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第10章
整式的乘法与除法
10.2
整式的乘法
前面我们已经学习了整式的加法与减法。在此基础上，本节我们从单项式乘单项式开始研究整式的乘法。
会议室的屏幕由 6 块相同的液晶屏拼接而成，每块的长为 a cm，宽为 b cm。如何表示屏幕的总面积
屏幕的总面积可以表示为 3a 2b cm2.
每块液晶屏面积为ab cm2，一共有 6 块，所以屏幕的总面积可以表示为 6ab cm2。
由此得到 3a 2b ＝6ab。等式 3a 2b＝6ab 的左边表示单项式 3a 与单项式 2b 相乘。
(1) 对于任意的 a，b，怎样计算 3a，2b 这两个单项式的乘积
3a 2b
＝ 3×2 a b
＝ (3×2) (a b)
＝ 6ab。
(2) 计算下列各式：
2x2 3xy3＝_____________；
－ac 4bc2＝____________。
6x3y3
－4abc3
(3) 单项式乘单项式的基本思路是什么
单项式乘单项式就是根据单项式的意义，以乘法的交换律、结合律和同底数幂的乘法的运算性质为依据的乘法运算。
单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
计算：
例 1
(1) 4a3 7a4； (2)7ax2 (－2a2b)。
解：(1) 4a3 7a4 ＝ (4×7) (a3 a4) ＝28a7。
(2) 7ax2 (－2a2b)
＝[7×(－2)] ( a a2) b x2
＝－14a3bx2。
计算：
例 2
(1) (－2x2y3) (2xy)2； (2) (ab)2 (－a2b)3。
解：(1) (－2x2y3) (2xy)2＝－2x2y3 4x2y2＝－8x4y5。
(2) (ab)2 (－a2b)3＝(a2b2) (－a6b3)＝－a8b5。
1. 计算：
(1) 5xy 4y；
(2) a2b3 (－2a3b4)；
解：原式＝ (5×4) (xy y) ＝20xy2.
解：原式＝ －2 (a3 a3) (b4 b4)＝－2a5b7.
(3) (－mn5) m3；
(4) (－5xy) 6xy2 (－x2z)。
解：原式＝ －(m m3) n5＝－m4n5.
解：原式＝ [－5×6×(－1)] (x x x2) (y y2) z
＝30x4y3z。
2. 计算：
(1) (－5x)2 4x2；
(2) (－3a2) (－ab)3；
解：原式＝－(－5)2 x2 4x2＝(25×4) (x2 x2)＝100x4.
解：原式＝(－3a2) (－a3b3)
＝[－3×(－1)] (a2 a3) b3
＝ 3a5b3.
(3) (2x2y)3 (－3xy2z)；
解：原式＝ 8x6 y3 (－3xy2z)
＝[－8×(－3)] (x6 x) (y3 y2) z
＝－24x7y5z.
(4) －ab (2a2b)2 2ac。
解：原式＝ －ab 4a4b2 2ac
＝(－1×4×2) (a a4 a) (b b2) c
＝－8a6b3c.
前面我们学习了单项式与单项式相乘，那么如何计算单项式乘多项式呢
用于装裱画的长方形卷轴如图 10.2-1，怎样表示整幅卷轴的面积
卷轴面积可以表示为 a(b＋2c)，也可表示为ab＋2ac。
因为它们表示的是同一幅卷轴的面积，所以这两个式子相等，即a(b＋2c)＝ab＋2ac。
等式 a(b＋2c) ＝ab＋2ac 的左边表示单项式 a 与多项式 b＋2c 相乘。
(1) 如何计算 a(b＋2c)
a (b＋2c)＝
a b＋a 2c＝ab＋2ac 。
(2) 计算：
a(2a－1)＝_______________；
2x(x＋2y)＝______________。
2a2－a
2x2＋4xy
(3) 单项式乘多项式的基本思路是什么
单项式与多项式相乘可以按照乘法对加法的分配律转化成单项式与单项式相乘。
单项式与多项式相乘，先将单项式分别乘多项式的各项，再把所得的积相加。
计算：
例 3
(1) 2xy (x2＋xy)； (2) (3a2x－2ax2) (－2ax)。
解：(1) 2xy (x2＋xy)＝2xy x2＋2xy xy＝2x3y＋2x2y2。
(2) (3a2x－2ax2) (－2ax)
＝3a2x (－2ax)＋(－2ax2) (－2ax)
＝－6a3x2＋4a2x3。
1. 计算：
(1) 3x (x2＋x＋2)；
解：原式＝3x x2＋3x x＋3x 2
＝3x3＋3x2＋6x.
