资源简介

(共30张PPT)
定义 命题 证明
12
.4
12
定 理
1.会证明三角形的内角和定理及其推论，能应用定理或推论进行相关证明或计算.
2.掌握多边形的内角和与外角和公式，并能运用其解决计算问题.
3.掌握反证法的定义，能用反证法进行相关证明.
在小学里，我们已经知道“三角形的内角和等于180°”，当时是用 “撕角”的办法来说明的. 下面，我们来证明这个命题:
证明：作边BC的延长线CD，过点C作CE∥AB(图12-5).
经过证明之后，就可以把这个命题叫作三角形内角和定理：
你还能用其他方法证明三角形内角和定理吗
解：
解：
一般情况下，数学中把一些基本的、重要的真命题叫作定理(theorem). 定理可以作为证明后续命题的依据.
证明：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
已知：如图12-6，∠ACD是△ABC的一个外角，∠A, ∠B 是
与它不相邻的两个内角.
求证：∠ACD =∠A+∠B.
证明：∵∠ACD+∠ACB=180°(平角的定义),
∠A+∠B+∠ACB =180°(三角形内角和定理),
∴∠ACD =180°－∠ACB,
∠A+∠B =180°－∠ACB (等式的性质).
∴∠ACD =∠A+∠B (等量代换).
由例1，我们根据三角形内角和定理推出了一个新结论. 像这样，由一个定理直接推出的重要结论，一般叫作这个定理的推论. 它和定理一样，也可以作为后续证明的依据.
1.已知：如图，AC，BD相交于点O.
求证：∠A+∠B =∠C+∠D.
证明：在△AOB中，∠A＋∠B＋∠AOB=180°(三角形内角和定理)，
∴∠A+∠B=180°－∠AOB.
同理∠C+∠D =180°－∠COD.
∠AOB=∠COD(对顶角相等).
∠A+∠B=∠C+∠D.
2.写出“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题，判断真假并
给出证明.
解：逆命题：两个锐角互余的三角形是直角三角形.逆命题是真命题.
已知：如图，△ABC中，∠A＋∠B=90°.
求证： △ABC是直角三角形.
证明： ∵∠A＋∠B＋∠C=180°三角形内角和定理)，∠A＋∠B=90°(已知)，
∴∠C=180°－90°=90°.
∴△ABC是直角三角形.
图12-7是一个任意的四边形ABCD. 在四边形内部任取一点P，连接点P与4个顶点就得到了4个三角形. 这4个三角形的内角和减去以P为顶点的周角就是四边形的内角和，即
四边形ABCD的内角和=180°×4－360°
=180°× (4－2)=360°.
对任意的五边形，同样可得：
五边形的内角和=180°×5－360°=180°×(5－2)=540°.
对于n边形的内角和，你有什么猜想
n边形的内角和为(n－2)·180°.
一般地，可以得到多边形内角和定理：
多边形有内角，也有外角，如图12-8，延长CD，得到射线CF，∠EDF 是五边形ABCDE的一个外角. 顺次延长多边形的各边：AB，BC，CD，...，在每个顶点处得到一个外角，这些外角的和叫作这个多边形的外角和.
如图12-9, △ABC的3个内角及3个对应外角共形成3个平角，因为三角形的内角和为180°, 所以三角形的外角和是
180°×3－180°，即360°.
如图12-10, 四边形ABCD的4个内角及4个对应外角共形成4个平角，因为四边形的内角和为360°, 所以四边形的外角和是180°×4－360°, 即360°.
我们可以把上面的结果推广到一般的n边形，得到:
多边形的外角和=180°·n－多边形的内角和
=180°·n－180°·(n－2)
=180°×2=360°.
这样就得到了多边形外角和定理:
1.求证：如果一个n边形的所有内角都相等，那么其内角为
.
证明：∵n边形的内角和为(n－2)·180°=180°×n－360°，
∴当n边形的所有内角都相等时，其内角为
.
2.多边形中小于120°的内角最多有几个
解：多边形中小于120°的内角最多有5个。
通过实验验证多边形外角和定理
多边形外角和定理告诉我们，多边形的外角和与边数无关. 可以通过下面的实验来验证这一结论.
在操场上画出一个任意的多边形，比如图中的六边形ABCDEF，然后从边AB上的一点S出发，沿着A→B方向，到达点B后再转向B→C方向，转过的角度恰好等于多边形的一个外角.
想一想，这样走完一圈回到点S后，一共转过了多少度
也可以用平行线的性质来验证多边形外角和定理. 将多边形的边向内部平移. 在平移过程中，虽然多边形的大小发生变化，但外角的大小都不变. 当各边都平移到同一点时，所有的外角正好拼成一个周角，即360°.
要证明一个命题，一般需要从命题的条件出发，一步一步地推出命题的结论. 有时候，我们也可以反过来考虑.
假设△ABC中不止一个钝角，那么可能有两个钝角或三个钝角. 当有两个钝角时，不妨设∠A，∠B均为钝角，即∠A>90°, ∠B>90°, 则∠A+∠B>180°, 所以∠A+∠B+∠C>180°, 这与
∠A+∠B+∠C=180°矛盾. 同理，当有三个钝角时，也与∠A+∠B+∠C=180°矛盾. 所以假设不正确. 于是△ABC中最多只能有一个钝角.
像上面这样，我们通过否定命题的结论，发现了矛盾，从而反过来肯定命题结论成立的证明方法叫作反证法.
证明：
这样，我们就证明了平行线的性质定理：
用反证法证明一个命题的步骤一般为：
1.先假设命题的结论不成立.
2.从这个假设出发，经过若干步推理，得出矛盾.
3.由矛盾判定假设不正确，从而肯定原来命题的结论成立.
在说明一个命题是假命题时，常用“举反例”的方法. 举反例的关键是找到一个符合命题条件，但不符合命题结论的例子.
解：
1.用反证法证明：已知a, b, c是三条不同的直线, 如果a∥b，a与c 相交，那么b与c相交.
证明：假设b与c不相交，那么b∥c.
∵a∥b，∴a∥c.
这与“a与c相交”矛盾.
∴假设不成立，b与c相交.
2.举反例说明下列命题是假命题:
(1)如果 | a | = | b |，那么a = b；
(2)任何数的平方都大于0；
(3)两个锐角的和是钝角；
(4)如果一点到线段两端的距离相等，那么这个点是这条线段的中点.
解：(1)反例：a=2, b=－2，| a | = | b |, 但 a≠b.
(2)反例：0的平方等于0.
(3)反例：∠α=10°,∠β=20°,∠α＋∠β=30°, 但30°角是锐角.
(4)反例：如图所示，AC=BC，但点C不是线段AB的中点.
谢谢观看

展开更多......

收起↑