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/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
【华师版八上数学阶段测试卷】期末模拟押题卷01
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.下列调查中，最适合采用普查的是( )
A.对某市居民垃圾分类意识的调查
B.对某批汽车抗撞击能力的调查
C.了解某品牌的新能源电动汽车的蓄电池的性能
D.对某班学生的身高情况的调查
D
2.下列几组数据能作为直角三角形的三边长的是( )
A.2，3，4 B.，，
C.4，6，9 D.3，4，5
D
3.下列运算正确的是( )
A.a2·a3＝a6 B.(a2)4＝a6
C.a4÷a＝a3 D.4a3·3a3＝12a9
C
4.如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加的一个条件可以是( )
B
A.∠BCA＝∠F B.∠B＝∠E
C.BC∥EF D.∠A＝∠EDF
5.若a＞0，且ax＝2，ay＝3，则a2x－3y的值为( )
A.－1 B.1
C.7/24 D.
C
6.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AC的垂直平分线DE分别交AC，BC于点D，E，则∠CAE的度数为( )
A.80°
B.60°
C.50°
D.40°
D
7.定义一种新的运算：对于任意实数a，b，有a*b＝(a＋1)2－b2，则( 1)*(－ )的值是( )
A.－1 B.0
C.10 D.－4
D
8.如图，在△ABC中，高AD与BE相交于点F.若AD＝BD＝6，且△ACD的面积为12，则AF的长为( )
A.1
B.1.5
C.2
D.3
C
9.如图，一大楼的外墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上.若PA＝AB＝10 m，点P到AD的距离是6 m，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是( )
A.16 m
B. m
C.15 m
D.14 m
B
10.如图，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于点E，AB＝AD＋2BE，则下列结论：①AB＋AD＝2AE；②∠DAB＋∠DCB＝180°；③CD＝CB；④S△ACE－2S△BCE＝S△ADC.其中正确结论有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
二、填空题(每小题3分，共15分)
11.写出一个无理数x，使得1＜x＜2，则x可以是________________.(写出一个满足条件的x即可)
(答案不唯一)
12.分解因式：25m2n－10mn＋n＝_____________.
n(5m－1)2
13.某学校在“你最喜爱的课外活动项目”调查中，随机调查了若干名学生(每名学生只能选一种课外活动项目)，并根据调查结果绘制了如图所示的扇形统计图.若最喜爱“机器人”的人数比最喜爱“3D打印”的人数少5人，则被调查
的学生总人数为____.
50
14.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，则CD的长为____.
3
(1)＋÷(－2)2＋｜－2｜－；
解：原式＝ ＋4÷4＋2－ －3 ＝0.
(2)(8x3y2－4x2y2)÷(－2x2y)－2x(1－2y).
解：原式＝－4xy＋2y－2x＋4xy
＝2y－2x.
17.(8分)先化简，再求值：(2x－3)2＋(x＋4)(x－4)＋5x(2－x)，其中x＝－ .
解：原式＝4x2－12x＋9＋x2－16＋10x－5x2
＝－2x－7.
当x＝ －时，
原式＝－2×(－ )－7＝1－7＝－6.
18.(8分)如图1是某品牌婴儿车，图2是其简化结构示意图.根据安全标准需满足BC⊥CD，现测得AB＝CD＝6 dm，BC＝3 dm，AD＝9 dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接(即∠ABD＝90°)，通过计算说明该车是否符合安全标准.
解：在Rt△ABD中，BD2＝AD2－AB2＝92－62＝45.
在△BCD中，BC2＋CD2＝32＋62＝45，
∴BC2＋CD2＝BD2，
∴∠BCD＝90°，∴BC⊥CD，
即该车符合安全标准.
19.(9分)某校随机抽取八年级部分同学接受一次主题为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，整理数据后，将减压方式分为五类：A.交流谈心；B.体育活动；C.享受美食；D.听音乐；E.其他，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图.
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)这次被调查的学生共有____人；
50
(2)请将条形统计图补充完整；
解：参加“B.体育活动”的人数为50－4－15－18－3＝10，补全条形统计图如图所示.
