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第9章 二元一次方程组
9.3
二元一次方程组与实际问题
认识了二元一次方程组，学习了它的解法后，本节将探究如何应用二元一次方程组解决实际问题。
用长方形和正方形的纸板制作 A型、B型两种无盖的长方体纸盒(图9.3-1)，日长方形的宽与正方形的边长相等。现有正方形纸板140张，长方形纸板360张恰好可以制成多少个A型纸盒 多少个B型纸盒
图 9.3-1
图 9.3-1
问题中的等量关系是：
A型、B型纸盒所用正方形纸板的数量之和等于正方形纸板总数，
A 型、B型纸盒所用长方形纸板的数量之和等于长方形纸板总数。
设恰好可以制成 A 型纸盒 x 个，B 型纸盒 y 个，借助下面的表格，可以表示出问题中的等量关系。
解：设恰好可制成 A 型纸盒 x 个，B 型纸盒 y 个。根据题意，得
x＋2y＝140，
4x＋3y＝360。
解方程组，得
x＝60，
y＝40。
所以，恰好可以制成 A 型纸盒 60 个，B 型纸盒 40 个。
应用二元一次方程组解决实际问题的一般过程包含哪些步骤呢
列二元一次方程组解决实际问题的一般过程是
1.为绿化校园，某中学购买了杨树苗和柳树苗共100棵。杨树苗3元/棵，柳树苗7元/棵，买树苗共用460元。求该校购买两种树苗各多少棵。
解：设该校购买杨树苗 x 棵，柳树苗 y 棵.
根据题意，得 解方程组，得
所以，该校购买杨树苗 60 棵，柳树苗 40 棵.
x＋y＝100，
3x＋7y＝460，
x＝60，
y＝40.
2. 如图，用 8 块相同的长方形瓷砖拼成一个宽为 60cm 的长方形墙面(瓷砖间的缝隙忽略不计)。求每块瓷砖的长和宽。
解：设每块瓷砖的长为 x cm，宽为 y cm .
根据题意，得 解方程组，得
所以，每块瓷砖的长为 45 cm，宽为 15 cm.
x＋y＝60，
x＝3y，
x＝45，
y＝15.
弹簧不挂物体时的长度称为弹簧的自然长度。在弹性限度内，所挂物体的质量每增加1kg，弹簧增加的长度是相同的。
例 1
在弹性限度内，某弹簧所挂物体质量与弹簧长度的数据如下表：
当所挂物体的质量为 5kg 时，该弹簧的长度是多少
解：设某弹簧的自然长度为 x cm，弹性限度内所挂物体的质量每增加 1kg 时，弹簧的长度增加 y cm。根据题意，得
x＋0.5y＝11，
x＋3y＝16。
解方程组，得
x＝10，
y＝2。
当所挂物体的质量为 5kg 时，该弹簧的长度为 10＋5×2＝20 (cm)。
所以，当所挂物体的质量为5kg时，该弹簧的长度为20cm。
A，B 两块试验田去年共产小麦 500 kg。今年采用新技术实现了增产，共产小麦 562 kg。已知 A 试验田今年比去年增产 16%，B 试验田今年比去年增产 10%。今年 A，B 两块试验田的产量分别是多少
例 2
解：设去年 A 试验田产小麦 x kg，B 试验田产小麦 y kg。根据题意，得
x＋y＝500，
(1＋16%)x＋(1＋10%)y＝562。
解方程组，得
x＝200，
y＝300。
因为 (1＋16%)×200＝232 (kg)，
(1＋10%)×300＝330 (kg)。
所以，今年 A，B 两块试验田的产量分别为 232kg，330kg。
1. 甲、乙两名同学各有若干零花钱。若乙把自己一半的钱给甲，则甲有 50 元；若甲把自己 的钱给乙，则乙的钱也为 50 元。那么甲、乙各有多少元
解：设甲有 x 元，乙有 y 元，根据题意，得
解方程组，得
所以，甲有 37.5 元，乙有 25 元.
x＋y＝50，
x＋y＝50，
x＝37.5，
y＝25.
