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第12章 平面图形的认识
中国园林在设计时常常把几何元素融入其中，应用三角形、多边形、圆等几何图形组成寓意丰富的图案。下图中有一些三角形、多边形、圆的形象，它们有哪些性质
本章我们将学习三角形、多边形及圆的有关概念，探索三角形内角、外角的性质及三边之间的关系；研究多边形的内角和与外角和；初步认识圆的有关概念，了解点与圆的位置关系通过本章的学习，我们将初步了解研究几何图形的思路和方法。
12.1
三角形
在初步认识三角形的基础上，我们继续学习与三角形有关的概念及性质。
在图12.1-1中，你能找到哪些三角形 这些三角形有什么共同特点
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形(triangle)。
组成三角形的线段叫作三角形的边；
相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点；
相邻两边组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角。
边
顶点
角
如图12.1-2，线段 AB，BC，CA 是这个三角形的三条边，点 A，B，C 是这个三角形的顶点，∠A，∠B，∠C 是这个三角形的角，边 BC，CA，AB 分别叫作∠A，∠B，∠C 的对边。有时也用 a，b，c 分别表示∠A，∠B，∠C 的对边(图 12.1-2)。
常用符号“△”表示三角形，顶点是 A，B，C 的三角形，记作△ABC，读作“三角形 ABC”。
(1) 测量图12.1-3中每个三角形的角的大小，它们最大的角分别是什么角 按照角的大小，怎样将三角形分类
三角形最大的角可以是锐角、直角或钝角，按照角的大小可以将三角形分成三类。
如图 12.1-3①，三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形；
如图12.1-3②.有一个角是直角的三角形叫作直角三角形；
如图12.1-3③，有一个角是钝角的三角形叫作钝角三角形。
图12.1-3②所示的直角三角形ABC 记作 Rt△ABC，读作“直角三角形ABC”。∠C＝90°，∠C 的对边 AB 称为斜边，AC，BC 称为直角边。
(2)比较图 12.1-4 中每个三角形三条边的长度，你有什么发现 按照边的特征，怎样将三角形分类
有的三角形三边互不相等，有的三角形有两条边相等，有的三角形三条边都相等。
有两条边相等的三角形叫作等腰三角形。如图 12.1-5，在等腰三角形 ABC 中，相等的边 AB，AC 称为等腰三角形的腰，另一边 BC 称为底边，两腰的夹角 ∠A 称为顶角，两腰和底边的夹角 ∠B，∠C 称为底角。
三条边都相等的三角形叫作等边三角形，也称为正三角形。
按照“边是否相等”可以将三角形分为两类：
三边都不相等的三角形和等腰三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形。
按照“角的大小”分类，可以将三角形分为三类：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
按照“边是否相等”分类，可以将三角形分为两类：三边都不相等的三角形和等腰三角形。等边三角形是三边都相等的等腰三角形。
1.如图，点 D 在 △ABC 的边 BC 上，连接 AD.
(1) △ABC 的三个内角是__________________；
(2) 在△ABD中，∠B 的对边是__________，
在△ABC中，∠B 的对边是__________；
(3) 以线段 AC 为边的三角形有__________ (用符号表示)。
∠BAC、∠B、∠C
AD
AC
△ACD、△ABC
2.根据下列条件，分别判断 △ABC 的形状。
(1)∠A＝45°，∠B＝65°，∠C＝70°；
(2)∠C＝110°；
(3)∠C＝90°；
(4) AB＝AC，AB＞BC；
(5) AB＝BC＝AC.
