资源简介

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2025-2026人教版九年级数学期末专项训练
专题01 一元二次方程（高频考点归纳+解析+单元检测）
考点01 一元二次方程定义及一般形式
考点02 已知一元二次方程的解求参数
考点03 一元二次方程的解法
考点04 一元二次方程根的判别式
考点05一元二次方程根与系数的关系
考点06一元二次方程实际应用
考点01 一元二次方程定义及一般形式
一、单选题
1．（24-25九年级上·江苏南通·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·山西临汾·期末）关于的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
3．（24-25九年级上·北京东城·期末）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．2，1，5 B．2，1， C．2，0， D．2，0，5
4．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值应为（ ）
A． B．3 C． D．不能确定
5．（24-25九年级上·北京大兴·期末）若方程是关于 的一元二次方程，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点02 已知一元二次方程的解求参数
一、单选题
1．（24-25八年级下·北京通州·期末）如果是一元二次方程的一个根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·山东菏泽·期末）关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值是（ ）
A．0 B．2 C． D．2或
3（24-25九年级上·广东东莞·期末）已知是方程的根，则代数式的值为（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
二、填空题
4．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知关于x的方程的一个根为，那么关于x的方程的一个根为 ．
5．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如果关于x的一元二次方程有一个根为2000；那么方程必有一个根为 ．
6．（24-25九年级上·山西晋中·期末）若是方程的一个实数根，则代数式的值为 ．
7．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如果m是方程的一个根，则 ．
考点03 一元二次方程的解法
一、单选题
1．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·广东珠海·期末）用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25九年级上·山西大同·期末）一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个是，则另一个是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知满足，则（）
A． B． C．2 D．3
二、解答题
5．（24-25九年级下·北京房山·期末）用配方法解方程：．
6．（24-25·北京丰台·二模）解方程：．
7．（24-25九年级下·北京房山·期末）解方程：
(1)；
(2)．
8．（24-25九年级上·山西忻州·期末）解一元二次方程：
(1)；
(2)．
10．（24-25九年级上·山西晋中·期末）（）解方程：
（）下面是小刚同学和小颖同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读并完成相应的任务．
小刚同学：解：第一步第二步 第三步解得 第四步 小颖同学：解：第一步第二步 第三步或 第四步解得 第五步
任务一：
①小刚同学的解答过程中，从第______步开始出现错误，错误的原因是 ；
②小颖同学的解答过程中，从第______步开始出现错误，错误的原因是 ．
任务二：直接写出该一元二次方程的解．
11．（21-22九年级上·广东广州·期中）解方程：
(1)；
(2)．
12．（24-25八年级下·北京通州·期末）解方程：
(1)；
(2)．
13．（24-25八年级下·陕西西安·期末）解下列方程：
(1)
(2)
考点04 一元二次方程根的判别式
一、单选题
1．（24-25九年级上·山西太原·期末）课堂上，同学们围绕一元二次方程的根的情况展开讨论，其中一次项系数被遮挡，下面四位同学的观点中正确的是（ ）
A．无论“▲”为何值，该方程都有两个相等的实数根
B．无论“▲”为何值，该方程都有两个不相等的实数根
C．无论“▲”为何值，该方程都只有一个实数根
D．因为“▲”的值不确定，无法判定该方程有没有实数根
2．（24-25九年级上·山西晋中榆次·期末）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝3，解出其中一个根是．他核对时发现所抄的比原方程的值小2．则原方程的根的情况是（　　）
A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有一个根是x＝﹣1 D．有两个相等的实数根
3．（24-25九年级上·山西阳泉·期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
4．（24-25九年级上江苏·期末）若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
5．（24-25九年级上·山西江苏·期末）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
6．（2025·北京东城·一模）当关于的一元二次方程有两个不相等的实数根时，的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
二、填空题
7．（24-25八年级下·江苏南通·期末）已知，是两个不相等的实数，且满足：，则的取值范围是 ．
考点05一元二次方程根与系数的关系
一、单选题
1．（24-25九年级上·山西北京·期末）如果方程的三根可作为一个三角形的三边之长，则实数m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
2．（24-25八年级下·江苏南通·期末）若，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ．
3．（24-25八年级下·江苏·期末）设m，n分别为方程的两个实数根，则 ．
三、解答题
4．（22-23九年级上·湖北武汉·阶段练习）阅读材料：
材料1：一元二次方程（，）的两根，有如下的关系（韦达定理）：，
材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决.下面介绍两种基本构造方法：
方法1：利用根的定义构造.例如，如果实数、满足、，且，则可将、看作是方程的两个不相等的实数根.
方法2：利用韦达定理逆向构造.例如，如果实数、满足、，则可以将、看作是方程的两实数根.
根据上述材料解决下面问题：
(1)已知实数、满足、，求的值.
(2)已知实数、、满足、，且，求的最大值.
