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第10章
整式的乘法与除法
10.3
乘法公式
对于特殊形式的整式乘法，用乘法公式运算更加简便。
某中学计划对一个边长为 xm 的正方形花坛进行改造(图 10.3-1)。如果改造成长为 (x＋2)m、宽为 (x－2)m 的长方形花坛，改造前后花坛的面积相等吗
改造后的面积为
(x＋2)(x－2)＝x2－2x＋2x－22
＝x2－4。
可见，改造前后花坛的面积不相等。(x＋2)(x－2) 表示 x 与 2 的和乘 x 与 2的差，这是一种特殊形式的整式乘法。
(1) 计算下列算式：
(m＋3)(m－3) ＝_________________；
(2x＋1)(2x－1)＝_________________。
m2－9
4x2－1
(2)观察上面的算式及其运算结果，你有什么发现
上面的运算都是形如 a＋b 的多项式与形如 a－b 的多项式相乘。
运算结果是两个数的平方差。
若 a，b 是有理数，利用多项式的乘法计算：
(a＋b)(a－b)
＝ a2＋ab－ab－b2
＝ a2－b2。
由上述计算发现，两个数的和与这两个数的差的积，可以直接写成这两个数平方的差。由此得到简化这类运算的公式。
平方差公式，两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差，即
(a＋b)(a－b) ＝ a2－b2。
当 a，b 均表示正数且 a＞b 时，图10.3-2中的面积关系可以解释平方差公式。
图 10.3-2
利用平方差公式计算：
例 1
(1) (2x＋5)(2x－5)；
(2) (7m－2n)(7m＋n)；
解：(2x＋5)(2x－5)＝(2x)2－52＝4x2－25。
解：(7m－2n)(7m＋n)
＝ (7m)2－(2n)2
＝ 49m2－4n2。
平方差公式中的 a，b 可以是数，也可以是代数式。
(3) (3x－)(－3x－)。
解：(3x－)(－3x－)
＝ (－＋3x) (－－3x)
＝ (－)2－(3x)2
＝ －9x2。
利用平方差公式计算 103×97。
例 2
解： 103×97
＝(100＋3)×(100－3)
＝1002－32
＝ 9 991.
1. 利用平方差公式计算：
(1) (x＋6)(x－6)；
(2) (－1＋x)(－1－x)；
解：原式 ＝ x2－62 ＝ x2－36.
解：原式 ＝ (－1)2－x2＝1－x2.
(3) (a－2b)(2b＋a)；
(4) (－4)(－4－)。
解：原式 ＝(a－2b)(a＋2b)＝a2－(2b)2＝a2－4b2.
解：原式 ＝(－4＋)(－4－)＝(－4)2－()2＝16－.
2. 利用平方差公式计算 202×198。
解： 202×198
＝ (200＋2)×(200－2)
＝ 2002－22
＝ 40 000－4
＝ 39 996.
类比平方差公式的学习过程，下面我们将研究另一种特殊形式的整式乘法。
如图10.3-3，某中学计划将一个边长为 x m 的正方形花坛每条边的长度都增加 2m，新花坛的面积是多少 如果都减少 1m 呢
由于新花坛依然呈正方形，因此改造后的花坛面积分别为 (x＋2)2m 和 (x－1)2 m，运用多项式的乘法计算得:
(x＋2)2 ＝ (x＋2)(x＋2)
＝ x x＋x 2＋2 x＋2×2
＝ x2＋2x＋2x＋4
＝ x2＋4x＋4；
(x－1)2 ＝ (x－1)(x－1)
＝ x x－x 1－1 x＋(－1)×(－1)
＝ x2－x－x＋1
＝ x2－1x＋1.
(x＋2)2 和 (x－1)2 分别表示两个相同多项式的积，这也是一种特殊形式的整式乘法。
(1) 计算下列算式：
(x＋5)2＝___________________________；
(2y－1)2＝__________________________。
x2＋10x＋25
4y2－4y＋1
(2)观察上面的算式及其运算结果，你有什么发现 上面的运算表示的是两数和(差)的平方。
若 a，b 是有理数，利用多项式的乘法计算：
(a＋b)2
＝ (a＋b)(a＋b)
＝ a2＋ab＋ba＋b2
＝ a2＋2ab＋b2；
(a－b)2
＝ (a－b)(a－b)
＝ a2－ab－ba＋b2
＝ a2－2ab＋b2；
由上述计算发现，可以直接写出两个数的和或差的平方的运算结果。由此得到简化这类运算的公式。
完全平方公式，两个数的和(差)的平方，等于这两个数的平方和加上(减去)它们乘积的 2 倍，即
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a－b)2＝a2－2ab＋b2。
(3)当 a，b 均表示正数时，图 10.3-4 中的面积关系可以解释公式 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2。
怎样设计图形解释公式 (a－b)2＝a2－2ab＋b2
利用完全平方公式计算：
例 3
(1) (x＋3)2； (2) (2m－3n)2；
解： (x＋3)2
＝x2＋2 x 3＋32
＝x2＋6x＋9。
解： (2m－3n)2
＝ (2m)2－2×2m 3n＋(3n)2
＝ 4m2－12mn＋9n2。
(3) (－x－y)2。
解：(－x－y)2
＝(x＋y)2
＝(x)2＋2×x y＋(y)2
＝ x2＋xy＋y2.
