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第9章 二元一次方程组
9.4
三元一次方程组
上一节我们学习了应用二元一次方程组解决实际问题。本节将学习三元一次方程组及其解法，并用它解决含有更多未知数的实际问题。
小亮与爸爸、爷爷三人的年龄之和为 120 岁，爷爷的年龄比小亮与爸爸的年龄之和多 12 岁，爸爸与小亮的年龄之差正好等于爷爷与爸爸的年龄之差。他们三人的年龄分别是多少
这个问题中有哪些未知量 存在哪些等量关系
这个问题中有三个未知量：小亮、爸爸和爷爷的年龄。
设小亮、爸爸和爷爷的年龄分别是 x 岁、y 岁、z 岁。根据题意，列出以下三个方程：
x＋y＋z＝120，
z＝x＋y＋12，
y－x＝z－y。
这个问题的解必须同时满足上面的三个方程，将这三个方程联立，得到方程组
x＋y＋z＝120，
z＝x＋y＋12，
y－x＝z－y。
①
②
③
像这样，含有三个未知数的一次方程组，叫作三元一次方程组 (system of linear equations with three unknowns).
用消元法可以将二元一次方程组转化为一元一次方程求解，那么能否用同样的思路解三元一次方程组呢
观察每一个方程的形式，用代入消元法消去未知数义，把这个三元一次方程组转化为二元一次方程组，再进一步转化为一元一次方程，就可以逐步求出每一个未知数的值了。
x＋y＋z＝120，
z＝x＋y＋12，
y－x＝z－y。
①
②
③
将方程②分别代入①和③，消去未知数，得二元一次方程组
x＋y＝54， ④
－2x＋y＝12。⑤
解由④⑤组成的二元一次方程组，得
x＝14，
y＝40。
x＋y＋z＝120，
z＝x＋y＋12，
y－x＝z－y。
①
②
③
代入方程②，得
z＝66.
原三元一次方程组的解是
所以，小亮14岁，爸爸40岁，爷爷66岁。
x＝14，
y＝40，
z＝66.
解三元一次方程组的基本思路也是消元。通过消元，把三元一次方程组转化成二元一次方程组或一元一次方程，再逐一解出未知数的值。
消元的基本方法有代入消元法和加减消元法。
解方程组
例 1
y＋2z＝5，
x－2y＋3z＝3，
2x＋3y－2z＝－3。
①
②
③
解：2×②－③，得
－7y＋8z＝9。 ④
①与④组成二元一次方程组
y＋2x＝5，
－7y＋8z＝9。
解方程组，得
y＝1，
z＝2。
解方程组
例 1
y＋2z＝5，
x－2y＋3z＝3，
2x＋3y－2z＝－3。
①
②
③
将 y＝1，z＝2 代入 ②，得
x＝－1。
所以原方程组的解是
x＝－1，
y＝1，
z＝2。
例 2
从甲地到乙地有一段上坡、一段平路、一段下坡，全程是98km。汽车从甲、乙两地之间往返行驶，若汽车在平地上的速度为40km/h，上坡的速度为20km/h，下坡的速度为30km/h，那么从甲地到乙地需用时2.8h，从乙地到甲地需用时2.7h。求从甲地到乙地时，平地、上坡、下坡的路程各有多少千米
解：设从甲地到乙地时，平地为 x km，上坡为 y km，下坡为 z km，则从乙地到甲地，平地为 x km，上坡为 z km，下坡为 y km。
根据题意，得
x＋y＋z＝98，
＋＋＝2.8，
＋＋＝2.7。
解方程组，得
x＝80，
y＝12，
z＝6。
所以，从甲地到乙地时，平地为 80 km，上坡为 12 km，下坡为 6 km。
1. 解下列方程组：
y＝5－x－3z，
(1) x＋y＋z＝1，
2x－y－4z＝5；
x＋y－z＝4，
(2) x＋y＋z＝2，
－x＋2y＋z＝2。
y＝5－x－3z，
(1) x＋y＋z＝1，
2x－y－4z＝5；
①
②
③
解：将①分别代入②③，消去未知数 y，
得 解方程组，得
将 x＝4，z＝2 代入①，得 y＝－5.
5－2z＝1，
3x－z＝10，
x＝4，
z＝2.
所以原方程组的解是
x＝4，
y＝－5，
z＝2。
x＋y－z＝4，
(2) x＋y＋z＝2，
－x＋2y＋z＝2。
①
②
③
解：①＋③，得 3y＝6，解得 y＝2.
①－②，得 －2x＝2，解得 z＝－1.
将 y＝2，z＝－1 代入①，
得 x＋2＋1＝4，
解得 x＝1.
所以原方程组的解是
x＝1，
y＝2，
z＝－1.