5．（24-25八年级下·北京·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求实数的取值范围；
(2)设，是方程的两个根且，求的值．
6．（24-25九年级上·北京丰台·期末）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根；
(2)若该方程的两个实数根的积为3．求k的值．
考点06一元二次方程实际应用
一、单选题
1．（24-25九年级上·北京海淀·期末）把长为2 m的绳子分成两段，使较长一段的长的平方等于较短一段的长与原绳长的积．设较长一段的长为x m，依题意，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
2．（24-25八年级下·北京顺义·期末）某学校要举办数学节，向全校学生征集数学节设计．如图，王博同学设计的矩形长，宽，为了使这个更美观，他要给添加一个边框，边框上、下、左、右的宽度相等，且添加边框后的整个图形的面积为，求边框的宽．
16．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）端午节是我国的传统节日．粽子是端午节的美食之一，粽子寓意着丰收和平安．某商店在端午节来临之前，去当地的批发市场订购赤豆粽和肉丁粽两种进行试销．已知肉丁粽的单价是赤豆粽单价的2倍，用1600元购进肉丁粽的数量比用700元购进赤豆粽的数量多50个．
(1)赤豆粽和肉丁粽的单价分别是多少？
(2)若该商店把肉丁粽以6元/个销售时，那么半个月可以售出200个．根据销售经验，把肉丁粽的单价每提高2元，销量会相应减少40个．将售价定为多少元时，才能既让利于顾客，又使半个月销售肉丁粽获得的利润为540元？
3．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）根据以下素材，探索完成任务1和任务2：
主题：奶茶销售方案制定问题
当下年轻人喜欢喝奶茶，在入夏之际某奶茶品牌店推出水果茶“满杯杨梅”．
素材1 经统计，该奶茶店5月份的“满杯杨梅”水果茶销售量为杯，月份的销售量为杯；
素材2 为了去库存，决定月份对“满杯杨梅”作降价促销，已知该水果茶的成本为每杯元．当每杯售价元时，月销售量杯，经试验，发现该款水果茶每降价元，月销售量就会增加杯．
问题解决
任务1 确定水果茶的销售量月平均增长率 该店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？
任务2 拟定降价幅度 为了使该店8月份“满杯杨梅”的利润达到元，该款水果茶应该降价多少元？
4．（24-25九年级上·山西晋中·期末）综合与实践
项目主题：劳动基地扩建方案
项目背景：学校计划扩建某劳动基地，综合实践活动小组以设计“劳动基地扩建方案”为主题开展了一次项目学习．
信息获取：
信息1，如图，原劳动基地为矩形，的长为，的长为；
信息2，如图，扩建后的新劳动基地仍为矩形，的最大长度为，的最大长度为．
问题解决：
(1)若新劳动基地的面积为，且，求和的长．
(2)当时，新劳动基地的面积可以为吗？请说明理由．
5．（24-25九年级上·山西晋中·期末）项目化学习
项目主题：探究土地规划与销售利润问题．
项目背景：山西中药材资源得天独厚，素有“北药”之称，其中恒山黄芪更是中国国家地理标志产品．药农李伯新得一块土地，计划用来种植黄芪，某校学习小组以“探究土地规划与销售利润问题”为主题开展项目学习．
驱动任务：按种植需求探索合理的土地规划方案；按预期利润制定合理售价．
收集数据：
素材1 如图，药农李伯有一块土地，若连接，则土地被分为矩形和菱形．
素材2 调查市场上与李伯所种植的同品相的黄芪，发现当黄芪售价为50元/斤时，每月能售出500斤，销售单价每上涨1元，月销售量就减少10斤，已知该品相黄芪的平均成本价为40元/斤．
解决问题：
(1)因种植技术需要，李伯想用一条直线把这块土地分成面积相等的两部分，请你帮李伯进行土地规划，保留作图痕迹，不需要说明理由；
(2)为维护市场，该品相黄芪的销售单价不得低于药商的收购价62元，若要使销售黄芪的月利润达到8000元，李伯应将销售单价定为多少元？
6．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）近年来以创建省级文旅示范村为契机，某村大力发展文旅产业，先后投资建设了“村农场体验”，“甜瓜采摘基地”，“水上童话梦工厂”，“亲子研学”等文旅项目．这些项目不仅为本村和周边群众提供了就近务工机会，而且使本村经济得到快速增长．据悉，2024年此村集体经济收益从2022年的1000万元升至1210万元．
(1)求此村从2022年到2024年这两年，集体经济收入的年平均增长率
(2)该村还积报创新农业发展模式．在“大棚经济”上做文章．培养特色高效农业，使大棚产业成为农民增收致富的“一把金钥匙”．由于条件适宜，该村种植了甜瓜、西红柿等大棚果蔬．2024年五月份，甜瓜成熟并开始采摘销售，若每千克盈利10元，每天可售出．经市场调查发现，若每千克涨价1元，日销售量就减少．该大棚基地要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，每千克甜瓜应涨价多少元？
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．方程中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别为（ ）
A．5、 B．5、3 C．、3 D．、
2．关于的一元二次方程的根为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．已知关于x的二次三项式的部分对应值如表：
据此可估计关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．村“”是指乡村篮球赛，近年来，村“”在多地火爆开展，已发展成为一项全国性赛事．经过层层筛选，主办方最终确定了参赛队伍，并在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知整个小组赛阶段共比赛110场，则参加比赛的球队有（ ）
A．9支 B．10支 C．11支 D．12支
5．用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（ ）
A． B．
C． D．
6．若关于的方程化成一般形式后不含有的一次项，则的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
7．在2025年跳水世界杯女子十米台单人赛中，中国队包揽冠亚军．某商场为宣传体育精神，计划在如图所示的长，宽的矩形海报上分别展示全红婵和陈芋汐两位运动健儿的照片，每幅小矩形照片（灰色部分）的面积均为，若海报外沿与照片之间及相邻照片之间的空白区域的宽度均相等，则空白区域的宽度是（ ）
A． B． C． D．
8．在解方程时，对方程进行配方，对于甲、乙两人的做法，说法正确的是（　　）
甲
乙
A．两人都正确 B．甲正确，乙不正确
C．甲不正确，乙正确 D．两人都不正确
9．为了迎接清明小长假，某月季大观园准备分三个阶段扩大月季新品种种植面积，第一阶段已实现新品种的种植目标，三个阶段共实现的种植目标．设第二、三阶段月季新品种种植面积的平均增长率为，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以每秒1个单位长度的速度移动，点Q从点C出发向终点A以每秒2个单位长度的速度移动，P，Q两点同时出发，其中一点先到达终点时，P，Q两点同时停止移动．则当的面积等于4时，经过了（ ）
