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第9章 二元一次方程组
9.2
解二元一次方程组
在解决章引言中的问题时，列出了一元一次方程 x＋(x－21) ＋3＝30 和二元一次方程组 它们之间有什么关系
x＋y＋3＝30，
x－y＝21，
方程 x－y＝21 可以整理为 y＝x－21。
因为两个方程中两个相同的字母表示同一个数，所以把方程 x＋y＋3＝30 中的 y 用 x－21 等量代换，得到一元一次方程 x＋(x－21)＋3＝30。
这样就把一个二元一次方程组转化为一元一次方程了。
解这个一元一次方程，得 x＝24。
x＋(x－21)＋3＝30
再将 x＝24 代入 y＝x－21，或者原方程组中任意一个方程，都以解得 y＝3。因此，原二元一次方程组的解是
x＝24，
y＝3。
以上解二元一次方程组的基本思路是什么
消去二元一次方程组中的一个未知数，转化为一元一次方程，先求出一个未知数，再求另一个未知数。这种将未知数的个数由多化少、逐一求解的方法称为消元法。
将二元一次方程组中一个方程的某一个未知数，用含有另一个未知数的代数式表示出来，然后将它代入另一个方程中，从而消去一个未知数，就可以将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，这种解方程组的方法叫作代入消元法。
用代入消元法解方程组
例 1
3x＋y＝10， ①
x－2y＝1。 ②
解：由 ①，得 y＝10－3x。 ③
将 ③ 代入 ② ，得 x－2(10－3x)＝1。
解得 x＝3。
将 x＝3 代入③，得
y＝1。
所以原方程组的解是
x＝24，
y＝3。
代入消元法解二元一次方程组的过程如下：
1. 已知二元一次方程 x－5y＝3。
(1)用关于 x 的代数式表示 y；
(2)用关于 y 的代数式表示 x。
解：y＝.
解：x＝3＋5y.
2.用代入消元法解下列方程组：
4x＝y＋9，
(1)
y＝3x；
x＋2y＝8，
(2)
3x－y＝3。
4x＝y＋9，
(1)
y＝3x；
①
②
解：将②代入①，得 4x＝3x＋9，解得 x＝9.
将 x＝9代入②，得 y＝27.
所以原方程组的解是
x＝9，
y＝27.
x＋2y＝8，
(2)
3x－y＝3。
①
②
解：方法一：由①，得 x＝8－2y. ③
将③代入②，得 3(8－2y)－y＝3，
解得 y＝3.
将 y＝3 代入③，得 x＝2.
所以原方程组的解是
x＝2，
y＝3.
x＋2y＝8，
(2)
3x－y＝3。
①
②
方法二：由②，得 y＝3x－3. ③
将③代入①，得 x＋2(3x－3)＝8，
解得 x＝2.
将 x＝2 代入③，得 y＝3.
所以原方程组的解是
x＝2，
y＝3.
除了代入消元法外，还有其他方法解二元一次方程组吗
观察二元一次方程组
x＋y＋3＝30， ①
x－y＝21。 ②
这个方程组的两个方程中，y 的系数有什么关系 能否利用这种关系解方程组呢
y 的系数互为相反数。
x＋y＋3＝30， ①
x－y＝21。 ②
x＋y＋3＝30， ①
x－y＝21。 ②
将方程①②的两边分别相加，得
(x＋y＋3)＋(x＋y) ＝30＋21，
即 2x＋3＝51。
解得 x＝24。
x＋y＋3＝30， ①
x－y＝21。 ②
将 x＝24 代入方程①，得
24＋y＋3＝30。
解得 y＝3。
所以原方程组的解是
x＝24，
y＝3。
如何求方程组 的解
2x＋y＝5，
2x＋3y＝9
两个方程含 x 的项的系数相同，我们可以通过两式相减消去未知数 x，实现消元。
当二元一次方程组的两个方程中同一个未知数的系数相反或相等时，将两个二元一次方程相加或相减消去一个未知数，就可以将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，这种解方程组的方法叫作加减消元法。
方程组中有多个未知数时，可用消元法减少未知数的个数，将方程组转化为只含有一个未知数的方程。
例 2
用加减消元法解方程组
5x＋2y＝－9，
3x－4y＝－8。
解：①×2，得 10x＋4y＝－18。
②＋③，得 13x＝－26
解得 x＝－2。
将 x＝－2 代入方程 ①，得
－10＋2y＝－9。
解得 y＝。
所以原方程组的解是
x＝－2，
y＝。
加减消元法解二元一次方程组的过程如下：
1. 用加减消元法解下列方程组：
2x－3y＝4，
(1)
5y－3x＝1；
2x＋3y＝－1，
(2)
x－2y＝－3。
2x－3y＝4，
(1)
5y－3x＝1；
①
②
解：②－①，得 3x＝－3，解得 x＝－1.
