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(共45张PPT)
第十七章　因式分解
17.2　用公式法分解因式
第1课时　运用平方差公式分解因式
知识关联 探究与应用 课堂小结与检测
知识关联
1、什么叫多项式的分解因式
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的分解因式.
2、已学过哪一种分解因式的方法
提公因式法
【探究1】直接运用平方差公式分解因式
【情境问题】
下面的问题你能解决吗
探究与应用
1.填空:(1)(a+b)(a-b)=　　　 　;
(2)(a+5)(a-5)=　　　　 ;
(3)(4m+3n)(4m-3n)=　　 　　.
a2-b2
a2-25
16m2-9n2
2.把整式乘法的平方差公式的等号两边互换，得到什么？
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
【探究1】直接运用平方差公式分解因式
【概括新知】
探究与应用
)
)(
(
b
a
b
a
-
+
=
2
2
b
a
-
)
)(
(
2
2
b
a
b
a
b
a
-
+
=
-
整式乘法
因式分解
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.
平方差公式：
【探究1】直接运用平方差公式分解因式
探究与应用
√
√
×
×
思考：
下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
√
√
★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成: ( )2-( )2的形式.
两数是平方，
减号在中央．
（1）x2+y2
（2）x2-y2
（3）-x2-y2
-(x2+y2)
y2-x2
（4）-x2+y2
（5）x2-25y2
（6）m2-1
【理解应用】
探究与应用
例1 分解因式：
a
a
b
b
(
+
)
(
-
)
a2 - b2 =
解:原式=
2x
3
2x
2x
3
3
解原式=a2-(5b)2
=(a+5b)(a-5b)
(2)a2-25b2
方法总结：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.
【理解应用】
【变式】
探究与应用
利用因式分解计算：2012－1992
解：原式＝(201＋199)(201－199)
＝400×2
= 800
【探究2】综合运用平方差公式分解因式
例2　把下列各式分解因式:
探究与应用
原式
(1)x2-y4　
解：(1)原式＝x2-(y2)2
＝(x+y2)(x-y2)
1.把下列各式分解因式:
(1)81a2-b4 (2)49(a-b)2-16(a+b)2
【探究2】有理数的概念及分类
探究与应用
【拓展提升】
解：(1)原式＝(9a)2-(b2)2
＝(9a+b2)(9a-b2)
＝(11a－3b)(3a－11b)
(2)原式＝[7(a-b)]2 -[4(a+b)]2
＝[7(a-b)+4(a+b)] [7(a-b) -4(a+b)]
＝(7a－7b＋4a＋4b) (7a－7b－4a－4b)
【 拓展提升】
探究与应用
2.已知4m+n=40，2m-3n=5．求(m+2n)2-(3m-n)2的值．
原式=-40×5=-200．
解：原式=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n)
=(4m+n)(3n-2m)
=-(4m+n)（2m-3n)，
当4m+n=40，2m-3n=5时，
【小结】
课堂小结与检测
平方差公式分解因式
公式
a2-b2=(a+b)(a-b)
巧算
【检测】
课堂小结与检测
1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(　　)
A．a2＋(－b)2 B．5m2－20mn
C．－x2－y2 D．－x2＋9
D
2.若a+b=3，a-b=7，则b2-a2的值为（　　）
A．-21 B．21 C．-10 D．10
A
【 检测】
课堂小结与检测
3.把下列各式分解因式：
x2－4＝______________．
a2－4b2＝______________．
81a2－16b4＝______________
4b2－(b+c)2＝______________
(m+2n)2－(m-2n)2＝______________
(x＋2)(x－2)
(a＋2b)(a－2b)
(9a＋4b2)(9a－4b2)
(3b+c)(b-c)
8mn
4.利用因式分解计算：20252－20242
解：原式＝(2025＋2024)(2025－2024)
＝4049×1
= 4049
【 检测】
课堂小结与检测
第十七章　因式分解
17.2　用公式法分解因式
第2课时　运用完全平方公式分解因式
知识关联 探究与应用 课堂小结与检测
知识关联
1.什么是因式分解
把一个多项式转化为几个整式的积的形式.
