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第11章 因式分解
11.2
提公因式法
因式分解是将一个多项式化成整式的乘积形式，我们如何进行因式分解呢
观察多项式 ma＋mb＋mc，它有几项 它的各项有什么共同之处
多项式 ma＋mb＋mc 有 ma，mb，mc 三项，每一项都有因式 m。
在一个多项式中，各项都含有的相同因式叫作这个多项式中各项的公因式。
逆用乘法分配律，可以把公因式提到括号外面，得到
ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)。
这就把多项式 ma＋mb＋mc 进行了因式分解。
对多项式 ma＋mb＋mc 进行因式分解时，把公因式 m 作为积的一个因式，多项式 ma＋mb＋mc 除以公因式 m 的商 a＋b＋c作为积的另一个因式。
多项式 2a2＋4ab 中各项的公因式是什么 怎样把它进行因式分解
在多项式 2a2＋4ab 中，各项的公因式有 2，a，2a。在对 2a2＋4ab 进行因式分解时，把 2a 作为要提出的公因式，得到 2a2＋4ab＝2a(a＋2b)。
一般地，如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式化成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法。
将下列各式因式分解：
例 1
(1) 3a2＋12a； (2) －4x2y－16xy＋8x2。
解：(1) 3a2＋12a＝3a(a＋4)。
(2) －4x2y－16xy＋8x2＝－4x(xy＋4y－2x)。
将下列各式因式分解：
例 2
(1) a(m－6)＋b(m－6)； (2) 3(a－b)＋a(b－a)。
解：(1) a(m－6)＋b(m－6)＝(m－6)(a＋b)。
(2) 3(a－b)＋a(b－a)＝3(a－b)－a(a－b)＝(a－b)(3－a)。
用提公因式法进行因式分解，关键在于找出多项式各项的公因式。
1. 在下列括号内填写适当的多项式：
(1) 3x3－2x2＋x＝x( )；
(2) －30x3y2＋48x2yz＝－6x2y( )。
3x2－2x＋1
5xy－8z
2. 将下列各式因式分解：
(1) －4b2＋2ab； (2) 6ab3－2a2b2＋4a3b。
解：(1) －4b2＋2ab＝－2b(2b－a).
(2) 6ab3－2a2b2＋4a3b＝2ab(3b2－ab＋2a2).
3. 将下列各式因式分解：
(1) x－y－(x－y)2； (2) 6(m－n)2－3m＋3n。
解：原式＝(x－y)－(x－y)2
＝(x－y)(1－x＋y).
解：原式＝6(m－n)2－3(m－n)
＝3(m－n)(2m－2n－1).
习题 11.2
1. 填空：
复习巩固
(1) 4a2b＋6ab3＝ ______(2a＋3b2)；
(2) －49a2＋7ab3＝7a(__________)；
(3) 7(a－2)2－14b(a－2)＝7(a－2)(_________)；
(4) a2b(x－y)＋ab(x－y)2＝_________(a＋x－y)。
2ab
－7a＋b3
a－7－2b
ab(x－y)
2. 将下列各式因式分解：
(1) a2b－2ab2＋ab；
(2) x3y＋xy3；
解：原式＝ab(a－2b＋1).
解：原式＝xy(x2－y2).
(3) 8abc＋4bc2；
(4) 2m3n＋16m2n2＋4mn3。
解：原式＝4bc(2a＋c).
解：原式＝2mn(m2－8mn＋2n2).
3.将下列各式因式分解：
(1) a(m＋n)－b(m＋n)；
(2) (a＋b)(a－b)＋(b＋a)；
解：原式＝(m＋n)(a－b).
解：原式＝(a＋b)(a－b＋1).
(3) m(a－3)－n(3－a)；
(4) a(a－b)3＋b(b－a)2。
解：原式＝m(a－3)＋n(a－3)＝(a－3)(m＋n).
解：原式＝a(a－b)3＋b(a－b)2＝(a－b)2(a2－ab＋b).
拓展延伸
4. 3200－4×3199＋10×3198 是 7 的倍数吗 为什么
解：是 7 的倍数.
理由如下：3200－4×3199＋10×3198
＝3198×(32－4×3＋10)
＝3198×(9－12＋10)
＝3198×7，
所以 3200－4×3199＋10×3198 是 7 的倍数.
5. 某公园计划修建水池，有两种设计方案。方案一是修建两个大圆形水池(图①)；方案二是修建一个大圆形水池，内设三个小圆形水池(图②)。现要准备水池围墙的砌墙用料，若两种方案中大圆形水池的直径相等，所有水池的高度相同，则这两种方案需要的砌墙用料一样多吗 为什么
解：一样多.
理由如下：
设大圆的半径为r，题图②中内部三个小圆的半径依次为 r1，r2，r3，则有 r1＋r2＋r3＝r，题图①中2个圆的周长和为4πr，题图②中四个圆的周长和为 2πr＋2r1＋2πr2＋2πr3＝2πr＋2π(r1＋r2＋r3)＝2πr＋2πr＝4πr，所以用料一样多.
探索创新
6.“回文诗”通常是指可以倒读的诗篇，如“云边月影沙边雁，水外天光山外树”，倒过来读，即“树外山光天外水，雁边沙影月边云”。数学中有正读和倒读都一样的自然数，这类数被称为“回文数”，如 11，343 等。
(1) 写出一个四位数的回文数。
解：1 221 (答案不唯一).
(2) 小莹发现，任意四位数的回文数都是 11 的倍数。小莹的发现正确吗 请说明理由。
解：正确：
理由如下：设任意四位数的回文数千位、百位、十位和个位上的数字分别为 a，b，b，a，则这个回文数是1000a＋100b＋10b＋a＝1001a＋110b＝11(91a＋10b)，
所以任意四位数的回文数都是11的倍数.

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