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第8章 相交线与平行线
8.2
平行线及其判定
在同一平面内的两条直线的位置关系除了相交还有平行。生活中还有哪些平行线的例子呢 如何判定两条直线平行
如图8.2-1①，画两条相交的直线 AB，CD。直线 AB 绕点 A 转动的过程中，直线 AB 与 CD 有几种位置关系
图 8.2-1
C
A
B
D
C
A
B
D
图 8.2-1
直线 AB 与 CD 的位置关系存在两种情况：直线 AB 与 CD 相交 (图 8.2-1①)，直线 AB 与 CD 不相交 (图8.2-1②)。
当直线 AB 与 CD 不相交时，它们没有公共点，也就是直线 AB 与 CD 平行，记作“AB∥ CD”，读作“AB 平行于 CD”。
(1) 如图8.2-2，已知直线 a 和直线外一点 P，利用三角板和直尺，经过点 P 怎样画出直线 a 的平行线
图 8.2-2
按照图 8.2-3 所示的步骤，可画出经过点 P，且平行于直线 a 的直线 b。
图 8. 2-3
P
a
P
a
b
(2) 经过点 P 可以画出几条平行于 a 的直线
经过点 P 只能画出一条平行于 a 的直线。
平行线基本事实 Ⅰ
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。
如图8.2-4，a ∥ b，如果在直线 a，b 外取一点 Q，过点 Q 画直线 c，使得 c ∥ a，那么直线 b 与 c 有什么位置关系
如果 b//a，c//a，那么b//c。
由此得到：平行于同一条直线的两条直线平行。
1. 在如图所示的点阵图中，经过点 P 分别画出线段 a，b，c 的平行线。
2. 过点 P 画 PC ∥ OA，交 OB 于点 C。过点 P 画 PD ∥ OB，交 OA 于点 D。
C
D
可以用平行线的定义判定两条直线是否平行，但从定义出发很难直接说明两条直线没有公共点。还有其他判定两条直线平行的方法吗
用直尺和三角板，按照图8.2-5所示的方法，经过直线 a 外一点 P 画出 a 的平行线 b。观察画图过程，能发现 a∥ b 的条件吗
图 8.2-5
由画图过程可以看出，经过点 P 画直线 a 的平行线时，三角板沿直尺平移，保证了∠1＝∠2。这说明只要 ∠1＝∠2，就可以得到 a ∥ b。
如图8.2-6，两条直线 AB，CD 被第三条直线 l 所截，形成不同的角。观察 ∠1与 ∠2，它们有怎样的位置关系
∠1 与∠2 都在直线 AB，CD 的同侧，并且都在直线 l 的同旁，具有这种位置关系的一对角叫作同位角。
图8.2-6中，∠3与∠4，∠5与∠6，∠7与∠8也是同位角。
平行线基本事实 Ⅱ
两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
简单说成：同位角相等，两直线平行。
如图8.2-7，PC⊥AB，垂足为点 P，QD⊥AB，垂足为点 Q。PC 与 QD 平行吗 为什么
例 1
解：PC ∥ QD。
理由如下：因为 PC⊥AB，QD⊥AB，
所以根据垂线的定义，得∠BPC＝90°，∠BQD＝90°。
所以 ∠BPC＝∠BQD。
根据同位角相等，两直线平行，得 PC ∥ QD。
1. 找出图中的同位角。
解：∠1 与 ∠4 是同位角.
2. 如图，将木条 a，b 分别与木条 c 钉在一起。已知 ∠1＝44°，∠2＝75°，固定木条 b，c，将木条 a 按顺时针方向最少转动多少度，才能使 a 与 b 平行 为什么
解：将木条 a 按顺时针方向最少转动 31°，才能使 a 与 b 平行。
理由如下：
如图，过点 O 作 OA // b ，
所以 ∠AOC＝∠1＝44°时，OA // b.
所以要使木条 a 与 b 平行，
木条需顺时针转动的最小度数为
75°－44°＝31°.
