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第9章 二元一次方程组
章小结
知识与结构
回顾与总结
1. 什么是二元一次方程 什么是二元一次方程的解 它的解有多少组
2. 什么是二元一次方程组 什么是二元一次方程组的解 它的解有多少组
3. 解二元一次方程组的基本思路是什么 常用方法有哪些 这些方法的主要步骤分别是什么
4. 同一元一次方程一样，多元一次方程组也是一种重要的数学模型，运用多元一次方程组解决实际问题的过程是什么
5. 通过学习一元一次方程和二元一次方程组，你有什么体会 你认为研究方程的思路是什么
综合练习
1. 解下列方程组：
复习巩固
5x＝y＋5，
(1)
x＝y－3；
2u－3v＝－10，
(3)
6u＋2v＝－8；
x＋y＝－5，
(2)
3x－5y＝9；
4x－3y＝31，
(4)
5x＋7y＝28。
5x＝y＋5，
(1)
x＝y－3；
①
②
解：方法一(代入法)：
将②代入①，得 5(y－3)＝y＋5，
解得 y＝5.
将 y＝5 代入②，得 x＝2.
所以原方程组的解是
x＝2，
y＝5.
5x＝y＋5，
(1)
x＝y－3；
①
②
方法二(加减法)：
原方程组化为
③－④，得 4x＝8，解得 x＝2.
将 x＝2 代入④，得 2－y＝－3，
解得 y＝5.
所以原方程组的解是
x＝2，
y＝5.
5x－y＝5，③
x－y＝－3. ④
x＋y＝－5，
(2)
3x－5y＝9；
①
②
解：方法一(代入法)：
由①，得 x＝－5－y. ③，
将③代入②，得 3(－5－y)－5y＝9，
解得 y＝－3.
将 y＝－3 代入③，得 x＝－5－(－3)＝－2.
所以原方程组的解是
x＝－2，
y＝－3.
x＋y＝－5，
(2)
3x－5y＝9；
①
②
方法二(加减法)：
①×3，得 3x＋3y＝－15. ④
②－④，得 －8x＝24，解得 y＝－3.
将 y＝－3 代入①，得 x－3＝－5，
解得 x＝－2.
所以原方程组的解是
x＝－2，
y＝－3.
2u－3v＝－10，
(3)
6u＋2v＝－8；
①
②
解：方法一(代入法)：
由①，得，u＝. ③
将③代入②，得 3(3v－10)＋2v＝－8，
解得 v＝2.
将 v＝2 代入③，得 u＝－2.
所以原方程组的解是
u＝－2，
v＝2.
2u－3v＝－10，
(3)
6u＋2v＝－8；
①
②
方法二(加减法)：
②－①×③，得 11v＝2，
解得 v＝2.
将 v＝2 代入①，得2u－6＝－10，
解得 u＝－2.
所以原方程组的解是
u＝－2，
v＝2.
4x－3y＝31，
(4)
5x＋7y＝28。
①
②
解：方法一(代入法)：由①，得，x＝. ③
将③代入②，得 ＋7y＝28，
整理，得 155＋15y＋28y＝112，
解得 y＝－1.
将 y＝－1代入②，得 5x－7＝28，
解得 x＝7.
所以原方程组的解是
x＝7，
y＝－1.
4x－3y＝31，
(4)
5x＋7y＝28。
①
②
方法二(加减法)：
①×7＋②×3，得 43x＝301，
解得 x＝7.
将 x＝7 代入①，得 28－3y＝31，
解得 y＝－1.
所以原方程组的解是
x＝7，
y＝－1.
2. 解下列方程组：
3(x－1)＝y＋5，
(1)
5(x－2)＋(3－y)＝－1；
＋＝，
(2)
－＝；
x＋y＝1，
(3) y＋z＝6，
z＋x＝3；
3x＋y＋2z＝1，
(4) 2x＋3y－z＝9，
x＋y＋z＝6。
3(x－1)＝y＋5，
(1)
5(x－2)＋(3－y)＝－1；
解：可化为
3x－y＝8，①
5x－y＝6. ②
②－①，得 2x＝－2，解得 x＝－1.