(3)计算扇形统计图中表示“D.听音乐”的扇形圆心角的度数.
解：表示“D.听音乐”的扇形圆心角的度数为360°× ＝129.6°.
20.(9分)如图，在△ABC中，∠B＝∠ACB，E，F为边BC上的两点，且点F在点E的右侧，且BE＝CF.
(1)求证：AE＝AF；
证明：∵∠B＝∠ACB，∴AB＝AC.
在△ABE和△ACF中，
∵AB＝AC，∠B＝∠ACB，BE＝CF，
∴△ABE≌△ACF(SAS)，
∴AE＝AF.
(2)若点D在AF的延长线上，AD＝AC，∠BAE＝30°，∠BAD＝75°，求
证：AB∥DC.
证明：由(1)知△ABE≌△ACF，
∴∠CAF＝∠BAE＝30°.
∵AD＝AC，∴∠D＝∠ACD＝ (180°－∠CAF)＝75°.
∵∠BAD＝75°，∴∠BAD＝∠D，
∴AB∥DC.
21.(10分)如图，点C在线段BD上，AC⊥BD，CA＝CD，点E在线段CA上，且满足DE＝AB，连结DE并延长，交AB于点F.
(1)求证：DE⊥AB；
证明：∵AC⊥BD，
∴∠ACB＝∠DCE＝90°.
在Rt△ABC和Rt△DEC中，
∵CA＝CD，AB＝DE，
∴Rt△ABC≌Rt△DEC(HL)，
∴∠BAC＝∠EDC.
∵∠DCE＝90°，∴∠EDC＋∠DEC＝90°.
∵∠AEF＝∠DEC，∴∠BAC＋∠AEF＝∠EDC＋∠DEC＝90°，
∴∠AFE＝180°－(∠BAC＋∠AEF)＝90°，∴DE⊥AB.
(2)若BC＝a，AC＝b，AB＝c，请借助本题提供的图形，用面积法证明勾股定理.
证明：设EF＝x，则DF＝EF＋DE＝EF＋AB＝x＋c，
∴S△ABD＝ AB·DF＝ c(c＋x).
由(1)知△ABC≌△DEC，∴EC＝BC＝a.
∵S△ABD＝S△BCE＋S△ACD＋S△ABE＝ a2＋ b2＋ cx，
∴c(c＋x)＝a2＋b2＋cx，∴a2＋b2＝c2.
22.(11分)知识生成：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式.例如：图1可以得到(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，基于此，请解答下列问题：
(1)直接应用：若xy＝7，x＋y＝5，则x2＋y2的值为___；
11
(2)类比应用：若x(3－x)＝4，求x2＋(x－3)2的值；
解：设x＝m，3－x＝n，则mn＝4，m＋n＝3，
∴x2＋(x－3)2＝m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝9－8＝1.
(3)知识迁移：两块完全相同的特制直角三角板(∠AOB＝∠COD＝90°)如图2所示放置，其中A，O，D在一条直线上，连结AC，BD.若AD＝16，S△AOC＋S△BOD＝60，求一块直角三角板的面积.
解：设AO＝CO＝p，DO＝BO＝q.易得∠AOC＝
∠BOD＝90°.
∵AD＝16，S△AOC＋S△BOD＝60，
∴p＋q＝16， p2＋ q2＝60，即p2＋q2＝120，
∴2pq＝(p＋q)2－(p2＋q2)＝162－120，即pq＝68，
∴S 直角三角板＝ pq＝34，
∴一块直角三角板的面积为34.
23.(12分)【问题探究】
(1)如图1，在锐角三角形ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，在AD上取点E，连结BE，使BE＝AC，求证：DE＝DC；
证明：∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，
∴∠BAD＝90°－∠ABC＝45°，∠ABC＝∠BAD，
∴AD＝BD.
在Rt△BDE和Rt△ADC中，
∵BE＝AC，BD＝AD，
∴Rt△BDE≌Rt△ADC(HL)，
∴DE＝DC.
