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第12章 平面图形的认识
12.3 圆
在小学，我们已经初步认识了圆。本节我们将继续学习圆及其有关概念并探索点与圆的位置关系。
在图12.3-1中，你能找到哪些圆 这些圆有什么共同特点
图 12.3-1
如图 12.3-2，在平面内，线段 OA 绕固定的端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的封闭曲线叫作圆(circle)，点 O 叫作圆的圆心。
以点 O 为圆心的圆记作 O，读作“圆O”。连接圆心和圆上任意一点的线段叫作半径(radius)，用“r”表示，线段 OA 是 ⊙O 的一条半径。
连接圆上任意两点的线段叫作弦，经过圆心的弦叫作直径。图12.3-3中，线段 AB，CD 都是 ⊙O 的弦，其中弦 AB 是 O 的一条直径。
如图 12.3-4，以 O 为圆心，画一个半径为 1.5 cm 的圆，在圆上任意取 A，B 两点，连接 OA，OB。
(1) OA 与 OB 的长分别是多少
(2)任取一点 C，使得 OC＝1.5cm，点 C 的位置在圆周上吗
(3)如果 M，N 是平面内的两点，且 OM＝1.8cm，ON＝1cm，你能分别说出点 M，N 与圆的位置关系吗
(4) 观察平面内的点与圆有几种位置关系。
平面内的点与圆有三种位置关系：点在圆外，点在圆上，点在圆内。
(5)圆上的点具备什么特点 点满足什么条件才会在同一个圆上
圆上各点到圆心的距离都等于半径，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上因此，圆可以看作是由平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的几何图形。
点在圆外，即这个点到圆心的距离大于半径。
点在圆上，即这个点到圆心的距离等于半径。
点在圆内，即这个点到圆心的距离小于半径。
圆是由平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的几何图形。
圆上任意两点间的部分叫作弧，用符号“⌒”表示。以 C，D 两点为端点的圆弧记作 ，读作“弧 CD”。直径把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆。
大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如 (图12.3-5)，小于半圆的弧叫作劣弧，如 (图12.3-5)。
一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫作扇形。
如图12.3-5，扇形 OCAD 由半径 OC，OD 与 组成；扇形 OCBD 由半径 OC，OD 与 组成。
半径相等的圆叫作等圆。
图12.3-6中， ⊙O1 和 ⊙O2 的半径都是 r，所以它们是等圆。在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等弧。
图12.3-7中的两个圆都以点 O 为圆心，半径分别是 r1 和 r2 (r1＞r2)，它们的圆心相同，半径不相等。圆心相同，半径不相等的圆叫作同心圆。
1.已知 ⊙O 的半径为 8cm，A 为平面内一点。当 OA 符合下列条件时，分别指出点 A 与 O 的位置关系：
(1) OA＝7.9 cm；
(2) OA＝8 cm；
(3) OA＝8.01 cm。
解：(1)点 A 在 ⊙O 内.
(2)点 A 在 ⊙O 上.
(3)点 A 在 ⊙O 外
2. (1)圆的一条弦所对的弧有几条 怎样区分它们
解：圆的一条弦所对的弧有两条，其中优弧用三个大写字母表示，如弦 CD 所对的两条弧分别是优弧 ，劣弧 .
(2)如图，图中有几条弧 哪些是优弧 哪些是劣弧
解：题图中有 12 条弧，半圆有两条，优弧有，，，， .
劣弧有 ，，，，.
1. 以已知点 O 为圆心，已知线段 a 为半径作圆，可以作出圆的个数为( )
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 无数个
A
2. 已知 ⊙O 的半径为 10 cm，根据下列点 P 到圆心的距离，判断点 P 与 ⊙O 的位置关系.
(1)d＝8 cm； (2)d＝10 cm； (3)d＝12 cm.
解：由题意知，r＝10 cm.
(1)当 d＝8 cm 时，有 d＜r，所以点 P 在 ⊙O 内.
(2)当 d＝10 cm 时，有 d＝r，所以点 P 在 ⊙O 上.
(3)当 d＝12 cm时，有d＞r，所以点 P 在 ⊙O 外.
3.下列说法：①弦是直径；②弧是半圆；③过圆心的线段是直径；④半圆是弧；⑤两个端点在圆上的线段是弦. 其中正确的有( )
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 无数个
B
习题 12.3
1. 下列说法正确的是________。
①过圆心的线段一定是圆的直径；
②等圆的半径相等；
③大于劣弧的弧叫作优弧；
④若一个圆在另一个圆的内部，则这两个圆是同心圆。
复习巩固
②
2. 如图，某运动员投掷铅球的成绩为 8.6m，则他投出的铅球落在①~④中的哪个区域
解：他投出的铅球落在区域③.
3. 在 △ABC 中，AB＝3 cm，BC＝4 cm，CA＝5 cm。
(1)以点 A 为圆心，以 3cm 长为半径画圆，确定点 B，C 与⊙A 的位置关系；
(2)以点 B 为圆心，以 4cm 长为半径画圆，确定点 A，C 与⊙B 的位置关系。
解：如图所示.
(1)点 B 在 ⊙A 上，点 C 在 A 外.
(2)点 A 在 ⊙B 内，点 C 在 B 上.
拓展延伸
4. 一片草地上有 A，B 两点，这两点之间的距离为 18 m。在两点处各有一个酒水器，洒水覆盖区域分别为直径 24m 和 18m的圆。请画图表示两个水器洒水覆盖的区域(用1cm 代表1m)。
解：阴影部分即为所求的区域 (0.1cm代表1 m).
探索创新
5. (1) 如图①，将一枚半径为 r 的硬币沿一条直线从点 M 出发，滚动一周，到达点 N。线段 MN 的长是多少 硬币的圆心经过的路程是多少
解：线段 MN 的长是 2πr.
硬币的圆心走过的路程是 2πr.
(2) 如图②，取两枚半径都为 r 的硬币 A，B，平放到桌面上，将硬币 B 固定。硬币 A 从硬币 B 的边缘上的一点 P 出发，沿硬币 B 的边缘滚动一周，回到原来的位置。硬币 A 的圆心经过的路程是多少 在滚动时硬币 A 转了几周
解：硬币 A 的圆心经过的距离是以硬币 B 的圆心为圆心，以 2r 为半径的圆的周长，即 4πr.
＝2.
所以在滚动时，硬币 A 转了2周.

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