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八下数学 BSD
第三章 图形的平移与旋转
章末小结
转化思想
类比思想
从一般到特殊
平移
旋转
中心对称
图案的欣赏与设计
定义
性质
画图
特例
应用
图形的平移与旋转
一、平移
概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移；
要素：方向和距离.
图形平移后，原图形上的点到它对应
点的方向是平移的方向；
原图形上的点与它对应点所连线段的
长度是平移的距离.
D
E
F
A
B
C
D
E
F
A
B
C
一、平移
性质：
1.一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等；
2.对应线段平行(或在一条直线上)且相等；
3.对应角相等.
一、平移
画图：
① 定平移的方向和平移的距离；
② 找构成图形的关键点；
③ 平移各个关键点，找到对应点；
④ 顺次连接各个对应点；
⑤ 写出结论.
一、平移
图形平移与坐标变化：
沿x轴左右平移 纵坐标不变，横坐标左减右加
沿y轴上下平移 横坐标不变，纵坐标上加下减
一、平移
图形平移与坐标变化：
平移方向和平移距离 对应点的坐标
向右平移a个单位长度，向上平移b个单位长度
向右平移a个单位长度，向下平移b个单位长度
向左平移a个单位长度，向上平移b个单位长度
向左平移a个单位长度，向下平移b个单位长度
(x+a ， y+b)
(x+a ， y-b)
(x-a ， y+b)
(x-a ， y-b)
1. 如图，在Rt△ABC中，BC=9，把△ABC沿点A到点E方向平移至△EFG处，EG与BC交于点M.若CM=3，图中阴影部分的面积为15，则平移距离为( )
A. 2 B. 3 C. 4.5 D. 1
A
2. 如图，△ABC的顶点坐标分别为A(-2，3)，B(-3，0)，C(-1，-1).将△ABC平移后得到△A′B′C′，且点A的对应点是A′(2，3)，点B，C的对应点分别是B′，C′.
(1) 点A，A′之间的距离是 .
(2) 请在图中画出△A′B′C′.
4
A′
B′
C′
解：（2）如图所示.
3. 如图，点A，B的坐标分别为(3，1)，(5，4)，若将线段AB平移至线段A1B1，则a-b的值为( )
A. 8 B. 4 C. -4 D. 6
B
4. 如图是某公园里一处长方形风景欣赏区ABCD，长AB=50m，宽BC=25m，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路(图中非阴影部分)，小路的宽均为1m，那么小明沿着小路的中间，从入口A到出口B所走的路线(图中虚线)长为 .
98m
二、旋转
定义：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转；
三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角.
旋转中心可以是图形上的某一点，
也可以是图形内或图形外的某一点.
A
B
C
D
E
F
O
二、旋转
性质：
1.一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等；
2.任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；
3.对应线段相等，对应角相等.
作图：
一般步骤：找、连、转、截、画、写.
二、旋转
旋转中心的确定：
旋转中心是两组对应点所连线段的垂直平分线的交点.
三、中心对称
定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，
它能够与另一个图形重合.
注意：
1. 中心对称是特殊的旋转，其旋转角为180°.
2. 成中心对称是指两个图形的位置关系，必须涉及两个图形.
3. 成中心对称的两个图形，只有一个对称中心，这个对称中心可能在图形的外部，也可能在图形的内部或边上.
三、中心对称
性质：
1.成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分；
2.成中心对称的两个图形是全等图形，
对应角相等，对应线段平行(或在同一条直线上)且相等.
三、中心对称
画与已知图形成中心对称的图形
(1) 连接：分别将原图形上的所有关键点与对称中心连接；
(2) 延长：将以上连线延长找对称点，使得对称点与对称中心的距离和关键点与对称中心的距离相等；
(3) 连接：将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得出关于对称中心对称的图形.
三、中心对称
中心对称图形
定义：把一个图形绕某个点旋转180°，旋转后的图形能与原来的图形重合.
性质：中心对称图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分.