【问题拓展】
(2)如图2，在(1)的条件下，F为BC的中点，连结EF并延长至点M，使FM＝EF，连结CM，判断线段AC与CM的数量关系，并说明理由；
解：AC＝CM.理由如下：
∵F为BC的中点，∴BF＝CF.
在△BFE和△CFM中，
∵BF＝CF，∠BFE＝∠CFM，EF＝MF，
∴△BFE≌△CFM(SAS)，
∴BE＝CM.
∵BE＝AC，∴AC＝CM.【问题延伸】
(3)在(1)(2)的条件及结论下，如图2，连结AM，判断△ACM的形状，并说明理由.
解：△ACM为等腰直角三角形.理由如下：
由(1)可知Rt△BDE≌Rt△ADC，
∴∠EBD＝∠CAD.
由(2)可知△BFE≌△CFM，
∴∠FCM＝∠EBD，∴∠FCM＝∠CAD.
∵∠ACD＋∠CAD＝90°，
∴∠ACD＋∠FCM＝90°，即∠ACM＝90°.
由(2)可知AC＝CM，
∴△ACM为等腰直角三角形.
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【华师版八上数学阶段测试卷】期末模拟押题卷01
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.下列调查中，最适合采用普查的是( )
A.对某市居民垃圾分类意识的调查
B.对某批汽车抗撞击能力的调查
C.了解某品牌的新能源电动汽车的蓄电池的性能
D.对某班学生的身高情况的调查
D
2.下列几组数据能作为直角三角形的三边长的是( )
A.2，3，4 B.，，
C.4，6，9 D.3，4，5
D
3.下列运算正确的是( )
A.a2·a3＝a6 B.(a2)4＝a6
C.a4÷a＝a3 D.4a3·3a3＝12a9
C
4.如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加的一个条件可以是( )
B
A.∠BCA＝∠F B.∠B＝∠E
C.BC∥EF D.∠A＝∠EDF
5.若a＞0，且ax＝2，ay＝3，则a2x－3y的值为( )
A.－1 B.1
C.7/24 D.
C
6.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AC的垂直平分线DE分别交AC，BC于点D，E，则∠CAE的度数为( )
A.80°
B.60°
C.50°
D.40°
D
7.定义一种新的运算：对于任意实数a，b，有a*b＝(a＋1)2－b2，则( 1)*(－ )的值是( )
A.－1 B.0
C.10 D.－4
D
8.如图，在△ABC中，高AD与BE相交于点F.若AD＝BD＝6，且△ACD的面积为12，则AF的长为( )
A.1
B.1.5
C.2
D.3
C
9.如图，一大楼的外墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上.若PA＝AB＝10 m，点P到AD的距离是6 m，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是( )
A.16 m
B. m
C.15 m
D.14 m
B
10.如图，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于点E，AB＝AD＋2BE，则下列结论：①AB＋AD＝2AE；②∠DAB＋∠DCB＝180°；③CD＝CB；④S△ACE－2S△BCE＝S△ADC.其中正确结论有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
二、填空题(每小题3分，共15分)
11.写出一个无理数x，使得1＜x＜2，则x可以是________________.(写出一个满足条件的x即可)
(答案不唯一)
12.分解因式：25m2n－10mn＋n＝_____________.
n(5m－1)2
13.某学校在“你最喜爱的课外活动项目”调查中，随机调查了若干名学生(每名学生只能选一种课外活动项目)，并根据调查结果绘制了如图所示的扇形统计图.若最喜爱“机器人”的人数比最喜爱“3D打印”的人数少5人，则被调查
的学生总人数为____.
50
14.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，则CD的长为____.
3
(1)＋÷(－2)2＋｜－2｜－；
解：原式＝ ＋4÷4＋2－ －3 ＝0.
(2)(8x3y2－4x2y2)÷(－2x2y)－2x(1－2y).
解：原式＝－4xy＋2y－2x＋4xy
＝2y－2x.
17.(8分)先化简，再求值：(2x－3)2＋(x＋4)(x－4)＋5x(2－x)，其中x＝－ .
