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第27章 相似
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
（第3课时 两角分别相等的两个三角形相似）
1．掌握 “两角分别相等的两个三角形相似” 的判定定理，并能运用其解决简单的证明与计算问题.
2．掌握直角三角形相似的判定方法，并能运用该方法解决简单的直角三角形相似相关问题.
一、复习引入
二、新知讲解
三、典型例题
四、当堂巩固
五、课堂总结
六、作业布置
　　我们已经学习了哪些判定三角形相似的方法？
　　定义法：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似．
　　平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
复习引入
　　三边法：三边成比例的两个三角形相似．
　　两边及其夹角法：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
思考：判定两个三角形相似，所需的条件还能再减少吗？
探究：观察两副三角尺，其中有同样两个锐角（30°与 60°，或 45°与 45°）的两个三角尺大小可能不同，它们相似吗？
新知讲解
知识点一：两角分别相等的两个三角形相似
（1）这两对三角形的三个内角的大小有什么关系？
（2）三个内角对应相等的两个三角形一定相似吗？
三个内角对应相等
相似
新知讲解
（3）有一个内角对应相等的两个三角形相似吗？动手画一画.
45o
45o
60o
110o
不相似！
新知讲解
（4）有两个内角对应相等的两个三角形相似吗？
　　任意画一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使得∠A＝∠A′，
∠B＝∠B′，这时∠C＝∠C′ 吗？分别度量这两个三角形的边长，
计算，，，你有什么发现？
　　根据三角形的内角和可知，∠C＝∠C′；
　　通过度量、计算可知，==；
　　所以△ABC∽△A′B′C′．
A
B
C
A′
B′
C′
新知讲解
　　猜想：两角分别相等的两个三角形相似．
　　你能证明这个猜想吗？
　　如图，在△ABC 和△A′B′C′ 中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′．
求证△ABC∽△A′B′C′．
A
B
C
A′
B′
C′
新知讲解
　　证明：在线段 A′B′（或它的延长线）上截取 A′D＝AB， 过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E．
　　∵DE∥B′C′，
　　∴∠A′DE＝∠B′，△A′DE∽△A′B′C′．
　　又∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，
　　∴∠B＝∠A′DE．
　　∵AB＝A′D，
　　∴△ABC≌△A′DE，
　　∴△ABC∽△A′B′C′．
A
B
C
A′
B′
C′
D
E
新知讲解
　　一般地，我们有利用两组角判定两个三角形相似的定理：
两角分别相等的两个三角形相似．
符号语言：
∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，
∴△ABC∽△A′B′C′.
A
B
C
A′
B′
C′
例1　如图，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°. 求证：△EBF∽△FCG.
典型例题
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝∠C＝90°.
∴∠BEF＋∠BFE＝90°.
∵∠EFG＝90°，
∴∠BFE＋∠CFG＝90°.
∴∠BEF＝∠CFG.
∴△EBF∽△FCG.
已知两个三角形有一组角对应相等，只需再找出另一组角对应相等，就能判定它们相似. 解题中要格外关注 “公共角”“对顶角”“同角（或等角）的余角相等”“同角（或等角）的补角相等” 这类容易被忽略的隐含等角条件，它们往往是判定三角形相似的突破口.
归纳小结
针对练习
　　如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8．E 是 AC 上一点，AE＝5，ED⊥AB，垂足为 D．求 AD 的长．
　　解：∵ED⊥AB，
　　∴∠EDA＝90° ．
　　又∠C＝90°，∠A＝∠A，
　　∴△AED∽△ABC.
　　∴＝．
　　∴AD＝＝＝4．
A
B
C
D
E
新知讲解
思考：对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就相似了？
　　由三角形相似的条件可知，如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似．
知识点二：直角三角形相似的判定方法
新知讲解
　　如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C＝90°，∠C′＝90°，
＝．求证Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．
思考：我们知道，两个直角三角形全等可以用“HL”来判定，那么，满足斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗？
A′
C′
B′
A
C
B
　　分析：要证 Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，可设法证．若设＝k，则只需证＝k．
新知讲解
　　证明：设＝k，则 AB＝kA′B′，AC＝kA′C′．
　　由勾股定理，得 BC＝，B′C′＝．
　　∴＝＝k，
　　∴，
　　∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．
A′
C′
B′
A
C
B
　　我们得到利用斜边和一条直角边判定直角三角形相似的方法：
斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.
新知讲解
符号语言：
在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C=∠C′，
∵＝，
∴△ABC∽△A′B′C′.
A′
C′
B′
A
C
B
例2　如图，∠B＝∠ACD＝90°，AB＝4，AC＝5，AD＝.
求证：Rt△ABC∽Rt△ACD.
证明：∵∠B＝∠ACD＝90°，
∵＝，＝＝，
∴＝.
∴Rt△ABC∽Rt△ACD.
典型例题
如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠ACB＝∠A′C′B′＝90°，CD，C′D′ 分别是两个三角形斜边上的高，且 CD∶C′D′＝AC∶A′C′．
求证：△ABC∽△A′B′C′．
　　证明：∵CD，C′D′ 分别是两个三角形斜边上的高，
　　∴∠ADC＝∠A′D′C′＝90°．
　　又CD∶C′D′＝AC∶A′C′，
　　∴Rt△ADC∽Rt△A′D′C′，∴∠A＝∠A′．
　　∵∠ACB＝∠A′C′B′＝90°，
　　∴△ABC∽△A′B′C′．
针对练习
归纳小结
直角三角形相似的判定方法
　　（1）有一个锐角相等的两个直角三角形相似．
　　（2）两组直角边成比例的两个直角三角形相似．
　　（3）斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似．
当堂巩固
1.如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是(　　)
A．∠AED＝∠B
B．∠ADE＝∠C
C．＝
D．＝
C
当堂巩固
2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，
则图中的相似三角形共有(　　)
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
C
当堂巩固
3.如图，点B，D，C，F在同一条直线上，且AB∥EF，AC∥DE. 求证：△ABC∽△EFD.
证明：∵AB∥EF，AC∥DE，
∴∠B＝∠F，∠ACB＝∠EDF.
∴△ABC∽△EFD.
当堂巩固
4.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．求证：△BDE∽△BAC.
证明：由折叠的性质，
得∠C＝∠AED＝90°.
∴∠DEB＝∠C＝90°.
∵∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BAC.
5.如图，四边形ABCD是平行四边形，CE⊥AD于点E，CF⊥AB于点F，求证：△DCE∽△BCF．
当堂巩固
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B，
∵CE⊥AD，CF⊥AB，
∴∠CED＝∠CFB＝90°，
∴△DCE∽△BCF．
相似三角形的判定
两角分别相等的两个三角形相似
直角三角形相似的判定方法
课堂总结
（1）有一个锐角相等的两个直角三角形相似．
（2）两组直角边成比例的两个直角三角形相似．
（3）斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似．
作业布置
教材P36 练习第1、2、3题

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