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图形的变换
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轴对称
1.通过具体实例了解轴对称和轴对称图形的概念，并能找出它们的对
称轴和对称点.
2.知道轴对称、轴对称图形的区别与联系.
3.知道线段的垂直平分线的概念, 知道成轴对称的两个图形中，不在
对称轴上的两个对应点的连线段被对称轴垂直平分.
4.会画简单的平面图形(点、线段、直线、三角形等)关于给定对称轴
的对称图形.
轴对称是自然界和日常生活中的常见现象.
1.在一张纸上滴一滴墨汁，将纸对折、压平，然后重新展开，你有什么发现
2.将一张透明纸对折，在折痕的一边画一个三角形，在折痕的另一边描出这个三角形，展开透明纸，你有什么发现
1.发现纸上有两滴关于折痕对称的墨迹.
2.发现两个三角形关于折痕对称.
一般地，将一个平面图形沿某条直线翻折后得到另一个图形的平面变换叫作轴对称(line symmetry), 这条直线叫作对称轴(axis of symmetry), 此时称这两个图形成轴对称.
如图9-12, △ABC和△A'B'C'关于直线l对称, 直线l是对称轴, 点A的对应点是A', 也叫作对称点, 线段A'B'是线段AB 的对应线段, A'B' =AB; ∠A' 是∠A 的对应角, ∠A'=∠A .
由轴对称的定义可知：
(1)在图9-13 (1)中, 哪些三角形可以由△ABC经过轴对称变换得到
写出轴对称变换前后的对应边和对应角.
(2)图9-13 (2)中的两个三角形成轴对称, 你能找到它们的对称轴吗
(1) 如图所示，△ADC，△AED，△AFE，△AGF，△ABG 可以由△ABC经
过轴对称变换得到.
①△ADC与△ABC的对应边：AB与AD，AC与AC，BC与DC；
对应角：∠CAB与∠CAD，∠CBA与∠CDA，∠ACB与∠ACD.
②△AED与△ABC的对应边：AB与AE，AC与AD，BC与ED；
对应角：∠CAB与∠DAE，∠CBA与∠DEA，∠ACB与∠ADE.
③△AFE与△ABC的对应边：AB与AF，AC与AE，BC与FE；
对应角：∠CAB与∠EAF，∠CBA与∠EFA，∠ACB与∠AEF.
④△AGF与△ABC的对应边：AB与AG，AC与AF，BC与GF；
对应角：∠CAB与∠FAG，∠CBA与∠FGA，∠ACB与∠AFG.
⑤△ABG与△ABC的对应边：AB与AB，AC与AG，BC与BG；
对应角：∠CAB与∠GAB，∠CBA与∠GBA，∠ACB与∠AGB.
(2)如图所示，直线MN是对称轴.
如图9-14，点O在直线l上, 格点A在直线l外.画出线段OA关于直线l的对称线段
分析：利用网格确定线段端点的对称点;对称轴上的点的对称点是其自身.
如图9-15, 画点A关于直线l的对称点B, 连接OB, 线段OB即为所求.
1.如图, 在方格纸上画出△ABC关于直线l对称的三角形, 写出
对应边与对应角.
解：如图所示，△DFE是△ABC关于直线l对称的三角形.
对应边：AB与DF, AC与DE, BC与FE;
对应角：∠CAB与EDF，∠CBA 与∠EFD，∠ACB与∠DEF.
2.在格点纸上以l为对称轴，画出给定图形的对称图形.
如图所示
1.在长方形透明纸上画线段AB. 折叠纸片, 使点A, B重合.
2.展开纸片, 记折痕所在的直线为l, 将l与线段AB的交点记为点O, 在l上任取一点C, 连接CA, CB.
3. CA和CB相等吗 若点D满足DA=DB, 点D一定在直线l上吗
AB与CD有怎样的位置关系
CA=CB；点D一定在直线l上；CD⊥AB.
在上述活动中,直线l⊥AB, 垂足为O, 且OA=OB. 像这样, 垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线(perpendicular bisector), 简称中垂线 .
如图9-16, 如果直线l是线段AB的垂直平分线, 点O为垂足, 那么线段OA与OB关于l成轴对称, A, B 为对称点, 点O的对称点是其自身.
△COA与△COB关于直线l成轴对称.
还有△DOA与△DOB关于直线l成轴对称； △DAC与△DBC关于直线l成轴对称.
尺规作图：如图9-17, 已知线段AB, 作线段AB的垂直平分线.