O
A
3. 如图，∠AMB＝∠ANC，MD，NE 分别是 ∠AMB，∠ANC的平分线。图中有哪些平行线 为什么
解：MB // NC，MD // NE.
理由如下：
因为∠AMB＝∠ANC，
根据同位角相等，两直线平行，得
MB ∥ NC.
因为 MD，NE 分别是∠AMB，∠ANC 的平分线，
所以 ∠AMD＝∠AMB，
∠ANE＝∠ANC.
因为 ∠AMB＝∠ANC，
所以 ∠AMD＝∠ANE.
根据同位角相等，两直线平行，得 MD ∥ NE.
两条直线被第三条直线所截，除了形成同位角外，还有其他位置关系的角吗 这些角满足什么关系时，才能判定两条直线平行
如图8.2-8，直线 AB，CD 被第三条直线 l 所截 ∠1 与 ∠2 有怎样的位置关系 ∠1 与 ∠3 呢
∠1与∠2都在直线 AB，CD 之间，并且分别在直线 l 的两旁，具有这种位置关系的一对角叫作内错角。
除∠1与∠2外，图中还有其他的内错角吗
∠1与∠3都在直线 AB，CD 之间，并且都在直线 l 的同旁，具有这种位置关系的一对角叫作同旁内角。
除∠1与∠3外，图中还有其他的同旁内角吗
我们知道，同位角相等，两直线平行。内错角或同旁内角满足什么关系时，两条直线平行
(1) 如图 8.2-9，如果 ∠1＝∠2，那么 a ∥ b 吗 为什么
因为∠1＝∠2，
∠2＝∠3，
所以∠1＝∠3。
所以 a ∥ b。
(2) 如图8.2-10，如果 ∠1 与 ∠2 互补，那么 a ∥ b 吗
因为∠1＋∠2＝180°，
∠2＋∠3＝180°，
所以∠1＝∠3。
所以 a ∥ b。
平行线判定定理
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。
简单说成：内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行。
例 2
如图8.2-11，点 E，F 分别是线段 AB，DC 上的点，点 G 在 BC 的延长线上。
(1) 如果 ∠D＝∠DCG，可以判定哪两条直线平行
解：因为∠D＝∠DCG，
所以根据内错角相等，两直线平行，得
AD // BC。
(2) 如果 ∠D＋∠DFE＝180°，可以判定哪两条直线平行
解：因为∠D＋∠DFE＝180°，
所以根据同旁内角互补，两直线平行，得
AD // EF。
(3) 如果 ∠B＝∠DCG，可以判定哪两条直线平行
解：因为∠B＝∠DCG，
所以根据同位角相等，两直线平行，得
DC // AB。
1. 如图， ∠2＝60°，当 ∠1＝_______°时，a ∥ b，理由是______________________________.
120
旁内角互补，两直线平行
2. 如图，在墙面上安装一条需拐两次弯的管道。若第一个弯道处 ∠B＝142°，则第二个弯道处 ∠C 为多少度时，管道 CD 与 AB 平行 为什么
解：∠C＝142°.
理由如下：因为 ∠B＝∠C＝142°，
所以根据内错角相等，两直线平行，得 CD ∥ AB.
3.如图，分别根据下列条件可以判定哪两条直线平行 说明理由。
(1)∠1＝∠2；
(2)∠3＝∠4；
解：AB // CD.
理由：内错角相等，两直线平行.
解：AD // BC.
理由：内错角相等，两直线平行.
(3)∠B＝∠DCE；
(4)∠B＋∠BAD＝180°。
解：AB // CD.
理由：同位角相等，两直线平行.
解：AD // BC.
理由：同旁内角互补，两直线平行.