将 x＝－1 代入①，得 －3－y＝8，解得 y＝－11.
所以原方程组的解是
x＝－1，
y＝－11.
解：可化为
2x－3y＝4， ①
5x－2y＝65. ②
＋＝，
(2)
－＝；
②×2－①×5，得 11y＝110，解得 y＝10.
将 y＝10 代入①，得 2x－3×10＝4，解得 x＝17.
所以原方程组的解是
x＝17，
y＝10.
x＋y＝1，
(3) y＋z＝6，
z＋x＝3；
①
②
③
解：方法一(代入法)：由①，得 x＝1－y. ④
由②，得 z＝6－y. ⑤
将④⑤代入③，得 6－y＋1－y＝3，
解得 y＝2.
将 y＝2 分别代入④⑤，解得 x＝－1，z＝4.
所以原方程组的解
x＝－1，
y＝2，
z＝4.
x＋y＝1，
(3) y＋z＝6，
z＋x＝3；
①
②
③
方法二(加减法)：
②－①，得 z－x＝5.⑥
③＋⑥，得 2z＝8，解得 z＝4.
将 z＝4 分别代入②③，
解得 y＝2，x＝－1.
所以原方程组的解
x＝－1，
y＝2，
z＝4.
3x＋y＋2z＝1，
(4) 2x＋3y－z＝9，
x＋y＋z＝6。
①
②
③
解：由①－③，得 2x＋z＝4. ④
①×3－②，得 7x＋7z＝21. ⑤
④×7－⑤，得 7x＝7，
解得 x＝1.
将 x＝1 代入⑤，得
7＋7z＝21，
解得 z＝2.
3x＋y＋2z＝1，
(4) 2x＋3y－z＝9，
x＋y＋z＝6。
①
②
③
将 x＝1，z＝2 代入③，得
1＋y＋2＝6，
解得 y＝3.
所以原方程组的解
x＝－1，
y＝2，
z＝4.
3. 已知关于x，y的二元一次方程组 的解是 求a，b 的值。
2x－ay＝5，
bx＋6y＝－1
x＝1，
y＝－1
解：将 x＝1，y＝－1 代入方程组 得
解得
2x－ay＝5，
bx＋6y＝－1，
2＋a＝5，
b－6＝－1，
a＝3，
b＝5.
4. 某地区前年进出口总额为 520亿元，去年进出口总额比前年有所增加，其中进口额增加了25%，出口额增加了30%。
注：进出口总额＝进口额＋出口额。
(1) 设前年进口额为 x 亿元，出口额为 y 亿元，用含 x，y 的代数式填表：
1.25 x
1.3 y
1.25x＋1.3y
(2) 已知去年的进出口总额比前年增加 140 亿元，求去年的进口额和出口额。
解：根据题意，得
解方程组，得
因为 1.25x＝1.25×320＝400 (亿元)
x＋y＝520，
1.25x＋1.3y＝520＋140，
x＝320，
y＝200.
5. 某双层游轮的票价是：上层票每张 320元，下层票每张 180元。已知游轮上共有游客350人，而且上层票的总票款比下层票的总票款多 37 000元。这艘游轮上下两层的游客人数分别是多少
解：设这艘游轮上下两层的游客人数分别是 x 人、y 人.
解方程组，得
所以，这艘游轮上下两层的游客人数分别是200人、150 人.
x＋y＝350，
320x－180y＝37 000，
x＝200，
y＝150.
6.《九章算术》记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何。大意为：若干人共同买一个物品。如果每人付8元，那么多3元；如果每人付7元，那么差4元。问有多少人共同买这件物品，这件物品的价格是多少元。
解：设共有 x 人，物品的价格是 y 元. 根据题意，得
解方程组，得
所以，共有7人，物品的价格是 53 元.
8x－3＝y，
7x＋4＝y，
x＝7，
y＝53.
