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图形的变换
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旋 转
1.通过具体实例认识图形的旋转，理解旋转的概念.
2.经历对生活中旋转现象的观察、分析的过程，探索旋转的基本性质.
3.能画出简单图形关于给定旋转中心经过旋转后的图形.
4.通过具体实例认识中心对称及中心对称图形，探索中心对称的性质，
并会画已知图形关于某点的中心对称图形.
5.理解中心对称和中心对称图形之间的区别和联系.
旋转是日常生活与自然界中的常见现象. 观察下图，你还能找到类似的例子吗
一般地，在平面内，把一个图形绕一个定点按某个方向转动一定角度得到另一个图形的平面变换叫作旋转(rotation)，这个定点称为旋转中心，转动的角度称为旋转角.
如图9-24, △ABC绕点O按逆时针方向旋转得到△A'B'C', 点O为旋转中心, θ为旋转角, 点A的对应点是A', 线段A'B'是线段AB的对应线段, A'B'=AB, ∠A'B'C'是∠ABC的对应角, ∠A'B'C'=∠ABC.
由旋转的定义可知：
在图9-25中, 哪些三角形可以由△ABC旋转得到 旋转中心和旋转角分别是什么 写出旋转前后的对应点、对应线段和对应角.
如图所示，△CAD, △ADE, △AEF，△AFG, △AGB是由△ABC旋转得到的.
(1)①△ACD由△ABC旋转得到，旋转中心是点A，旋转角是逆时针60°.
对应点：点A与点A, 点C与点D, 点B与点C；
对应线段：AB与AC, AC与AD, BC与CD；
对应角：∠CAB 与∠DAC, ∠CBA与∠DCA, ∠ACB与∠ADC.
②△DAC由△ABC旋转得到, 旋转中心是点C, 旋转角是顺时针60°.
对应点：点A与点D, 点C与点C, 点B与点A;
对应线段：AB与DA, AC与DC, BC与AC;
对应角：∠CAB与∠CDA, ∠CBA与∠CAD, ∠ACB 与∠DCA.
(2) △ADE由△ABC旋转得到, 旋转中心是点A，旋转角是逆时针120°.
对应点：点A与点A, 点C与点E, 点B与点D;
对应线段：AB与AD, AC与AE, BC与DE;
对应角： ∠CAB与∠EAD, ∠CBA与∠EDA, ∠ACB与∠AED.
(3) △AEF由△ABC旋转得到, 旋转中心是点A, 旋转角是逆时针(或顺针)180°.
对应点：点A与点A, 点C与点F, 点B与点E;
对应线段：AB与AE, AC与AF, BC与EF;
对应角： ∠CAB与∠FAE, ∠CBA与∠FEA, ∠ACB与∠AFE.
(4) △AFG由△ABC旋转得到, 旋转中心是点A. 旋转角是顺时针120°.
对应点：点A与点A, 点C与点G, 点B与点F;
对应线段：AB与AF, AC与AG, BC与FG;
对应角： ∠CAB与∠GAF, ∠CBA与∠GFA, ∠ACB与∠AGF.
(5)①△AGB由△ABC旋转得到，旋转中心是点A，旋转角是顺时针60°.
对应点：点A与点A, 点C与点B, 点B与点G；
对应线段：AB与AG, AC与AB, BC与GB；
对应角：∠CAB 与∠BAG, ∠CBA与∠BGA, ∠ACB与∠ABG.
②△GBA由△ABC旋转得到, 旋转中心是点B, 旋转角是逆时针60°.
对应点：点A与点G, 点C与点A, 点B与点B;
对应线段：AB与GB, AC与GA, BC与BA;
对应角：∠CAB与∠AGB, ∠CBA与∠ABG, ∠ACB 与∠GAB.
如图9-26，在正方形ABCD中，点E在边CD上，画出△AED绕点A按顺时针方向旋转90°后的图形.
分析：利用网格分别确定三角形顶点旋转后的对应点.
解：如图 9-27, 点D绕点A按顺时针方向旋转90°到点B. 点E绕点A按顺时针方向旋转90°到点F. 连接 AF，FB，△AFB即为所求.
如图9-28, 画出△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°后的图形.
如图所示：
1.如图，正方形A'B'C'D'是正方形ABCD按顺时针方向旋转
一定的角度得到的，写出旋转中心和旋转角，以及图中
相等的线段与相等的角.
解：旋转中心是点B，旋转角是∠A'BA(或C'BC);
相等的线段：AB=BC=CD=DA=A'B'=B'C'=C'D'=D'A';
相等的角：∠A'BA=∠C'BC;
∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠A'=∠A'B'C'=∠C'=∠D'.