锐角三角形
钝角三角形
直角三角形
等腰三角形
等腰边角形
在小学，我们用测量和拼接的方法验证过“三角形的内角和等于180°”。如何说明这个结论
任意剪出一个三角形纸片，将三角形的三个角撕下，按图12.1-6 的方式拼接，会发现三角形的三个内角可以拼成一个平角。
根据拼接过程，你能说明“三角形的内角和等于180°”吗
可以构造平行线，借助平行线的性质，说明这个结论。
(1) 怎样说明“三角形的内角和等于 180°”
由图 12.1-6可知，过点 A 画直线 BC 的平行线 DE，可以将∠B，∠BAC，∠C 拼成一个平角(图12.1-7)。
根据平角的定义，得
∠DAB＋∠BAC＋∠EAC＝180°。
根据两直线平行，内错角相等，得
∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C。
所以 ∠B＋∠BAC＋∠C＝180°。
由此，可以得到：三角形的内角和等于 180°。
(2) 如图12.1-8，在 △ABC 中，若∠C＝90°，∠A 与∠B 有怎样的关系 若∠A＋∠B＝90°，则 △ABC 是什么三角形
因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠C＝90，所以∠A＋∠B＝90°，即∠A与∠B互余。反过来∠A＋∠B＝90°，因为三角形内角和等于180°，所以∠C＝90°，即△ABC 是直角三角形。
三角形的内角和等于 180°。
直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形。
如图12.1-9，在 △ABC 中，D 是边 AB 上的一点，∠A与 ∠ACD 互余，请说明 ∠B 与∠DCB 互余。
例 1
解：根据 ∠A 与 ∠ACD 互余，及互余的定义，得
∠A＋∠ACD＝90°。
根据三角形的内角和等于 180°，得
∠ADC＝180°－(∠A＋∠ACD)＝90°。
根据平角的定义，得
∠BDC＝180°－∠ADC
＝180°－90°
＝90°
根据直角三角形的定义，知 △BDC 是直角三角形。所以 ∠B 与 ∠DCB 互余。
1. 分别计算下图中 ∠1 的度数。
解：∠1＝180°－65°－65°＝50°，
∠1＝90°－60°＝30°.
2. 如图，点 B，E，C 在同一条直线上，∠A＝∠DEC，∠D＝∠BEA，∠A 与 ∠D 互为余角。试说明：
(1) AE⊥DE；
(2) AB ∥ CD。
(1) AE⊥DE；
解：因为∠A与∠D互余，∠A＝∠DEC，
∠D＝∠BEA.
所以∠DEC与∠BEA互余.
根据平角的定义，得∠BEC＝180°，
所以∠AED＝180°－90°－90°.
所以 AE⊥DE.
(2) AB ∥ CD。
解：因为 ∠A 与 ∠D 互余，
∠A＝∠DEC，
所以∠DEC 与∠D 互余.
所以∠DEC＋∠D＝90°.
根据三角形的内角和为 180°，得
∠C＝180°－90°－90°.
同理，∠B＝90°，
所以 ∠B＋∠C＝180°.
所以 AB // CD.
我们运用“三角形的内角和等于180°”的结论继续研究三角形的角。
如图 12.1-10，将 △ABC 的三条边分别延长，得到 ∠1，∠2，∠3。它们有什么共同的特征
由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角。三角形的一个外角与相邻的内角互为邻补角。
三角形的一个外角与不相邻的两个内角有什么关系
如图 12.1-11，∠1，∠2，∠3 为△ABC 的三个内角，∠ACD 为△ABC 的一个外角。
根据三角形的内角和是 180°，得
∠1＋∠2＋∠3=180°。
根据邻补角的定义，得
∠ACD－∠3＝180°。
所以∠1＋∠2＋∠3＝∠ACD＋∠3。
根据等式的基本性质，得
∠1＋∠2＝∠ACD。
由∠1＋∠2＝∠ACD，可以得到∠ACD＞∠1和∠ACD＞∠2.
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。
如图 12.1-12，在 △ABC 中，BD 是∠ABC 的平分线，∠ABD＝∠A，∠C＝3∠A。
例 2
(1) 求 △ABC 各内角的度数；
(2) 求 ∠ADB 的度数。
(1) 求 △ABC 各内角的度数；
解：根据 BD 是∠ABC 的平分线，及角的平分线的定义，得
∠ABC＝2∠ABD。
因为 ∠ABD＝∠A，
所以∠ABC＝2∠A.
