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(共27张PPT)
问题解决活动：最短距离
第三章 图形的平移与旋转
八下数学 BSD
1. 使用平移解决最短路径问题：将军遛马；造桥选址.
2. 通过构造相关点的对称点、平移点或旋转点，改变某些点的位置，将不相关、复杂的问题转化为相关、简单的问题.
问题 如图，居民区和工厂分别在一条城铁线路的南、北两侧，现要沿着城铁线路修建一条地下通道，居民区的居民经过该地下通道去工厂上班.
知识点 最短距离
思考
已知该地下通道长度为a m，那么地下通道的两个出入口应该设计在何处，才能使居民经过该地下通道去工厂上班的路线最短 请画出这条最短路线并说明理由(不考虑地面到地下通道地面的高度).
理解问题
上述问题可以抽象成怎样的数学问题
如图所示，定点A，B分别位于直线l的两侧，动点M，N(点M居左)在直线l上且MN=a，
求使AM+MN+NB取得最小值时点M，N的位置.
知识点 最短距离
拟定计划
(1) 你以前遇到过类似的问题吗
以前遇到过两点之间的最短路线问题、与垂线段最短有关的最短路线问题、将军饮马问题等.
知识点 最短距离
(2) 解决这个问题最大的困难是什么
最大的困难是整条路线中需要“弯折”一段距离无法通过直接连接A，B两点来得到所求点的位置.
知识点 最短距离
(3) 地下通道将居民区到工厂的路从中间分成了两段，你能设法将居民区、通道或工厂“移动”位置，让前后两段路连起来吗
可以通过将居民区沿铁路方向向右平移a m，将中间地下通道的路程“先行”，再连接居民区平移后的位置与工厂的位置，即可使前后两段路连起来.
知识点 最短距离
实施计划
(1) 写出你的解决方案.
在由原问题转化的数学问题上说明解决方案.
如图，将点A沿l向右平移a个单位长度得到点A′，连接A′B交l于点N，在直线l上点N的左侧截取MN=a，
连接AM，此时AM +MN+NB取得最
小值.
知识点 最短距离
a
(2) 说明你的方案的合理性.
如图所示，连接A′M.
由平移作图可知AA′=MN， AA′∥MN，
∴ ∠AA′M=∠NMA′.
在△AA′M和△NMA′中，
∴ △AA′M≌△NMA′(SAS)，
知识点 最短距离
∴ AM = A′N，
∴ AM + MN + NB = MN + A′N + NB = MN+A′B.
根据“两点之间线段最短”可得，
此时A′N+NB最小，
故此时AM+MN+NB取得最小值.
知识点 最短距离
回顾反思
通过解决上述问题，你获得了哪些经验 你认为解决这类问题的关键是什么
“将军遛马”类问题可以将固定要行的一段路线进行平移，将问题转化为两点之间线段最短问题进行解答.
知识点 最短距离
回顾反思
通过解决上述问题，你获得了哪些经验 你认为解决这类问题的关键是什么
解决最短距离类问题的关键要善于利用图形的变换，构造相关点的对称点、平移点或旋转点，将复杂的图形转化为简单的图形，化“折”为“直”，进而利用“两点之间线段最短”“垂线段最短”等进行解决.
知识点 最短距离
知识点 最短距离
跟踪训练 1. 如图，某工厂甲、乙两个单位分别位于厂内一条封闭式道路的两旁，现规划修建一座过路天桥，要求天桥与道路垂直.那么，天桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短
知识点 最短距离
解：如图所示，记甲单位所在位置为点A，乙单位所在位置为点B，将点A沿竖直向下的方向平移，平移距离等于桥长，到达点A1，连接A1B，与道路靠近乙单位的一侧交于点B1，过点B1建桥即符合要求.
知识点 最短距离
跟踪训练 2.(1) 如图，某工厂计划在一条笔直的道路上新设两个储物点，两个储物点的间距固定，工作人员每天进入工厂大门后，先到甲储物点取物品，然后沿道路走到乙储物点取物品，最后到道路另一侧的车间.请画图说明，两个储物点设在何处，工作人员所走的路程最短.