2.我们已经学过哪些因式分解的方法？
1.提公因式法
2.平方差公式
a2-b2=(a+b)(a-b)
3.完全平方公式你还记得吗 说说看.
【探究1】完全平方式的概念
【尝试交流】
探究与应用
这两个多项式有什么共同的特点？
观察多项式 与
（1）每个多项式有几项？
（3）中间项和第一项，第三项有什么关系？
（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？
三项
这两项都是数或式的平方，并且符号相同
是第一项和第三项底数的积的±2倍
【探究1】完全平方式的概念
【概括新知】
探究与应用
我们把a +2ab+b 和a -2ab+b 这样的式子叫作完全平方式.
完全平方式的特点：
1.必须是三项式（或可以看成三项的）；
2.有两个同号的数或式的平方；
3.中间有两底数之积的±2倍.
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
【理解应用】
探究与应用
例1 下列各式是不是完全平方式？
（1）a2－4a+4; （2）1+4a ;
（3）4b2+4b-1; （4）a2+ab+b2;
（5）x2+x+0.25.
是
（2）因为它只有两项；
不是
（3）4b 与-1的符号不统一；
不是
分析：
不是
是
（4）因为ab不是a与b的积的2倍.
【理解应用】
【变式】
若关于x的二次三项式x2+ax+ 是完全平方式，则a的值是 　　　.
±1
探究与应用
如果一个二次三项式的二次项系数为1，要使它成为完全平方式，需使其常数项等于一次项系数一半的平方，即关于x的二次三项式x2+mx+n是完全平方式的条件为 =n.
【探究2】直接运用完全平方公式分解因式
【尝试交流】
1.填空:
(1)(a+b)2=　　　　　 　;
(2)(a-b)2=　　　　　　 .
探究与应用
根据完全平方式，你能将多项式 与多项式 分解因式吗？
2
a
b
+b2
±
=(a ± b)
a2
首2
+尾2
±2×首×尾
(首±尾)2
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
【探究2】直接运用完全平方公式分解因式
【概括新知】
探究与应用
　　 把整式的乘法公式——完全平方公式
反过来就得到因式分解的完全平方公式：
【理解应用】
探究与应用
例2 分解因式：
（1）x2+4x+4； （2）16x2-24x+9.
分析：(1)中， 16x2=(4x)2, 9=3 ,24x=2·4x·3, 所以16x2-24x
+9是一个完全平方式，即16x2 + 24x +9= (4x)2- 2·4x·3 + (3)2.
2
a
b
+b2
a2
分析:在(1)中,∵4=22 , 4x=2·x·2,
∴x2+4x+4是一个完全平方式,即x2+4x+4=x2+2·x·2+22
2
a
b
+b2
a2
【理解应用】
探究与应用
例2 分解因式：
（1）x2+4x+4； （2）16x2-24x+9.
解： (2)16x2- 24x +9
= (4x - 3)2；
= (4x)2 - 2·4x·3 + (3)2
解：(1)x2+ 4x+4
=x2+2·x·2+22
=(x+2)2
能用完全平方公式分解因式的多项式具有的特点
(1)多项式为三项式；
(2)其中有两项是平方式，且这两个平方项的符号相同；
(3)第三项是两个平方项幂的底数的积的2倍或－2倍．
探究与应用
针对训练
分解因式：
（1）x2 +12x + 36； （2）a2 +2a +1 ；
(3) 4x2 －4x+1. （4）4a2 -9
(1) (x ＋6)2; (2) (a ＋1)2；
(3) (2x －1 )2. (4) (2a ＋3)(2a -3)
解：
【理解应用】
把乘法公式的等号两边互换，就可以得到把某些特殊形式的多项式分解因式的公式。
运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法
【探究3】 综合运用完全平方公式分解因式
探究与应用
例3 把下列各式分解因式：
(1)(a+b)2-12(a+b)+36.
分析：将a+b看成一个整体，设a+b=m，则原式化为m2-12m+36.
