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广东省广州市玉岩中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题
1．（2025高一上·广州期中）命题“，”的否定是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
2．（2025高一上·广州期中）已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2025高一上·广州期中）已知，则是的（　　）
A．充分不必要条件 B．充分必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2025高一上·广州期中）若函数是上的单调函数，则的一个可能取值是（　　）
A． B．2 C．3 D．5
5．（2025高一上·广州期中）函数的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025高一上·广州期中）已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2025高一上·广州期中）某催化剂的活性指标（单位：kgPP/gCat）与反应温度（单位：）满足函数关系：（其中为常数，···，是一个和类似的无理数）.若在时的活性指标为11kgPP/gCat，若在时的活性指标为83kgPP/gCat，则该催化剂在的活性指标为（　　）
A．125kgPP/gCat B．225kgPP/gCat
C．245kgPP/gCat D．250kgPP/gCat
8．（2025高一上·广州期中）设函数的定义域为，且，当时，若，则的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025高一上·广州期中）下列说法正确的是（　　）
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若且，则
10．（2025高一上·广州期中）已知关于x的不等式的解集为，下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．不等式的解集为或
11．（2025高一上·广州期中）已知函数的定义域为，对任意的，都满足，且，当时，，下列结论正确的是（　　）
A．
B．是上的增函数
C．的图象关于点对称
D．不等式的解集为
12．（2025高一上·广州期中）　 　.
13．（2025高一上·广州期中）已知正数x，y满足，则的最小值是　 　.
14．（2025高一上·广州期中）已知函数，若，则实数的取值集合为　 　.
15．（2025高一上·广州期中）已知全集，集合，集合
（1）求
（2）若集合，且满足，求实数m的取值范围.
16．（2025高一上·广州期中）已知函数为上的奇函数，当时，.
（1）请在坐标系中画出的图象，并写出的解析式；
（2）当时，求关于x的不等式的解集.
17．（2025高一上·广州期中）随着一年一度的双十一网络购物节促销活动的临近，某男装店推出两款不同颜色的格子衬衫，分别为白色立领衬衫和灰色方领衬衫，已知白色立领衬衫单价为x元，灰色方领衬衫单价为y元，现有两种购买方案：
方案一：白色立领衬衫购买数量为a件，灰色方领衬衫购买数量为b件，共消费记为元；
方案二：白色立领衬衫购买数量为b件，灰色方领衬衫购买数量为a件，共消费记为元.其中，且a，
（1）试问哪种购买方案花费更少 请说明理由；
（2）若a，b，x，y同时满足关系，，求这两种购买方案消费差值S的最小值注：差值消费较大值-消费较小值
18．（2025高一上·广州期中）已知定义在上的奇函数，偶函数，.
（1）求的值；
（2）判断的奇偶性，判断并用定义法证明的单调性；
（3）已知对任意恒成立，求实数的取值范围.
19．（2025高一上·广州期中）我们知道函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有的同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.
（1）由上述信息，若的图象关于点成中心对称图形，证明：；
（2）已知函数，写出图象的对称中心，并求的值.
（3）若函数具有以下性质：
①定义域为，
②在其定义域内单调递增，
③，都有
当函数，求使不等式成立的实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题“，”的否定是“，”.
故答案为：C.
【分析】根据命题否定的定义直接判断即可.
2．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，
又因为 ，
所以.
故答案为：B.
【分析】先解一元二次不等式结合元素与集合的关系，从而得出集合B，再利用交集的运算法则，从而得出集合.
3．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式
【解析】【解答】解：等价于，
当时，满足，但，即充分性不成立，
说明可以推出，即必要性成立，
则是的必要不充分条件.
故答案为：C.
【分析】根据不等式的性质，结合充分、必要条件的定义判断即可.
4．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：易知函数在]上单调递减，
则函数在上单调递减，即，结合选项验证可得：可以取5.
故答案为：D.
【分析】易知二次函数在]上单调递减，则函数在上单调递减，由题意得到，结合选项验证求值即可即可.