将 x＝－1代入①，得
2×(－1)－3y＝4，
解得 y＝－2.
所以原方程组的解是
x＝－1，
y＝－2.
解：②×4，得 2x－8y＝－12. ③
①－③，得 11y＝11，解得 y＝1.
将 y＝1 代入①，得 2x＋3＝－1，
解得 x＝－2.
所以原方程组的解是
x＝－2，
y＝1.
2x＋3y＝－1，
(2)
x－2y＝－3。
①
②
2. 现有甲、乙两种 3D 打印机，甲工作 2h，乙工作 3h，共打印 38 个零件。已知甲比乙每小时多打印 4 个零件，两种打印机每小时各打印多少个零件
解：设甲种打印机每小时打印 x 个零件，乙种打印机每小时打印 y 个零件.
根据题意，得
x＝y＋4，
2x＋3y＝38.
解方程组，得
x＝10，
y＝6.
所以，甲种打印机每小时打印 10 个零件，乙种打印机每小时打印 6 个零件.
代入消元法和加减消元法都是解二元一次方程组的一般方法。通过消去个未知数使二元一次方程组转化为一元一次方程。解二元一次方程组时，要根据方程组的特点选择合适的方法。
解方程组
例 3
x＋2y＝4， ①
2x－3y＝15。 ②
解：由①，得
x＝4－2y。 ③
将③代入②，得
2(4－2y)－3y＝15。
解得 y＝－1。
将 y＝－1 代入③，得
x＝6。
所以原方程组的解是
x＝6，
y＝－1。
解方程组
例 4
3x－4y＝7， ①
5x＋6y＝18。 ②
解：①×3，得 9x－12y＝21。③
②×2，得 10x＋12y＝36。④
③＋④，得 19x＝57。
解得 x＝3。
将 x＝3 代入②，得
15＋6y＝18。
解得 y＝。
所以原方程组的解是
x＝3，
y＝。
3x－4y＝7， ①
5x＋6y＝18。 ②
还有其他解法吗 试一试。
1. 解下列方程组：
＋＝5，
(1)
3x－2y＝－6；
3(x－1)＝y＋5，
(2)
5(y－1)＝3(x＋5)；
2x＋3y＝9，
(3)
5x－4y＝－12；
x＋y＝300，
(4)
5%x＋53%y＝300×25%。
＋＝5，
(1)
3x－2y＝－6；
解：①×6，得 3x＋2y＝30. ③
②＋③，得 6x＝24，解得 x＝4.
将 x＝4 代入③，得 12＋2y＝30，
解得 y＝9.
所以原方程组的解是
x＝4，
y＝9.
①
②
①－②，得 4y＝28，解得 y＝7.
将 y＝7 代入①，得 3x－7＝8，解得 x＝5.
所以原方程组的解是
x＝5，
y＝7.
3(x－1)＝y＋5，
(2)
5(y－1)＝3(x＋5)；
3x－y＝8，
解：可转化为
3x－5y＝－20.
①
②
2x＋3y＝9，
(3)
5x－4y＝－12；
①
②
解：①×4，得 8x＋12y＝36. ③
②×3，得 15x－12y＝－36. ④
③＋④，得 23x＝0，解得 x＝0.
将 x＝0 代入①，得 3y＝9，
解得 y＝3.
所以原方程组的解是
x＝0，
y＝3.
x＋y＝300，
(4)
5%x＋53%y＝300×25%。
x＋y＝300，
解：可转化为
0.05x＋0.53y＝75.
①
②
①×0.05，得 0.05x＋0.05y＝15. ③
②－③，得 0.48y＝60，解得 y＝125.
将 y＝125 代入①，得 x＋125＝300，解得 x＝175.
所以原方程组的解是
x＝175，
y＝125.
习题 9.2
1. 用代入消元法解下列方程组：
复习巩固
m＝2n＋3，
(1)
4m＋5n＝－1；
3x＋4y＝18，
(2)
x＋y＝4。
m＝2n＋3，
(1)
4m＋5n＝－1；
①
②
解：将①代入②，得
4(2n＋3)＋5n＝－1，
解得 n＝－1.