三、中心对称
中心对称 中心对称图形
区别
联系 1. 针对两个图形而言的
2. 是指两个图形的(位置)关系
3. 对称点在两个图形上
4. 对称中心在两个图形之间
1. 针对一个图形而言的
2. 是指具有某种性质的一个图形
3. 对称点在一个图形上
4. 对称中心在图形上或其内部
若把成中心对称的两个图形视为一个整体，则是中心对称图形，
若把中心对称图形的两部分看作两个图形，则它们成中心对称
1. 如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD，若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为( )
A. 90°-α B. α
C. 180°-α D. 2α
C
2. 如图，在平面直角坐标系中，有一直角三角形ABC，且顶点坐标分别为A(-1，3)，B(-3，-1)，C(-3，3)，已知△A1AC1是由△ABC旋转得到的.
(1) 旋转中心的坐标是 ；
旋转角的度数是 .
(2) 以(1)中的旋转中心为中心，
分别画出△A1AC1，顺时针旋转
90°，180°后得到的三角形.
(1) 作线段CC1，AA1的垂直平分线，这两条垂直平分线交于原点O，所以旋转中心的坐标是(0，0).
由C(-3，3)，C1(3，3)可知，
CO=C1O=3，CC1=6，
所以CO2+C1O2=36=CC12，
所以△COC1是直角三角形.
若△A1AC1是由△ABC按顺时针方向旋转得到的，则旋转角为∠COC1=90°；
若△A1AC1是由△ABC按逆时针方向
旋转得到的，则旋转角为
360°-∠COC1=270°.
2. 如图，在平面直角坐标系中，有一直角三角形ABC，且顶点坐标分别为A(-1，3)，B(-3，-1)，C(-3，3)，已知△A1AC1是由△ABC旋转得到的.
(1) 旋转中心的坐标是 ；
旋转角的度数是 .
(2) 以(1)中的旋转中心为中心，
分别画出△A1AC1，顺时针旋转
90°，180°后得到的三角形.
(0，0)
90°或270°
(2) 如图所示.
3. 如图，在△ABC中，∠A=90°，D为BC的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，试探索线段BE，EF，FC之间的数量关系.
分析：确定线段之间的数量关系的思路：
① 截长补短，一般用于证线段之间的和差关系；
② 转化到同一个三角形中，一般利用勾股定理证明线段间的平方关系.
解：∵ D为BC的中点，∴ BD=CD.
将△BDE绕点D旋转180°得到△CDM，连接FM，如图所示.
由中心对称的性质可得CM=BE，MD=ED，∠DCM=∠B.
∵ ∠A=90°，∴ ∠B+∠ACB=90°，
∴ ∠DCM+∠ACB=90°，即∠FCM=90°.
在△FME中，MD=ED，FD⊥ME，
∴ MF=EF.
在Rt△FCM中，∵ FC2+CM2=MF2，∴ FC2+BE2=EF2.
四、简单的图案设计
图案的形成依据：平移、旋转和轴对称的概念和性质.
常见的变换方式：① 平移变换；② 旋转变换；③ 轴对称变换；④ 旋转变换与平移变换的组合；⑤ 旋转变换与轴对称变换的组合；⑥ 轴对称变换与平移变换的组合.
四、简单的图案设计
分析图案构成的方法：认真观察整个图案，找出图案中的基本图形，再将基本图形进行变换.
基本图形的选取不唯一，可以是图中的最小单元，也可以是某些单元的组合.
四、简单的图案设计
分析图案形成过程的一般步骤：
① 确定设计图案的意图；
② 找出图案所给定的基本图形及其内在联系；
③ 确定基本图形所进行的变换方式与变换过程.
1. 如图，找出图中各个图案的旋转中心，并简述图案的形成过程.
旋转中心：点O.
基本图形：△ABC.
旋转中心：点O.
基本图形：图形OAB.
(1)
(2)
2. 图中有一个4×4的正方形网格，网格中每个小正方形的边长都为1.请你以左上角的三角形为基本图形，通过平移、轴对称或旋转，在网格中设计一个图案，使其既是轴对称图形，又是以点O为对称中心的中心对称图形，且图案的面积为4(即阴影部分的面积为4).
解：

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