5．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，即函数为奇函数，故CD不符合；
当时，，，则，故B不符合.
故答案为：A.
【分析】先求函数的定义域，再根据奇偶函数的定义判断函数的奇偶性即可判断CD；根据指数函数的性质可得当时，函数值的正负即可判断B.
6．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的值
【解析】【解答】解：因为函数的定义域为，是偶函数，
所以，则，
又因为是奇函数，
所以，则，
所以，则.
故答案为：.
【分析】根据奇函数的定义和偶函数的定义，从而列式消去，进而得到函数的解析式，再利用代入法得出函数的值.
7．【答案】C
【知识点】有理数指数幂的运算性质；“指数爆炸”模型
【解析】【解答】解：由题意，可得：，，
两式相减，可得：，
所以，
则或（舍去），
所以，则，
所以，该催化剂在的活性指标为.
故答案为：C.
【分析】由方程，，得出的值，从而得出该催化剂在的活性指标.
8．【答案】C
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：设，则，
所以，
因为，
所以，
设时，与相交，
则，所以，
解得，所以，
则在定义域上，只有当时，函数与相交，
当时，由，解得，如图，
结合图象可知，的取值范围是.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件得出分段函数的解析式，从而确定函数与交点所在区间，进而求出不等式的解集，再由分段函数的图象得出其定义域上的解，从而得出实数x的取值范围.
9．【答案】B,C
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】A、取，，，，满足，，但，故A错误；
B、，若 ，则 ， ，即 ，
，若 ，则 ， ，即 ，
故 ，B正确；
C、，
因为，所以，，，
故，即，故C正确；
D、且，则，由可得 ，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】取特殊值即可判断A；利用不等式的基本性质即可判断BD；利用作差法比较大小即可判断C.
10．【答案】A,C
【知识点】一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：A、关于x的不等式的解集为，则和3是方程的两个实数根，且，故A正确；
B、由韦达定理可得，即，因为，，所以，故B错误；
C、由B选项可得：，故C正确；
D、由B选项可知：不等式，即，解得，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】由题意可得：和3是方程的两个实数根，且，利用韦达定理可得，再逐项分析判断即可.
11．【答案】A,B,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；奇偶函数图象的对称性；抽象函数及其应用
【解析】【解答】解：A、任意的，满足，令，得，故A正确；
B、令，得，则，即（*），
设，且，则，当时，，则，
由，
可得，即，则是上的增函数，故B正确；
C、由（*），可得，则的图象关于点对称，故C错误；
D、因，且，所以，
不等式化为，由题意可得，
因为是上的增函数，所以，解得，即不等式的解集为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由题意， 令，代入计算即可判断A；令，推得（*），利用函数单调性定义证明函数的单调性即可判断B；由（*）即可判断C；通过拼凑将不等式化成，再利用函数的单调性，结合一元二次不等式的解法求解即可判断D.
12．【答案】5
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：由题意，
可得：.
故答案为：5.
【分析】根据根式和指数幂运算法则，从而化简求值.
13．【答案】4
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由，，
可得，
则，
当且仅当时等号成立，
与联立，可得，时取等号.
故答案为：4.
【分析】由已知条件可得，再由展开后结合基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
14．【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；指数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：令，则，
当时，，解得；
当时，，解得或（舍）；
当时，，
（i）当时，，解得；
（ii）当时，，解得；
当时，，
（i）当时，，解得；
（ii）当时，，无解，
综上所述，实数的取值集合为.
故答案为：.
【分析】令，则，先解出，再分和分类讨论，则和，从而可得实数的值.
15．【答案】（1）解：解不等式，可得，即集合，
不等式，即，即，等价于，解得，即集合，
则；
（2）解：由，可得，
当时，，解得，满足条件；
当时，则，解得，
综上，，故实数m的取值范围为
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算；交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）分别解一元二次不等式、分式不等式求得集合A，B，再根据集合的交集运算求解即可；
（2）由，可得，分和，根据集合的包含关系列式求解即可.