根据三角形的内角和等于 180°，得
∠A＋∠ABC＋∠C＝180°。
因为∠C＝3∠A，
所以 ∠A＋2∠A＋3∠A＝180°，
即 6∠A＝180°。
所以 ∠A＝30°，
所以 ∠ABC＝60°，∠C＝90°。
(2) 求 ∠ADB 的度数。
解：根据 BD 是 ∠ABC 的平分线，
及角的平分线的定义，得
∠DBC＝∠ABC＝30°。
根据 ∠ADB 是 △DCB 的一个外角，及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠ADB＝∠C＋∠DBC＝90＋30°＝120°。
探索三角形三个外角的和，你发现了什么规律
1. 根据图中所给的条件，求 ∠1，∠2，∠3 的度数。
解：∠1＝180°－155°＝25°，
∠2＝180°－37°－25°＝118°，
∠3＝37°＋25°＝62°
2. 如图，在 △ABC 中，∠B＝40，AE 是 ∠BAC 的平分线，∠ACD＝106°，求 ∠AEC 的度数。
解：因为∠ACD＝∠B＋∠BAC，
所以∠BAC＝∠ACD－∠B
＝106°－40°
＝66°.
又因为 AE平分∠BAC，
所以∠BAE＝∠BAC＝33°.
所以∠AEC＝∠B＋∠BAE＝73°
我们学习了三角形的内角与外角的关系，下面将探究三角形三条边的关系。
如图12.1-13，任意画一个 △ABC，从点 B 出发，沿三角形的边到点 C，可以选择两条路线，哪条路线最短 为什么
根据两点之间线段最短，可知 BA＋AC＞BC。
在图12.1-13中，从 △ABC 的顶点 A 出发，沿三角形的边到顶点 B 或 C，还可以得到什么结论
AC＋CB＞AB，AB＋BC＞AC。
三角形的任意两边之和大于第三边。
能用一根长为 18cm 的细铁丝围成一个边长为 4cm 的等腰三角形吗 为什么
例 3
解：因为长为 4cm 的边可能是腰，也可能是底边，所以分两种情况讨论。
① 若底边长为 4cm，设腰长为 x cm，则 4＋2x＝18。
解得 x＝7。
因为 4＋7＞7，7＋7＞4，
所以底边长为 4cm 时能围成三角形。
② 若腰长为 4cm，设底边长为 x cm，则
4＋2x＝18。
解得 x＝10。
因为 4＋4＜10，
所以腰长为 4cm 时不能围成三角形。
由①②可知，能围成满足条件的等腰三角形，其腰长为7cm，底边长为 4 cm。
1. 用下列长度的三条线段能否组成三角形 为什么
(1)3，4，5；
(2)4，4，8；
解：能. 因为任意两边的和都大于第三边.
解：不能.
因为4＋4＝8，即两边的和等于第三边，不能组成三角形.
(3)5，7，11；
(4)2，3，6.
解：能. 因为任意两边的和都大于第三边.
解：不能.
因为 2＋3＜6，即两边的和小于第三边，不能组成三角形.
2. 已知等腰三角形的两条边长分别为 4cm 和 9cm，求这个三角形的周长。
解：分类讨论：
(1) 当 4cm 长的边为腰时，4＋4＜9，
所以不能组成三角形，不成立.
2. 已知等腰三角形的两条边长分别为 4cm 和 9cm，求这个三角形的周长。
(2) 当 4cm 长的边为底边时，4＋9＞9，
所以可以组成三角形，成立.
4＋9＋9＝22(cm)，
所以这个三角形的周长是 22 cm.
