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第二章　方程(组)与不等式(组)
第5讲　一次方程(组)及应用
1.若代数式x＋1的值为6，则x等于(A)
A.5 B.－5
C.7 D.－7
2.方程组的解是(C)
A.
3.已知的解，则a＋b的值是(A)
A.－1 B.1
C.－5 D.5
4.(2025·山东)明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手.问哪吒、夜叉各有多少 设哪吒有x个，夜叉有y个，则根据条件所列方程组为(D)
A.
5.(2025·齐齐哈尔)神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”.为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车(两种客车都要租)，若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有(B)
A.3种 B.4种
C.5种 D.6种
6.关于 x的方程x＋2＝2(x－1)的解为　　x＝　　.
7.已知是方程ax＋y＝2的解，则a的值为　　－1　　.
8.某种商品每件的进价为120元，标价为180元.为了拓展销路，商店准备打折销售.若使利润率为20%，则商店应打　　八　　折.
9.解方程(组)：
(1)＝1；
解：去分母，得2(2x＋3)－(5x－1)＝6.去括号，得4x＋6－5x＋1＝6.移项、合并同类项，得－x＝－1.解得x＝1.
(2)
①×3－②，得2y＝－6.解得y＝－3.把y＝－3代入①，得x＝6.所以原方程组的解是
10.(2025·湖北)某商店销售A，B两种水果.A水果标价14元/kg，B水果标价18元/kg.
(1)小明陪妈妈在这家商店按标价买了A，B两种水果共3 kg，合计付款46元.这两种水果各买了多少千克
(2)妈妈让小明再到这家商店买A，B两种水果，要求B水果比A水果多买1 kg，合计付款不超过50元.设小明买A水果m kg.
①若这两种水果按标价出售，求m的取值范围；
②小明到这家商店后，发现A，B两种水果正在进行优惠活动：A水果打七五折；一次购买B水果不超过1 kg不优惠，超过1 kg后，超过1 kg的部分打七五折(注：“打七五折”指按标价的75%出售).若小明合计付款48元，求m的值.
解：(1)设A种水果买了x kg，B种水果买了y kg.
由题意，得
答：A种水果买了2 kg，B种水果买了1 kg.
(2)①由题意，得14m＋18(m＋1)≤50.解得m≤1.
又m＞0，∴m的取值范围为0＜m≤1.
②由题意，得14×0.75m＋18×1＋18×0.75(m＋1－1)＝48.
解得m＝1.25.
答：m的值为1.25.
11.(2025·江西)某文物考古研究院用1∶1复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验.用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率如表：
类别 原材料 出酒率
粮食酒 粮食糟醅(含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水) 30%
芋头酒 芋头糟醅(含芋头、小曲和蒸馏水) 20%
如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍.
(1)求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅
(2)受限于当时的生产条件，古代青铜蒸馏器的出酒量约为现代复原品的80%.若粮食糟醅中大米占比约为，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少公斤大米
解：(1)设第一次实验用了x公斤粮食糟醅，y公斤芋头糟醅.
根据题意，得
答：第一次实验用了40公斤粮食糟醅，20公斤芋头糟醅.
(2)设需要准备m公斤大米.
根据题意，得×30%×80%＝(40＋40×2)×30%.解得m＝37.5.
答：需要准备37.5公斤大米.
第6讲　分式方程及应用
1.(2024·德阳)分式方程的解是(D)
A.3 B.2
C.
2.已知x＝2是分式方程＝1的解，那么实数k的值为(B)
A.3 B.4
C.5 D.6
3.(2024·达州)甲、乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30 min后，甲开始加工.甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成.求乙每小时加工零件多少个 设乙每小时加工x个零件，可列方程为(D)
A.
4.关于x的分式方程＝2有增根，则m的值为(C)
A.2 B.1
C.3 D.－3
5.(2024·宜宾)分式方程－3＝0的解为　　x＝2　　.
6.(2025·江西)小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6 000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1 000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费.设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为　 　　.
7.(2024·牡丹江)若分式方程的解为正整数，则整数m的值为　　－1　　.
8.(2025·连云港)解方程：.
解：去分母，得2x＝3(x＋1).
解得x＝－3.
检验：当x＝－3时，x(x＋1)＝6≠0.
所以x＝－3是原分式方程的解.
9.如图，点A，B在数轴上，它们对应的数分别为－2，，且点A，B到原点的距离相等.求x的值.
解：根据题意，得＝2.解得x＝－2.
经检验，x＝－2是所列方程的根.
所以x的值是－2.