2. 现有一个三位数，三个数位上的数字之和为 12，个位数字是百位与十位数字之和的 2 倍，百位数字是十位数字的 3 倍。求这个三位数。
解：设这个三位数的个位数字是 x，十位数字是 y，百位数字是 z.
根据题意，得
x＋y＋z＝12，
x＝2(y＋z)，
z＝3y，
解方程组，得
x＝8，
y＝1，
z＝3.
所以，这个三位数是 318.
习题 9.4
1.解下列三元一次方程组：
复习巩固
x＋2y＝5，
(1) y－3z＝7，
4z＋x＝13；
3x－5y＋6z＝4，
(2) 3x－2y＋2z＝3，
－3x－3y＋5z＝－1。
x＋2y＝5，
(1) y－3z＝7，
4z＋x＝13；
①
②
③
解：由②，得 y＝3z－7. ④
将④代入①，得 x＋6z＝19. ⑤
⑤－③，得 2z＝6，解得 z＝3.
将 z＝3 代入 ③，得 4×3＋x＝13，解得 x＝1.
将 z＝3 代入④，得 y＝2.
所以原方程组的解是
x＝1，
y＝2，
z＝3.
3x－5y＋6z＝4，
(2) 3x－2y＋2z＝3，
－3x－3y＋5z＝－1。
①
②
③
解：①－②，得 －3y＋4z＝1. ④
②＋③，得 －5y＋7z＝2. ⑤
④与⑤组成二元一次方程组
解方程组，得
－3y＋4z＝1，
－5y＋7z＝2.
y＝1，
z＝1.
3x－5y＋6z＝4，
(2) 3x－2y＋2z＝3，
－3x－3y＋5z＝－1。
①
②
③
将 y＝1，z＝1 代入①，得 x＝1.
所以原方程组的解是
x＝1，
y＝1，
z＝1.
2. 已知代数式 ax2＋bx＋c。当 x＝1 时，代数式的值为 0；当 x＝2 时，代数式的值为 3；当 x＝3 时，代数式的值为 28。求 a，b，c 的值。
解：根据题意，得
a＋b＋c＝0， ①
4b＋2b＋c＝3， ②
9a＋3b＋c＝28，③
②－①，得 3a＋b＝3， ④
③－②，得 5a＋b＝25，⑤
④与⑤组成二元一次方程组
解方程组，得
将 a＝11，b＝－30 代入①，得 c＝19.
所以原方程组的解是
所以，a，b，c 的值分别是 11，－30，29.
3a＋b＝3，
5a＋b＝25，
a＝11，
b＝－30，
a＝11，
b＝－30
c＝19，
3. 某市举行中学生足球联赛，比赛的计分规则为：胜 1 场得 3分，平 1 场得 1 分负 1 场得 0 分。某中学足球队在 12 场比赛中，平和负的场数之和等于胜的场数，共得 21 分，该队在联赛中胜、平、负各几场
解：设该队在联赛中胜 x 场，平 y 场，负 z 场.
根据题意，得 解方程组，得
所以，该队在联赛中胜6场，平3场，负3场.
x＋y＋z＝12，
x＝y＋z，
3x＋y＝21，
x＝6，
y＝3，
z＝3.
拓展延伸
4. 已知 ＝＝，x＋y－z＝。求 x，y，z 。
解：设 ＝＝＝k (k≠0)，
则 x＝2k，y＝3k，z＝4k，
所以 2k＋3k－4k＝，解得 k＝.
所以 x＝，y＝，z＝.
5.从下列方程组中，求出x，y之间的关系，用不含 t 的式子表示。
x＝3－t，
(1)
y＋5＝t＋1；
3t＋x＝5y，
(2)
2t－3x＝2y。
解：由①，得 t＝3－x，③
将③代入②，得
y＋5＝3－x＋1，
所以x＋y＝－1
①
②
①
②
解：①×2－②×3，得
11x＝4y，
所以 11x－4y＝0.
探索创新
6. 是否存在一个数 a，使关于 x，y 的方程组
的解满足 x 与 y 互为相反数 若存在，求 a 的值。再提出一个与这个方程组的解有关的问题并解答。
2x＋y＝2a＋1，
x＋2y＝5－5a
解：存在。
2x＋y＝2a＋1，①
x＋2y＝5－5a，②
①＋②，得 3x＋3y＝6－3a，
所以 x＋y＝2－a.
因为 x 与 y 互为相反数，所以 x＋y＝0.
所以 2－a＝0，解得 a＝2.
提出问题：若原方程组的解满足x＋y＝－3，求 a 的值.
由以上可知 x＋y＝2－a，
因为 x＋y—3，
所以 2－a＝－3，
解得 a＝5.

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