我们学习了三角形三边的关系，下面将探究三角形中的主要线段。
三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，角的顶点和交点之间的线段叫作三角形的角平分线。
如图12.1-14①，AD是 ∠BAC 的平分线，交 BC 于点 D，线段 AD 就是 △ABC 的一条角平分线。
连接三角形一个顶点与对边中点的线段叫作三角形的中线。
如图12.1-14②，E 为 BC 的中点，线段 AE 就是 △ABC 的一条中线。
三角形的一个顶点到它的对边所在直线的垂线段叫作三角形的高线，简称三角形的高。
如图12.1-14③，AF⊥BC，垂足为 F，线段 AF 就是 △ABC 的边 BC 上的高。
(1)在图12.1-14①②中，分别画出 △ABC 所有的角平分线、中线。观察这些线，你能得出什么结论 重新画一个三角形，画出这个三角形所有的角平分线或中线，你得出的结论还成立吗
我发现，一个三角形有三条角平分线和三条中线。三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部，分别交于一点。
如图12.1-15，△ABC 的三条中线交于点 G 点 G 就是 △ABC 的重心。
(2)在图12.1-16中，分别画出 △ABC 所有的高，通过观察你能得出什么结论 重新画一个三角形，并画出这个三角形所有的高，结论还成立吗
我发现，三角形的高可能在三角形的内部，可能与边重合，也可能在三角形的外部。三条高所在的直线交于一点。
三角形的三条角平分线、三条中线分别相交于一点，它们都在三角形的内部 。
三角形的三条高所在的直线相交于一点，高及高的交点不一定在三角形的内部。
1. 过 △ABC 的顶点 A 画出 BC 边上的中线、高和∠A 的角平分线。
解：如图所示.
BC 边上的中线是AE，
高是AD，
∠A的平分线是AF.
E
F
D
2. 如图，△ABC中，AD是中线，BE是角平分线。
(1) 写出线段 BD，CD，BC 的数量关系；
解：BD＋CD＝BC，
BD＝CD＝BC.
(2) 写出∠ABE，∠CBE，∠ABC 的数量关系。
解：∠ABE＋∠CBE＝∠ABC，
∠ABE＝∠CBE＝∠ABC.
3.如图，在Rt△ABC中，∠B＝60°，AD是角平分线，求∠CAD 的度数
解：在 Rt△ABC 中，∠B＝60°，
所以∠BAC＝90°－∠B＝90°－60°＝30°.
因为 AD 是角平分线，
所以∠CAD＝∠BAC＝×30°＝15°
习题 12.1
1.如图，在 △ABC 中，AE⊥BC，点 E 是垂足，D 是边 BC 上的一点，连接 AD。
(1) 写出 △ABE 的三个内角；
复习巩固
解：△ABE 的三个内角分别是
∠ABE，∠AEB，∠EAB.
(2) 写出图中 △ADE 的外角；
(3) 图中哪些是直角三角形 哪些是锐角三角形 哪些是钝角三角形
解：△ADE 的外角有∠ADB，∠AEC.
解：直角三角形有△ABE，△ADE，△ACE.
锐角三角形有△ABC，△ADC.
钝角三角形有△ABD.
2. 如图，在 △ABC 中，点 D，E 在边 BC 上，连接 AD，AE。
(1)∠ADE＝∠B＋________，
∠ADB＝∠C＋_______＝∠AED＋_____；
(2) 用“＞”或“＜”填空：
∠AEC____∠ADE，
∠B____∠ADE。
∠BAD
∠CAD
∠EAD
＞
＜
3. 已知 BD 是 △ABC 的中线，AB＝5，BC＝3。求 △ABD 和△BCD 的周长的差。
解：如图所示.
因为BD是△ABC的中线，所以AD＝CD.
因为 AB＝5，BC＝3，
所以△ABD 的周长－△BCD的周长
＝(AB＋BD＋AD)－(BC＋CD＋BD)
＝AB＋BD＋AD－BC－CD－BD
＝AB－BC＝5－3＝2.
拓展延伸
4. 已知等腰三角形的两边长分别是 7cm 和 8cm，求它的周长。
解：分类讨论：
(1) 当 7cm 长的边为腰时，7＋7＞8 能构成三角形，成立.
7＋7＋8＝22 (cm).