10.(2025·自贡)去年暑假，小张和小李同学主动帮刘大爷掰玉米，他们各掰了36筐和30筐，两人劳动时间相同，小张平均每小时比小李多掰2筐，请问小李平均每小时掰玉米多少筐
解：设小李平均每小时掰玉米x筐，则小张平均每小时掰玉米(x＋2)筐.
根据题意，得.
解得x＝10.
经检验，x＝10是所列分式方程的解，且符合题意.
答：小李平均每小时掰玉米10筐.
11.(2025·扬州)某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的书签，已知甲款书签价格是乙款书签价格的倍，且用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个.求这两款书签的单价.
解：设乙款书签的单价是x元，则甲款书签的单价是x元.
根据题意，得＝3.解得x＝16.
经检验，x＝16是所列分式方程的解，且符合题意.
∴×16＝20(元).
答：甲款书签的单价是20元，乙款书签的单价是16元.
第7讲　一元二次方程及应用
1.观察下列表格，一元二次方程x2－x－1.1＝0的一个近似解是(C)
x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
x2－x 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 1.71
A.1.11 B.1.55
C.1.66 D.1.77
2.方程x2＋4x＋3＝0的两个根为(D)
A.x1＝1，x2＝3 B.x1＝－1，x2＝3
C.x1＝1，x2＝－3 D.x1＝－1，x2＝－3
3.关于x的方程x2＋4kx＋2k2＝4的一个解是－2，则k的值为(B)
A.2或4 B.0或4
C.－2或0 D.－2或2
4.用配方法解方程x2－4x－1＝0时，配方后正确的是(C)
A.(x＋2)2＝3 B.(x＋2)2＝17
C.(x－2)2＝5 D.(x－2)2＝17
5.如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35 m、宽20 m的矩形.为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600 m2，则小道的宽为多少米 若设小道的宽为x m，则根据题意，列方程为(C)
A.35×20－35x－20x＋2x2＝600 B.35×20－35x－2×20x＝600
C.(35－2x)(20－x)＝600 D.(35－x)(20－2x)＝600
6.(2025·新疆)若关于x的一元二次方程x2－2x＋a＝0无实数根，则实数a的取值范围是(B)
A.a＜1 B.a＞1
C.a≤1 D.a≥1
7.(2025·苏州)已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2x－m＝0的两个实数根，其中x1＝1，则x2＝　　－3　　.
8.(2025·绥化)已知m，n是关于x的一元二次方程x2－2 025x＋1＝0的两个根，则(m＋1)(n＋1)＝　　2 027　　.
9.(2024·重庆A卷)随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增.该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是　　10%　　.
10.(2025·山东)若关于x的一元二次方程x2＋4x－m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是　　m＞－4　　.
11.解方程：x(x－7)＝8(7－x).
解：x(x－7)＋8(x－7)＝0.
(x－7)(x＋8)＝0.
x1＝7，x2＝－8.
12.已知关于x的一元二次方程x2－(2m＋1)x＋m2＋m＝0.
(1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
(2)设该方程的两个实数根为a，b，若(2a＋b)(a＋2b)＝20，求m的值.
(1)证明：∵Δ＝[－(2m＋1)]2－4(m2＋m)＝1＞0，
∴无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根.
(2)解：∵x2－(2m＋1)x＋m2＋m＝0的两个实数根为a，b，
∴a＋b＝2m＋1，ab＝m2＋m.
∵(2a＋b)(a＋2b)＝20，
∴2a2＋4ab＋2b2＋ab＝20.
∴2(a＋b)2＋ab＝20.
∴2(2m＋1)2＋m2＋m＝20.
∴m2＋m－2＝0.解得m＝1或m＝－2.
∴m的值为1或－2.
13.2021年7月1日是建党100周年纪念日，在该月日历表上可以用一个方框圈出4个数(如图所示)，若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数(请用方程知识解答).
解：设这个最小数为x，则最大数为(x＋8).
依题意，得x(x＋8)＝65.
整理得x2＋8x－65＝0.
解得x1＝5，x2＝－13(不合题意，舍去).
答：这个最小数为5.
14.(2025·威海)如图，某校有一块长20 m、宽14 m的矩形种植园.为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路(图中阴影部分).小路把种植园分成面积均为24 m2的9个矩形地块，请你求出小路的宽度.
解：设小路的宽度为x m，则9块矩形地块可合成长为
(20－4x)m，宽为(14－4x)m的矩形.
根据题意，得(20－4x)(14－4x)＝24×9.
整理，得2x2－17x＋8＝0.
解得x1＝，x2＝8(不符合题意，舍去).
答：小路的宽度为 m.
