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第8章 相交线与平行线
生活中，纵横交错的道路、操场上的跑道线、棋盘中的网格线······都呈现出相交或平行的关系。在下面的桥梁图片中，你能找到相交线和平行线吗 用什么方法可以判断两条直线是否平行
在上学期，我们认识了线段、射线、直线和角等基本图形本章我们将在认识相交线与平行线的基础上，探索两直线相交时所成角的数量关系和位置关系；研究两条直线相交时的特殊情形——垂直，认识垂线段，并探究点到直线的距离；探究平行线的判定和性质。我们还将学习通过简单推理得到数学结论的方法养成良好的思维习惯。
8.1
相交线
认识了线段、射线、直线、角等基本几何图形，研究了点与直线的位置关系后，本节我们将研究两条直线的位置关系。
观察图8.1-1，同一平面内的两条直线有什么位置关系
图 8.1-1
在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种(图8.1-2)。
图 8.1-2
如果两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线 (intersection lines)。这个公共点叫作它们的交点。如图8.1-2①，直线 a 与直线 b 相交，点 O 是它们的交点。
在同一平面内，没有公共点的两条直线叫作平行线 (parallel lines)。如图8.1-2②，直线 a 与直线 b 平行。
如图8.1-3，任意画两条直线 AB 与 CD 相交于点 O，形成了四个角。
(1) ∠1 和 ∠2 的大小有什么关系 它们的位置有怎样的关系
由于∠AOB 是平角，所以 ∠1 和∠2 互为补角。∠1 和 ∠2 具有公共顶点O，有一条公共边OC，它们的另一边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为邻补角。图8.1-3中的 ∠2 和 ∠3 也互为邻补角。
(2) ∠1 和 ∠3 有什么位置关系
∠1 和 ∠3 具有公共顶点 O，并且 ∠1 的两边分别是 ∠3 的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为对顶角。图8.1-3中的 ∠2 和 ∠4 也互为对顶角。
(3) 比较互为对顶角的两个角的大小，你有什么发现 对顶角为什么具有这种数量关系
如图 8.1-3，因为∠1与∠2 互补， ∠3与∠2也互补，所以根据同角的补角相等，得∠1＝∠3。同理得∠2＝∠4。
对顶角的性质 对顶角相等。
例 1
如图8.1-4，直线 AB 与 CD 相交于点 O，射线 OE 是∠BOD 的平分线，∠AOC＝70°。求 ∠AOD 和 ∠BOE 的度数。
解：根据邻补角的定义，得
∠AOD＝180°－∠AOC
＝180°－70°
＝110°。
根据对顶角相等，得
∠BOD＝∠AOC＝70°。
因为射线 OE 是 ∠BOD 的平分线，
所以根据角的平分线定义，得
∠BOE＝∠BOD＝×70°＝35°。
1. 如图，因为光的折射，铅笔插入水中时，会让我们产生“铅笔发生弯折”的错觉图中的 ∠1 与 ∠2 是对顶角吗
解：∠1 与∠2 不是对顶角。
2. 如图，直线 AB，CD，EF 相交于点 O.
(1)写出 ∠AOC，∠BOE 的邻补角；
解：∠AOC 的邻补角有∠BOC，∠AOD；
∠BOE 的邻补角有∠AOE，∠BOF.
(2)写出 ∠AOD，∠COE 的对顶角；
解：∠AOD 的对顶角是∠BOC；
∠COE 的对顶角是∠DOF.
(3) 如果 ∠AOC＝40°，求 ∠BOD，∠BOC 的度数。
解：因为∠AOC＝40°，
根据对顶角相等，得∠BOD＝∠AOC＝40°.
根据邻补角的定义，得
∠BOC＝180°－∠AOC＝180°－40°＝140°.