7. 甲、乙、丙三个数的和是 35，甲数的2倍比乙数大5，乙数的等于丙数的。求这三个数。
解：设甲数为 x，乙数为 y，丙数为 z .
根据题意，得 解方程组，得
所以，甲、乙、丙三个数分别为 10，15，10.
x＋y＋z＝35，
2x－y＝5，
y＝z，
x＝10，
y＝15，
z＝10.
拓展延伸
8. 已知关于 x，y 的二元一次方程组 的一个解为 求 m，n 的值。
(m＋1)x－(n－3)y＝11，
mx＋(n＋2)y＝7
x＝1，
y＝－2，
解：将 x＝1，y＝－2 代入
得 解得
(m＋1)x－(n－3)y＝11，
mx＋(n＋2)y＝7，
m＋2n＝16，
m－2n＝11，
m＝，
n＝.
9. 已知关于 x，y 的二元一次方程组 的解满足方程 x－2y＋1＝0，求 m 的值。
x＋2y＝5m，
6x－y＝4m
解：解关于 x，y 的方程组 得
x＋2y＝5m，
6x－y＝4m
x＝m，
y＝2m.
把 x＝m，y＝2m 代入方程 x－2y＋1＝0，得
m－4m＋1＝0，
解得 m＝.
10. A，B，C三种型号的电脑，每台售价分别为6000元、4000元、2500元。学校计划投入 100 500 元经费用于购买其中两种型号的电脑，共计36台。你能设计出哪些不同的购买方案
解：设购买 A 型电脑 x 台、B 型电脑 y 台、C 型电脑 z 台. 分三种情况考虑：
(1) 购进A型电脑和B型电脑.
(2) 购进A型电脑和C型电脑.
(3) 购进B型电脑和C型电脑.
(1) 购进 A 型电脑和 B 型电脑. 根据题意，得
6 000x＋4 000y＝100 500，
x＋y＝36，
解得
x＝－21.75，
y＝57.75，
不符合题意，舍去.
(2) 购进A型电脑和C型电脑. 根据题意，得
6 000x＋2 500z＝100 500，
x＋z＝36，
解得
x＝3，
y＝33.
(3) 购进 B 型电脑和 C 型电脑. 根据题意，得
4 000x＋2 500z＝100 500，
y＋z＝36，
解得
x＝7，
y＝29.
所以有两种购买方案供该校选择：
方案一：购进 A 型电脑3台和 C 型电脑33台.
方案二：购进 B 型电脑7台和 C 型电脑29台.
11. 甲、乙两个数的平均数为－1，乙、丙两个数的平均数是 5，甲、丙两个数的平均数是 2。甲、乙、丙三个数分别是多少
解：设甲、乙、丙三个数分别是 x，y，z. 根据题意，
得 解方程组，得
所以，甲、乙、丙三个数分别是 －4，2，8.
＝－1，
＝5，
＝2；
x＝－4，
y＝2，
z＝8.
探索创新
12. 我国古代的“洛书”(图①)记载了世界上最古老的数学游戏—幻方(图②)。根据图②中各数字的关系，总结幻方需要满足的条件，并利用本章所学的知识将图③的幻方填写完整。
解：幻方需要满足的条件：每一行、每一列及每条对角线上的三个数字之和都相等. 填写略
13. 某班举办个人投篮比赛，有1人未进球，有2人各进1球，有7人各进2球，小亮和一些同学各进4球，有2人各进5球，没有人进5球以上。小莹和一些同学各进3球，已知进3球或3球以上的同学平均每人进3.5球，进4球或4球以下的同学平均每人进2.5球。求进3球的人数和进4球的人数。
解：设有 x 人各进 3 球，有 y 人各进 4 球.
根据题意，得
3x＋4y＋10＝3.5(x＋y＋2)，
16＋3x＋4y＝2.5(10＋x＋y)，
解方程组，得
x＝9，
y＝3.
所以，有 9 人各进 3 球，有 3 人各进 4 球.

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