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第11章 因式分解
某林场中的森林、草地和湿地每天都能吸收一定量的二氧化碳。如果它们平均每天吸收二氧化碳的量分别为 a，b，c (单位：t)，经过 m 天后，这个林场吸收的二氧化碳总量有多少吨 有几种表示方法 这些方法之间有什么关系
显然，这个林场每天吸收的二氧化碳总量既可以表示为 ma＋mb＋mc，又可以表示为 m(a＋b＋c)。这两种表示方法得到的结果是一样的，即 ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)，这个等式从左往右的变形是将多项式 ma＋mb＋mc 化成 m 与 a＋b＋c 的乘积形式。
这种将多项式化成整式的乘积形式的变形是本章要学习的内容。让我们进一步认识整式，为代数式运算及解方程奠定基础。
11.1
因式分解
整式的乘法运算是将整式的乘积化成一个多项式。有时我们需要反过来将一个多项式化成整式的乘积形式。
“482＋2×48”能被 50 整除吗
482＋2×48
＝ 48×(48＋2)
＝ 48×50
所以 482＋2×48 能被 50 整除。
解决这个问题的关键是把算式化成几个因数的乘积形式。
类似地，我们可以将多项式化成整式的乘积形式。
(1)仿照上面的算式，怎样将 a2＋2a 化成整式的乘积形式
a2＋2a 可以化成 a (a＋2)，其中 a 与 a＋2 是 a2＋2a 的因式。
(2) 联想平方差公式 (a＋b)(a－b)＝a2－b2，怎样将 x2－4 化成整式的乘积形式
x2－4 可以化成 (x＋2) (x－2)，x＋2 与 x－2 是 x2－4 的因式。
(3) 观察图 11.1-1 所示的拼图过程，写出相应的关系式。
图11.1-1中，左边几个图形的面积和为 a2＋2ab＋b2，右边图形的面积为 (a＋b)2。因为右边图形由左边的几个图形拼接而成，所以a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2，a＋b 是 a2＋2ab＋b2的因式。
把一个多项式化成几个整式的乘积形式，这种式子变形叫作这个多项式的因式分解(factorization)，也叫作把这个多项式分解因式。
整式乘法和因式分解是方向相反的代数变形，
x2－4 (x－2)(x＋2)。
因式分解
整式乘法
例
下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解 为什么
(1) a2－2ab＋b2＝(a－b)2；
(2) x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2；
解：因为右式 (a－b)2 是 a－b 与 a－b 的乘积形式，且左式＝右式，所以这个变形是因式分解。
解：因为右式 (x＋1)2＋2 不是整式的乘积形式，所以这个变形不是因式分解。
(3) x2y－xy2＝xy(x－y)。
解：因为右式 xy(x－y) 是 x，y，x－y 的乘积形式，且左式＝右式，所以这个变形是因式分解。
下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解 为什么
(1) x(x＋1) ＝x2＋x；
(2) 2x2y－4xy2＝2xy(x－2y)；
解：不是因式分解.
理由如下：从左到右的变形是整式乘法.
解：是因式分解.
理由如下：从左到右的变形符合因式分解的定义.
(3) 9x2－4y2＝8x2＋(x－2y)(x＋2y)；
(4) 4a2－4a＋1＝(2a－1)2。
解：是因式分解.
理由如下：从左到右的变形符合因式分解的定义.
解：不是因式分解.
理由如下：从左到右的变形不符合因式分解的定义.
习题 11.1
1.下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解 为什么
复习巩固
(1) x2－2xy＋y2＝x(x－2y)＋y2；
(2) ax2－bx＋x＝ax2－x(b－1)；
解：不是因式分解.
理由如下：从左到右的变形不符合因式分解的定义.
解：不是因式分解.
理由如下：从左到右的变形不符合因式分解的定义.
(3) 12ax－24ay＝12a(x－2y)；
(4) m2＋4m＋3＝(m＋1)(m＋3)。
解：是因式分解.
理由如下：从左到右的变形符合因式分解的定义.
解：是因式分解.
理由如下：从左到右的变形符合因式分解的定义.
2. 连一连：
x2－y2 (x＋3)2
9－25x2 y(x－y)
x2＋6x＋9 (3－5x)(3＋5x)
xy－y2 (x＋y)(x－y)
拓展延伸
3. 判断下列因式分解是否正确：
(1) －mn－8n＝－n(m－8)；
(2) a2－4a＋3＝(a＋1)(a＋3)；
(3) x2－2(a＋b)x＋(a＋b) ＝(x－a－b)2。
不正确.
不正确.
正确.
探索创新
4. 小亮购买革果、梨、葡萄三种水果，质量分别是 4a kg，2a kg和 a kg，已知这三种水果每千克的价格分别为x元、y元、z元。
(1) 他购买这三种水果共花了多少元
解：由题意，得 4ax＋2ay＋az，
所以他购买这三种水果共花了(4ax＋2ay＋az)元.
(2) 用列出的式子计算总价，需要进行多少次加法运算、多少次乘法运算 能否通过对式子进行变形，减少运算次数，得出正确的结果
解：计算总价时，需要二次加法、三次乘法.
可以对式子进行变形，变形为 a(4x＋2y＋z)，这需要二次加法、一次乘法就能得出正确的结果.

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