解：原式＝4x2－12x＋9＋x2－16＋10x－5x2
＝－2x－7.
当x＝ －时，
原式＝－2×(－ )－7＝1－7＝－6.
18.(8分)如图1是某品牌婴儿车，图2是其简化结构示意图.根据安全标准需满足BC⊥CD，现测得AB＝CD＝6 dm，BC＝3 dm，AD＝9 dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接(即∠ABD＝90°)，通过计算说明该车是否符合安全标准.
解：在Rt△ABD中，BD2＝AD2－AB2＝92－62＝45.
在△BCD中，BC2＋CD2＝32＋62＝45，
∴BC2＋CD2＝BD2，
∴∠BCD＝90°，∴BC⊥CD，
即该车符合安全标准.
19.(9分)某校随机抽取八年级部分同学接受一次主题为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，整理数据后，将减压方式分为五类：A.交流谈心；B.体育活动；C.享受美食；D.听音乐；E.其他，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图.
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)这次被调查的学生共有____人；
50
(2)请将条形统计图补充完整；
解：参加“B.体育活动”的人数为50－4－15－18－3＝10，补全条形统计图如图所示.
(3)计算扇形统计图中表示“D.听音乐”的扇形圆心角的度数.
解：表示“D.听音乐”的扇形圆心角的度数为360°× ＝129.6°.
20.(9分)如图，在△ABC中，∠B＝∠ACB，E，F为边BC上的两点，且点F在点E的右侧，且BE＝CF.
(1)求证：AE＝AF；
证明：∵∠B＝∠ACB，∴AB＝AC.
在△ABE和△ACF中，
∵AB＝AC，∠B＝∠ACB，BE＝CF，
∴△ABE≌△ACF(SAS)，
∴AE＝AF.
(2)若点D在AF的延长线上，AD＝AC，∠BAE＝30°，∠BAD＝75°，求
证：AB∥DC.
证明：由(1)知△ABE≌△ACF，
∴∠CAF＝∠BAE＝30°.
∵AD＝AC，∴∠D＝∠ACD＝ (180°－∠CAF)＝75°.
∵∠BAD＝75°，∴∠BAD＝∠D，
∴AB∥DC.
21.(10分)如图，点C在线段BD上，AC⊥BD，CA＝CD，点E在线段CA上，且满足DE＝AB，连结DE并延长，交AB于点F.
(1)求证：DE⊥AB；
证明：∵AC⊥BD，
∴∠ACB＝∠DCE＝90°.
在Rt△ABC和Rt△DEC中，
∵CA＝CD，AB＝DE，
∴Rt△ABC≌Rt△DEC(HL)，
∴∠BAC＝∠EDC.
∵∠DCE＝90°，∴∠EDC＋∠DEC＝90°.
∵∠AEF＝∠DEC，∴∠BAC＋∠AEF＝∠EDC＋∠DEC＝90°，
∴∠AFE＝180°－(∠BAC＋∠AEF)＝90°，∴DE⊥AB.
(2)若BC＝a，AC＝b，AB＝c，请借助本题提供的图形，用面积法证明勾股定理.
证明：设EF＝x，则DF＝EF＋DE＝EF＋AB＝x＋c，
∴S△ABD＝ AB·DF＝ c(c＋x).
由(1)知△ABC≌△DEC，∴EC＝BC＝a.
∵S△ABD＝S△BCE＋S△ACD＋S△ABE＝ a2＋ b2＋ cx，
∴c(c＋x)＝a2＋b2＋cx，∴a2＋b2＝c2.
22.(11分)知识生成：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式.例如：图1可以得到(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，基于此，请解答下列问题：
(1)直接应用：若xy＝7，x＋y＝5，则x2＋y2的值为___；
11
(2)类比应用：若x(3－x)＝4，求x2＋(x－3)2的值；
解：设x＝m，3－x＝n，则mn＝4，m＋n＝3，
∴x2＋(x－3)2＝m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝9－8＝1.