（1）由题，，
，等价于，
解得，故，
所以
（2）由可得，，
①当，即，即时，满足条件；
②当时，有，解得，
综上，，故实数m的取值范围为
16．【答案】（1）解：当时，，，因为在上为奇函数，所以，
则，
函数图象，如图所示：
（2）解：当时， 不等式 为，
整理得，即，
因为，所以，，
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为 .
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的奇偶性；函数的图象；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）由题意，利用函数的奇偶性求函数的解析式，并作出函数图象即可；
（2）当时，原不等式等价于 ，再分和讨论求解即可.
（1）当时，，，
由在上为奇函数得，，
∴，
图象如图所示：
（2）当时，，
整理得，即，
∵，∴，∴，
当时，不等式解集为.
当时，不等式解集为 .
17．【答案】（1）解：方案一的总费用为元，
方案二的总费用为元，
则，
因为，，所以，即，
所以采用方案二，花费更少；
（2）解：由（1）可知：，
因为，，所以，，，
令，即，则，当时，时，上式等号成立，
由，可得，则，当且仅当，时等号成立，
故两种方案花费的差值S的最小值为24元.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）由题意，分别列出两种方案的总费用的表达式，作差比较即可；
（2） 求出S的表达式，利用换元法，结合基本不等式求解即可.
（1）方案一的总费用为元，
方案二的总费用为元，
则，
因为，，所以，即，
所以采用方案二，花费更少.
（2）由（1）可知：，
，，，，，
令，即，
，
当时，时，上式等号成立，
，可得，
，
当且仅当，时，等号成立，
所以两种方案花费的差值S的最小值为24元，
当且仅当，，，时，等号成立.
18．【答案】（1）解：因为为奇函数，所以，则，
即恒成立，则；
又因为为偶函数，所以，则，
即恒成立，则；
（2）解：定义域为，满足，则为奇函数；
因为，
，且，
则
，
因为，所以
则为上增函数；
（3）解：因为，所以，即，
又因为为上增函数，所以对任意恒成立，
当时，解集不为，则；
当时，则，解得，
综上实数的取值范围是.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；函数恒成立问题；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性定义求的值即可；
（2）利用函数的奇偶性定义判断的奇偶性；利用函数单调性的定义证明即可；
（3），将不等式转化为，再利用函数的单调性将不等式转化成对任意恒成立，再分类讨论解出的取值范围即可.
（1）解：由题意，为奇函数，为偶函数，
所以，即，
所以恒成立，所以；
所以，即，
所以恒成立，所以
（2）因为，
则的定义域为，
因为，所以为奇函数；
因为，
于是任取，且，
则
，
，
所以为上增函数；
（3）解：因为，
所以即，
又因为为上增函数，所以对任意恒成立，
当时，解集不为，所以；
当时，只需，可得到.
综上实数的取值范围是
19．【答案】（1）证明：因为函数是奇函数，所以，即，
设，则，整理得，即证；
（2）解：，
，
因为为奇函数，所以，，函数的对称中心为，
由发现规律：，，，
问题中累加求和式子；
（3）解：，都有，
令，则，解得，即函数图象关于点中心对称，
由问题中不等式可得：，
因为，所以，
整理得，
则，
因为定义域为，所以定义域为，
又因为且在其定义域内单调递增，所以在其定义域内单调递增，
所以，解得
【知识点】函数单调性的性质；奇偶函数图象的对称性；函数恒成立问题
【解析】【分析】由函数是奇函数，可得，即，令，利用换元法化简证明即可；
由可得，根据，求出a、b，发现规律：，，，累加求解即可；
根据，得到，结合得到，再根据单调性求解k的取值范围即可.
（1）由已知得：，即，
设，则，
整理，得：，即证；
（2），
，
因为为奇函数，可得：，，
故函数的对称中心为，
由发现规律：，，，
问题中累加求和式子；
（3）因为，都有，
令，则有，解得，
所以图象关于点中心对称，
由问题中不等式可得：，
，
所以，
整理得：，
则：，
定义域为，定义域为，
又且在其定义域内单调递增，
在其定义域内单调递增，
，
解得：
1 / 1广东省广州市玉岩中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题
1．（2025高一上·广州期中）命题“，”的否定是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题“，”的否定是“，”.