A．1秒 B．4秒 C．6秒 D．1秒或4秒
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．若实数x满足方程，则x的值为
12．“少年强，则国强”，为丰富学生的校园文化生活，激发学生参与体育运动的积极性，某校组织了学生篮球赛，共有若干支队伍报名参赛．参赛的每两支队伍之间都要进行一场比赛，受场地和时间限制，每天都安排4场比赛，赛程持续7天．则参赛队伍共有 支．
13．新定义运算：，例如，则方程的解为 ．
14．如图，点阵的层数用表示，点的总个数用表示，当时，
15．如图是一张长为40 cm，宽为20 cm的长方形硬纸板，将其在四个直角处分别剪去一个边长为的正方形和中间的一个正方形，剩余部分（阴影部分）可制作两个大小完全相等且体积均为的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计），则的值为 ．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（10分）解方程．
(1)
(2)
17．（7分）阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题．
解：移项得，①两边同除以2得，②配方得，③即，或④⑤
(1)上述解题过程有误，错在步骤___________（填序号），错误的原因是___________；
(2)请你写出正确的解答过程．
18．（8分）某水果批发商销售一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价元，日销售量将减少10千克．
(1)若该水果每千克涨价2元，则每天售出水果的利润为_____元．
(2)如果该水果批发商要保证每天盈利6000元，同时又让顾客得到实惠，那么该水果每千克应涨价多少元？
19．（9分）观察下列一元二次方程，并回答问题：
第1个方程：，方程的两个根分别是．
第2个方程：，方程的两个根分别是．
第3个方程：，方程的两个根分别是．
第4个方程：，方程的两个根分别是．
……
(1)请按照此规律写出一元二次方程的两个根，分别是___________．
(2)定义：如果关于的一元二次方程满足．那么我们称这样的方程为“归零方程”
①一元二次方程（填“是”或“不是”）“归零方程”；
②试说明“归零方程”有实数根．
(3)已知关于的方程是“归零方程”，且是这个“归零方程”的一个根，求的值．
20．（7分）第七届山西文化产业博览交易会上，首次亮相的唐代木构建筑毛绒玩具，将佛光寺释迦塔、南禅寺等唐代古建拟人化为“萌物”，让文物走进大众视野．某礼品店新购进一批古建毛绒玩具，采用多种方式进行宣传、促销．
信息收集：试销期间，该礼品店某款古建毛绒玩具销售情况如下表：
每周销量 80个
每个盈利 16元
市场调研结果 售价每下降1元，一周可多销售10个
问题解决：为让利于顾客，礼品店决定降价销售这款古建毛绒玩具．根据试销信息，要想使该礼品店每周销售此款玩具的盈利为1440元，每件玩具应降价多少元？
21．（9分）下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：二次系数化为1，得……第一步移项，得……第二步配方，得，即……第三步由此，可得……第四步所以，……第五步
任务一：填空：
①上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是 ，其中，“配方法”所依据的数学公式是 ；
②“第二步”变形的数学依据是 ；
③小明同学解题过程中，从第 步开始出现错误，并直接写出正确的结果 ．
任务二：请你运用“配方法”解一元二次方程：．
22．（12分）综合与实践
问题情境：在数学实践课上，老师让同学们就长方体收纳盒的制作展开了讨论．
如图1，长方形纸板的长为，宽为，将其纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折叠成一个如图2所示的有盖的长方体收纳盒，和恰好重合且无重叠部分．
解决问题：设收纳盒的高为．
(1)收纳盒底面的边_____cm，_____cm．（用含的代数式表示）
(2)若收纳盒底面的面积为，求该收纳盒的高．
(3)收纳盒底面的面积可以是吗？若可以，求出收纳盒的高；若不能，请说明理由．
23．（13分）综合与探究
问题情境：
如图，在中，，，，动点D从点A出发，以的速度向点C移动，同时动点E从点C出发，以的速度向点B移动，设它们的运动时间为．
猜想证明：
（1）当点D，E都运动时，的长可以是吗？如果可以，请求出t的值；如果不可以，请说明理由．
拓展延伸：
（2）当时，求四边形的面积．
（3）直接写出当t为何值时，的面积等于四边形的面积的．
2025-2026人教版九年级数学期末专项训练
专题01 一元二次方程（高频考点归纳+解析+单元检测）
考点01 一元二次方程定义及一般形式
考点02 已知一元二次方程的解求参数
考点03 一元二次方程的解法
考点04 一元二次方程根的判别式
考点05一元二次方程根与系数的关系
考点06一元二次方程实际应用
考点01 一元二次方程定义及一般形式
一、单选题
1．（24-25九年级上·江苏南通·期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
【详解】A：是一元二次方程，故本选项符合题意；
B：是二元二次方程，故本选项不符合题意；
C：是二元一次方程，故本选项不符合题意；
D：当时，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．（24-25九年级上·山西临汾·期末）关于的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】D
【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式及各项系数概念即可求解，掌握一元二次方程的一般形式的各项系数概念是关键．
【详解】解：变形可得，
关于的一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为，，，
故选：D．
3．（24-25九年级上·北京东城·期末）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．2，1，5 B．2，1， C．2，0， D．2，0，5
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式．根据一元二次方程的一般形式：（，，是常数且）中，叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可．
【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，1，．
故选：B．
4．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值应为（ ）
A． B．3 C． D．不能确定
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．
【详解】解：由关于的方程是一元二次方程，得
且．
解得．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
5．（24-25九年级上·北京大兴·期末）若方程是关于 的一元二次方程，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义，得到关于a的不等式，解之即可.