(3)知识迁移：两块完全相同的特制直角三角板(∠AOB＝∠COD＝90°)如图2所示放置，其中A，O，D在一条直线上，连结AC，BD.若AD＝16，S△AOC＋S△BOD＝60，求一块直角三角板的面积.
解：设AO＝CO＝p，DO＝BO＝q.易得∠AOC＝
∠BOD＝90°.
∵AD＝16，S△AOC＋S△BOD＝60，
∴p＋q＝16， p2＋ q2＝60，即p2＋q2＝120，
∴2pq＝(p＋q)2－(p2＋q2)＝162－120，即pq＝68，
∴S 直角三角板＝ pq＝34，
∴一块直角三角板的面积为34.
23.(12分)【问题探究】
(1)如图1，在锐角三角形ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，在AD上取点E，连结BE，使BE＝AC，求证：DE＝DC；
证明：∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，
∴∠BAD＝90°－∠ABC＝45°，∠ABC＝∠BAD，
∴AD＝BD.
在Rt△BDE和Rt△ADC中，
∵BE＝AC，BD＝AD，
∴Rt△BDE≌Rt△ADC(HL)，
∴DE＝DC.
【问题拓展】
(2)如图2，在(1)的条件下，F为BC的中点，连结EF并延长至点M，使FM＝EF，连结CM，判断线段AC与CM的数量关系，并说明理由；
解：AC＝CM.理由如下：
∵F为BC的中点，∴BF＝CF.
在△BFE和△CFM中，
∵BF＝CF，∠BFE＝∠CFM，EF＝MF，
∴△BFE≌△CFM(SAS)，
∴BE＝CM.
∵BE＝AC，∴AC＝CM.【问题延伸】
(3)在(1)(2)的条件及结论下，如图2，连结AM，判断△ACM的形状，并说明理由.
解：△ACM为等腰直角三角形.理由如下：
由(1)可知Rt△BDE≌Rt△ADC，
∴∠EBD＝∠CAD.
由(2)可知△BFE≌△CFM，
∴∠FCM＝∠EBD，∴∠FCM＝∠CAD.
∵∠ACD＋∠CAD＝90°，
∴∠ACD＋∠FCM＝90°，即∠ACM＝90°.
由(2)可知AC＝CM，
∴△ACM为等腰直角三角形.
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华师版八上数学期末复习 讲解课件
华师版八上数学期末模拟押题卷01
一、选择题(每小题3分，共30分)
1.下列调查中，最适合采用普查的是( )
A.对某市居民垃圾分类意识的调查
B.对某批汽车抗撞击能力的调查
C.了解某品牌的新能源电动汽车的蓄电池的性能
D.对某班学生的身高情况的调查
D
2.下列几组数据能作为直角三角形的三边长的是( )
A.2，3，4
C.4，6，9 D.3，4，5
3.下列运算正确的是( )
A.a2·a3＝a6 B.(a2)4＝a6
C.a4÷a＝a3 D.4a3·3a3＝12a9
D
C
4.如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加的一个条件可以是( )
A.∠BCA＝∠F B.∠B＝∠E
C.BC∥EF D.∠A＝∠EDF
第4题图
B
5.若a＞0，且ax＝2，ay＝3，则a2x－3y的值为( )
A.－1 B.1
C. D.
C
6.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AC的垂直平分线DE分别交AC，BC于点D，E，则∠CAE的度数为( )
A.80°
B.60°
C.50°
D.40°
第6题图
D
7.定义一种新的运算：对于任意实数a，b，有a*b＝(a＋1)2－b2，则( －1)*
(－ )的值是( )
A.－1 B.0
C.10 D.－4
D
8.如图，在△ABC中，高AD与BE相交于点F.若AD＝BD＝6，且△ACD的面积为12，则AF的长为( )
A.1
B.1.5
C.2
D.3
第8题图
C
9.如图，一大楼的外墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上.若PA＝AB＝10 m，点P到AD的距离是6 m，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是( )
A.16 m
B. m
C.15 m
D.14 m
第9题图
B
10.如图，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于点E，AB＝AD＋2BE，则下列结论：①AB＋AD＝2AE；②∠DAB＋∠DCB＝180°；③CD＝CB；④S△ACE－2S△BCE＝S△ADC.其中正确结论有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
第10题图
C
二、填空题(每小题3分，共15分)
11.写出一个无理数x，使得1＜x＜2，则x可以是________________.(写出一个满足条件的x即可)
12.分解因式：25m2n－10mn＋n＝_____________.
