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第12章 平面图形的认识
12.2
多边形
在认识三角形的基础上，我们将学习多边形的有关概念，并探究多边形的内角和。
在图12.2-1中，你能找到哪些多边形 这些多边形有什么共同特点
同一平面内，若干条线段首尾顺次相接，且有公共端点的线段不在同一条直线上，这样得到的图形叫作多边形(polygon)。
组成多边形的各条线段叫作多边形的边，相邻两条边的公共端点叫作多边形的顶点，相邻两条边所组成的角叫作多边形的内角。
连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫作多边形的对角线。
由四条边组成的多边形叫作四边形 (quadrilateral)，由五条边组成的多边形叫作五边形(pentagon)······由 n 条边组成的多边形叫作 n 边形 (n 是大于2的整数)。
四边形
五边形
一般地，用四边形的顶点 A，B，C，D 表示四边形，记作四边形 ABCD(图12.2-2)。
同样，可以用五边形的顶点 A，B，C，D，E 表示五边形，记作五边形 ABCDE (图12.2-3)
各边相等、各角也相等的多边形叫作正多边形 (regular polygon)。图12.2-4中的各个正多边形分别称作正三角形 (即等边三角形)、正四边形 (即正方形)、正五边形、正六边形和正八边形。
三角形的内角和等于180°，四边形的内角和等于多少度呢 五边形、六边形······n 边形的内角和等于多少度
我发现，从四边形一个顶点出发的对角线可将四边形分成 2 个三角形，从五边形一个顶点出发的对角线可将五边形分成 3 个三角形·····从而求得四边形、五边形、六边形的内角和分别为 360°，540°，720°。
从 n 边形一个顶点出发的对角线可将 n 边形分成 (n－2) 个三角形，所以边形的内角和等于 (n－2) 180°。
n 边形的内角和等于 (n－2) 180°。
已知一个多边形的内角和等于 2 700°，求这个多边形的边数。
例 1
解：设这个多边形的边数为 n，则
(n－2) 180°＝2 700°。
解得 n＝17.
所以这个多边形的边数为 17。
你还能举出普查的例子吗
尝试用其他方法说明 n 边形的内角和等于 (n－2) 180°。
如图所示.
在多边形 A1A2A3A4A5···An，中的内部选取一点 O，连接 OA1，OA2，OA3，OA4，OA5，···OAn，就可以把多边形分成 n 个三角形，则这 n 个三角形的内角和是 n 180°，所以 n 边形的内角和是 n 180°－360°，即 n 边形的内角和等于(n－2) 180 (答案不唯一)
1. 如果从多边形一个顶点出发的所有对角线将多边形分成 6 个三角形，那么这个多边形是几边形 它的内角和是多少
解：八边形.
它的内角和是 180°×(8－2)＝180°×6＝1 080°
2. 分别计算九边形、十二边形的内角和。
解：九边形内角和：
180°×(9－2)＝180°×7＝1 260°，
十二边形内角和：
180°×(12－2)＝180°×10＝1 800°.
3. 如图，正方形 AMNP 的边 AM 在正五边形 ABCDE 的边 AB上，求 ∠PAE 的度数。
解：正方形的一个内角： ∠PAM＝90°，
正五边形的一个内角：
∠EAM＝＝＝108°，
所以∠PAE＝∠EAM－∠PAM＝108°－90°＝18°.
我们已经知道多边形内角和的计算方法，下面将探究多边形的外角和。
如图12.2-6，任意画一个四边形ABCD，分别延长各边，得到 ∠1，∠2，∠3，∠4，它们有什么共同特征
我发现，每个角与相邻的内角互为邻补角。
一般地，多边形一个内角的邻补角叫作多边形的外角。在多边形的每个顶点处取多边形的一个外角，这些外角的和叫作多边形的外角和。
(1)如图12.2-6，四边形 ABCD 的外角和等于多少
四边形 ABCD 的每个外角都与相邻的内角互为邻补角。4个外角与内角的和是 4×180°，减去四边形的内角和 360°，得到这4个外角的和为 360°。
(2) n 边形的外角和是多少呢
n 边形的每一个内角与相邻的外角互为邻补角，n 边形有 n 个内角，所以所有内角与外角的和为 n 180°。已知边形的内角和为 (n－2) 180°，因此”边形的外角和为
n 180°－(n－2) 180
＝ n·180°－n·180°＋2×180
＝ 360°。
多边形的外角和等于 360°。
一个多边形的内角和是它的外角和的 7 倍，求这个多边形的边数。
例 2
解：设多边形的边数为 n，则
(n－2) 180°＝7×360°
解得 n＝16。
所以这个多边形的边数为 16。
尝试用其他方法说明 n 边形的外角和等于 360°。
如图.
∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋···＋∠n
＝ n 180°－(n－2) 180
＝360°
1.一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是几边形
解：因为多边形的外角和是 360°，内角和是外角和的 2倍，
所以这个多边形的内角和是 720° .
设多边形的边数是 n，则 (n－2) 180°＝720°.
解得 n＝6.
所以这个多边形是六边形.
2. 求正八边形一个外角的度数。
解：360°÷8＝45°.
1.下列说法中，正确的有_______个.
① 三角形是边数最少的多边形；
② 等边三角形和长方形都是正多边形；
③ n边形有n条边，n个顶点，n 个内角；
④ 六边形从一个顶点出发可以画3条对角线，共有9条对角线.
3
2. 根据下列条件求多边形的边数：
(1)内角和是 1 620°；
解：设多边形的边数为 n.
根据题意，得 (n－2) 180°＝1 620°，
解得 n＝11.
所以该多边形的边数为 11.
(2)每个内角均为 120°.
解：设多边形的边数为 n.
根据题意，得 (n－2) 180°＝n 120°，
解得 n＝6.
所以该多边形的边数为 6.
3. (2024·重庆中考 A卷) 如果一个多边形的每一个外角都是 72°，那么这个多边形的边数为 _________.
5
习题 12.2
1. 正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一个内角各是多少度
复习巩固
解：正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一个内角分别是 60°，90°，108°，120°.
2. 一个多边形的内角和为 1 620°，求它的边数。
解：设多边形的边数为 n，则 (n－2) 180°＝1 620°.
解得 n＝11.
所以它的边数是 11.
3. 一个多边形的内角和与外角和相等，这个多边形是几边形
解：四边形.
4. 若从多边形的一个顶点出发，最多可引 3 条对角线，那么这个多边形是几边形 一共有多少条对角线 它的内角和是多少度
解：六边形.
一共有 ＝9(条) 对角线.
它的内角和是 (6－2)×180°＝720°.
拓展延伸
5. 在如图所示的五角星中，求 ∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E 的度数。
解：因为 ∠AFE 是 △FEC 的外角，
所以根据三角形外角的性质，得
∠AFE＝∠C＋∠E.
因为 ∠AJB 是 △BDJ 的外角，
所以根据三角形外角的性质，得
∠AJB＝∠B＋∠D.
根据三角形内角和是 180°，得
∠A＋∠AFE＋∠AJB＝ 180°，
所以 ∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.
探索创新
6. 机器人从 O 点出发沿直线行走，每走 10 m，行走方向沿原方向顺时针转动 15°。机器人以这样的方式走多少米可以回到 O 点
解：由题意，得机器人所走的路线为一个正多边形.
因为每一个外角是 15°，360°－15°＝24，
所以走过的路程为 10×24＝240 (m).
所以机器人以这样的方式走 240m 可以回到 O 点.

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