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第10章
整式的乘法与除法
中国画，简称国画，是我国传统的绘画形式。创作时，作画者用毛笔蘸水、墨、彩在纸或绢上绘画。为使国画更美观、易保存，人们通常会把它们装裱起来，以供收藏和观赏。下图是我国著名画家徐悲鸿的国画作品《群奔》装裱后的效果这种横长竖短的长方形裱画样式叫作“横披”。
《群奔》( 徐悲鸿纪念馆藏)
如下图，这幅横披的画心宽为a，长为b，装裱后画心左右各增加c，上下各增加d。怎样表示整幅横披的面积 有几种表示方法 不同的表示方法之间有什么关系
10.1
幂的运算
幂方便了“大数”的表示。为了解决“大数”的运算问题，我们从同底数幂的乘法开始研究。
某超级计算机持续运算速度约为 9.3×1016 次/s，它工作 104 s大约可进行多少次运算
它工作 104 s运算的次数约为 9.3×1016×104。
(1) 如何计算 1016×104
根据乘方的意义，得
1016×104＝ (10×10×···×10)×(10×10×10×10)
＝10×10×···×10
＝1020.
16个10
20个10
(2)计算下列各式，结果写成幂的形式。
34×33＝____________________；
a2·a6＝____________________；
()m·()n＝_________________(m，n为正整数)。
37
a8
()m＋n
(3) 当 m，n 为正整数时，如何计算 am·an
am·an＝( a · a · … · a ) · ( a · a · … · a )
m个a
n个a
＝( a · a · … · a )
(m＋n)个a
＝am＋n。
同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即
am.an ＝am＋n (m，n为正整数)。
根据这一运算性质，可以得出该超级计算机工作 10s 的运算次数约为
9.3×1016×104
＝ 9.3×1020。
计算：
例 1
(1) x3·x5；
(2) ()m·()2＋m；
(3) b2m＋1·b2m－1；
(4) a·a2·a3。
解：x3·x5＝x3＋5＝x8。
解： ()m·()2＋m＝()m＋2＋m ＝()2m＋2。
解：b2m＋1·b2m－1＝b2m＋1＋2m－1＝ b4m。
解： a·a2·a3＝ a1＋2·a3＝ a1＋2＋3＝a6。
怎样计算 am·an·ap
1. 计算：
(1) a2·a5；
(2) 2n·2n＋1；
(3) xm·xm＋1；
(4) a2m·a3m－2·am＋2。
解：(1) a2 a5＝a2＋5＝a7.
(2) 2n 2n＋1＝2n＋n＋1＝22n＋1.
(3) xm xm＋1＝xm＋m＋1＝x2m＋1.
(4) a2m a3m－2 am＋2＝a2m＋3m－2＋m＋2
＝a6m.
2.已知光在真空中的速度大约是 3×108 m/s，1光年是光在真空中 1 年 (按3.2×107s计算) 内所走过的距离。“中国天眼”在2022 年探测到一个尺度大约为 200 万光年的原子气体结构，这个原子气体结构的尺度约为多少米
解：3×108×3.2×107×2000 000＝1.92×1022 (m).
所以，这个原子气体结构的尺度约为 1.92×1022 m.
由乘方的意义，我们可以发现同底数幂相乘，底数不变，指数相加。积的乘方有什么性质
太阳、地球都可以近似地看作球体，它们的半径之比约为 109:1。设地球的半径为 r，求太阳的体积。
地球的半径为 r，所以太阳的半径为 109r。所以地球的体积为πr3，太阳的体积为π(109r)3。
在上面的算式中，(109r)3，表示两数积的乘方。
(1) 如何计算 (109r)3 呢
根据乘方的意义、乘法交换律和结合律，得
(109r)3＝ 109r·109r·109r
＝ (109×109×109)·(r·r·r)
＝ 1093r3。
(2) 计算下列各式：
(3b)2＝__________________；
(bc)3＝__________________。
9b2
b3c3
(3) 如何计算 (ab)m
(ab)m ＝ (ab)·(ab)· …· (ab)
＝ (a · a · … · a) · ( b · b … b)
＝ ambm 。
m个ab
m个a
m个b
积的乘方等于各因数乘方的积，即
(ab)m ＝ambm (m为正整数)。
计算：
例 2
(1) (3x)3；
(2) (－a)4；
(3) (5mn)2；
(4) (－2ab)3。
解：(3x)3＝33x3＝27x3。
解： (－a)4＝(－)4·a4＝a4。
解：(5mn)2＝52·(mn)2＝52·m2·n2＝25m2n2。
解：(－2ab)3＝(－2)3·(ab)3＝(－2)3·a3·b3＝－8a3b3。
怎样计算 (abc)m
1. 计算：
(1) (m)3；
(2) (－4b)3；
(3) (7ab)2；
(4) －(xy)4。
解：(1) (m)3＝()3 m3＝m3.