我们认识了两条直线相交所形成的对顶角。接下来将研究两条直线相交的特殊情况——垂直。
观察图 8.1-5，能找出其中的相交线吗 它们有什么特殊的位置关系
图 8.1-5
用数学软件画出图 8.1-6，拖动点C，使直线 CD 绕点 O 转动，观察 ∠BOC 的变化情况。当 ∠BOC＝90°时，另外三个角的度数是多少 为什么
因为∠AOC 是∠BOC 的补角，
所以 ∠AOC＝180°－∠BOC＝90°。
同理 ∠BOD＝90°。
因为∠AOD 是 ∠BOC 的对顶角，
所以 ∠AOD＝ ∠BOC ＝90°。
两条直线相交所形成的四个角中，如果有一个角是直角，那么就称这两条直线互相垂直(perpendicular)，其中一条直线叫作另一条直线的垂线。
在图8.1-6中，直线 AB 与 CD 互相垂直，记作“AB⊥CD”或“CD⊥AB”，读作“AB垂直于 CD”或“CD 垂直于 AB”，它们的交点 O 叫作垂足。
经过直线 l 上的一点 A，能用三角板或量角器画直线的线吗 画出的垂线有几条 经过直线外的一点 B 呢
l
A
l
B
l
A
l
B
如图 8.1-7，将三角板的一条直角边与直线 l 重合，另一条直角边经过点A(B)，沿着过点A(B)的一边画出直线，这条直线就是直线 l 的垂线。在同一平面内，过一点只能画直线 l 的一条垂线。
基本事实 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
过直线外一点作一条直线的垂线，这个点与垂足之间的线段叫作垂线段。
如图8.1-8，在一张半透明的纸上画一条直线 l，在 l 上任取一点 P，能用折纸的方法折出过点 P 且与 l 垂直的直线吗 在 l 外任取一点 Q，能折出过点 Q 且与 l 垂直的直线吗
1.填空：
(1)如图①，直线 AB 与 CD 相交于点 O，∠AOC＝90°，则_______⊥______，垂足为点________；
AB
CD
O
(2) 如图②，CD⊥AB，垂足为点 D，那么∠_____＝∠_____＝______°。
ADC
BDC
90
2. 如图，用三角板或量角器经过点 P 分别画出直线 AB，CD 的垂线。
E
F
垂直是两条直线相交的特殊情况，下面我们来研究垂线段。
在引黄灌溉工程中(图8.1-9)，要把黄河水引到农田灌溉口，引水口的位置在何处时，输水管道的长度最短
图 8.1-9
将图8.1-9中的黄河岸堤、引水口、灌溉口分别抽象成直线 AB、点 P、点 C，将上述问题转化为数学问题：如图8.1-10，C 为直线 AB 外的定点，点 P 在直线 AB 上。P 在何处时，线段 CP 的长度最短
图 8.1-10
如图 8.1-11，画 CD⊥AB，垂足为点 D，线段 CD 是点 C 到直线 AB 的垂线段，在 AB 上任取点 E，F，G，比较线段 CE，CF，CD，CG 的长短，哪一条最短
我发现，线段 CE，CF，CG 的长度都大于线段 CD 的长度，所以线段 CD 的长度最短。
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
简单说成：垂线段最短。
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作这个点到这条直线的距离。
图8.1-10中，过点 C 作 AB 的垂线段 CD，点 D 即为黄河岸堤上引水口的位置，此时输水管道的长度最短。
例 2
如图8.1-12，A，B，C 三个村庄之间有直通的道路 AB，AC 和 BC。如果 AB⊥BC，垂足为点 B，那么哪两个村庄之间的距离最远 为什么
解：因为 AB⊥BC，
所以根据垂线段最短，得
AB＜AC，BC＜AC。
所以 AB，AC，BC 中 AC 最长，
即 A，C 两个村庄的距离最远。
1. 如图，用量角器或三角板画图。
(1) 经过点 A 画直线 BC 的垂线；
(2) 经过点 B 画直线 AC 的垂线；
(3) 经过点 C 画直线 AB 的垂线。
E
F
D
解：如图，直线 AE，BF，CD 即为所求。
2. 如图是小亮跳远后沙坑里的脚印示意图，直线表示起跳线，怎样测量他的跳远成绩
A
P
1. a，b，c 是平面上任意三条直线，交点可以有( )
A. 1 个或 2 个或 3 个
B. 0 个或 1 个或 2 个或 3 个
C. 1 个或 2 个
D. 以上都不对
B
2. 下列各项中，“∠1 和∠2 是对顶角的是 ( )
B
3. 如图，已知直线 a，b 相交，∠1＝40°，求∠2，∠3，∠4 的度数.