利用完全平方公式计算 1012。
例 4
解：1012＝ (100＋1)2
＝ 1002＋2×100×1＋12
＝ 10 000＋200＋1
＝ 10 201。
1. 利用完全平方公式计算：
(1) (x＋6)2；
(2) (2x－1)2；
解：原式＝x2＋2 x 6＋62＝x2＋12x＋36.
解：原式＝(2x)2－2×2x·1＋12＝4x2－4x＋1.
(3) (3a－2b)2；
(4) (－x－y)2。
解：原式＝(3a)2－2×3a 2b＋(2b)2＝9a2－12ab＋4b2.
解：原式 ＝ (－x)2＋2×(－x) (－y)＋(－y)2
＝ x2＋xy＋y2.
2. 利用完全平方公式计算：
(1) 100.12；
解：原式＝ (100＋0.1)2
＝ 1002＋2×100×0.1＋0.12
＝ 10 000＋20＋0.01
＝ 10 020.01.
(2) 982。
解：原式＝ 1002－2×100×2＋22
＝ 10 000－400＋4
＝ 9 604.
利用乘法公式计算：
例 5
(1)(x－4)(x＋4)－(x－8)(x＋2)； (2) 4(3－x)2＋(1－2x)(2x＋1)。
解：(x－4)(x＋4)－(x－8)(x＋2)
＝ x2－16－ (x2－6x－16)
＝ x2－16－x2＋6x＋16
＝ 6x。
解：4(3－x)2＋(1－2x)(2x＋1)
＝ 4(9－6x＋x2)＋1－4x2
＝ 36－24x＋4x2＋1－4x2
＝ －24x＋37 。
利用乘法公式计算：
例 6
(1) (a＋b－1)2； (2) (2x＋y－5)(2x＋y＋5)。
解：(a＋b－1)2
＝ [(a＋b)－1]2
＝ (a＋b)2－2(a＋b)＋12
＝ a2＋2ab＋b2－2a－2b＋1。
解：(2x＋y－5)(2x＋y＋5)
＝ [(2x＋y)－5][(2x＋y)＋5]
＝ (2x＋y)2－52
＝ 4x2＋4xy＋y2
＝25。
利用乘法公式计算：
(1) x(x－1)－(x－)(x＋)；
解：原式＝ x2－x－(x2－)
＝ x2－x－x2＋
＝ －x.
(2) (x＋5)2－(x－2)(x－3)；
解：原式＝x2＋10x＋25－(x2－5x＋6)
＝x2＋10x＋25－x2＋5x－6
＝15x＋19.
(3) (x＋2y＋1)(x＋2y－1)；
解：原式＝[(x＋2y)＋1][(x＋2y)－1]
＝ (x＋2y)2－12
＝ x2＋4xy＋4y2－1.
(4) (a－b＋c)2。
解：原式＝[(a－b)＋c]2
＝ (a－b)＋2(a－b) c＋c2
＝ a2－2ab＋b2＋2ac－2bc＋c2.
习题 10.3
1. 利用平方差公式计算：
复习巩固
(1) (2xy＋8)(2xy－8)；
(2) (9m－n)(9m＋n)；
解：原式＝(2xy)2－82＝ 4x2y2－64.
解：原式＝(9m)2－n2＝ 81m2－n2.
(3) (－2a＋5)(5＋2a)；
(4) (3a＋b)(3a－b)。
解：原式＝(5－2a)(5＋2a)＝52－(2a)2＝25－4a2.
解：原式＝(3a)2－(b)2＝9a2－b2.
2. 利用完全平方公式计算：
(1) (2m＋3)2；
(2) (－3a＋2b)2；
解：原式＝(2m)2＋2×2m 3＋32＝4m2＋12m＋9.
解：原式＝(－3a)2＋2×(－3a) 2b＋(2b)2＝9a2－12ab＋4b2.
(3) (－2p－7q)2；
解：原式＝(2p＋7q)2
＝ (2p)2＋2×2p 7q＋(7q)2
＝ 4p2＋28pq＋49q2.