故答案为：C.
【分析】根据命题否定的定义直接判断即可.
2．（2025高一上·广州期中）已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，
又因为 ，
所以.
故答案为：B.
【分析】先解一元二次不等式结合元素与集合的关系，从而得出集合B，再利用交集的运算法则，从而得出集合.
3．（2025高一上·广州期中）已知，则是的（　　）
A．充分不必要条件 B．充分必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式
【解析】【解答】解：等价于，
当时，满足，但，即充分性不成立，
说明可以推出，即必要性成立，
则是的必要不充分条件.
故答案为：C.
【分析】根据不等式的性质，结合充分、必要条件的定义判断即可.
4．（2025高一上·广州期中）若函数是上的单调函数，则的一个可能取值是（　　）
A． B．2 C．3 D．5
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：易知函数在]上单调递减，
则函数在上单调递减，即，结合选项验证可得：可以取5.
故答案为：D.
【分析】易知二次函数在]上单调递减，则函数在上单调递减，由题意得到，结合选项验证求值即可即可.
5．（2025高一上·广州期中）函数的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，即函数为奇函数，故CD不符合；
当时，，，则，故B不符合.
故答案为：A.
【分析】先求函数的定义域，再根据奇偶函数的定义判断函数的奇偶性即可判断CD；根据指数函数的性质可得当时，函数值的正负即可判断B.
6．（2025高一上·广州期中）已知函数的定义域为，是偶函数，是奇函数，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的值
【解析】【解答】解：因为函数的定义域为，是偶函数，
所以，则，
又因为是奇函数，
所以，则，
所以，则.
故答案为：.
【分析】根据奇函数的定义和偶函数的定义，从而列式消去，进而得到函数的解析式，再利用代入法得出函数的值.
7．（2025高一上·广州期中）某催化剂的活性指标（单位：kgPP/gCat）与反应温度（单位：）满足函数关系：（其中为常数，···，是一个和类似的无理数）.若在时的活性指标为11kgPP/gCat，若在时的活性指标为83kgPP/gCat，则该催化剂在的活性指标为（　　）
A．125kgPP/gCat B．225kgPP/gCat
C．245kgPP/gCat D．250kgPP/gCat
【答案】C
【知识点】有理数指数幂的运算性质；“指数爆炸”模型
【解析】【解答】解：由题意，可得：，，
两式相减，可得：，
所以，
则或（舍去），
所以，则，
所以，该催化剂在的活性指标为.
故答案为：C.
【分析】由方程，，得出的值，从而得出该催化剂在的活性指标.
8．（2025高一上·广州期中）设函数的定义域为，且，当时，若，则的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：设，则，
所以，
因为，
所以，
设时，与相交，
则，所以，
解得，所以，
则在定义域上，只有当时，函数与相交，
当时，由，解得，如图，
结合图象可知，的取值范围是.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件得出分段函数的解析式，从而确定函数与交点所在区间，进而求出不等式的解集，再由分段函数的图象得出其定义域上的解，从而得出实数x的取值范围.
9．（2025高一上·广州期中）下列说法正确的是（　　）
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若且，则
【答案】B,C
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】A、取，，，，满足，，但，故A错误；
B、，若 ，则 ， ，即 ，
，若 ，则 ， ，即 ，
故 ，B正确；
C、，
因为，所以，，，
故，即，故C正确；
D、且，则，由可得 ，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】取特殊值即可判断A；利用不等式的基本性质即可判断BD；利用作差法比较大小即可判断C.
10．（2025高一上·广州期中）已知关于x的不等式的解集为，下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．不等式的解集为或
【答案】A,C
【知识点】一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：A、关于x的不等式的解集为，则和3是方程的两个实数根，且，故A正确；
B、由韦达定理可得，即，因为，，所以，故B错误；
C、由B选项可得：，故C正确；
D、由B选项可知：不等式，即，解得，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】由题意可得：和3是方程的两个实数根，且，利用韦达定理可得，再逐项分析判断即可.