(2) 当 7cm 长的边为底时，7＋8＞8 能构成三角形，成立.
7＋8＋8＝23(cm).
所以它的周长是 22cm 或 3cm .
5. 某零件如图所示，按规定∠A＝90°，∠B＝32°，∠C＝21°。当检验员量得∠BDC＝146°时，会断定这个零件不合格，为什么
解：这个零件不合格.
理由如下：如图，延长 CD 交 AB 于点 E.
E
由三角形外角的性质，得
∠DEB＝∠A＋∠C＝90°＋21°＝111°，
∠BDC＝∠DEB＋∠B＝111°＋32°＝143°，
而检验员量得∠BDC＝146°，
所以这个零件不合格。
6. 如图，一艘轮船从 A 处沿 AP 方向行驶，C 处有一灯塔，∠BAC＝30°。
(1)轮船行至 B 处时，∠CBP＝70°，求 ∠ACB 的度数；
解：因为∠BAC＝30°，∠CBP＝70°，
根据三角形外角的性质，得
∠CBP＝∠BAC＋∠ACB，
即∠ACB＝∠CBP－∠BAC
＝70°－30°＝40°.
(2)轮船行至距离灯塔最近的点 D 时，求 ∠ACD 的度数。
解：如图，过点 C 作 CD⊥AB，交 AB 的延长线于点 D.
D
根据直角三角形两锐角互余，得∠ACD＝90°－∠BAC
＝90°－30°
＝60°.
拓展延伸
7. 在 △ABC 中，∠A 为锐角，∠B，∠C 均不是直角，高 BD 和 CE 所在的直线交于点 H。
(1)若∠A＝45°，△ABC 为锐角三角形，求∠BHC 的度数；
(2)若∠A＝30°，△ABC 为钝角三角形，求∠BHC 的度数；
(3)用等式表示∠BHC 与 ∠A 的数量关系，并说明理由。
(1)若∠A＝45°，△ABC 为锐角三角形，求∠BHC 的度数；
解：如图1，△ABC 是锐角三角形.
因为 BD，CE 是△ABC 的高，
所以∠ADB＝90°，∠BEC＝90°.
所以∠ABD＝90°－∠A＝90°－45°＝45°.
根据三角形外角的性质，得
∠BHC＝∠ABD＋∠BEC＝45°＋90°＝135°.
(2)若∠A＝30°，△ABC 为钝角三角形，求∠BHC 的度数；
解：如图2，△ABC 是钝角三角形.
因为 BD，CE是△ABC 的高，
所以∠A＋∠ACE＝90°，
∠BHC＋∠HCD＝90°.
因为∠ACE＝∠HCD，
所以∠BHC＝∠A＝30°.
(3)用等式表示∠BHC 与 ∠A 的数量关系，并说明理由。
解：∠BHC＋∠A＝180° 或∠BHC＝∠A.
理由如下：①当 △ABC 是锐角三角形时，
因为 BD，CE 是 △ABC 的高，
所以∠ADB＝90°，∠BEC＝90°，
所以∠ABD＝90°－∠A.
所以∠BHC＝∠ABD＋∠BEC＝90－∠A＋90＝180°－∠A,
即∠BHC＋∠A＝180°.
② 当 △ABC 是钝角三角形时，
因为 BD，CE 是 △ABC 的高，
所以∠A＋∠ACE＝90°，∠BHC＋∠HCD＝90°.
因为∠ACE＝∠HCD，
所以∠BHC＝∠A.
综上所述，∠BHC＋∠A＝180°或 ∠BHC＝∠A.
8. 如图，三条公路围出一个三角形区域，管理部门准备把这一区域改造成一个花园。请设计一个方案，把这个三角形区域分成面积相等的四部分。
解：如图所示，△ABC 即为题目中三角形区域的示意图，分别找出 AB，BC，AC 的中点 D，E，F. 连接 AE，DE，EF，就可以把 △ABC 分成面积相等的四部分. (答案不唯一)

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