【详解】解：∵方程是关于 的一元二次方程，
∴的系数不为0，即，
∴，
故答案为：B.
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键.
考点02 已知一元二次方程的解求参数
一、单选题
1．（24-25八年级下·北京通州·期末）如果是一元二次方程的一个根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先把的值代入方程即可得到一个关于的方程，解一元一次方程即可．
【详解】解：把代入方程得：，
解得．
故选：A．
2．（24-25九年级上·山东菏泽·期末）关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值是（ ）
A．0 B．2 C． D．2或
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根的定义即使得方程左右两边相等的未知数的值．根据一元二次方程的根的定义代入计算即可．
【详解】解：因为一元二次方程有一个根是0，
所以，
解得．
故选：C．
3（24-25九年级上·广东东莞·期末）已知是方程的根，则代数式的值为（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
【答案】B
【分析】本题考查了求代数式的值，一元二次方程的解，由a是方程的一个根，得到，则，然后利用整体代入求值即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵a是方程的一个根，
∴
∴，
∴，
故选：B．
二、填空题
4．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知关于x的方程的一个根为，那么关于x的方程的一个根为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据，得，再结合关于x的方程的一个根为，得出关于的方程的一个根为，故，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∵关于x的方程的一个根为，
∴关于的方程的一个根为，
∴，
即关于x的方程的一个根为，
故答案为：
5．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如果关于x的一元二次方程有一个根为2000；那么方程必有一个根为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，正确计算是解题的关键．对于一元二次方程，设得到，利用有一个根为得到，从而可判断一元二次方程必有一根为．
【详解】解∶对于一元二次方程，设，
∴，
而关于的一元二次方程有一根为，
∴有一个根为，
则，
解得，
∴一元二次方程有一根为．
故答案为∶
6．（24-25九年级上·山西晋中·期末）若是方程的一个实数根，则代数式的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值，由一元二次方程的根的定义得，再代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键．
【详解】解：∵是方程的一个实数根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
7．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如果m是方程的一个根，则 ．
【答案】4
【分析】本题考查一元二次方程的解．将m代入，进而移项即可求得答案．此题的关键在于理解方程根的概念，并能灵活运用代数变形来求解目标表达式的值，而不必先解出根的精确值．在处理类似问题时，识别方程与目标表达式之间的联系，通过直接代换或变形来求解，可以快速准确地找到答案．
【详解】解：m是方程的一个根，
当时，有，
．
故答案为：4．
考点03 一元二次方程的解法
一、单选题
1．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
利用移项，添项，构成完全平方式进行整理即可．
【详解】解：
故选：B．
2．（24-25九年级上·广东珠海·期末）用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了解一元二次方程 配方法，利用此方法解方程时，首先将方程常数项移到右边，未知移到左边，二次项系数化为1，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个非负常数，开方即可求出解．
【详解】解：，即，
方程两边同时加1，可得，即，
故选：B．
3．（24-25九年级上·山西大同·期末）一元二次方程可转化为两个一元一次方程，其中一个是，则另一个是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，两边直接开平方即可得．
【详解】解：，
或，
故选：D．
4．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）已知满足，则（）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题考查了代数式求值，配方法的应用，非负数的性质，将变形，然后根据非负数的性质和式子的结果，可以求出的值，再代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：，
，
，，
∴当时，，
解得：，
，
故选：B．
二、解答题
5．（24-25九年级下·北京房山·期末）用配方法解方程：．
【答案】
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键．先将变形为，再利用完全平方公式配方为，再求解即可得．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
所以方程的解为．
6．（24-25·北京丰台·二模）解方程：．
【答案】，
【分析】本题考查解一元二次方程，利用公式法解方程即可，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
∴，
解得，．
7．（24-25九年级下·北京房山·期末）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键．
（1）先将方程变形为，再利用直接开平方法解方程即可得；
（2）利用公式法解方程即可得．