(2) (3a2b－ab) (－abc)；
解：原式＝3a2b (－abc) －ab (－abc)
＝－a3b2c＋a2b2c.
(3) (－xy2) (－3xy＋9yz－1) ；
解：原式＝(－xy2) (－3xy)＋(－xy2) 9yz－(－xy2) 1
＝x2y3－3xy3z＋xy2.
(4) an (3an－3an＋1＋a) 。
解：原式＝an 2an －an 3an＋1＋an a
＝ 2a2n－3a2n＋1＋an＋1.
2.先化简，再求值：
3a(2a2－4a＋3)－2a2(3a＋4)，其中 a＝－2。
解：原式＝6a3－12a2＋9a－6a3－8a2
＝ －20a2＋9a.
当 a＝－2 时，原式＝－20×(－2)2＋9×(－2)＝－98.
3. 如图，某小区准备在一个长为 (4a＋2b)m，宽为 (3a＋2b)m的长方形草坪上修建两条宽为 bm 的小路，求小路的总面积。
解：根据题意，得
b(4a＋2b)＋b(3a＋2b)－b2
＝ 4ab＋2b2＋3ab＋2b2－b2
＝ (7ab＋3b2) (m2).
所以，小路的总面积为(7ab＋3b2)(m2).
计算单项式乘多项式是通过转化为单项式乘单项式来解决的，那么如何计算多项式乘多项式呢
如图 10.2-2，如何用字母 a，b，c，d 表示章引言中整幅“横披”的面积
我列出的算式是 (a＋2d)(b＋2c)。
还可以有很多种列法，如 b (a＋2d)＋2c (a＋2d) 或 ab＋2bd＋2ac＋4cd。
由此得到，(a＋2d)(b＋2c)＝ b (a＋2d) ＋2 (a＋2d) ＝ ab＋2bd＋2ac＋4cd。等式 (a＋2d)(b＋2c)＝ab＋2bd＋2ac＋4cd 的左边表示多项式 a＋2d 与多项式 b＋2c 相乘。
如何计算 (a＋2d)(b＋2c)
(a＋2d) (b＋2c)
＝ (a＋2d) b＋(a＋2d) 2c
＝ ab＋2bd＋2ac＋4cd。
多项式的乘法可以先转化成单项式乘多项式，再转化为单项式乘单项式。
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
计算：
例 4
(1) (x＋2)(x－5)；
解：原式＝x x＋x (－5)＋2 x＋2×(－5)
＝x2－5x＋2x－10
＝x2－3x－10。
(2) (3x－y)(x＋2y)；
(3) (a＋b)(a2－ab＋b2)。
解：原式＝ 3x x＋3x 2y＋(－y) x＋(－y) 2y
＝ 3x2＋6xy－xy－2y2
＝ 3x2＋5xy－2y2。
解：原式＝ a a2＋a (－ab)＋a b2＋b a2＋b (－ab)＋b b2
＝ a3－a2b＋ab2＋a2b－ab2＋b3
＝ a3＋b3。
1. 计算：
(1) (a－4)(a－5)；
解：原式＝a a ＋ a (－5)＋(－4) a＋(－4)×(－5)
＝ a2－5a－4a＋2
＝ a2－9a＋20.