(2) (－4b)3＝(－4)3 b3＝－64b3.
(3) (7ab)2＝72 a2 b2＝49a2b2.
(4) －(xy)4＝－x4y4.
2. 计算：
(1) 8×0.1252；
(2) 420×(－)21。
解：(1) 82×0.1252＝(8×0.125)2＝12＝1.
(2) 420×(－)21＝420×(－)20×(－)
＝[4×(－)]20×(－)
＝(－1)20×(－)
＝1×(－) ＝－.
由乘方的意义，我们可以发现积的乘方等于各因数乘方的积。当因数相等时，积的乘方有什么性质
地球可以近似地看作球体，半径约为 6.37×103 km，它的体积约为多少(结果精确到1010km3)
根据球的体积公式，地球的体积约为 ×3.14×(6.37×103)3 km3。
(1) 如何计算 (6.37×103)3
根据积的乘方可知 (6.37×103)3＝6.37×(103)3，其中 (103)3 是幂的乘方运算。根据乘方的意义和同底数幂的乘法，得
(103)3＝103×103×103＝103＋3＋3＝109。
由此可以求出地球的体积约为 1.08×1012 km3。
(2) 计算下列各式，结果写成幂的形式：
(24)2＝_____________；
(a3)3＝_____________；
(am)4＝____________。
28
a9
a4m
(3) 观察上面的算式以及运算结果，你能发现什么规律 当 m，n 为正整数时，
(am)n ＝ am · am · … · am
＝a m＋m＋···＋m
＝amn。
n个am
n个m
幂的乘方，底数不变，指数相乘，即
(am)n＝amn (m，n为正整数)。
计算：
例 3
(1) (a2)3； (2) (am)2； (3) －(b4)2。
解：(1) (a2)3＝a2×3＝a6。
(2) (am)=a2m。
(3) －(b4)2＝－b4×2＝－b8。
计算：
例 4
(1) (－3x4)2； (2) (2a2b)3。
解：(1) (－3x4)2＝(－3)2·(x4)2＝9x8。
(2) (2a2b)3＝23·(a2)3 b3＝8a6b3。
1.计算：
(1) (34)n； (2)(－2ab2)3； (3) (2.5×103)2。
解：(1) (34)n＝ 34×n＝34n.
(2) (－2ab2)3＝(－2)3 a3 (b2)3＝－8a3b6.
(3) (2.5×103)2＝2.52×(103)2＝6.25×106.
2.下列各式的计算结果是否正确 若不正确，应怎样改正？
(1) (x3)2＝x9； (2) (x3)3＝x6； (3) (ab2)4＝ab8。
解：(1)不正确. (x3)2＝x3×2＝x6.
(2)不正确. (x3)3＝x3×3＝x9.
(3)不正确. (ab2)4＝a4 (b2)4＝a4b8.
我们学习了同底数幂的乘法的性质，同底数幂的除法有什么性质
木星有 92 颗卫星，其中木卫四的质量约为 1023kg。火星有 2颗卫星，其中火卫一的质量约为 1016kg。木卫四的质量约为火卫一的质量的多少倍
1023÷1016＝
这是同底数幂的除法，可以根据乘方的意义计算。
根据乘方的意义，得
1023÷1016 ＝
23个10
16个10
＝1023－16
＝107。
所以木卫四的质量约为火卫一的质量的 107 倍。
(1) 计算下列各式：
()6÷()2＝____________；
(－3)5÷(－3)3＝______________；
(－3)m÷(－3)n＝_____________(m，n为正整数，且 m＞n)。
9
(－3)m－n
(2) 对于不为零的有理数 a，如何计算 am÷an (m，n 为正整数，且 m＞n)
am÷an＝ ＝ a a ··· a ＝ am－n。
m个a
n个a
也可以由除法是乘法的逆运算得到运算结果。由同底数幂乘法的运算性质可知 am－n an＝am，所以 am÷an＝am－n。
同底数幂相除，底数不变，指数相减，即
am÷an＝am－n (a≠0，m，n为正整数，且 m＞n)。
计算：
例 5
(1) x6÷x3；
(2) ()8÷()6；
(3) (－ab)5÷(－ab)2；
(4) a2m＋3÷a2。
解：(1) x6÷x3＝x6－3＝x3。
(2) ()8÷()6＝()8－6＝()2＝。
(3) (－ab)5÷(－ab)2＝(－ab)5－2
＝(－ab)3＝－a3b3。
(4) a2m＋3÷a2＝a2m＋3－2＝a2m＋1。
1.计算：
(1) ()6÷()3；
(2) (－m)5÷(－m)2；
(3) am÷am－2；
(4) (xy)6÷(xy)3。
解：(1) ()6÷()3＝()6－3＝()3＝.