【详解】（1）解：，
，
，
，
或，
所以方程的解为．
（2）解：方程中的，
方程根的判别式为，方程有两个不相等的实数根，
所以方程的解为，
即．
8．（24-25九年级上·山西忻州·期末）解一元二次方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，；
(2)，．
【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等．
（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）利用公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
移项得，
配方得，即，
∴或，
∴，；
（2）解：，
，，，
，
，
，．
10．（24-25九年级上·山西晋中·期末）（）解方程：
（）下面是小刚同学和小颖同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读并完成相应的任务．
小刚同学：解：第一步第二步 第三步解得 第四步 小颖同学：解：第一步第二步 第三步或 第四步解得 第五步
任务一：
①小刚同学的解答过程中，从第______步开始出现错误，错误的原因是 ；
②小颖同学的解答过程中，从第______步开始出现错误，错误的原因是 ．
任务二：直接写出该一元二次方程的解．
【答案】（）；（）任务一：①二，方程两边同时除以可能为的代数式；②三，去括号时，括号前面是负号，中的没有变号；任务二：，
【分析】（）利用因式分解法解答即可求解；
（）任务一：①根据等式的性质即可判断求解；②根据去括号法则即可判断求解；
任务二：利用因式分解法解方程即可求解；
本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【详解】解：（）∵，
∴，
∴或，
∴，；
（）任务一：①小刚同学的解答过程中，从第二步开始出现错误，错误的原因是方程两边同时除以可能为的代数式，
故答案为：二，方程两边同时除以可能为的代数式；
②小颖同学的解答过程中，从第三步开始出现错误，错误的原因是去括号时，括号前面是负号，中的没有变号，
故答案为：三；去括号时，括号前面是负号，中的没有变号
任务二：，
，
即，
或，
解得，．
11．（21-22九年级上·广东广州·期中）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是：
（1）把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可；
（2）把方程化为，再化为两个一次方程，进而解方程即可．
【详解】（1）解：，
则或，
解得；
（2）解：，
则或，
解得．
12．（24-25八年级下·北京通州·期末）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，；
(2)，．
【分析】本题主要考查了用因式分解法解一元二次方程．
利用提公因式法分解因式可得：，根据两数的乘积为，则这两个数中至少有一个为，可得两个一元一次方程：或，解两个一元一次方程即可求出原方程的解；
利用十字相乘法分解因式可得：：，根据两数的乘积为，则这两个数中至少有一个为，可得两个一元一次方程：或，解两个一元一次方程即可求出原方程的解．
【详解】（1）解：，
整理得：，
移项得：，
提公因式得：，
可得：或，
当时，可得：，
当时，可得：，
方程的解为，；
（2）解：，
分解因式得：，
可得：或，
当时，可得：，
当时，可得：，
方程的解为，．
13．（24-25八年级下·陕西西安·期末）解下列方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)，．
【分析】（1）先去分母，再解整式方程即可．
（2）利用因式分解法求解即可．
本题考查了分式方程的解法、因式分解法解一元二次方程，选择适当解方程的方法是解题的关键．
【详解】（1）解：∵
，
∴，
∴，
当时，，
故原方程的解为.
（2）解：∵，
∴，
解得，．
考点04 一元二次方程根的判别式
一、单选题
1．（24-25九年级上·山西太原·期末）课堂上，同学们围绕一元二次方程的根的情况展开讨论，其中一次项系数被遮挡，下面四位同学的观点中正确的是（ ）
A．无论“▲”为何值，该方程都有两个相等的实数根
B．无论“▲”为何值，该方程都有两个不相等的实数根
C．无论“▲”为何值，该方程都只有一个实数根
D．因为“▲”的值不确定，无法判定该方程有没有实数根
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．先计算出判别式得到，然后根据判别式的意义判断根的情况．
【详解】解：由，可知，
无论取何值，
一定有两个不相等的实数根．
故选：B
2．（24-25九年级上·山西晋中榆次·期末）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝3，解出其中一个根是．他核对时发现所抄的比原方程的值小2．则原方程的根的情况是（　　）
A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有一个根是x＝﹣1 D．有两个相等的实数根
【答案】A
【分析】首先利用已知的a、b，以及解出的一个根，求出c，再根据“所抄的比原方程的值小2”得出正确的c值，最终利用根的判别式判断根的情况即可．
【详解】解：小刚在解关于的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是，
，
解得：，
故原方程中，
则，
则原方程的根的情况是不存在实数根．
故选：A．
【点睛】本题重点考查的是一元二次方程中根的判别式的应用，熟练掌握一元二次方程中的运算，以及判别式的运用是解题的关键．
3．（24-25九年级上·山西阳泉·期末）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】B
【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴的取值范围是且，
故选：．
4．（24-25九年级上江苏·期末）若一元二次方程有实数解，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】D
【分析】由于关于的一元二次方程有实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可知，且，据此列不等式求解即可．
【详解】解：由题意得，，且，
解得，，且.