第8讲　一元一次不等式(组)及应用
1.y与2的差不大于0，用不等式表示为(D)
A.y－2＞0 B.y－2＜0
C.y－2≥0 D.y－2≤0
2.如果x＜y，那么下列不等式正确的是(A)
A.2x＜2y B.－2x＜－2y
C.x－1＞y－1 D.x＋1＞y＋1
3.(2023·广东)一元一次不等式组的解集为(D)
A.－1＜x＜4 B.x＜4
C.x＜3 D.3＜x＜4
4.(2025·吉林)不等式x－3＞2的解集为(A)
A.x＞5 B.x＜5
C.x＞－1 D.x＜－1
5.(2025·山西)不等式组的解集是(C)
A.x＜2 B.x≥3
C.2＜x≤3 D.无解
6.关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是(A)
A.－5≤m＜－4 B.－5＜m≤－4
C.－4≤m＜－3 D.－4＜m≤－3
7.(2024·广西)不等式7x＋5＜5x＋1的解集为　　x＜－2　　.
8.(2025·南充)不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是　　m≤3　　.
9.(2024·黑龙江)关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是　　－≤a＜0　　.
10.(2025·北京)解不等式组：
解：
解不等式①，得x＞－3.
解不等式②，得x＜1.
∴原不等式组的解集为－3＜x＜1.
11.当x取何正整数值时，代数式的值的差大于1
解：依题意，得＞1.
去分母，得3(x＋3)－2(2x－1)＞6.
去括号，得3x＋9－4x＋2＞6.
移项，得3x－4x＞6－2－9.
合并同类项，得－x＞－5.
系数化为1，得x＜5.
∴x取1，2，3，4.
12.(2024·江西)如图，书架宽84 cm，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚0.8 cm，每本语文书厚1.2 cm.
(1)数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本.
(2)如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本
解：(1)设书架上数学书有x本.
由题意，得0.8x＋1.2(90－x)＝84.
解得x＝60.
90－x＝30.
∴书架上有数学书60本，语文书30本.
(2)设数学书还可以摆m本.
根据题意，得1.2×10＋0.8m≤84.
解得m≤90.
∴数学书最多还可以摆90本.第二章　方程(组)与不等式(组)
第5讲　一次方程(组)及应用
1.若代数式x＋1的值为6，则x等于( )
A.5 B.－5
C.7 D.－7
2.方程组的解是( )
A.
3.已知的解，则a＋b的值是( )
A.－1 B.1
C.－5 D.5
4.(2025·山东)明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有3个头6只手的哪吒若干，有1个头8只手的夜叉若干，两方交战，共有36个头，108只手.问哪吒、夜叉各有多少 设哪吒有x个，夜叉有y个，则根据条件所列方程组为( )
A.
5.(2025·齐齐哈尔)神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”.为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车(两种客车都要租)，若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有( )
A.3种 B.4种
C.5种 D.6种
6.关于 x的方程x＋2＝2(x－1)的解为 .
7.已知是方程ax＋y＝2的解，则a的值为 .
8.某种商品每件的进价为120元，标价为180元.为了拓展销路，商店准备打折销售.若使利润率为20%，则商店应打 折.
9.解方程(组)：
(1)＝1；
(2)
10.(2025·湖北)某商店销售A，B两种水果.A水果标价14元/kg，B水果标价18元/kg.
(1)小明陪妈妈在这家商店按标价买了A，B两种水果共3 kg，合计付款46元.这两种水果各买了多少千克
(2)妈妈让小明再到这家商店买A，B两种水果，要求B水果比A水果多买1 kg，合计付款不超过50元.设小明买A水果m kg.
①若这两种水果按标价出售，求m的取值范围；
②小明到这家商店后，发现A，B两种水果正在进行优惠活动：A水果打七五折；一次购买B水果不超过1 kg不优惠，超过1 kg后，超过1 kg的部分打七五折(注：“打七五折”指按标价的75%出售).若小明合计付款48元，求m的值.
11.(2025·江西)某文物考古研究院用1∶1复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验.用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率如表：
类别 原材料 出酒率
粮食酒 粮食糟醅(含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水) 30%
芋头酒 芋头糟醅(含芋头、小曲和蒸馏水) 20%
如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍.
(1)求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅
(2)受限于当时的生产条件，古代青铜蒸馏器的出酒量约为现代复原品的80%.若粮食糟醅中大米占比约为，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少公斤大米
第6讲　分式方程及应用
1.(2024·德阳)分式方程的解是( )
A.3 B.2
C.
2.已知x＝2是分式方程＝1的解，那么实数k的值为( )
A.3 B.4
C.5 D.6
3.(2024·达州)甲、乙两人各自加工120个零件，甲由于个人原因没有和乙同时进行，乙先加工30 min后，甲开始加工.甲为了追赶上乙的进度，加工的速度是乙的1.2倍，最后两人同时完成.求乙每小时加工零件多少个 设乙每小时加工x个零件，可列方程为( )
A.