(2) (－m)5÷(－m)2
＝(－m)5－2＝(－m)3＝－m3.
(3) am÷am－2＝am－(m－2)＝am－m＋2＝a2.
(4) (xy)6÷(xy)3＝(xy)6－3＝(xy)3＝x3y3.
2.下列各式的计算结果是否正确 若不正确，应怎样改正
(1) m6÷m2＝m3；
(2) (－a)3÷(－a)＝－a2；
(3) am＋1÷am－1＝a2；
(4) a2m÷am＝a2。
解：(1)不正确. m6÷m2＝m6－2＝m4.
(2)不正确.
(－a)3÷(－a)＝(－a)3－1＝(－a)2＝a2.
(3)正确.
(4)不正确. a2m÷am＝a2m－m＝am.
对于同底数幂的除法，当 m＞n 时，am÷an=am－n。当 m＜n或 m＝n 时，我们又该怎样表示 am÷an 的运算结果呢
计算 102÷102，102÷104 和 103÷106，你能发现什么规律
由分数的意义和分数的性质，可进行约分得到
102÷102 ＝ ＝1；
102÷104 ＝ ＝ ＝ ；
103÷106 ＝ ＝ ＝ 。
这些式子都是同底数幂的除法运算，那么
102÷102＝102－2＝100；
102÷104＝102－4＝10－2；
103÷106＝103－6＝10－3。
于是有：100＝1；10－2＝；10－3＝。
任何不等于零的数的 0 次幂都等于1，即
a0＝1 (a≠0)。
不等于零的数的 －p (p是正整数) 次幂等于这个数的 p 次幂的倒数，即
a－p＝ (a≠0，p为正整数)。
计算：
例 6
(1) (－3)0； (2) 4－1； (3) (－5)－2。
解：(1) (－3)0＝1。
(2) 4－1＝。
(3) (－5)－2＝＝。
计算：
(1) 60；
(2) 10－4；
(3) (－3)－3；
(4) ()－4。
解：(1) 60＝1.
(2) 10－4＝＝.
(3) (－3)－3＝＝＝－.
(4) ()－4＝ ＝81.
引入零指数和负整数指数后，指数的范围从正整数扩充至整数，正整数指数幂的运算性质能否推广到整数指数幂
(1) 如何计算 25×2－2 和 20÷2－2
我发现，可以用整数指数幂的意义计算。
25×2－2＝25×＝＝23＝8；
20÷2－2＝1÷＝4。
我用同底数幂的乘法与除法的性质计算。
25×2－2＝25＋(－2)＝23＝8；
20÷2－2＝20－(－2)＝22＝4。
由此可见，同底数幂的乘法和除法的运算性质对整数指数幂仍适用。
(2) 幂的乘方和积的乘方的运算性质在整数范围内是否适用
引入零指数和负整数指数后，原有的幂的运算性质中指数的范围可以推广到整数，即
am an＝am＋n (m，n为整数)；
am÷an＝ am－n (m，n为整数)；
(am)n＝ amn (m，n 为整数)；
(ab)m＝ambm (m 为整数)。
计算：
例 7
(1) ()4×()－2； (2) 5－1÷5－3； (3) (3×10－3)2。
解：(1) ()4×()－2＝()4＋(－2)＝()2＝。
(2) 5－1÷5－3＝5－1－(－3)＝52＝25。
(3) (3×10－3)2＝3×(10－3)2＝9×10－6。
计算：
例 8
(1) x5÷x－2； (2) (－a2b)÷(－a2b)－2。
解：(1) x5÷x－2 ＝x5－(－2) ＝ x7。
(2) (－a2b)÷(－a2b)－2＝(－a2b)1－(－2)
＝(－a2b)3＝－(a2)3b3＝－ a6b3。
1. 计算：
(1) 2－2×2－3；
(2) 33×3－2÷38；
(3) x2 x3÷x8；
(4) (a－5)－2÷a－6。
解：(1) 2－2×2－3＝2－2＋(－3)＝2－5＝＝.