2. 某校七年级共有 180 名学生，他们的体质健康测试及格率为90%。如果男、女生的体质健康测试及格率分别为 85%，94%，那么男、女生各有多少人
解：设男生有 x 人，女生有 y 人. 根据题意，得
解方程组，得
所以，男生有80人，女生有 100 人.
x＋y＝180，
85%x＋94%y＝180×90%.
x＝80，
y＝100.
长江上一艘游船从沙市出发，船速为 17km/h，经过若干小时到达宜昌。如果船速提高 1km/h，那么用同样多的时间，游船可从沙市到达宜昌上游 9km 处的葛洲坝 (图9.3-2)。提速前游船从沙市航行到宜昌所用的时间是多少 沙市到宜昌的航程是多少
例 3
分析：借助线段图分析它们之间的关系(图9.3-3)
解：设游船提速前从沙市航行到宜昌所用的时间为 x h，沙市到宜昌的航程为 y km。根据题意，得
17x＝y，
(17＋1)x＝y＋9。
解方程组，得
x＝9，
y＝153。
所以，提速前游船从沙市航行到宜昌所用的时间为 9h，沙市到宜昌的航程为 153 km。
某公司租用甲、乙两种冷柜车运送水果，每次装满水果后由 A 地运往 B 地。前两次租用这两种冷柜车的信息如下表：
例 4
第三次运送水果时租用了3辆甲种冷柜车和5辆乙种冷柜车。如果每吨水果的运费为280元，那么第三次运送水果应支付运费多少元
分析：第三次运送水果的费用与运送的吨数有关，所以需要先求出甲、乙两种冷柜车每辆每次分别运水果的吨数。
等量关系是：__________________＝15.5，
__________________＝35。
解：设甲、乙两种冷柜车每辆每次分别运水果 x t，y t。根据题意，得
2x＋3y＝15.5，
5x＋6y＝35。
解方程组，得
x＝4，
y＝2.5。
第三次运送水果所需费用为 (3×4＋5×2.5)×280＝6860(元)。
所以，第三次运送水果应支付运费 6860元。
1.根据题意，列方程组：
小亮和小莹练习跑步，如果小亮让小莹先跑 10m，那么小亮跑 5s 就能追上小莹如果小亮让小莹先跑 2s，那么小亮跑 4s就能追上小莹。两人每秒各能跑多少米
解：设小莹每秒跑 x m，小亮每秒跑 y m.
根据题意，得
解方程组，得
所以，小莹每秒跑 4 m，小亮每秒跑 6 m.
5x＋10＝5y，
(4＋2)x＝4y，
x＝4，
y＝6.
2. 商场用36000元购进甲、乙两种玩具，全部销售完后共获利6000元。甲种玩具进价为120元/个，售价为138元/个；乙种玩具进价为100元/个，售价为120元/个。该商场购进甲、乙两种玩具各多少个
解：设该商场购进甲种玩具 x 个，乙种玩具 y 个.
根据题意，得
解方程组，得
所以，该商场购进甲种玩具 200 个，乙种玩具 120 个.
120x＋100y＝36 000，
(138－120)x＋(120－100)y＝6 000.
x＝200，
y＝120.
习题 9.3
1. 某校七年级 1 班为鼓励同学们积极参加锻炼，准备购买一些羽毛球拍和乒乓球拍购买方案如下图：
根据图中信息，求每个羽毛球拍和每个乒乓球拍的价格。
复习巩固
解：设每个羽毛球拍的价格为元，每个乒乓球拍的价格为 y 元.
根据题意，得
解方程组，得
所以，每个羽毛球拍的价格为 80 元，每个乒乓球拍的价格为 60 元.
x＋2y＝200，
2x＋y＝220.
x＝80，
y＝60.
2.《九章算术》“方程”章中记载：今有牛五羊二，直金十两。牛二羊五，直金八两问牛羊各直金几何。大意为：5 头牛和 2只羊，共值金 10 两。而 2 头牛和 5 只羊共值金 8 两。问 1 头牛、1 只羊各值金几两。请列方程组求解。
解：设1头牛值金 x 两，1只羊值金 y 两.
根据题意，得 解方程组，得
所以，1头牛值金两，1 只羊值金两.