11．（2025高一上·广州期中）已知函数的定义域为，对任意的，都满足，且，当时，，下列结论正确的是（　　）
A．
B．是上的增函数
C．的图象关于点对称
D．不等式的解集为
【答案】A,B,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；奇偶函数图象的对称性；抽象函数及其应用
【解析】【解答】解：A、任意的，满足，令，得，故A正确；
B、令，得，则，即（*），
设，且，则，当时，，则，
由，
可得，即，则是上的增函数，故B正确；
C、由（*），可得，则的图象关于点对称，故C错误；
D、因，且，所以，
不等式化为，由题意可得，
因为是上的增函数，所以，解得，即不等式的解集为，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由题意， 令，代入计算即可判断A；令，推得（*），利用函数单调性定义证明函数的单调性即可判断B；由（*）即可判断C；通过拼凑将不等式化成，再利用函数的单调性，结合一元二次不等式的解法求解即可判断D.
12．（2025高一上·广州期中）　 　.
【答案】5
【知识点】有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：由题意，
可得：.
故答案为：5.
【分析】根据根式和指数幂运算法则，从而化简求值.
13．（2025高一上·广州期中）已知正数x，y满足，则的最小值是　 　.
【答案】4
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：由，，
可得，
则，
当且仅当时等号成立，
与联立，可得，时取等号.
故答案为：4.
【分析】由已知条件可得，再由展开后结合基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
14．（2025高一上·广州期中）已知函数，若，则实数的取值集合为　 　.
【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；指数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：令，则，
当时，，解得；
当时，，解得或（舍）；
当时，，
（i）当时，，解得；
（ii）当时，，解得；
当时，，
（i）当时，，解得；
（ii）当时，，无解，
综上所述，实数的取值集合为.
故答案为：.
【分析】令，则，先解出，再分和分类讨论，则和，从而可得实数的值.
15．（2025高一上·广州期中）已知全集，集合，集合
（1）求
（2）若集合，且满足，求实数m的取值范围.
【答案】（1）解：解不等式，可得，即集合，
不等式，即，即，等价于，解得，即集合，
则；
（2）解：由，可得，
当时，，解得，满足条件；
当时，则，解得，
综上，，故实数m的取值范围为
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算；交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）分别解一元二次不等式、分式不等式求得集合A，B，再根据集合的交集运算求解即可；
（2）由，可得，分和，根据集合的包含关系列式求解即可.
（1）由题，，
，等价于，
解得，故，
所以
（2）由可得，，
①当，即，即时，满足条件；
②当时，有，解得，
综上，，故实数m的取值范围为
16．（2025高一上·广州期中）已知函数为上的奇函数，当时，.
（1）请在坐标系中画出的图象，并写出的解析式；
（2）当时，求关于x的不等式的解集.
【答案】（1）解：当时，，，因为在上为奇函数，所以，
则，
函数图象，如图所示：
（2）解：当时， 不等式 为，
整理得，即，
因为，所以，，
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为 .
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的奇偶性；函数的图象；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）由题意，利用函数的奇偶性求函数的解析式，并作出函数图象即可；
（2）当时，原不等式等价于 ，再分和讨论求解即可.
（1）当时，，，
由在上为奇函数得，，
∴，
图象如图所示：
（2）当时，，
整理得，即，
∵，∴，∴，
当时，不等式解集为.
当时，不等式解集为 .