(2) 33×3－2÷38＝33＋(－2)－8＝3－7＝.
(3) x2 x3÷x8＝x2＋3－8＝x－3＝.
(4) (a－5)－2÷a－6＝a10÷a－6＝a10－(－6) ＝a16.
2.计算：(a＋1)3(a＋1)－1÷(a＋1)－2。
解：(a＋1)3(a＋1)－1÷(a＋1)－2
＝ (a＋1)3＋(－1)－(－2)
＝ (a＋1)4.
我们曾用科学记数法表示绝对值较大的数，那么能否用科学记数法表示绝对值较小的数呢
(1)下面的数是否可以用科学记数法表示
某原子的半径约为一百亿分之一米；
＝1×10－10；
世界上最轻的昆虫的质量约为 0.000 005 g；
红细胞的平均直径约为 0.000 007 2 m。
0.00 005＝＝5×10－6；
0.000 007 2 ＝＝7.2×10－6。
(2)用10的负整数指数幂表示 0.000···01 这样的小数有什么规律
0.000···01＝10－n。
n个0
绝对值小于1的非零数可以记作 a×10－n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 是正整数。
微米(μm)是一种长度计量单位，1μm 的长度是1mm 的千分之一纳米(nm)是更小的长度计量单位，1nm为1μm的千分之一。已知某种球菌的直径约为 0.5μm，某种病毒的直径约为22nm，用科学记数法表示它们的直径，分别约为多少米
例 9
解：因为 1μm＝ 10－6m，1nm＝10－9 m，
0.5×10－6＝5×10－7(m)，22×10－9＝2.2×10－8(m)，
所以，这种球菌的直径约为 5×10－7m，这种病毒的直径约为 2.2×10－8 m。
1. 用科学记数法表示下列各数：
(1) 0.000 04；
(2) －0.034；
(3) 0.000 000 45；
(4) 0.003 009。
解：(1) 0.000 04＝4×10－5.
(2) － 0.034＝3.4×10－2.
(3) 0.000 000 45＝4.5×10－7.
(4) 0.003 009＝3.009×10－3.
2. 用小数表示下列各数：
(1) 2.1×10－5；
(2) －5×10－7。
解：(1) 2.1×10－5＝0.000 021.
(2) －5×10－7＝－0.000 0005.
习题 10.1
1.计算：
复习巩固
(1) ()2×()3；
(2) 3m×32m－1；
(3) (－a)3·(－a)4；
(4) t m＋2· t m＋1.
解：(1) ()2×()3＝()2＋3＝()5＝.
(2) 3m 32m－1＝3m＋2m－1＝33m－1.
(3) (－a)3 (－a)4＝(－a)3＋4＝(－a)7＝－a7.
(4) tm＋2 tm＋1＝tm＋2＋m＋1＝t2m＋3.
2.计算：
(1) x8·x8·x8；
(2) an＋1·an·a；
(3) (t2)4；
(4) (－a4)3。
解：(1) x8 x8 x8＝x8＋8＋8＝x24.
(2) an＋1 an a ＝ an＋1＋n＋1＝a2n＋2.
(3) (t2)4＝ t2×4 ＝ t8.
(4) (－a4)3＝－a4×3＝－a12.
3.计算：
(1) (－2x)4；
(3) (3xyz)2。
解：(1)(－2x)4＝(－2)4 x4＝16x4 .
(2) (3xyz)2＝32 x2y2z2 ＝9x2y2z2.
4.计算：
(1) (xy)3·x2； (2) (7ab2)m； (3) (－3x2)3－[(2x)2]3。
解：(1) (xy)3 x2 ＝x3 y3 x2 ＝x5y3.
(2) (7ab2)m ＝ 7m am (b2)m＝ 7mamb2m.
(3) (－3x2)3－[(2x)2]3＝(－3)3 (x2)3－(2x)6
＝－27x6－64x6＝－91x6.
5. 一个正方体的棱长为 2×103 cm，它的体积是多少
解：(2×103)3＝2×(103)3＝8×109 (cm3).
所以，它的体积是 8×109 cm3.
6. 计算：
(1) 0.16－0.13；
(2) (－3)7÷(－3)4；
(3) ()7÷(－)3；
(4) (a－b)5÷(a－b)2；
(5) (xy)5÷(xy)3；
(6) (m2)5÷(m3)2。
解：(1) 0.16÷0.13＝0.16－3＝0.13＝0.001.
(2) (－3)7÷(－3)4＝(－3)7－4＝(－3)3＝－27.