5x＋2y＝10，
2x＋5y＝8，
x＝，
y＝.
3. 校园篮球比赛中每场比赛都要分出胜负，胜一场得 2 分，负一场得 1 分。七年级 1 班代表队全部比赛完成后的部分统计结果如下表：
这次校园篮球比赛中，七年级 1 班代表队胜了多少场
解：根据题意，得
解方程组，得
所以，这次校园篮球比赛中，七年级1班代表队胜了8 场.
x＋y＝18，
2x＋y＝26.
x＝8，
y＝10.
拓展延伸
4. 某校参加夏令营的学生到餐厅用餐，若每张餐桌安排坐 7 人，则剩 7 人没有座位若每张餐桌安排坐 9 人，则空出一张餐桌。求餐桌数和学生总人数。
解：设餐桌有 x 张，学生有 y 人.
根据题意，得 解方程组，得
所以，餐桌有 8 张，学生有 63 人.
7x＋7＝y，
9(x－1)＝y，
x＝8，
y＝63.
5.一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成。已知1m3，木料可制作桌面50个，或制作桌腿300条。若用5m3木料制作同样的方桌，恰好用完木料，那么用于制作桌面、桌腿的木料量分别是多少
解：设用 xm3 木料制作桌面，用 ym3 木料制作桌腿.
根据题意，得 解方程组，得
所以，用 3m3 木料制作桌面，用 2m3 木料制作桌腿.
x＋y＝5，
50x×4＝300y，
x＝3，
y＝3.
探索创新
6. 服装公司统计了第一季度各个月份男装、女装的销售收入，绘制了下面三幅扇形统计图。1月份男装、女装销售总收入是50万元，3月份男装、女装销售收入比2 月份男装、女装销售收入分别增加了6万元和 24万元。第一季度男装、女装销售收入各是多少万元
解：设2月份男装销售收入是 x 万元，女装销售收人是 y 万元.
根据题意，得 解方程组，得
所以，2月份男装销售收入是30万元，女装销售收入是 30万元.
所以，3月份男装销售收人是 30＋6＝36(万元)，
3月份女装销售收入是 30＋24＝54 (万元).
x＝y，
＝，
x＝30，
y＝30.
第一季度男装销售收入是 50×30%＋30＋36＝81(万元)，
第一季度女装销售收入是 50×70%＋30＋54＝119(万元).
所以，第一季度男装销售收入是81万元，女装销售收入是 119 万元.
两鼠穿墙
《九章算术》中记载了一个有趣的问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿。大鼠日一尺，小鼠亦日一尺。大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢，各穿几何。
大意为：两只老鼠在一道厚5尺的墙的两边相对打洞。大鼠第一天穿墙1尺，以后每天的进度是前一天的2倍；小鼠第一天也穿墙1尺，以后每天的进度是前一天的一半。
问两只老鼠几天后相遇。各穿墙几尺。
第一天，大鼠、小鼠各穿墙1尺，共2尺；第二天，大鼠穿墙2尺，小鼠穿墙半尺。两天大鼠和小鼠共穿墙45尺，离穿透墙尚差0.5尺。第三天，大鼠穿墙速度为 4尺/天，小鼠为 0.25尺/天，不足一天两鼠即可相遇。设第三天大鼠穿墙x尺，小鼠穿墙y尺，其中的等量关系是：大鼠、小鼠一共穿墙0.5尺，该天在相遇时大鼠、小鼠所用的时间相等。请根据以上信息分析解决问题。
解：根据题意，得 解方程组，得
所以，第三天大鼠穿墙 尺，约为 0.47 尺，小鼠穿墙 尺，约为 0.03 尺.
第三天所用的时间为 ×4＝ (天)≈2时49分.
x＋y＝0.5，
＝，
x＝，
y＝.
三天大鼠穿墙约 1＋2＋0.47 ＝ 3.47 (尺)，
三天小鼠穿墙约 1＋0.5＋0.03＝1.53 (尺).
所以，两只老鼠在第三天凌晨大约2时49分相遇，此时大鼠穿墙约为 3.47尺，小鼠穿墙约为 1.53 尺.

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