17．（2025高一上·广州期中）随着一年一度的双十一网络购物节促销活动的临近，某男装店推出两款不同颜色的格子衬衫，分别为白色立领衬衫和灰色方领衬衫，已知白色立领衬衫单价为x元，灰色方领衬衫单价为y元，现有两种购买方案：
方案一：白色立领衬衫购买数量为a件，灰色方领衬衫购买数量为b件，共消费记为元；
方案二：白色立领衬衫购买数量为b件，灰色方领衬衫购买数量为a件，共消费记为元.其中，且a，
（1）试问哪种购买方案花费更少 请说明理由；
（2）若a，b，x，y同时满足关系，，求这两种购买方案消费差值S的最小值注：差值消费较大值-消费较小值
【答案】（1）解：方案一的总费用为元，
方案二的总费用为元，
则，
因为，，所以，即，
所以采用方案二，花费更少；
（2）解：由（1）可知：，
因为，，所以，，，
令，即，则，当时，时，上式等号成立，
由，可得，则，当且仅当，时等号成立，
故两种方案花费的差值S的最小值为24元.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）由题意，分别列出两种方案的总费用的表达式，作差比较即可；
（2） 求出S的表达式，利用换元法，结合基本不等式求解即可.
（1）方案一的总费用为元，
方案二的总费用为元，
则，
因为，，所以，即，
所以采用方案二，花费更少.
（2）由（1）可知：，
，，，，，
令，即，
，
当时，时，上式等号成立，
，可得，
，
当且仅当，时，等号成立，
所以两种方案花费的差值S的最小值为24元，
当且仅当，，，时，等号成立.
18．（2025高一上·广州期中）已知定义在上的奇函数，偶函数，.
（1）求的值；
（2）判断的奇偶性，判断并用定义法证明的单调性；
（3）已知对任意恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：因为为奇函数，所以，则，
即恒成立，则；
又因为为偶函数，所以，则，
即恒成立，则；
（2）解：定义域为，满足，则为奇函数；
因为，
，且，
则
，
因为，所以
则为上增函数；
（3）解：因为，所以，即，
又因为为上增函数，所以对任意恒成立，
当时，解集不为，则；
当时，则，解得，
综上实数的取值范围是.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；函数恒成立问题；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性定义求的值即可；
（2）利用函数的奇偶性定义判断的奇偶性；利用函数单调性的定义证明即可；
（3），将不等式转化为，再利用函数的单调性将不等式转化成对任意恒成立，再分类讨论解出的取值范围即可.
（1）解：由题意，为奇函数，为偶函数，
所以，即，
所以恒成立，所以；
所以，即，
所以恒成立，所以
（2）因为，
则的定义域为，
因为，所以为奇函数；
因为，
于是任取，且，
则
，
，
所以为上增函数；
（3）解：因为，
所以即，
又因为为上增函数，所以对任意恒成立，
当时，解集不为，所以；
当时，只需，可得到.
综上实数的取值范围是
19．（2025高一上·广州期中）我们知道函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有的同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.
（1）由上述信息，若的图象关于点成中心对称图形，证明：；
（2）已知函数，写出图象的对称中心，并求的值.
（3）若函数具有以下性质：
①定义域为，
②在其定义域内单调递增，
③，都有
当函数，求使不等式成立的实数的取值范围.
【答案】（1）证明：因为函数是奇函数，所以，即，
设，则，整理得，即证；
（2）解：，
，
因为为奇函数，所以，，函数的对称中心为，
由发现规律：，，，
问题中累加求和式子；
（3）解：，都有，
令，则，解得，即函数图象关于点中心对称，
由问题中不等式可得：，
因为，所以，
整理得，
则，
因为定义域为，所以定义域为，
又因为且在其定义域内单调递增，所以在其定义域内单调递增，
所以，解得
【知识点】函数单调性的性质；奇偶函数图象的对称性；函数恒成立问题
【解析】【分析】由函数是奇函数，可得，即，令，利用换元法化简证明即可；
由可得，根据，求出a、b，发现规律：，，，累加求解即可；
根据，得到，结合得到，再根据单调性求解k的取值范围即可.
（1）由已知得：，即，
设，则，
整理，得：，即证；
（2），
，
因为为奇函数，可得：，，
故函数的对称中心为，
由发现规律：，，，
问题中累加求和式子；
（3）因为，都有，
令，则有，解得，
所以图象关于点中心对称，
由问题中不等式可得：，
，
所以，
整理得：，
则：，
定义域为，定义域为，
又且在其定义域内单调递增，
在其定义域内单调递增，
，
解得：
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