解：原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62=(a+b-6)2.
（2）-x2+4xy-4y2.
解 ：原式=-(x2-4xy+4y2)
=-(x-2y)2.
分析 :可通过添括号将原式写成-(x2-4xy+4y2)，括号内的式子为完全平方式，
练习　
探究与应用
【理解应用】
　把下列各式分解因式:：
（1）-2xy-x2-y2. (2)(x+y)2-10(x+y)+25.
（3）9a2-30a+25; （4）x(x－1)－3x+4;
解(1) -2xy-x2 -y2
=-(x2+2xy+y2)
=-(x+y)2.
(2)原式=(x+y)2-2·(x+y) ·5+52
=(x+y-5)2.
(3)原式=(3a) － 2·3a·5+(5)
=(3a－ 5)2;
(4)原式=x －x －3x+4
=x －4x+4
=(x－2)2
探究与应用
【理解应用】
例4 把下列完全平方公式分解因式：
(1)1002－2×100×99+99 ；
(2)342＋34×32＋162.
解：(1)原式=（100－99)
(2)原式＝(34＋16)2
本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算。
=12
＝502
=1
＝2500
例5　已知x+y=7，xy=10，求下列各式的值:
(1)x2+y2;　　　　　　(2)(x-y)2.
【探究2】有理数的概念及分类
探究与应用
【拓展提升】
解：(1)原式=x2+y2+2xy-2xy
=(x+y)2-2xy
=72-2×10
=29
解：(2)原式=x2+y2-2xy
=x2+y2+2xy-2xy-2xy
=(x+y)2-4xy
=72-4×10
=9
例6　已知x+ =-3，求x4+ 的值.
【探究2】有理数的概念及分类
探究与应用
【拓展提升】
原式=（x2）+（ ）2+2-2
=（x2+ ）2-2
=72-2
=47
解：∵x+ =-3
∴( x+ )2=(-3)2
即：x2+ +2=9
即：x2+ =7
【小结】
课堂小结与检测
完全平方公式分解因式
公式
a2±2ab+b2=(a±b)2
特点
（1）要求多项式有三项.
（2）其中两项同号，且都可以写成某数或式的平方，另一项则是这两数或式的乘积的2倍，符号可正可负.
【检测】
课堂小结与检测
1.下列四个多项式中，能因式分解的是( )
A．a2＋1 B．a2－6a＋9
C．x2＋5y D．x2－5y
B
2.若m-2n=1，则m2-4mn+4n2的值是　　 .
3.若关于x的多项式x2-8x+m2是完全平方式，则m的值为　 .
1
±4　
【 检测】
课堂小结与检测
4.把下列多项式因式分解.
（1）x2－12x+36; （2）16a2-48a+36;
（3）(x－1)2－4y（x-1）+4y2;
(2)原式=(4a) － 2·4a·6+(6)
=(4a－ 6)2;
解：(1)原式 =x2－2·x·6+(6)2
=(x－6)2;
(3)原式=（x-1-2y）
【 检测】
课堂小结与检测
5.已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值；
解：原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
当a－b＝3时，原式＝32＝9.
第十七章　因式分解
17.2　用公式法分解因式
第3课时　综合运用提公因式法和公式法分解因式 知识关联 探究与应用 课堂小结与检测
学生思考并回答:
知识关联
2.如何找到一个多项式各项的公因式
3.运用公式法分解因式的两个公式是什么
两种
①提公因式法 ②公式法
1.前面我们学习了几种分解因式的方法？分别是什么方法
①平方差公式: a2-b2=(a+b)(a-b)
②完全平方公式: a +2ab+b = (a+b)2
三定，即定系数；定字母；定指数
【探究1】 提公因式法和平方差公式综合分解因式
【尝试交流】
例1　你能将下列各式分解因式吗
(1)x4-y4;　　　　　 (2)a3b-ab.
探究与应用
分析 : x4-y4可以写成(x2)2-(y2)2的形式，
可用公式法分解因式；
分析 : a3b-ab的两项有公因式ab，
可以先提公因式，再进一步分解因式.