13.某学校在“你最喜爱的课外活动项目”调查中，随机
调查了若干名学生(每名学生只能选一种课外活动项目)，
并根据调查结果绘制了如图所示的扇形统计图.若最喜爱“机
器人”的人数比最喜爱“3D打印”的人数少5人，则被调查
的学生总人数为____.
第13题图
(答案不唯一)
n(5m－1)2
50
14.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，则CD的长为____.
第14题图
3
15.如图，等边三角形ABC的边长为3，A，B，A1三点在同一条直线上，且△ABC≌△A1BC1.若D为线段BC1上一动点，则AD＋CD的最小值为___.
第15题图
6
三、解答题(共75分)
16.(8分)计算：
解：原式＝ ＋4÷4＋2－ －3
＝0.
(2)(8x3y2－4x2y2)÷(－2x2y)－2x(1－2y).
解：原式＝－4xy＋2y－2x＋4xy
＝2y－2x.
17.(8分)先化简，再求值：(2x－3)2＋(x＋4)(x－4)＋5x(2－x)，其中x＝－ .
解：原式＝4x2－12x＋9＋x2－16＋10x－5x2
＝－2x－7.
当x＝ －时，
原式＝－2×(－ )－7＝1－7＝－6.
18.(8分)如图1是某品牌婴儿车，图2是其简化结构示意图.根据安全标准需满足BC⊥CD，现测得AB＝CD＝6 dm，BC＝3 dm，AD＝9 dm，其中AB与BD之间由一个固定为90°的零件连接(即∠ABD＝90°)，通过计算说明该车是否符合安全标准.
图1
图2
解：在Rt△ABD中，BD2＝AD2－AB2＝92－62＝45.
在△BCD中，BC2＋CD2＝32＋62＝45，
∴BC2＋CD2＝BD2，
∴∠BCD＝90°，∴BC⊥CD，
即该车符合安全标准.
19.(9分)某校随机抽取八年级部分同学接受一次主题为“最适合自己的考前减压方式”的调查活动，整理数据后，将减压方式分为五类：A.交流谈心；B.体育活动；C.享受美食；D.听音乐；E.其他，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图.
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)这次被调查的学生共有____人；
50
(2)请将条形统计图补充完整；
解：参加“B.体育活动”的人数为50－4－15－18－3＝10，补全条形统计图如图所示.
(3)计算扇形统计图中表示“D.听音乐”的扇形圆心角的度数.
解：表示“D.听音乐”的扇形圆心角的度数为360°× ＝129.6°.
20.(9分)如图，在△ABC中，∠B＝∠ACB，E，F为边BC上的两点，且点F在点E的右侧，且BE＝CF.
(1)求证：AE＝AF；
证明：∵∠B＝∠ACB，∴AB＝AC.
在△ABE和△ACF中，
∵AB＝AC，∠B＝∠ACB，BE＝CF，
∴△ABE≌△ACF(SAS)，
∴AE＝AF.
(2)若点D在AF的延长线上，AD＝AC，∠BAE＝30°，∠BAD＝75°，求
证：AB∥DC.
证明：由(1)知△ABE≌△ACF，
∴∠CAF＝∠BAE＝30°.
∵AD＝AC，∴∠D＝∠ACD＝ (180°－∠CAF)＝75°.
∵∠BAD＝75°，∴∠BAD＝∠D，
∴AB∥DC.
21.(10分)如图，点C在线段BD上，AC⊥BD，CA＝CD，点E在线段CA上，且满足DE＝AB，连结DE并延长，交AB于点F.