如图8.2-12，直线 AF 与 BD 交于点 C，∠B＝∠ACB。若 CD 是 ∠ECF 的平分线，试判断 AB 与 CE 的位置关系，并说明理由。
例 3
解：AB // CE。
理由如下：因为 CD 是 ∠ECF 的平分线，
所以根据角的平分线的定义，得
∠ECD＝∠FCD。
根据对顶角相等，得
∠FCD＝∠ACB。
所以 ∠ACB＝∠ECD。
因为 ∠B＝∠ACB，
所以 ∠B＝∠ECD。
根据同位角相等，两直线平行，得
AB ∥ CE .
如图8.2-13，台球运动中母球 P 击中桌边的点 A，经桌边反弹后击中相邻的另一桌边的点 B，再次反弹经过点 C，∠PAD＝∠BAE，∠ABE＝∠CBF，∠BAE＋∠ABE＝90°，母球 P 经过的路线 BC 与 PA 一定平行吗 说明理由。
例 4
图 8.2-13
解：BC ∥ PA。
理由如下：根据平角的定义，得
∠PAB＝180°－∠PAD－∠BAE。
因为 ∠PAD＝∠BAE，
所以 ∠PAB＝180°－2∠BAE。
同理 ∠ABC＝180°－2∠ABE。
因为 ∠BAE＋∠ABE＝90°，
所以根据等式的基本性质，得
∠PAB＋∠ABC＝360°－2(∠BAE－∠ABE) ＝180°。
根据同旁内角互补，两直线平行，得 BC ∥ PA。
1. 如图，工程技术人员常用丁字尺画平行线，说明这种画法的道理。
解：因为同位角相等，所以画出的直线互相平行。
2. 如图，点 G 在直线 CD 上，∠BAG＋∠AGD＝180°，AE，GF 分别是 ∠BAG，∠AGC 的平分线。试说明 AE ∥ GF。
解：因为∠BAG＋∠AGD＝ 180°，
根据同旁内角互补，两直线平行，得 AB ∥ CD.
根据两直线平行，内错角相等，得 ∠BAG＝∠AGC.
因为 AE，GF 分别是 ∠BAG，∠AGC 的平分线，
根据角平分线的定义，得
∠1＝∠BAG， ∠2＝∠AGC，
所以 ∠1＝∠2.
根据内错角相等，两直线平行，得 AE ∥ GF.
1.在同一平面内，下列说法正确的是 ( )
A. 两条直线的位置关系有平行、垂直和相交
B. 不平行的两条直线一定互相垂直
C. 不垂直的两条直线一定互相平行
D. 不相交的两条直线一定互相平行
D
2. 下列说法：①在同一平面内不相交的两条线段叫作平行线；②平面内经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③平面内经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④如果 a ∥ b，b ∥ c，那么 a ∥ c. 其中正确的有 ( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
B
3. 如图所示，已知直线 AB，CD 被直线 EF 所截，∠1＋∠2＝180°，AB 与 CD 平行吗 请说明理由。
解：AB ∥ CD.
理由如下：因为 ∠1＋∠2＝180°，
∠3＋∠2＝180°，
所以∠1＝∠3，
所以 AB ∥ CD.
习题 8.2
1. 观察下面的正方体，找出三组互相平行的棱，并用符号表示。
复习巩固
解：AB ∥ CD，AB ∥ EF，AB ∥ GH. (答案不唯一)
2. 如图，用三角板和直尺分别按下列要求画图。
(1) 过点 A 画 BC 的平行线；
(2) 过点 B 画 AC 的平行线；
(3) 过点 C 画 AB 的平行线。
3. 找出图中所有的同位角、内错角和同旁内角。
解：图①中，
同位角：∠1与∠5，∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8.
内错角：∠2与∠8，∠3与∠5.
同旁内角：∠2与∠5，∠3与∠8.
图②中，
内错角：∠B与∠DAB，∠C与∠EAC.
同旁内角：∠B与∠BAE，∠B与∠BAC，∠C与∠DAC，∠C与∠BAC，∠B与∠C.
4. 如图，一个弯形管道 ABCD 需要满足 AB 边与 CD 边平行，现利用量角器测得 ∠ABC＝110°， ∠BCD＝70°。这个零件合格吗 请说明理由。
解：合格.