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．
5．（24-25九年级上·山西江苏·期末）已知关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【分析】根据一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解法结合已知条件进行分析解答即可.
【详解】∵关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有两个实数根，
∴△=，解得：，
又∵m为正整数，
∴m=1或2或3，
（1）当m=1时，原方程为x2+2x-1=0，此时方程的两根均不为整数，故m=1不符合要求；
（2）当m=2时，原方程为x2+2x=0，此时方程的两根分别为0和-2，符合题中要求；
（3）当m=3时，原方程为x2+2x+1=0，此时方程的两根都为1，符合题中要求；
∴ m=2或m=3符合题意，
∴m的所有符合题意的正整数取值的和为：2+3=5.
故选B.
【点睛】读懂题意，熟知“在一元二次方程中，若方程有两个实数根，则△=”是解答本题的关键.
6．（2025·北京东城·一模）当关于的一元二次方程有两个不相等的实数根时，的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式进行求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴且，
故选：C．
二、填空题
7．（24-25八年级下·江苏南通·期末）已知，是两个不相等的实数，且满足：，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了根的判别式的应用、一元一次不等式的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意构造出一元二次方程是关键．依据题意，由，可得，进而，故可看作方程的两个解，则，进而可以判断得解．
【详解】解：∵，
．
得，，即；
得，，即．
可看作方程的两个解．
是两个不相等的实数，
．
．
故答案为：．
考点05一元二次方程根与系数的关系
一、单选题
1．（24-25九年级上·山西北京·期末）如果方程的三根可作为一个三角形的三边之长，则实数m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】方程的三根是一个三角形三边的长，则方程有一根是1，即方程的一边是1，另两边是方程的两个根，根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．则方程的两个根设是和，一定是两个正数，且一定有，结合根与系数的关系，以及根的判别式即可确定m的范围．
【详解】解：∵方程有三根，
∴，有根，方程的，得．
又∵原方程有三根，且为三角形的三边和长．
∴有，，而已成立；
当时，两边平方得：．
即：．解得．
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了根与系数的关系和三角形三边关系，利用了：①一元二次方程的根与系数的关系，②根的判别式与根情况的关系判断，③三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
二、填空题
2．（24-25八年级下·江苏南通·期末）若，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了根与系数的关系，根据，是方程的两个实数根，得出，，，再将所求代数式变形，整体代入求值即可．
【详解】解：根据题意得：，，，
，
．
故答案为：2．
3．（24-25八年级下·江苏·期末）设m，n分别为方程的两个实数根，则 ．
【答案】2035
【分析】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是根据方程的解的定义得出，求出，根据根与系数的关系得出，变形后代入，即可求出答案．
【详解】解：、分别为方程的两个实数根，
，
，
、分别为方程的两个实数根，
，
∴，
故答案为：2035．
三、解答题
4．（22-23九年级上·湖北武汉·阶段练习）阅读材料：
材料1：一元二次方程（，）的两根，有如下的关系（韦达定理）：，
材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决.下面介绍两种基本构造方法：
方法1：利用根的定义构造.例如，如果实数、满足、，且，则可将、看作是方程的两个不相等的实数根.
方法2：利用韦达定理逆向构造.例如，如果实数、满足、，则可以将、看作是方程的两实数根.
根据上述材料解决下面问题：
(1)已知实数、满足、，求的值.
(2)已知实数、、满足、，且，求的最大值.
【答案】(1)或 2；
(2)1；
【分析】（1）当 时，、是方程的两根，利用根与系数的关系可求得 和 的值， 然后利用整体代入的方法计算原式的值；当 时，易得原式 ；
（2）将 、看作是方程的两实数根，利用判别式的意义得到，所以，解得 ，从而得到 的最大值；
【详解】（1）解：当 时，
∵实数 、满足 ，，
∴、可看作方程 的两根，
原式，
当 ， 则原式 ；
综上所述，原式的值为 或 2 ；
（2）∵，
∴将 、看作是方程得两实数根；
而
即
c的最大值为1．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若 是一元二次方程的两根时，，也考查了判别式的意义
5．（24-25八年级下·北京·期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求实数的取值范围；
(2)设，是方程的两个根且，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数关系、解一元二次方程、解一元一次不等式等知识，熟练掌握一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数关系是解题的关键．
（1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根得到关于m的不等式，即可求出答案；
（2）根据根与系数关系得到，代入，解关于m的一元二次方程，并根据（1）确定m的值，求解即可．
【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：；
（2）解：∵，是方程的两个根，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，
∵，
∴．
6．（24-25九年级上·北京丰台·期末）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个不相等的实数根；
(2)若该方程的两个实数根的积为3．求k的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系及根的判别式．
（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出，进而即可证出：方程总有两个不相等的实数根；
（2）用根与系数的关系列式求得的值即可．
【详解】（1）证明：∵，
即，
∴该方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：设方程的两根为、，
利用根与系数的关系得：，
解得：．
考点06一元二次方程实际应用
一、单选题
1．（24-25九年级上·北京海淀·期末）把长为2 m的绳子分成两段，使较长一段的长的平方等于较短一段的长与原绳长的积．设较长一段的长为x m，依题意，可列方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意依据较长一段的长的平方等于较短一段的长与原绳长的积建立方程即可得出答案.