(2) (y－3)(2y＋1)；
解：原式＝ y 2y＋y 1＋(－3) 2y＋(－3)×1
＝ 2y2＋y－6y－3
＝ 2y2－5y－3.
(3) (2m＋3n)(3m－n)；
解：原式＝2m 3m＋2m (－n)＋3n 3m ＋ 3n (－n)
＝ 6m2－2mn＋9mn－3n2
＝ 6m2－7mn－3n2.
(4) (x－2)(x2＋2x＋)。
解：原式＝ x3＋2x2＋x－2x2－4x－1
＝ x3－x－1.
2.一块长方形装裱用纸的长和宽分别为 acm，bcm (a＞2，b＞2)。如果将长和宽各裁去 2 cm，请问剩余部分的面积是多少
解：根据题意，得
(a－2)(b－2)
＝ a b＋a (－2)＋(－2) b＋(－2)×(－2)
＝ (ab－2a－2b＋4)(cm2).
所以，剩余部分的面积是 (ab－2a－2b＋4) cm2.
习题 10.2
1. 计算：
复习巩固
(1) 3x2 4x；
(2) 3xy2 (－x3yz)；
解：原式＝ (3×4) (x2 x)
＝ 12x3.
解：原式＝[3×(－)] (x x3) (y2 y) z
＝－x4y3z.
(3) (－ax2) (－bx3) (－10a)；
(4) (4x2y)2 (－xy3)；
解：原式＝[(－)×(－)×(－10)] (a a) b (x2 x3)
＝－a2bx5.
解：原式＝ 16x4y2 (－xy3)
＝ [16×(－1)] (x4 x) (y2 y3)
＝－16x5y5.
(5) 16m2n (－n)3；
解：原式＝ 16m2n (－n3)
＝ [16×(－ ) ] m2 (n n3 )
＝－54m2n4.
(6) (－mn2)2 (3mn)3。
解：原式＝ (m2n4) (27m3n3)
＝ (×27) (m2 m3) (n4 n3 )
＝ m5n7.
2. 计算：
(1) 3xy(x2y－xy)；
(2)－2x(x2－2x＋1)；
解：原式＝3xy x2y－3xy xy
＝ 3x3y2－3x2y2 .
解：原式＝ －2x3＋4x2－2x.
(3) (5x－y)(－3x)；
(4) (3a2－a－1)(－b)；
解：原式＝5x (－3x)－y (－3x)
＝－15x2＋3xy.
解：原式＝3a2 (－b)－a (－b)－1 (－b)
＝－a2b＋ab＋b.
(5) 3a2＋2a(5＋2a)；
(6) t(t＋4)－3(－t2－1)。
解：原式＝3a2＋10a＋4a2
＝7a2＋10a.
解：原式＝t2＋4t＋3t2＋3
＝4t2＋4t＋3.
3. 计算：
(1) (x－3)(x＋4)；
解：原式＝ x x＋x 4＋(－3) x＋(－3)×4
＝ x2＋4x－3x－12
＝x2＋x－12.
(2) (2x＋1)(x＋2)；
解：原式＝ 2x x＋2x 2＋1 x＋1×2
＝ 2x2＋4x＋x＋2
＝2x2＋5x＋2.
(3) (x＋)(x＋)；
解：原式＝x x＋x ＋ x ＋ ×
＝ x2＋x＋x＋
＝x2＋x＋.
(4) (7x－2)(－x－1)；
解：原式＝ 7x (－x)＋7x (－1)＋(－2) (－x)＋(－2)×(－1)
＝ －7x2－7x＋2x＋2
＝ －7x2－5x＋2.
(5) (x－2a)(2x＋a)；
解：原式＝ x 2x＋x a＋(－2a) 2x＋(－2a) a
＝ 2x2＋ax－4ax－2a2
＝ 2x2－3ax－2a2.