(1)求证：DE⊥AB；
证明：∵AC⊥BD，
∴∠ACB＝∠DCE＝90°.
在Rt△ABC和Rt△DEC中，
∵CA＝CD，AB＝DE，
∴Rt△ABC≌Rt△DEC(HL)，
∴∠BAC＝∠EDC.
∵∠DCE＝90°，∴∠EDC＋∠DEC＝90°.
∵∠AEF＝∠DEC，∴∠BAC＋∠AEF＝∠EDC＋∠DEC＝90°，
∴∠AFE＝180°－(∠BAC＋∠AEF)＝90°，∴DE⊥AB.
(2)若BC＝a，AC＝b，AB＝c，请借助本题提供的图形，用面积法证明勾股定理.
证明：设EF＝x，则DF＝EF＋DE＝EF＋AB＝x＋c，
∴S△ABD＝ AB·DF＝ c(c＋x).
由(1)知△ABC≌△DEC，∴EC＝BC＝a.
∵S△ABD＝S△BCE＋S△ACD＋S△ABE＝ a2＋ b2＋ cx，
22.(11分)知识生成：我们已经知道，
通过计算几何图形的面积可以表示
一些代数恒等式.例如：图1可以得到
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，基于此，请解
答下列问题：
(1)直接应用：若xy＝7，x＋y＝5，则x2＋y2的值为___；
(2)类比应用：若x(3－x)＝4，求x2＋(x－3)2的值；
解：设x＝m，3－x＝n，则mn＝4，m＋n＝3，
∴x2＋(x－3)2＝m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝9－8＝1.
图1
图2
11
(3)知识迁移：两块完全相同的特制直角三角板(∠AOB＝∠COD＝90°)如图2所示放置，其中A，O，D在一条直线上，连结AC，BD.若AD＝16，S△AOC＋S△BOD＝60，求一块直角三角板的面积.
解：设AO＝CO＝p，DO＝BO＝q.易得∠AOC＝
∠BOD＝90°.
∵AD＝16，S△AOC＋S△BOD＝60，
∴p＋q＝16， p2＋ q2＝60，即p2＋q2＝120，
∴2pq＝(p＋q)2－(p2＋q2)＝162－120，即pq＝68，
∴S 直角三角板＝ pq＝34，
∴一块直角三角板的面积为34.
图2
23.(12分)【问题探究】
(1)如图1，在锐角三角形ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，在AD上取点E，连结BE，使BE＝AC，求证：DE＝DC；
图1
图2
证明：∵∠ABC＝45°，AD⊥BC，
∴∠BAD＝90°－∠ABC＝45°，∠ABC＝∠BAD，
∴AD＝BD.
在Rt△BDE和Rt△ADC中，
∵BE＝AC，BD＝AD，
∴Rt△BDE≌Rt△ADC(HL)，
∴DE＝DC.
图1
【问题拓展】
(2)如图2，在(1)的条件下，F为BC的中点，连结EF并
延长至点M，使FM＝EF，连结CM，判断线段AC与
CM的数量关系，并说明理由；
图2
解：AC＝CM.理由如下：
∵F为BC的中点，∴BF＝CF.
在△BFE和△CFM中，
∵BF＝CF，∠BFE＝∠CFM，EF＝MF，
∴△BFE≌△CFM(SAS)，
∴BE＝CM.
∵BE＝AC，∴AC＝CM.
【问题延伸】
(3)在(1)(2)的条件及结论下，如图2，连结AM，判断△ACM的形状，并说明理由.
图2
解：△ACM为等腰直角三角形.理由如下：
由(1)可知Rt△BDE≌Rt△ADC，
∴∠EBD＝∠CAD.
由(2)可知△BFE≌△CFM，
∴∠FCM＝∠EBD，∴∠FCM＝∠CAD.
∵∠ACD＋∠CAD＝90°，
∴∠ACD＋∠FCM＝90°，即∠ACM＝90°.
由(2)可知AC＝CM，
∴△ACM为等腰直角三角形.
图2
Thanks!
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