理由如下：因为∠ABC＋∠BCD＝110°＋70°＝180°，
根据同旁内角互补，两直线平行，得 AB ∥ CD，
所以这个零件合格。
5. 如图，工人师傅盖房子时，常将房梁设计成如图所示的图形。已知 AC 是 ∠DAB 的平分线，∠DAC＝∠DCA。可以判定哪两条直线平行 请说明理由。
解：AB ∥ CD.
理由如下：因为 AC 是 ∠DAB 的平分线，
根据角平分线的定义，得
∠DAC＝∠BAC.
因为∠DAC＝∠DCA，
所以 ∠BAC＝∠DCA.
根据内错角相等，两直线平行，得
AB ∥ CD.
6. 如图，∠1＝∠A，∠2＝∠B，图中有哪些直线平行 为什么
解：AB ∥ EF ∥ CD.
理由如下：
因为∠1＝∠A，
根据同位角相等，两直线平行，得 AB ∥ EF.
因为 ∠2＝∠B，
根据内错角相等，两直线平行，得AB ∥ CD.
根据平行于同一条直线的两直线平行，得 CD ∥ EF.
所以 AB ∥ EF ∥ CD.
7. 如图，D 为线段 AC 上的点，E 是线段 AB 上的点。添加一个条件，使 DE//BC，并说明理由。
解：添加∠ADE＝∠C (答案不唯一).
理由如下：
因为 ∠ADE＝∠C，
根据同位角相等，两直线平行，得DE ∥ BC.
拓展延伸
8. 如图，图 ① 是一段花边的基本结构，在图 ② 中，绘制与图 ① 相同的图案。
9. 如图，在正方形方格纸的格点上有一点 P，用一把直尺，过点 P 分别画出线段 a，b 所在直线的平行线。
10. 如图，有一条纸带，用什么方法可以检验纸带的对边是否平行
解：可以过纸带的对边任意画一条直线，量一下 ∠1 和 ∠2 的度数. 若∠1＝∠2，根据内错角相等两直线平行，可得对边平行，若 ∠1 与 ∠2 不相等则不平行.
1
2
探索创新
11.光线从空气射入玻璃，或从玻璃射入空气都会产生折射现象。如图光线 a 从空气中射入玻璃，再从玻璃中射入空气，形成光线 b。已知 ∠1＝∠4，∠2＝∠3。判断光线 a 与光线 b 是否平行，并说明理由。
解：a//b.
5
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理由如下：
因为∠2＝∠3，根据平角定义，得
∠5＝180°－∠2，∠6＝180°－∠3
所以 ∠5＝∠6.
因为 ∠1＝∠4，
所以∠5＋∠1＝∠6＋∠4.
根据内错角相等，两直线平行，得 a//b.
12. 如图，取线段 AB 的中点 D，过点 D 画 BC 的平行线交 CA 于点 E，再过点 E 画 AB 的平行线交 BC 于点 F。
(1) 用圆规分别比较线段 AE 与 EC，CF 与 BF 的长短；
解：AE＝EC，CF＝BF.
(2) 用圆规分别比较线段 DE 与 BF，FC 的长短，EF 与 AD，DB 的长短，有什么发现
解：DE＝BF＝FC，EF＝AD＝DB.
发现：连接三角形两边中点的线段等于第三边的一半.
直觉可靠吗
观察图 8.2-14 中的线段 a 与 b，哪一条长
图 8.2-14
图 8.2-15 是由一些黑白相间的小格子组成的，凭直觉判断一下，图中的这些横线平行吗
图 8.2-15
你的判断正确吗 利用刻度尺量一量、测一测，能得到怎样的结论
要对事物作出某种判断，通常要对这个事物进行观察、实验与思考。观察要认真仔细，但是仅仅依靠观察得出的猜想不一定正确，还要借助实验进行检验。

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