4.关于x的分式方程＝2有增根，则m的值为( )
A.2 B.1
C.3 D.－3
5.(2024·宜宾)分式方程－3＝0的解为 .
6.(2025·江西)小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6 000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1 000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费.设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为 .
7.(2024·牡丹江)若分式方程的解为正整数，则整数m的值为 .
8.(2025·连云港)解方程：.
9.如图，点A，B在数轴上，它们对应的数分别为－2，，且点A，B到原点的距离相等.求x的值.
10.(2025·自贡)去年暑假，小张和小李同学主动帮刘大爷掰玉米，他们各掰了36筐和30筐，两人劳动时间相同，小张平均每小时比小李多掰2筐，请问小李平均每小时掰玉米多少筐
11.(2025·扬州)某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的书签，已知甲款书签价格是乙款书签价格的倍，且用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个.求这两款书签的单价.
第7讲　一元二次方程及应用
1.观察下列表格，一元二次方程x2－x－1.1＝0的一个近似解是( )
x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
x2－x 0.11 0.24 0.39 0.56 0.75 0.96 1.19 1.44 1.71
A.1.11 B.1.55
C.1.66 D.1.77
2.方程x2＋4x＋3＝0的两个根为( )
A.x1＝1，x2＝3 B.x1＝－1，x2＝3
C.x1＝1，x2＝－3 D.x1＝－1，x2＝－3
3.关于x的方程x2＋4kx＋2k2＝4的一个解是－2，则k的值为( )
A.2或4 B.0或4
C.－2或0 D.－2或2
4.用配方法解方程x2－4x－1＝0时，配方后正确的是( )
A.(x＋2)2＝3 B.(x＋2)2＝17
C.(x－2)2＝5 D.(x－2)2＝17
5.如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35 m、宽20 m的矩形.为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600 m2，则小道的宽为多少米 若设小道的宽为x m，则根据题意，列方程为( )
A.35×20－35x－20x＋2x2＝600 B.35×20－35x－2×20x＝600
C.(35－2x)(20－x)＝600 D.(35－x)(20－2x)＝600
6.(2025·新疆)若关于x的一元二次方程x2－2x＋a＝0无实数根，则实数a的取值范围是( )
A.a＜1 B.a＞1
C.a≤1 D.a≥1
7.(2025·苏州)已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2x－m＝0的两个实数根，其中x1＝1，则x2＝ .
8.(2025·绥化)已知m，n是关于x的一元二次方程x2－2 025x＋1＝0的两个根，则(m＋1)(n＋1)＝ .
9.(2024·重庆A卷)随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增.该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是 .
10.(2025·山东)若关于x的一元二次方程x2＋4x－m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 .
11.解方程：x(x－7)＝8(7－x).
12.已知关于x的一元二次方程x2－(2m＋1)x＋m2＋m＝0.
(1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
(2)设该方程的两个实数根为a，b，若(2a＋b)(a＋2b)＝20，求m的值.
13.2021年7月1日是建党100周年纪念日，在该月日历表上可以用一个方框圈出4个数(如图所示)，若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，求这个最小数(请用方程知识解答).
14.(2025·威海)如图，某校有一块长20 m、宽14 m的矩形种植园.为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路(图中阴影部分).小路把种植园分成面积均为24 m2的9个矩形地块，请你求出小路的宽度.
第8讲　一元一次不等式(组)及应用
1.y与2的差不大于0，用不等式表示为( )
A.y－2＞0 B.y－2＜0
C.y－2≥0 D.y－2≤0
2.如果x＜y，那么下列不等式正确的是( )
A.2x＜2y B.－2x＜－2y
C.x－1＞y－1 D.x＋1＞y＋1
3.(2023·广东)一元一次不等式组的解集为( )
A.－1＜x＜4 B.x＜4
C.x＜3 D.3＜x＜4
4.(2025·吉林)不等式x－3＞2的解集为( )
A.x＞5 B.x＜5
C.x＞－1 D.x＜－1
5.(2025·山西)不等式组的解集是( )
A.x＜2 B.x≥3
C.2＜x≤3 D.无解
6.关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是( )
A.－5≤m＜－4 B.－5＜m≤－4
C.－4≤m＜－3 D.－4＜m≤－3
7.(2024·广西)不等式7x＋5＜5x＋1的解集为 .
8.(2025·南充)不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是 .
9.(2024·黑龙江)关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 .
10.(2025·北京)解不等式组：
11.当x取何正整数值时，代数式的值的差大于1
12.(2024·江西)如图，书架宽84 cm，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚0.8 cm，每本语文书厚1.2 cm.
(1)数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本.
(2)如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本

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