(3) ()7÷(－)3＝－()7－3＝－()4＝－.
(4) (a－b)5÷(a－b)2＝ (a－b)5－2＝(a－b)3.
(5) (xy)5÷(xy)3＝(xy)5－3＝(xy)2＝x2y2.
(6) (m2)5÷(m3)2＝m10÷m6＝m4.
7. 计算：
(1) 50＋4－2；
(2) 32＋()－3。
解：(1) 50＋4－2＝1＋＝1＋＝.
(2) 32＋()－3＝9＋＝9＋＝9＋27＝36.
8. 计算：
(1) 3－2×33；
(2) (2－5)2；
(3) a3÷a－5；
(4) (x－1y－2)－1；
(5) b－3 b8÷b2；
(6) m3·m5÷(m－2·m9)。
解：(1) 3－2×33＝3－2＋3＝31＝3.
(2) (2－5)2＝2－5×2＝2－10＝.
(3) a3÷a－5＝a3－(－5)＝a8.
(4) (x－1y－2)－1＝(x－1)－1 (y－2)－1＝xy2.
(5) b－3 b8÷b2＝b－3＋8－2＝b3.
(6) m3 m5÷(m－2 m9)＝m8÷ m7＝m8－7＝m.
9. 碳纤维的直径为 0.000 005 m，一个碳纤维机器人的质量为 0.000 106 kg。用科学记数法表示 0.000 005 和 0.000 106。
解：0.000 005＝5×10－6.
0.000 106＝1.06×10－4.
10. 水由水分子构成，1g 水中约有 3.34×1022 个水分子，请估算1kg 水中有多少个水分子(结果用科学记数法表示)。
解：3.34×1022×1 000＝3.34×1022×103＝3.34×1025(个).
所以，1kg 水中约有 3.34×1025 个水分子.
11. 将下列各数写成小数的形式：
(1) 3.67×10－5； (2) －2.8×10－6 .
解：(1) 3.67×10－5＝0.000 036 7.
(2) －2.8×10－6＝ －0.000 002 8.
12. 计算：
(1) (－2)30×(0.5)30；
(2) 2n×(x)n。
解：(1) (－2)30×(0.5)30＝(－2×0.5)30＝(－1)30＝1.
(2) 2n×(x)n＝(2×x)n＝xn.
拓展延伸
13. 已知 2x＝3，2y＝5，求 2x＋y 的值。
解：因为 2x＝3，2y＝5，
所以 2x＋y＝ 2x 2y ＝ 3×5＝15.
14. 已知 xn＝2，求 (3xn)2－4(x3)n 的值。
解：因为 xn＝2，
所以 (3xn)2－4(x3)n
=9(xn)2－4(xn)3
＝9×22－4×23
＝9×4－4×8
＝36－32＝4.
15.一张数码照片的文件大小是 211 KB，存储量为 32GB (1GB＝220KB) 的 U 盘能存储多少张这样的数码照片
解：32×220÷211－25×220÷211＝25＋20－11＝214＝16 384 (张).
所以，存储量为 32 GB 的 U 盘能存储 16 384 张这样的数码照片.
16. 我们都知道水滴石穿的道理，若水滴不断滴在一块石头的同一位置上，经过 40年，石头上形成了一个深为 4.8×10－2 m的小坑，请问小坑的深度平均每月增加多少米 (结果用科学记数法表示)
解：(4.8×10－2)÷(40×12)
＝(4.8×10－2)÷(4.8×102)＝10－4 (m).
所以，小坑的深度平均每月增加 10－4 m.
探索创新
17. 将 x9 写成 xm·xn 的形式。如果 m，n 均为正整数，可以写出多少种
解：x9＝x x8，x9＝x2 x7，
x9＝x3 x6，x9＝x4 x5，
x9＝x5 x4，x9＝x6 x3，
x9＝x7 x2，x9＝x8 x，
所以，一共可以写出 8 种结果.
18. 规定：a☆b＝10a×10b，如 2☆3＝102×103＝105。
(1) 求 12☆3 和 4☆8 的值；
解：12☆3＝1012×103＝1012＋3＝1015，
4☆8＝104×108＝104＋8＝1012.
(2) (a＋b)☆c 与 a☆(b＋c) 相等吗 说明理由。
解：相等.
理由如下：(a＋b)☆c ＝ 10a＋b。10c＝10a＋b＋c ，
a☆(b＋c)＝10a 10b＋c＝10a＋b＋c，
所以，(a＋b)☆c 与 a☆(b＋c) 相等.

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