【详解】解：设较长一段的长为x m，则较短一段的长为（2-x ）m，
由题意得：.
故选：A.
【点睛】本题考查一元二次方程的实际运用，根据题意找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．
二、解答题
2．（24-25八年级下·北京顺义·期末）某学校要举办数学节，向全校学生征集数学节设计．如图，王博同学设计的矩形长，宽，为了使这个更美观，他要给添加一个边框，边框上、下、左、右的宽度相等，且添加边框后的整个图形的面积为，求边框的宽．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设边框的宽为，根据添加边框后的整个图形的面积为建立方程，解方程即可得．
【详解】解：设边框的宽为，
由题意得：，
解得：或（不符合题意，舍去），
答：边框的宽为．
16．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）端午节是我国的传统节日．粽子是端午节的美食之一，粽子寓意着丰收和平安．某商店在端午节来临之前，去当地的批发市场订购赤豆粽和肉丁粽两种进行试销．已知肉丁粽的单价是赤豆粽单价的2倍，用1600元购进肉丁粽的数量比用700元购进赤豆粽的数量多50个．
(1)赤豆粽和肉丁粽的单价分别是多少？
(2)若该商店把肉丁粽以6元/个销售时，那么半个月可以售出200个．根据销售经验，把肉丁粽的单价每提高2元，销量会相应减少40个．将售价定为多少元时，才能既让利于顾客，又使半个月销售肉丁粽获得的利润为540元？
【答案】(1)赤豆粽的单价是2元，肉丁粽的单价是4元
(2)7元
【分析】（1）设赤豆粽的单价是x元，则肉丁粽的单价是元，根据用1600元购进肉丁粽的数量比用700元购进赤豆粽的数量多50个，列出分式方程，解方程即可；
（2）设肉丁粽的售价为m元，则销量为个，根据使半个月销售肉丁粽获得的利润为540元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
本题考查了一元二次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
【详解】（1）解：设赤豆粽的单价是x元，则肉丁粽的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的根，且符合题意，
，
答：赤豆粽的单价是2元，肉丁粽的单价是4元；
（2）解：设肉丁粽的售价为m元，则半个月的销量为个，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：将售价定为7元时，才能既让利于顾客，又使半个月销售肉丁粽获得的利润为540元．
3．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）根据以下素材，探索完成任务1和任务2：
主题：奶茶销售方案制定问题
当下年轻人喜欢喝奶茶，在入夏之际某奶茶品牌店推出水果茶“满杯杨梅”．
素材1 经统计，该奶茶店5月份的“满杯杨梅”水果茶销售量为杯，月份的销售量为杯；
素材2 为了去库存，决定月份对“满杯杨梅”作降价促销，已知该水果茶的成本为每杯元．当每杯售价元时，月销售量杯，经试验，发现该款水果茶每降价元，月销售量就会增加杯．
问题解决
任务1 确定水果茶的销售量月平均增长率 该店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？
任务2 拟定降价幅度 为了使该店8月份“满杯杨梅”的利润达到元，该款水果茶应该降价多少元？
【答案】任务1：该店“满杯杨梅”月份到月份销售量的月平均增长率是
任务2：应该降价元
【分析】任务1：设该店“满杯杨梅”月份到月份销售量的月平均增长率是根据该奶茶店月份的“满杯杨梅”水果茶销售量为杯，月份的销售量为杯，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；
任务2：设该款水果茶应该降价元，则每杯的利润为元，月销售量为杯，根据为了使该店月份“满杯杨梅”的利润达到元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可．
【详解】任务1：设该店“满杯杨梅”月份到月份销售量的月平均增长率是，
根据题意得：，
解得：，(不符合题意，舍去)．
答：该店“满杯杨梅”5月份到月份销售量的月平均增长率是；
任务2：设该款水果茶应该降价元，则每杯的利润为元，月销售量为杯，
根据题意得：，
整理得：，
解得：(不符合题意，舍去)．
答：应该降价元．
4．（24-25九年级上·山西晋中·期末）综合与实践
项目主题：劳动基地扩建方案
项目背景：学校计划扩建某劳动基地，综合实践活动小组以设计“劳动基地扩建方案”为主题开展了一次项目学习．
信息获取：
信息1，如图，原劳动基地为矩形，的长为，的长为；
信息2，如图，扩建后的新劳动基地仍为矩形，的最大长度为，的最大长度为．
问题解决：
(1)若新劳动基地的面积为，且，求和的长．
(2)当时，新劳动基地的面积可以为吗？请说明理由．
【答案】(1)的长为，的长为
(2)不可以，见解析
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）依题意，先设，结合的长为，的长为，且新劳动基地的面积为，且，进行列式，解出方程，即可作答．
（2）依题意，先设，则，因为新劳动基地的面积可以为，故，再结合的最大长度为，的最大长度为进行作答即可．
【详解】（1）解：设，
根据题意，得，
整理，得，
解得，（不合题意，舍去）；
，；
答：的长为，的长为；
（2）解：不可以，
理由：设，则，
根据题意，得，
整理，得，
解得，（不合题意，舍去），
当时，，不合题意，舍去，
当时，新劳动基地的面积不可以为．
5．（24-25九年级上·山西晋中·期末）项目化学习
项目主题：探究土地规划与销售利润问题．
项目背景：山西中药材资源得天独厚，素有“北药”之称，其中恒山黄芪更是中国国家地理标志产品．药农李伯新得一块土地，计划用来种植黄芪，某校学习小组以“探究土地规划与销售利润问题”为主题开展项目学习．
驱动任务：按种植需求探索合理的土地规划方案；按预期利润制定合理售价．
