资源简介

(共46张PPT)
第11章 因式分解
11.3
公式法
借助此前所学的乘法公式能进行因式分解吗
多项式 x2－9 和 m2－25n2，它们有什么共同特征
它们都表示两项的差，且每一项都可以写成平方的形式。
x2－9＝x2－32，
m2－25n2＝m2－(5n)2。
怎样将上面两个多项式因式分解
把平方差公式等号两边互换位置，得到 a2－b2＝(a＋b)(a－b)。利用它就可以将上面的式子因式分解。
x2－9 ； m2－25n2
x2－9 ； m2－25n2
x2－9＝x2－32＝(x＋3)(x－3)；
m2－25n2＝m2－(5n)2＝(m＋5n)(m－5n)。
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积，即
a2－b2＝ (a＋b)(a－b)。
将下列各式因式分解：
例 1
(1) 4x2－9； (2)16a2－81b2。
解：原式＝(2x)2－32
＝(2x＋3)(2x－3)。
解：原式＝(4a)2－(9b)2
＝(4a＋9b)(4a－9b)。
将下列各式因式分解：
例 2
(1) x4－y4；
(2) 4a3b－ab；
解：原式＝(x2＋y2)(x2－y2)＝(x2＋y2)(x＋y)(x－y)。
解：原式＝ab(4a2－1)＝ab(2a＋1)(2a－1)。
(3) (2a＋b)2－(a＋2b)2。
解：原式＝ [(2a＋b)＋(a＋2b)][(2a＋b)－(a＋2b)]
＝ (3a＋3b)(a－b)
＝ 3(a＋b)(a－b)。
因式分解时，所有的因式要分解到不能再继续分解为止。
如图 11.3-1，每个图中先将 n2 (n≥3，n 为正整数) 个边长为 1 的小正方形拼成一个大正方形，再将右上角的 1 个小正方形去掉，每个图形中剩下的小正方形能够重新拼成一个长和宽都不等于 1 的长方形吗 为什么
能. 理由：n2－1＝(n＋1)(n－1).
1.下列多项式是否可以用平方差公式进行因式分解 如果可以，写出因式分解的结果。
(1) a2－4b2； (2) －4m2＋n2； (3) 4x2－(－b)2；
(4) 9a2＋4b2； (5) x2－； (6) x2＋。
解：可以因式分解的有(1)(2)(3)(5).
(1) a2－4b2；
(2) －4m2＋n2；
(3) 4x2－(－b)2；
(5) x2－。
原式＝a2－(2b)2＝(a＋2b)(a－2b).
原式＝n2－4m2＝n2－(2m)2＝(n＋2m)(n－2m).
原式＝(2x)2－b2＝(2x＋b)(2x－b).
原式＝x2－()2＝(x＋)(x－).
2. 将下列各式因式分解：
(1) 2x2－8；
(2) 56a2－14b2；
解：原式＝2(x2－4)＝2(x＋2)(x－2).
解：原式＝14(4a2－b2)＝14(2a＋b)(2a－b).
(3) －2x4＋32x2；
(4) (2a－b)2－(a＋b)2。
解：原式＝－2x2(x2－16)＝－2x2(x＋4)(x－4).
解：原式＝ [(2a－b)＋(a＋b)][(2a－b)－(a＋b)]
＝ (2a－b＋a＋b)(2a－b－a－b)
＝ 3a(a－2b).
3. 手表表盘的外圆直径为 34 mm，内圆直径为 26 mm，在外圆与内圆之间涂有荧光材料。求涂有荧光材料的圆环的面积(π≈3.14)。怎样计算比较简便
解：由题意，得 π ()2－π ()2
＝ π (172－132)
＝ π (17＋13)(17－13)
＝ 120π≈376.8 (mm2)，
所以涂有荧光材料的圆环的面积约是 376.8 mm2.
利用平方差公式可以进行因式分解，用完全平方公式能进行因式分解吗
观察多项式 x2＋2x＋1和 m2－4mn＋4n2，它们有什么共同特征
这两个多项式都是三项，都满足 a2＋2ab＋b2 或 a2－2ab＋b2 的形式。
怎样将上面两个多项式因式分解
x2＋2x＋1； m2－4mn＋4n2
把 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 或 (a－b)2＝a2－2ab＋b2 的等号两边互换位置，就可以将多项式因式分解。
x2＋2x＋1； m2－4mn＋4n2
运用乘法公式可得
x2＋2x＋1
＝ x2＋2 x 1＋12
＝ (x＋1)2。
m2－4mn－4n2
＝ m2－2 m 2n＋(2n)2
＝ (m－2n)2。
两数的平方和，加上(减去)这两数乘积的 2 倍，等于这两数和(差)的平方，即
a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，
a2－2ab＋b2＝(a－b)2。
形如 a2＋2ab＋b2 和 a2－2ab＋b2 的式子叫作完全平方式。我们可以利用乘法公式对某些多项式进行因式分解，这种因式分解的方法叫作公式法。
将下列各式因式分解：
例 3
(1) x2＋10x＋25； (2) 9a2－6ab＋b2。
解：x2＋10x＋25
＝ x2＋2 x 5＋52
＝ (x＋5)2。
解： 9a2－6ab＋b2
＝ (3a)2－2 3a b＋b2
＝ (3a－b)2。
将下列各式因式分解：
例 4
(1) 3ax2－6axy＋3ay2； (2) －x2＋4xy－4y2；