(4) (x－y)2。
解：原式＝(x)2－2×x y＋(y)2
＝ x2－xy＋y2
3. 先化简，再求值：(x＋2y)2＋(x＋2y)(x－2y)，其中 x＝，y＝－ 。
解：原式＝ x2＋4xy＋4y2＋x2－4y2＝2x2＋4xy.
当 x＝，y＝－ 时，
原式＝2×()2＋4××(－)＝2×－＝－＝－.
4. 利用乘法公式计算：
(1) 100.2×99.8； (2) 632。
解：原式＝(100＋0.2)×(100－0.2)
＝1002－0.22
＝10 000－0.04
＝9 999.96.
解：原式＝(60＋3)2
＝602＋2×60×3＋32
＝3 600＋360＋9
＝3 969.
5. 计算：
(1) (2x－y)2－4(x－y)(x＋2y)；
解：原式＝4x2－4xy＋y2－4(x2＋xy－2y2)
＝4x2－4xy＋y2－4x2－4xy＋8y2
＝8xy＋9y2.
(2) 3(2－y)2－4(y＋5)2；
(3) (m－2n－1)(m－2n＋1)；
解：原式＝3(4－4y＋y2)＋4(y2＋10y＋25)
＝12－12y＋3y2－4y2－40y－100
＝－y2－52y－88.
解：原式＝[(m－2n)－1][(m－2n)＋1]
＝(m－2n)2－12
＝m2－4mn＋4n2－1.
(4) (2x－3y－z)2。
解：原式＝[(2x－3y)－z]2
＝(2x－3y)2－2(2x－3y) z＋z2
＝4x2－12xy＋9y2－4xz＋6yz＋z2.
拓展延伸
6. 如图，某公园要在一块直径为 (a＋b)m 的圆形空地上，建两个直径分别为 am 与 bm 的圆形花坛，其余部分铺设草坪。求草坪的面积。
解：根据题意，得
π ()2－π ()2－π ()2
＝ π [()2－()2－()2]
＝ π (－－)
＝ π ＝πab。
所以草坪的面积为 πab m2.
7.已知 a2＋b2＝5，ab＝2，求 (a＋b)2 和 (a－b)2 的值。
解：因为 a2＋b2＝5，ab＝2，
所以 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝ 5＋2×2＝9，
(a－b)2＝a2－2ab＋b2 ＝5－2×2＝1.
探索创新
8. 观察下列等式：
3＝2＋2＋3，
4＝3＋3＋4，
5＝4＋4＋5，
6＝5＋5＋6，
···
(1) 写出第 5 个等式；
解：72＝6＋62＋7.
(2) n 为正整数，用含有 n 的等式表示其中的规律。
解：规律：n2＝(n－1)＋(n－1)2＋n.
验证：(n－1)＋(n－1)2＋n
＝n－1＋n2－2n＋1＋n
＝n2，规律正确.
奇妙的“贾宪三角”
“贾宪三角”是一个神奇的“三角形”，由我国北宋数学家贾宪(生卒年不详)首先创造(图10.3-5)。这个三角形有什么奇妙之处呢
(1)三角形第 1 行有 1 个数，第 2 行有 2 个数······第 n 行有 n 个数。
(2) 从第一行开始，每行中的数字之和依次为：
20，21，22，22，24，···
第 n 行中的数字之和是 2n－1。
(3) 每行中的数字呈左右对称，由1开始由小变大，然后由大变小，最后回到 1。
(4)三角形两腰上的数字都是“1”。除1之外，其余每个数字都是它“双肩”上的两个数字之和，如 2＝1＋1，10＝4＋6，35＝15＋20。
不仅如此，这个三角形第 n＋1 行中的数竟与 (a＋b)n (n 是正整数) 展开式各项的系数完全吻合。
例如，当 n 为 2，3 时，
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3。
展开式中各项的系数 1，2，1；1，3，
3，1 恰为三角形中第 3 行和第 4 行的数。
类似地，
(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4.
(a＋b)5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5。
通过观察上述四式，我们还可以猜测 (a＋b)n 的展开式有以下特点：展开式的项数为 n＋1，每一项的次数都是 n，各项中 a 的指数由 n 逐项减少到 0，b 的指数由 0 逐项增加到 n。
(a＋b)n 展开式中项数、各项系数和次数的规律，将在高中学习二项式定理时，予以证实。
按照上面所说的规律，写出 (a＋b)7 的展开式。
(a＋b)7
＝ a7＋7a6b＋21a5b2＋35a4b3＋35a3b4＋21a2b5＋7ab6＋b7.

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