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第9章 二元一次方程组
古有北斗七星指明方向，今有北斗卫星导航系统全球定位。2020年7月31日，北斗三号全球卫星导航系统正式开通北斗三号全球卫星导航系统由地球中圆轨道卫星 (MEO) 倾斜地球同步轨道卫星 (IGSO)、地球静止轨道卫星
(GEO) 组成，共计 30 颗。其中，GEO
卫星有3颗，MEO 卫星比 IGSO 卫星多
21 颗。那么 MEO 卫星与 IGSO 卫星各
有多少颗
上学期我们学习了一元一次方程。在此基础上，本章我们将通过实际问题认识二元一次方程组，学习运用消元法解二元一次方程组，并应用二元一次方程组解决一些实际问题，进一步体会方程是描述现实世界等量关系的重要数学工具。
9.1
认识二元一次方程组
在章引言给出的问题中，存在哪些等量关系 如何列方程呢
问题中存在两个必须同时满足的条件：
MEO 卫星颗数＋ IGSO 卫星颗数＋ GEO 卫星颗数＝ 30 颗，
MEO 卫星颗数－ IGSO 卫星颗数＝ 21 颗。
如果设 MEO 卫星有 x 颗，那么 IGSO 卫星有 (x－21) 颗。因为 GEO 卫星有 3 颗，所以可以列出方程 x＋(x－21)＋3＝30。
如果设 MEO 卫星有 x 颗，IGSO 卫星有 y 颗，那么可以用方程①②直接表示问题中的两个等量关系，即
x＋y＋3＝30， ①
x－y＝21。 ②
(1) 方程 ① 与 ② 有什么共同特点
x＋y＋3＝30， ①
x－y＝21。 ②
这两个方程都含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次。
x＋y＋3＝30， ①
x－y＝21。 ②
两边都是整式，含有两个未知数，并且含有未知数的项都是一次的方程叫作二元一次方程。
上面的问题中存在两个必须同时满足的等量关系，列出的方程 x＋y＋3＝30 和 x－y＝21 中字母 x，y 分别代表相同的未知数。
x＋y＋3＝30， ①
x－y＝21。 ②
x＋y＋3＝30，
x－y＝21。
一般而言，由几个一次方程联立的一组方程，叫作一次方程组。含有两个未知数的一次方程组，叫作二元一次方程组。
我们可以把这两个方程联立起来，写成
(2) 将满足二元一次方程 x＋y＋3＝30，且符合实际意义的 x，y 的值填入下表：
x ··· ···
y ··· ···
x＝0，y＝27；x＝1，y＝26；···；x＝27，y＝0 都可以使方程 x＋y＋3＝30 两边的值相等，它们都是这个方程的解。
如果不考虑方程与实际问题的联系，x＝－1，y＝28；x＝0.5，y＝26.5； ···也都是这个二元一次方程的解。
(3)哪一组 x，y 的值同时满足方程 x－y＝21 呢
x＝24，y＝3 既满足方程 x＋y＋3＝30，又满足方程 x－y＝21，是这两个方程的公共解。
满足二元一次方程的一组未知数的值，叫作这个二元一次方程的一个解。
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个二元一次方程组的解。
求方程组的解的过程，叫作解方程组。
x＋y＋3＝30，
x－y＝21。
x＝0，y＝27 是方程 x＋y＋3＝30 的一个解，记作
x＝0，
y＝27。
x＝24，y＝3 是二元一次方程组 的解，
记作
x＋y＋3＝30，
x－y＝21
x＝24，
y＝3。
1. 某中学师生 100 人分别到甲、乙两地参加社会实践活动，到甲地的人数比到乙地的人数的 2 倍少 8 人，到两地参加社会实践的师生各有多少人
解：设到乙地参加社会实践活动的师生有 x 人，则到甲地参加社会实践的师生有 (2x－8)人.
根据题意，得 (2x－8)＋x＝100，解得 x＝36.
则 2x－8＝2×36－8＝64.
所以，到甲地参加社会实践的师生有 64 人，到乙地参加社会实践的师生有 36 人.
2.已知 x 与 y 的三组值：
x＝0，
y＝－1；
x＝15，
y＝4；
x＝2，
y＝。
(1)哪组值是方程 x－3y＝3 的解 哪组值是方程 3x－10y＝5 的解
(2)哪组值是二元一次方程组 的解
x－3y＝3，
3x－10y＝5
x＝0，
y＝－1；
x＝15，
y＝4；
x＝2，
y＝。
(1)哪组值是方程 x－3y＝3 的解 哪组值是方程 3x－10y＝5 的解
解： 和 是方程 x－3y＝3 的解；
和 是方程 3x－10y＝5 的解.
x＝0，
y＝－1；
x＝15，
y＝4；
x＝15，
y＝4；
x＝2，
y＝。
(2)哪组值是二元一次方程组 的解
x－3y＝3，
3x－10y＝5
x＝15，
y＝4；
解： 是方程组 的解.
x－3y＝3，
3x－10y＝5
1.下列方程中，是二元一次方程的有( )
①2x－5＝y；②x－4＝5；③xy＝3；④3x＋2y＝7；⑤x－6＝；
⑥x2－3y＝0；⑦x－у＝；⑧3x＋y＝7；⑨＝6.
A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个
B
2.下列方程组中，是二元一次方程组的是 ( )
A
3.下列各组数值是二元一次方程 x－3y＝4 的解的是( )
A
习题 9.1
1.已知二元一次方程 2x＋2y－5＝0，当 y 分别取 －1，0， 时，求对应的 x 的值。
复习巩固
解：当 y＝－1 时，2x＋2×(－1)－5＝0，解得 x＝；
当 y＝0 时，2x－5＝0，解得 x＝；
当 y＝ 时，2x＋2×－5＝0，解得 x＝.
2.(1)根据下列方程，分别求方框内 y 的值。
y＝4x＋2；
2x－3y＝4。
6
2
－2
－
－
－2
(2)从上面的计算中，找出二元一次方程组 的解。
y＝4x＋2，
2x－3y＝4
x＝－1，
y＝－2.
解：
拓展延伸
3. 根据题意，列方程组：
今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡免各几何。
解：设有 x 只鸡，y 只免.
根据题意，得
x＋y＝35，
2x＋4y＝94.
探索创新
4. 用两种盒子装乒乓球，大盒最多装 6 个，小盒最多装 4 个。如果将 50 个乒乓球都装进盒子里，且每盒都装满，那么有几种不同的装球方法
解：设大盒有 x 盒，小盒有 y 盒.
根据题意，得 6x＋4y＝50，
所以 3x＋2y＝25.
因为 x，y 都是正整数，
所以 或 或 或
故不同的装球方法有 4 种。
x＝1，
y＝11
x＝3，
y＝8
x＝5，
y＝5
x＝7，
y＝2.

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