解：(1) x4-y4
=(x2)2-(y2)2
=(x2+y2) (x2-y2)
=(x2+y2) (x+y) (x-y)
解：（2） a3b-ab
=ab ·a2-ab ·1
=ab(a2-1)
=ab(a+1)(a-1)
注意：分解因式是要进行到每一个多项式都不能再分解为止
【探究1】 综合运用提公因式法和平方差公式分解因式
【练习】
试一试　将下列各式分解因式:
(1)x2y-4y; (2)3ax2-3ay2; (3)20m2(a-b)2-5(b-a)2;
(4)3m3-3m; (5)a3b-ab; (6)9m2(p+q)-4(p+q).
探究与应用
答案：(1) y(x+2)(x-2) (2) 3a(x+y)(x-y) (3) 5(a-b)2(2m+1)(2m-1)
(4) 3m(m-1)(m+1) (5) ab(a+1)(a-1) (6) (q+p)(3m+2)(3m-2)
【探究2】 提公因式法和完全平方公式分解因式
例2　你能将下列各式分解因式吗
(1)3x3-6x2y+3xy2; (2)-ax2+2a2x-a3.
分析 : 先提取公因式，再用公式法进一步分解因式.
探究与应用
解：(1)3x3-6x2y+3xy2
=3x(x2-2xy+y2)
=3x(x-y)2
解：（2） -ax2+2a2x-a3
=-a ( x2-2ax +a2 )
=-a(x-a)2；
【探究2】 综合运用提公因式法和完全平方公式分解因式
试一试　将下列各式分解因式:
探究与应用
(2)3x3-6x2y+3xy2;
(3)18a2(a+2b)+12ab(a+2b)+2b2(a+2b).
(1)-2x2y+16xy-32y;
-2y(x-4)2
3x(x-y)2
2(a+2b)(3a+b)2
【探究2】有理数的概念及分类
探究与应用
【拓展提升】
(1)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．
(2).已知xy=4，x+y=5，求x3y+2x2y2+xy3的值.
原式＝2×52＝50.
解(1)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)
＝ab(a＋b)2.
　当ab＝2，a＋b＝5时，
(2)原式＝xy(x2＋2xy＋y2)
＝xy(x＋y)2.
　当xy＝4，x＋y＝5时，
原式＝4×52＝100.
【拓展提升】
探究与应用
例 已知x2－10x＋y2－4y＋29＝0，求x2y2＋2x3y2＋x4y2的值．
＝100×62
＝3600.
解：∵x2－10x＋y2－4y＋29＝0，
∴(x－5)2＋(y－2)2＝0.
∵(x－5)2≥0，(y－2)2≥0，
∴x－5＝0，y－2＝0，
∴x＝5，y＝2，
∴x2y2＋2x3y2＋x4y2＝x2y2(1+x)2
几个非负数的和为0，则这几个非负数都为0.
【小结】
课堂小结与检测
综合运用提公因式法和公式法分解因式
先提公因式再用平方差公式
（1）看是否有公因式
（2）看是否符合，
a2-b2=（a+b)(a-b）
先提公因式法再用完全平方公式
（1）看是否有公因式
（2）看是否符合，a2±2ab+b2=(a±b)2
结果是否还可以再分解因式
【检测】
1.多项式4a-9a3分解因式的结果是　 　 .
a(2+3a)(2-3a)
x3(y+1)(y-1)
课堂小结与检测
2.分解因式:x3y2-x3=　 　.
3.若将(2x)n-81分解因式的结果为(4x2+9)(2x+3)(2x-3),则n的值是 　.
4　
【 检测】
4.把下列各式分解因式:
(1)a3-a; (2)9xy3-36x3y;
(3)4xy2-4x2y-y3; (4)m4-18m2+81.
答案:(1)a(a+1)(a-1)　 (2)9xy(y+2x)(y-2x)　
(3)-y(2x-y)2　 (4)(m+3)2(m-3)2
课堂小结与检测

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