2.如图, 在△ABC中, D是边AC的中点, 画出△ABC绕点D按逆时针
方向旋转180°后的三角形.
解：如图所示，△A'B'C是所求作的三角形.
平移、轴对称、旋转所具有的共同性质是变换前后的两个图形可以重合，对应线段相等，对应角也相等. 除此之外，旋转还有哪些特殊的性质呢
点E, D的对应点分别为 F, B, AE =AF, AD =AB, ∠FAE=∠BAD=90°, 即∠FAE 与∠BAD 都等于旋转角.
一般地，图形的旋转具有如下性质：
在图9-30中, 画出线段AB绕点O按逆时针方向旋转60°后的图形.
如图所示，线段A'B'即为所求.
如图9-31, 把△ABC绕点A按逆时针方向旋转60°得到△A'B'C' . 已知∠BAC =50°, 求 ∠CAB', ∠BAC'的大小.
解：
将一条线段绕其一个端点旋转60°, 连接对应点可以得到怎样的图形 旋转90°呢
等边三角形；等腰直角三角形.
1.如图, △ABC是由△DEF经过旋转得到的.
(1)写出两个三角形的对应点、对应边和对应角;
(2)写出相等的线段和相等的角.
解：(1)对应点：点A与点D, 点B与点E, 点C与点F;
对应边：边AB与边DE, 边BC与边EF, 边AC与边DF;
对应角：∠ABC与∠DEF, ∠BAC与∠EDF, ∠ACB与∠DFE.
(2)相等线段：AB=DE, BC=EF, AC=DF；
相等角：∠ABC =∠DEF, ∠BAC =∠EDF, ∠ACB=∠DFE.
2.如图, 在方格纸中先把△ABC绕点O按逆时针方向旋转90°, 得到△A1B1C1; 再把 △A1B1C1 按同样方式旋转, 得到 △A2B2C2; 把 △A2B2C2 按同样方式旋转, 得到△A3B3C3 画出所有的三角形, 它们所围成的是什么图形
解：如图所示，它们围成的图形是两个正方形，其中正方形AA1A2A3 的四个顶点分别在正方形BB1B2B3 的四条边上.
在现实生活中, 除了轴对称, 还有另一种对称. 观察下图, 你有什么发现
一般地, 在平面内, 若一个图形是由另一个图形绕某个点旋转180°得到的, 则称这两个图形成中心对称(central symmetry), 这个点叫作对称中心, 两个对称图形上的对应点叫作对称点.
由于中心对称是特殊的旋转, 所以具有旋转的所有性质. 例如, 成中心对称的两个图形可以重合, 对应边相等, 对应角也相等.
如图9-32, △ABC绕点O旋转180°后得到 △A'B'C', △ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称, 点O是对称中心, 点A关于点O的对称点是A', A'B'是AB的对应线段, ∠B'A'C'是∠BAC的对应角.
发现：线段 AA', BB', CC' 都经过点O且点O是这些线段的中点.
一般地，中心对称具有如下性质:
在图9-33中，画△ABC关于点C对称的三角形.
解：如图 9-34，延长 AC 到点A'，使 CA' = CA. 点 A'即为点A的对称点. 类似地，找到点B关于点C的对称点B'，顺次连接点 A' , B', C. △A'B'C即为所求.
发现：平行四边形ABA'B'绕点C旋转180°
后与自身重合.
例如：长方形、正方形、圆等.
把一个图形绕某一点旋转180°, 如果旋转后的图形就是其本身, 那么这个图形叫作中心对称图形(centrally symmetric figure), 这个点就是它的对称中心.
图9-36中的三个图形均为中心对称图形，请完成下列操作:
(1)分别找出它们的对称中心;
(2)分别在各个图形上任取一点，找出它的对称点.
对称中心都是点O.
点A的对称点是点B. (答案不唯一)
1.如图, 在△ABC中, O是AC的中点, 画出△ABC关于点
O对称的△A'B'C'.
解：如图所示，△A'B'C' 即为所求.
2.线段是中心对称图形吗 如果是，找到它的对称中心.
解：线段是中心对称图形，对称中心是它的中点.
3.如图，四边形①，②，③，④的顶点都在格点上，直线x，y是网格线，指出图形①，②，③，④中每两个图形之间的对称关系.
解：①与②，③与④分别关于直线y对称；
①与④，②与③分别关于直线x对称；
①与③，②与④分别关于点O成中心对称.
谢谢观看

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