大门
道路
车间
甲储物点
乙储物点
知识点 最短距离
解：(1) 不妨设大门为点A，车间为点B，道路为直线l，甲、乙储物点分别为l上的点M，N，两储物点之间的固定距离为a.
知识点 最短距离
如图所示，将点A沿l向右平移a个单位长度得到点A′，连接A′B交l于点N，在直线l上点N的左侧截取MN=a，连接AM.
即点M，N分别为甲、乙储物点的所求位置，此时工作人员所走的路程最短.
a
知识点 最短距离
跟踪训练 2.(1) 如图，某工厂计划在一条笔直的道路上新设两个储物点，两个储物点的间距固定，工作人员每天进入工厂大门后，先到甲储物点取物品，然后沿道路走到乙储物点取物品，最后到道路另一侧的车间.请画图说明，两个储物点设在何处，工作人员所走的路程最短.
(2) 第(1)问与本课研究的例题
有什么联系和区别
大门
道路
车间
甲储物点
乙储物点
知识点 最短距离
(2) 联系：核心原理一致.
两题均运用“平移+两点之间线段最短”的几何原理，通过平移其中一个点(居民区、车间)，将折线路线转化为直线段，从而找到最短路径.
区别：平移对象、路径结构.
1.如图所示，若将军要骑马从军营A到河边并沿着小河l往回遛马一段距离，距离为a m，再骑马到达军营B(河宽忽略不计).请画出将军的最短路线.
解：如图，将点A沿l向左平移a m
得到点A′，连接A′B交l于点N，在直线
l上点N的右侧截取MN=a m，
连接AM，即此时AM+MN+BN取最小值.
2.如图所示，若军营A，B在小河l的同侧，将军要骑马从军营A到河边并沿着河遛马一段距离，距离为a m，然后再骑马到达军营B(河宽忽略不计).请画出将军的最短路线.
解：如图，将点A沿l向右平移a m得到点A′，
作点A′关于直线l的对称点A″，连接A″B交
l于点F，在直线l上点F的左侧截取EF=a m，
连接AE，即此时AE+EF+FB取最小值.
3. 如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的顶点B在原点，点A，C在坐标轴上，点D的坐标为(5，4)，点E为CD的中点，点P，Q为BC边上两个动点，且PQ=2，要使四边形APQE的周长最小，则点P的坐标应为 .
解析：由题意可知，PQ，AE为定值，使得四边形APQE的周长最小，求得AP+QE的最小值即可.
如图所示，将点A沿AD向右平移2个单位长度得到点A′，作点A′关于x轴的对称点A″，连接 A″E交x轴于点Q，在x轴上点Q的左侧截取PQ=2，
连接AP，即此时四边形APQE的周长最小.
由题意知A(0，4)，E(5，2)，由平移得A′(2，4)，由对称可知A″(2，-4).
设直线A″E的函数表达式为y=kx+b(k≠0).
将A″(2，-4)，E(5，2)代入，
得解得
即直线A″E的函数表达式为y=2x-8.
令y=0，得0=2x-8，解得x=4，即Q(4，0)，
故P的坐标为(2，0).
3. 如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的顶点B在原点，点A，C在坐标轴上，点D的坐标为(5，4)，点E为CD的中点，点P，Q为BC边上两个动点，且PQ=2，要使四边形APQE的周长最小，则点P的坐标应为 .
(2，0)
“最短路径问题”的原型来自“将军饮马问题”“造桥选址问题”，出题背景通常为直线、角、三角形、平行四边形坐标轴等.
一般来说，线段和最短的问题，往往要把几条线段连接成一条线段，利用“两点之间线段最短”或者“垂线段最短”来分析与解决现实问题.
解题的关键是通过构造相关点的对称点，平移点或旋转点，改变某些点的位置，将不相关、复杂的问题转化为相关、简单的问题，进而实现化“折”为“直”来进行求解.

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