解： 3ax2－6axy＋3ay2
＝ 3a(x2－2xy＋y2)
＝ 3a(x－y)2。
解： －x2＋4xy－4y2
＝ －(x2－4xy＋4y2)
＝ －(x－2y)2。
(3) (2x＋y)2－6(2x＋y)＋9。
解： (2x＋y)2－6(2x＋y)＋9
＝ (2x＋y)2－2 (2x＋y) 3＋32
＝ [(2x＋y)－3]2
＝ (2x＋y－3)2。
1. 将下列各式因式分解：
(1) m2＋m＋； (2) 9x3－18x2＋9x；
解：原式＝m2＋2 m ＋()2
＝(m＋)2
解：原式＝ 9x(x2－2x＋1)
＝ 9x(x－1)2.
(3) －4a2＋4a－1； (4) 3a2＋12ab＋12b2。
解：原式＝－(4a2－4a＋1)
＝－(2a－1)2
解：原式＝3(a2＋4ab＋4b2)
＝－3(a＋2b)2.
2. 按照完全平方公式，在括号内填入适当的整式：
(1) a2－12a＋( )＝( )2；
(2) 9b2＋( )＋16＝( )2；
(3) ( )2＋4xy＋4＝( )2；
(4) (x－y)2＋6(x－y)＋( ) ＝( )2。
36
a－6
24b
3b＋4
xy
xy＋2
9
x－y＋3
习题 11.3
1.将下列各式因式分解：
复习巩固
(1) a2－49； (2) 25x2－36；
(3) x2＋8x＋16； (4) y2－10y＋25；
(5) 9a2＋6a＋1； (6) 81m2－144mn＋64n2。
解：原式＝(a＋7)(a－7).
解：原式＝(5x＋6)(5x－6).
解：原式＝(x＋4)2.
解：原式＝(y－5)2.
解：原式＝(3a＋1)2.
解：原式＝(9m－8n)2.
2.将下列各式因式分解：
(1) 3x2－12；
(2) a4－16b4；
解：原式＝ 3(x2－4)
＝ 3(x＋2)(x－2).
解：原式＝(a2－4b2)(a2＋4b2)
＝(a＋2b)(a－2b)(a2＋4b2).
(3) 16x2＋16x＋4；
(4) －a3＋2a2b－ab2。
解：原式＝ 4(4x2＋4x＋1)
＝ 4(2x＋1)2.
解：原式＝ －a(a2－2ab＋b2)
＝ －a(a－b)2.
3. 将下列各式因式分解：
(1) 4(x－2)2－16；
解：方法一：
原式＝ [2(x－2)]2－42
＝ (2x－4＋4)(2x－4－4)
＝ 2x(2x－8)
＝ 4x(x－4).
方法二：
原式＝ 4[(x－2)2－4]
＝ 4[(x－2)2－22]
＝ 4(x－2＋2)(x－2－2)
＝ 4x(x－4).
(2) (4a－3)2－(3a－4)2；
解：原式＝ [(4a－3)＋(3a－4)][(4a－3)－(3a－4)]
＝ (4a－3＋3a－4)(4a－3－3a＋4)
＝ (7a－7)(a＋1)
＝ 7(a－1)(a＋1).
(3) (p＋q)2＋4(p＋q)＋4；
(4) 6x2y＋3x3＋3xy2.
解：原式＝(p＋q＋2)2
解：原式＝3x(2xy＋x2＋y2)
＝3x(x＋y)2
4.计算：
(1) 532－9； (2) 572＋6×57＋9；
解：原式＝532－32
＝(53＋3)(53－3)
＝56×50
＝2 800.
解：原式＝572＋2×3×57＋32
＝(57＋3)2
＝602
＝3 600.
(3) 1012－202＋1。
解：原式＝1012－2×101×1＋12
＝(101－1)2
＝1002
＝10 000.
拓展延伸
5. 将下列各式因式分解：
(1) x2(x－y)＋y2(y－x)； (2) a5－a3；
解：原式＝x2(x－y)－y2(x－y)
＝(x－y)(x2－y2)
＝(x－y)(x－y)(x＋y)
＝ (x－y)2(x＋y).
解：原式＝ a3(a2－)
＝ a3(a＋)(a－)
(3) m2(m－1)－4(1－m)2； (4) (a2＋2a)＋2(a2＋2a)＋1。
解：原式＝m2(m－1)－4(m－1)2
＝(m－1)[m2－4(m－1)]
＝(m－1)(m2－4m＋4)
＝(m－1)(m－2)2.
解：原式＝(a2＋2a＋1)2
＝[(a＋1)2]2
＝(a＋1)4.
探索创新
6. 将代数式 4x2＋1 加上一个单项式，使它变形为 (a＋b)2 的形式，你能写出哪些符合题意的等式
解：添加单项式的方法共有 3 种，分两种情况：
(1)当 4x2 是平方项时，
添加 4x，得 4x2＋4x＋1＝(2x＋1)2.
添加－4x，得 4x2－4x＋1＝(2x－1)2.
(2)当 4x2 是乘积二倍项时，
添加 4x4，得 4x4＋4x2＋1＝(2x2＋1)2.
7. (1) 32－1，52－1，72－1，92－1，···，计算结果都是 4 的倍数吗 都是 8 的倍数吗 为什么
解：计算结果都是 4 的倍数，也都是 8 的倍数.
理由：(2n＋1)2－1
＝ 4n2＋4n＋1－1
＝ 4n2＋4n
＝ 4n(n＋1).
(2)23－2，33－3，43－4，···，计算结果都是 6 的倍数吗 为什么
解：计算结果都是 6 的倍数.
理由如下：n3－n＝n(n2－1)＝n(n＋1)(n－1).
当三个连续整数相乘时，积一定是 6 的倍数.

展开更多......

收起↑