【答案】
【知识点】命题的真假判断与应用；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：由命题“，”是真命题，
得，
又，，，
所以的最大值为.
故答案为：.
【分析】利用全称命题将已知条件转化为，再求出函数最值得出实数a的取值范围，从而得出实数a的最大值.
14．【答案】
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：依题意，对任意当时，都有，
所以在上单调递增，则，
解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】根据题意判断出函数的单调性，再利用函数的单调性列出关于a的不等式组，从而得出实数的取值范围.
15．【答案】（1）解：当时，集合，因为集合，
所以，；
（2）解：若，则或，解得或，
故的取值范围是.
【知识点】并集及其运算；交集及其运算
【解析】【分析】（1）将代入求得集合B，再根据集合的并集、交集的定义直接求解即可；
（2）根据集合的交集列式求解即可.
（1）当时，，而，
则，.
（2）由，得或，解得或，
所以的取值范围是.
16．【答案】（1）解：由，
可得，
所以或，
则不等式的解集为.
（2）解：由，
可得，
所以，
则不等式的解集为.
（3）解：由，
得：，
则，
所以，
解得：，
则不等式的解集为.
【知识点】一元二次不等式及其解法；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）（2）根据一元二次不等式的求解方法，从而得出不等式的解集.
（3）先移项通分，再结合一元二次不等式的求解方法，从而得出不等式的解集.
（1）由可得，
所以或，即解集为；
（2）由可得，
所以，即解集为；
（3）由
得：，
即，
即，
解得：，
即解集为
17．【答案】（1）解：设，则，
所以，
因为函数为偶函数，
所以，
则，
所以．
（2）解：设，
则，∵，∴，，
∴，
∴在为减函数．
【知识点】函数单调性的判断与证明；奇函数与偶函数的性质
【解析】【分析】（1）设，则，根据函数是偶函数可知，再分两段写出函数解析式，从而得出函数的表达式.
（2）利用函数单调性的定义，则判断并证出函数在区间上的单调性．
（1）解：设，则，，
因为函数为偶函数，所以，即，
所以．
（2）解：设，，
∵，∴，，
∴，∴在为单调减函数．
18．【答案】（1）解：令，可得，
由题意，函数，
令，则，
所以，
则.
（2）解：由（1）知，，
则不等式转化为，
所以，
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
综上所述，当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）利用已知条件代入求出函数的值；再利用换元法得出函数的解析式.
（2）将不等式写出因式乘积的形式，讨论两个因式的根的大小，再利用一元二次不等式求解方法，从而求出不等式的解集.
（1）令，可得
由题意，函数，令，所以，
则，所以.
（2）由（1）知，
即不等式转化为，则，
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
综上所述，当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为.
19．【答案】（1）证明：函数的定义域为R，
令，则，解得.
令，则，得，
所以函数为奇函数.
（2）解：任取，则，因为当时，，则，
由（1）知，，即，
所以为R上的减函数，可知在上的最小值为，
因为，，，
所以，即在上的最小值为.
（3）解：由（2）可求，
所以，
由（2）可知为减函数，所以时，即恒成立，
时，，不等式恒成立；
时，有恒成立，由函数在上单调递增，
则有，所以a的取值范围为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值；函数的奇偶性；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）奇偶性证明：利用抽象函数的赋值法（令得，令结合奇函数定义）证明。
（2）最值求解：先通过作差法证明函数的单调性，再结合单调性确定最值点，利用已知条件计算最值。
（3）不等式求解：利用函数的奇偶性与单调性，将抽象函数不等式转化为具体的代数不等式，再结合参数范围恒成立的条件求解参数。
（1）函数的定义域为R，
令，则，解得.
令，则，得，
所以函数为奇函数.
（2）任取，则，因为当时，，则，
由（1）知，，即，
所以为R上的减函数，可知在上的最小值为，
因为，，，
所以，即在上的最小值为.
（3）由（2）可求，
所以，
由（2）可知为减函数，所以时，即恒成立，
时，，不等式恒成立；
时，有恒成立，由函数在上单调递增，
则有，所以a的取值范围为.
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