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第10章
整式的乘法与除法
10.4
整式的除法
前面我们学习了同底数幂的除法。在此基础上，我们将研究一些特殊的整式除法。
(1) 如何计算 12x3y÷4x
计算 12x3y÷4x，可能与单项式乘法类似，我想应该这样计算：12x3y÷4x＝(12÷4)(x3÷x)y＝3xy。
我认为小亮的答案是对的。因为除法是乘法的逆运算，计算 12x3y÷4x 就是找到一个单项式，使它与 4x 的积等于 12x3y。我验证了，3x2y 4x 确实等于 12x3y。
(2) 举两个单项式相除的例子，检验小亮的上述计算方法是否正确。
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
例 1
计算：
(1) 9x5y13÷3xy8； (2) (－2ab2)3÷4ab。
解：9x5y13÷3xy8
＝ (9÷3) x5－1 y13－8
＝ 3x4y5。
解：(－2ab2)3÷4ab
＝ －8a3b6÷4ab
＝ (－8÷4)a3－1b6－1
＝ －2a2b5。
计算：
(1) 8x6÷2x2；
(2) 2x2y3÷(－xy)2；
解：原式＝ (8÷2) (x6÷x2)＝4x4.
解：原式＝ 2x2y3÷x2y2
＝(2÷1) (x2÷x2) (y3÷y2)＝2y.
(3) －5a5b3c÷15a4b；
(4) －21x4y3÷(－3x2y2)。
解：原式＝(－5÷15)(a5÷a4)(b3÷b)c＝－ab2c.
解：原式＝[(－21)÷(－3)](x4÷x2)(y3÷y2)＝7x2y.
我们已经学习了两个单项式相除的计算方法，那么该如何计算多项式除以单项式呢
(1) 如何计算 (3x2y＋2x)÷x
因为(3xy＋2) x＝3x2y＋2x，
所以 (3x2y＋2x)÷x＝3xy＋2。
我发现，3x2y÷x＋2x÷x＝3xy＋2，
所以 (3x2y＋2x)÷x＝3x2y÷x＋2x÷x。
(2) 根据小博士的上述说法，计算下列各式：
(ac＋bc)÷c＝______________；
(ab2－2ab)÷ab＝______________。
像这样，多项式除以单项式的问题可以转化为单项式除以单项式的问题。
a＋b
b－2
计算：
例 2
(1) (3y3＋12y2＋6y)÷3y；
解： (3y3＋12y2＋6y)÷3y
＝ 3y3÷3y＋12y2÷3y＋6y÷3y
＝ y2＋4y＋2。
(2) (6a3b3－4a2b3)÷(－2ab2)。
解： (6a3b3－4a2b3)÷(－2ab2)
＝ 6a3b3÷(－2ab2)＋(－4a2b3)÷(－2ab2)
＝ －3a2b＋2ab 。
计算：
(1) (6ab＋8b)÷2b；
(2) (27a3－15a2＋6a)÷3a；
解：原式＝6ab÷2b＋8b÷2b＝3a＋4.
解：原式＝27a3÷3a－15a2÷3a＋6a÷3a
＝9a2－5a＋2.
(3) (9x2y－6xy2)÷3xy；
(4) (3x2y－xy2＋xy)÷(－xy)。
解：原式＝9x2y÷3xy－6xy2÷3xy＝3x－2y.
解：原式＝3x2y÷(－xy)－xy2÷(－xy)＋xy÷(－xy)
＝－6x＋2y－1.
习题 10.4
1.计算：
复习巩固
(1) 6x2÷(－2x)； (2) (3x2y)2÷(－9x4y)。
解：原式＝[6÷(－2)]x2－1
＝－3x.
解：原式＝9x4y2÷(－9x4y)
＝[9÷(－9)x4－4y2－1
＝－y.
2. 计算：
(1) (14a3b2－21ab2)÷7ab2；
(2) (36x6－24x4＋12x3)÷(－12x2)；
解：原式＝14a3b2÷7ab2－21ab2÷7ab2
＝2a2－3.
解：原式＝36x6÷(－12x2)－24x4÷(－12x2)＋12x3÷(－12x2)
＝－3x4＋2x2－x.
(3) (28a3－14a2＋7a)÷7a。
解：原式＝28a3÷7a－14a2÷7a＋7a÷7a
＝4a2－2a＋1.
3. 先化简，再求值：
[(3m－n)2－(2m＋n)2＋5m(m－n)]÷5m，其中 m＝2，n＝－2.
解：原式＝(9m2－6mn＋n2－4m2－4mn－n2＋5m2－5mn)÷5m
＝(10m2－15mn)÷5m
＝2m－3n.
当 m＝2，n＝－2 时，
原式＝2×2－3×(－2)＝4＋6＝10.
拓展延伸
4.小亮爬山时，第一阶段的平均速度为 2v，所用时间为 t；第二阶段的平均速度为 v，所用时间为 t。求小亮两个阶段爬山的平均速度。
解：由题意，得(2vt＋vt)÷(t＋t)＝vt÷t ＝v，
所以小亮两个阶段爬山的平均速度是 v .
5. 长方形的面积为 4a2－8ab＋4a，若它的一边长为 4a，求它的周长。
解：另一边长：(4a2－8ab＋4a)÷4a＝a－2b＋1.
周长：2(a－2b＋1＋4a)＝2(5a－2b＋1)＝10a－4b＋2.

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