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第8章 相交线与平行线
8.3
平行线的性质
两条直线被第三条直线所截，由同位角、内错角、同旁内角的数量关系可以判定两条直线平行。如果两条直线平行，那么同位角、内错角、同旁内角有怎样的关系
如图8.3-1，练习本上的横格线都是互相平行的，从中任选两条，分别记作 a，b。画一条直线 l 分别与直线 a，b 相交，形成八个角。
度量其中的每对同位角，你有什么发现
任选一对同位角(如∠1与∠5)，用量角器量出它们的度数，发现∠1＝∠5。
平行线性质定理 Ⅰ
两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。
简单说成：两直线平行，同位角相等。
在图8.3-1中，每对内错角的大小有什么关系 请说明理由。
图中每对内错角分别相等。
因为 a ∥ b，
所以根据平行线性质定理工，得∠1＝∠5。
又因为∠1＝∠3，所以∠3＝∠5。
同理，∠4＝∠6。
平行线性质定理 Ⅱ
两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，同旁内角互补。
简单说成：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。
例
如图8.3-2，直线 a ∥ b，c ∥ d，∠1＝106°，求∠2，∠3，∠4 的度数。
解：因为 a ∥ b，
所以根据两直线平行，内错角相等，得 ∠2＝∠1。
因为∠1＝106°，
所以∠2＝106°。
因为 c ∥ b，
所以根据两直线平行，同位角相等，得
∠3＝∠2。
所以 ∠3＝106°。
根据两直线平行，同旁内角互补，得
∠4＝180°－∠1。
所以 ∠4＝74°。
1. 如图，AB ∥ CD，∠1＝110°，求 ∠2，∠3，∠4 的度数。
解：因为 AB ∥ CD，
所以根据两直线平行，内错角相等，得∠2＝∠1.
因为∠1＝110°，
所以∠2＝110°.
根据对顶角相等，得∠3＝∠2，
所以 ∠3＝110°.
根据两直线平行，同旁内角互补，得
∠4＝180°－∠1，
所以 ∠4＝70°.
2.如图，AB ∥ CD，AE ∥ CF，∠A＝50°，求 ∠C 的度数。
1
解：如图.
因为 AB ∥ CD，
所以根据两直线平行，同位角相等，得 ∠C＝∠1.
1
因为 AE ∥ CF，
所以根据两直线平行，同位角相等，得
∠A＝∠1.
根据等量代换，得∠A＝∠C，
因为 ∠A＝50°，所以 ∠C＝50°
3. 如图，直线 a∥ b，直线 c⊥b，试判断直线 c 与 a 的位置关系，并说明理由。
1
2
解：c⊥a.
理由如下：如图.
因为 c⊥b，
所以根据垂直定义，得 ∠1＝90°.
1
2
因为 a ∥ b，
所以根据两直线平行，同位角相等，得
∠1＝∠2.
因为 ∠1＝90°，
所以∠2＝90°.
根据垂直定义，得 c⊥a.
1. (2024·福建中考) 在同一平面内，将直尺、含 30°角的三角板和木工角尺 (CD⊥DE) 按如图方式摆放，若 AB ∥ CD，则 ∠1 的大小为 ( )
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 75°
A
2. (2024·盐城中考) 小明将一块直角三角板摆放在直尺上，如图，若 ∠1＝55°，则 ∠2 的度数为 ( )
A. 25° B. 35° C. 45° D. 55°
B
3. (2024·资阳中考) 如图，AB ∥ CD，过点 D 作 DE⊥AC 于点 E. 若 ∠D＝50°，则 ∠A 的度数为 ( )
A.130° B.140° C.150° D.160°
B
4. (2024·呼和浩特中考)如图，直线 l1 和 l2，被直线 l3 和 l4 所截，∠1＝∠2＝130°，∠3＝75°，则 ∠4 的度数为 ( )
A.75° B.105° C.115° D.130°
B
习题 8.3
1. 如图，直线 a ∥ b，根据图中已知条件，求∠1和∠2的度数。
复习巩固
解：因为 a ∥ b，
所以根据两直线平行，同旁内角互补，得∠1＋65°＝180°.
所以 ∠1＝115°.
根据两直线平行，内错角相等，得∠2＝75°.
2. 如图，AB ∥ DC，AD ∥ BC，用数字标出的四个角中，哪些角相等
解：∠1＝∠2.
理由：因为 AB ∥ DC，所以内错角相等.
∠3＝∠4.
理由：因为 AD ∥ BC，所以内错角相等.
3. 如图，AB ∥ CD，AE 是 ∠CAB 的平分线，与 CD 交于点 D。若 ∠C＝100，求 ∠CDA 的度数。
解：因为 AB ∥ CD，
所以根据两直线平行，同旁内角互补，得 ∠C＋∠CAB＝180°.
因为∠C＝100°，
所以∠CAB＝180°－100°＝80°.
因为 AE 是 ∠CAB 的平分线，
所以根据角平分线的定义，得
∠CAD＝∠DAB＝∠CAB＝×80°＝40°.
因为 AB ∥ CD，
所以根据两直线平行，内错角相等，得
∠CDA＝∠DAB ＝40°.
拓展延伸
4. 如图，a ∥ b，将直角三角板的直角顶点放在直线 a 上。若∠1＝30°，求 ∠2 的度数。
3
解：如图.
因为直角三角板的直角顶点放在直线 a 上，
所以 ∠3＝90°.
3
因为 ∠1＝30°，
所以 ∠1＋∠3＝90°＋30°＝120°.
因为 a ∥ b，
所以根据两直线平行，同旁内角互补，得
∠2＝180°－(∠1十∠3).
所以∠2＝180°－120°＝60°.
5. 如图，把一张长方形纸片 ABCD 沿 BD 折叠后，点 C 落在点 C 处。判断 ∠1 与 ∠2 的大小关系，并说明理由。
解：∠1＝∠2.
理由如下：由折叠可知∠2＝∠CBD.
因为 AD ∥ BC，
所以根据两直线平行，内错角相等，得
∠1＝∠CBD.
根据等量代换，得∠1＝∠2.

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