解：因为 ∠1 与 ∠3 是对顶角，所以∠3＝∠1＝40°.
因为∠2＋∠1＝180°，∠4＋∠1＝180°，
所以∠2＝∠4＝180°－∠1＝180°－40°＝140°.
4. 如图所示，OA⊥OB，OC⊥OD，若∠1＝50°，则∠2 的度数是 ( )
A. 20° B. 40° C. 50° D. 60°
C
习题 8.1
1. 如图，直线 AB，CD，EF 相交于点O，已知 ∠DOE＝89°，∠AOC＝70°。求 ∠BOF 的度数。
复习巩固
解：因为∠DOE＝89°，∠AOC＝70°，
所以∠AOE＝180－∠DOE－∠AOC
＝180°－89°－709
＝21°
根据对顶角相等，得∠BOF＝∠AOE＝21°.
2.如图，直线 AB，CD，EF 相交于点 O，如果 OE 是∠AOC 的平分线，那么 OF 是 ∠BOD 的平分线吗 为什么
解：OF 是 ∠BOD 的平分线.
因为 ∠AOC＝∠BOD，
且 OE 是 ∠AOC 的平分线，
所以∠COE＝∠AOC.
因为 ∠COE＝∠DOF，
所以 ∠DOF＝∠AOC＝∠BOD.
所以 OF 是 ∠BOD 的平分线.
3. 如图，用带刻度的直尺分别量出点 P 到直线 AB，BC 和 AC 的距离。
D
E
F
解：如图，垂线段 PD，PE，PF 的长度分别是点 P 到直线 AB，BC 和 AC 的距离. 测量略.
4. 用量角器画 ∠AOB 的平分线 OC，在 OC 上任取一点 P，经过点 P 分别画出直线 OA，OB 的垂线段，你有什么发现
P
F
E
解：发现：角平分线上的点到角的两边的距离相等即 PE＝PF.
拓展延伸
5. 如图，三条直线两两相交，∠2＝2∠1，∠3＋∠2＝162°。求 ∠1 与 ∠4 的度数。
解：因为 ∠1 与 ∠3 是对顶角，
所以 ∠1＝∠3.
因为 ∠3＋∠2＝162°，
所以 ∠1＋∠2＝162°.
因为 ∠2＝2∠1，
所以 ∠1＋2∠1＝162°，
解得 ∠1＝54°，
所以 ∠2＝108°.
因为 ∠2 与 ∠4 是邻补角，
所以 ∠4＝180－∠2＝180°－108°＝72°.
6. 现需要从海岸 l 铺设到海岛 P 的电缆，如何铺设才能使电缆最短 如果图中比例尺为1∶10 000 000，那么需要多少千米的电缆
D
解：如图，过点 P 作 PD⊥l，垂足为 D，此时在垂线段 PD 处铺设电缆最短. 计算略.
探索创新
7.如图，取一张长方形纸片，按下面的方法折纸，然后回答问题。
(1) 判断 AE 与 EF 的位置关系，并说明理由；
(2) 用等式表示∠1与∠3的数量关系，并说明理由。
(1) 判断 AE 与 EF 的位置关系，并说明理由；
解：AE⊥EF.
理由如下：如图，设折看后点 B 的对应点为 B′，点 C 的对应点为 C′.
根据折叠的性质可知，
∠1＝∠AEB′，∠3＝∠FEC′.
因为 ∠1＋∠AEB′＋∠3＋∠FEC′＝180°，
所以 ∠AEB＋∠FEC′＝90°，
即 ∠2＝90°，
所以 AE⊥EF.
(2) 用等式表示∠1与∠3的数量关系，并说明理由。
解：∠1＋∠3＝90°.
理由如下：
由 (1) 知∠2＝90°，
因为 ∠1＋∠2＋∠3＝180，
所以 ∠1＋∠3＝90°.

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