(6) (x－y)(x2＋xy＋y2)。
解：原式＝x x2＋x xy＋x y2＋(－y) x2＋(－y) xy＋(－y) y2
＝ x3＋x2y＋xy2－x2y－xy2－y3
＝ x3－y3.
4. 先化简，再求值：
(x＋2)(x－3)－x(x＋1)，其中 x＝－2。
解：(x＋2)(x－3)－x(x＋1)
＝x2－3x＋2x－6－x2－x
＝－2x－6.
当 x＝－2 时，
原式＝ －2×(－2)－6＝4－6＝－2.
5. 多项式 x2－2x－3 与 mx＋2 的乘积化简后 x2 项的系数是 4，求 m 的值。
解：(x2－2x－3)(mx＋2)
＝ x2 mx＋x2 2－2x mx－2x 2－3 mx－3×2
＝ mx3＋2x2－2mx2－4x－3mx－6
＝ mx3＋(2－2m)x2＋(－4－3m)x－6.
因为多项式 x2－2x－3 与 mx＋2 的乘积化简后 x2 项的系数是 4，
所以 2－2m＝4，
解得 m＝－1，
所以 m 的值是 －1.
拓展延伸
6. 用若干个图①中三种规格的图形拼成图②，根据图②直接写出 (2a＋b)(a＋b) 的结果，并用学过的知识说明其正确性。
解：2a2＋3ab＋b2.
理由如下：
(2a＋b)(a＋b)
＝ 2a a＋2a b＋b a＋b b
＝ 2a2＋2ab＋ab＋b2
＝ 2a2＋3ab＋b2.
7. 某住房的平面结构如图(单位：m)。如果卧室与客厅的地面铺木地板，卫生间与厨房的地面铺瓷砖，那么所铺木地板与瓷砖的面积各是多少
解：由题意可得 (x＋y)(2x＋x)＋4x 2y
＝(x＋y) 3x＋8xy
＝3x2＋3xy＋8xy
＝3x2＋11xy.
x 2x＋x[4x－(x＋y)]
＝2x2＋x(4x－x－)
＝2x2＋x(3x－y)
＝2x2＋3x2－xy
＝5x2－xy.
所以所铺木地板与瓷砖的面积各是 (3x2＋11xy)m2，(5x2－xy)m2.
探索创新
8. 观察：2×8＝16，
12×18＝216，
22×28＝616，
32×38＝1 216，
···
(1) 用代数式表示其中的规律，并计算 122×128；
(2) 找出类似的规律，并举例说明。
(1) 用代数式表示其中的规律，并计算 122×128；
解：规律：(10a＋2)(10a＋8)
＝100a2＋100a＋16
＝100a(a＋1)＋16 (其中 a 为自然数).
122×128＝100×12×13＋16＝15 616.
(2) 找出类似的规律，并举例说明。
解：观察：4×6＝24，
14×16＝224，
24×26＝624，
34×36＝1 224，
···
用代数式表示其中的规律，并计算 124×126.
规律：(10a＋4)(10a＋6)
＝100a2＋100a＋24
＝100a(a＋1)＋24 (其中 a 为自然数).
124×126＝100×12×13＋24＝15 624.
9. 在某月历中，设定如下计算规则：用一个 2×2 的方框任意框出 4 个数，将它们交叉相乘，再用较大的积减去较小的积。
(1)如图，当方框在图中位置时，按规则计算，结果为________；
7
(2)改变方框的位置，猜想规律，并用整式的运算进行说明。
规律：用一个 2×2 的方框任意框出4个数，将它们交叉相乘，再用较大的积减去较小的积，它们的差是 7.
设方框内的第1个数是a，则其他三个数分别是 a＋1，a＋7，a＋8.
根据题意，得 (a＋1)(a＋7) －a(a＋8)
＝a2＋8a＋7－a2－8a
＝7.

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