将 n＝－1 代入①，得
m＝2×(－1)＋3＝1.
所以原方程组的解是
m＝1，
n＝－1.
3x＋4y＝18，
(2)
x＋y＝4。
①
②
解：由②，得 y＝4－x. ③
将③代入①，得 3x＋4(4－x)＝18，
解得 x＝2.
将 x＝2 代入③，得 y＝4－×2＝3.
所以原方程组的解是
x＝2，
y＝3.
2. 用加减消元法解下列方程组：
3u＋2v＝9，
(1)
3u－5v＝2；
9x＋2y＝15，
(2)
3x＋4y＝10。
3u＋2v＝9，
(1)
3u－5v＝2；
①
②
解：①－②，得 7v＝7，解得 v＝1.
将 v＝1 代入①，得 3u＋2×1＝9，
解得 u＝.
所以原方程组的解是
u＝，
v＝1.
9x＋2y＝15，
(2)
3x＋4y＝10。
①
②
解：①×2－②，得 15x＝20，
解得 x＝.
将 x＝ 代入①，得 9×＋2y＝15，
解得 y＝.
所以原方程组的解是
x＝，
y＝.
3. 解下列方程组：
y－1＝3(x－2)，
(1)
y＋4＝2(x＋1)；
＋＝，
(2)
5(x－9)＝6(y－2)。
y－1＝3(x－2)，
(1)
y＋4＝2(x＋1)；
y－3x＝－5，
解：可转化为
y－2x＝－2.
①
②
①－②，得 －x＝－3，解得 x＝3.
将 x＝3 代入①，得 y－3×3＝－5，解得 y＝4.
所以原方程组的解是
x＝3，
y＝4.
＋＝，
(2)
5(x－9)＝6(y－2)。
3x＋4y＝16，
解：可转化为
5x－6y＝33.
①
②
①×3＋②×2，得 19x＝114，解得 x＝6.
将 x＝6 代入②，得 5×6－6y＝33，解得 y＝－.
所以原方程组的解是
x＝6，
y＝－.
拓展延伸
4. 如图，点 O 在直线 AB 上，OC 为射线，∠1 比 ∠2 的 3 倍还多 20°。求 ∠1，∠2 的度数。
解：方法一：根据题意，得
∠1＋∠2＝180°，
∠1＝3∠2＋20°.
①
②
将②代入①，得 3∠2＋20°＋∠2＝180°，
解得∠2＝40°.
将 ∠2＝40°代入②，得∠1＝140°.
所以原方程组的解是
所以 ∠1，∠2 的度数分别为 140°，40°.
∠1＝140°，
∠2＝40°，
方法二：设 ∠1，∠2 的度数分别为 x，y.
由题意，得 解得
所以，∠1，∠2 的度数分别为 140°，40°.
x＋y＝180°，
x－3y＝20°，
x＝140°，
y＝40°.
5. 一艘船在河道上航行，顺水航行 45 km，用时 3 h；逆水航行 65 km，用时 5 h。该船在静水中的速度与该河的水流速度分别是多少
解：设船在静水中的速度为 x km/h，水流速度为 y km/h.
根据题意，得 解得
所以，船在静水中的速度为 14 km/h，水流速度为 1 km/h.
3(x＋y)＝45°，
5(x－y)＝65°，
x＝14，
y＝1.
6.如图，在一台“数值转换机”上，依次输入数x，y后，会输出一个新数 3(x＋2y)－2。若依次输入数 2a，3b，输出的新数是 28；若依次输入数 a，2b，输出的新数是 16。求 a 与 b 的值。
解：根据题意，得 解得
3(2a＋2×3b)－2＝28，
3(a＋2×2b)－2＝16，
a＝2，
b＝1.
探索创新
7.如果关于m，n的二元一次方程组 的解是
3m－an＝16，
2m－bn＝15
m＝7，
n＝1，
那么关于 x，y 的二元一次方程组 的
解是什么
3(x＋y)－a(x－y)＝16，
2(x＋y)－b(x－y)＝15
解：将 m＝7，n＝1 代入方程组
3m－an＝16，
2m－bn＝15，
得 解得
将 代入所求方程组，整理，得
21－a＝16，
14－b＝15，
a＝5，
b＝－1.
a＝5，
b＝－1.
－x＋4y＝8，①
3x＋y＝15. ②
①×3＋②，得 13y＝39，解得 y＝3.
将 y＝3 代入，得 －x＋4×3＝8，解得 x＝4.
所以原方程组的解是
x＝4，
y＝3.

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