分析：由上述活动得到启发, 要作线段 AB 的垂直平分线l, 关键是确定点C和点D的位置.因为CA与CB, DA与DB都关于l对称, 所以CA=CB, DA=DB. 为了作图方便, 可以取CA=DA.
作法：① 分别以点A, 点B为圆心, 取大于AB长为半径, 作两条相交的弧, 交点记为C, D.
② 作直线CD, 与AB交于点O. 直线CD 即为所求.
线段CA与线段CB；线段DA与线段DB.直线AB是线段CD的垂直平分线.
1.如图，画正方形一条对角线的中垂线.
如图所示：
2.如图，用直尺和圆规分别过点P作直线l的垂线.
解：(1)如图1所示.
①以点P为圆心，以适当长为半径作弧，交直线l于点A, B.
②分别以点A, 点B为圆心, 取大于AB长为半径, 作两段相交的弧, 交点记为C, D.
③作直线CD, 直线CD即为所求.
(2)如图2所示.
①在直线l的另一侧取点K.
②以点P为圆心, 以PK为半径作弧, 交直线l于点A, 点B.
③分别以点A, 点B为圆心, 取大于AB长为半径, 作两段相交的弧,
交点记为C, D.
④作直线CD, 直线CD即为所求.
我们知道，点A, A'关于线段AA'的垂直平分线对称. 反过来, 如果点A, A'关于直线l对称, 那么l是线段AA'的垂直平分线吗
(1)如图9-18 (1), 把一张纸对折后, 用针扎两个孔; 如图9-18 (2),把纸展开, 针孔分别记为点A和点A', 点B和点B', 折痕记为l, 连接AB, A'B'. 线段AB与线段A'B'关于直线l对称. 连接AA', BB',线段AA', BB'与直线l有什么位置关系
图9-18
直线l垂直平分线段AA' 和线段BB'.
(2)如图9-19, 仿照上面的操作, 找第三个点C, 再扎孔、展开、标记、连线, △ABC与△A'B'C'关于直线l对称. 连接CC', 线段CC'与直线l有什么位置关系
直线l垂直平分线段CC'.
一般地，轴对称具有如下性质:
也就是说，成轴对称的两个图形中，对称轴是任意两个对称点连线段的垂直平分线.
如图9-20, 已知线段AB和直线l, 用直尺和圆规作线段AB关于直线l对称的线段.
作法：①过点A作AE⊥l, 垂足为E, 在AE的延
长线上截取线段EA', 使得EA'=AE.
②过点B作BF⊥l, 垂足为F, 在BF的延长线上截取线段FB',使得FB'=BF, 连接A'B'. 线段A'B'即为所求.
如图9-21, 已知△ABC和直线l, 点C在l上. 用直尺和圆规作△ABC关于直线l对称的三角形.
如图所示：
1.画出下图中成轴对称的两个图形的对称轴.
如图所示：
2.在四边形ABCD中, 点D, C在直线l上, AD⊥l, BC⊥l.
画四边形ABCD关于直线l对称的图形.
如图所示：
观察下面三个图案，它们有什么共同特征
如果一个图形关于某条直线成轴对称的图形是其本身, 那么称这个图形是轴对称图形(axially symmetric figure), 这条直线就是对称轴.
下列各图是轴对称图形吗 如果是, 画出对称轴.
都是轴对称图形. 对称轴如图所示.
要判断一个图形是否为轴对称图形，可以把这个图形沿某一条直线对折，如果对折后的两部分关于这条直线对称，那么原来的图形就是轴对称图形，这条直线是对称轴.
尺规作图：如图9-22, 已知∠AOB, 作∠AOB的平分线.
分析：如图9-23, 在作线段AB的垂直平分线时, 我们知道四边形ACBD 是轴对称图形, AB和CD都是它的对称轴, 那么AB是∠CAD的平分线. 因此, 要作∠CAD 的平分线, 关键是确定点B. 可以通过作等长线段得到点B.
作法：
① 以点O为圆心、任意长为半径作弧, 与OA, OB分别交于点P, Q；
② 分别以点P, Q为圆心, 取大于PQ 长为半径作弧, 交于点O', 连接OO'.
射线OO'即为所求.
1.如图, 方格纸中有一个等腰梯形, 它是轴对称图形吗 如果是,
作出对称轴.
解：是. 对称轴如图所示.
2.如图，方格纸上有两条线段，请用不同的方法将其补成一个
轴对称图形.
解：如图所示，画出①②③④ 4条线段中的1条即可.
3.如图, 光线射向水平镜面, 反射角等于入射角. 入射光线与反射
光线是否成轴对称 如果是, 作出对称轴.
解：是. 如图所示
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