收集数据：
素材1 如图，药农李伯有一块土地，若连接，则土地被分为矩形和菱形．
素材2 调查市场上与李伯所种植的同品相的黄芪，发现当黄芪售价为50元/斤时，每月能售出500斤，销售单价每上涨1元，月销售量就减少10斤，已知该品相黄芪的平均成本价为40元/斤．
解决问题：
(1)因种植技术需要，李伯想用一条直线把这块土地分成面积相等的两部分，请你帮李伯进行土地规划，保留作图痕迹，不需要说明理由；
(2)为维护市场，该品相黄芪的销售单价不得低于药商的收购价62元，若要使销售黄芪的月利润达到8000元，李伯应将销售单价定为多少元？
【答案】(1)见解析
(2)李伯应将销售单价定为80元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，矩形和菱形的性质，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键．
（1）连接，交于点O，连接，交于点N，连接即为所求；
（2）设黄芪的销售单价定为元，则每斤的销售利润为元，月销售量为斤，根据题意列出一元二次方程求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求作．
（2）设黄芪的销售单价定为元，则每斤的销售利润为元，月销售量为斤．
根据题意，得．
整理，得．
所以．
解得（不符合题意，舍去），．
答：李伯应将销售单价定为80元．
6．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）近年来以创建省级文旅示范村为契机，某村大力发展文旅产业，先后投资建设了“村农场体验”，“甜瓜采摘基地”，“水上童话梦工厂”，“亲子研学”等文旅项目．这些项目不仅为本村和周边群众提供了就近务工机会，而且使本村经济得到快速增长．据悉，2024年此村集体经济收益从2022年的1000万元升至1210万元．
(1)求此村从2022年到2024年这两年，集体经济收入的年平均增长率
(2)该村还积报创新农业发展模式．在“大棚经济”上做文章．培养特色高效农业，使大棚产业成为农民增收致富的“一把金钥匙”．由于条件适宜，该村种植了甜瓜、西红柿等大棚果蔬．2024年五月份，甜瓜成熟并开始采摘销售，若每千克盈利10元，每天可售出．经市场调查发现，若每千克涨价1元，日销售量就减少．该大棚基地要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，每千克甜瓜应涨价多少元？
【答案】(1)集体经济收入的年平均增长率为10%
(2)每千克甜瓜应涨价5元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设此村从2022年到2024年集体经济收入的年平均增长率为x，即可得出关于x的一元二次方程，再求解即可；
（2）设每千克甜瓜应涨价y元，则每天可售出千克，根据总利润每千克的利润销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】（1）解：设此村从2022年到2024年集体经济收入的年平均增长率为x，
，
解之得(不合题意，舍去)，
答∶集体经济收入的年平均增长率为；
（2）解：设每千克甜瓜应涨价y元，
，
解之得，
∵要使顾客得到实惠，
∴，
答∶每千克甜瓜应涨价5元．
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．方程中二次项系数为1，一次项系数、常数项分别为（ ）
A．5、 B．5、3 C．、3 D．、
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解一元二次方程的定义是解答关键．
根据一元二次方程的一般表达式(是常数且)中，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项来求解．
【详解】解：方程中二次项系数为1，一次项系数是5，常数项为．
故选：A．
2．关于的一元二次方程的根为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据题意可得或即可解答．
【详解】解：，
或，
解得．
故选：C．
3．已知关于x的二次三项式的部分对应值如表：
据此可估计关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，根据表格数据得到时，，时，进行求解，即可解题．
【详解】解：依题意， 时，，
时，，
关于x的一元二次方程的一个根的取值范围为，
故选：B．
4．村“”是指乡村篮球赛，近年来，村“”在多地火爆开展，已发展成为一项全国性赛事．经过层层筛选，主办方最终确定了参赛队伍，并在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知整个小组赛阶段共比赛110场，则参加比赛的球队有（ ）
A．9支 B．10支 C．11支 D．12支
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
每个队与其他队都要进行主、客场比赛，即每两个队之间要进行两场比赛，设有支球队，比赛场次共有场，再根据共有110场比赛活动来列出方程，从而求解．
【详解】解：设有x支球队参加，
依题意得，，
解得：，（舍去）
∴共有11支球队参加比赛．
故选：C．
5．用配方法解一元二次方程，此方程可变形为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查用配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的步骤，将方程化为完全平方式．
通过移项、配方的步骤，将给定的一元二次方程转化为完全平方式，从而得出答案．
【详解】解：，
移项得，
，
，
故选：D．
6．若关于的方程化成一般形式后不含有的一次项，则的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键；将方程化为一般形式，根据不含一次项的条件，令一次项系数为零求解即可．
【详解】解：把方程化为一般形式为，
∵方程不含一次项，
∴一次项系数，
解得，
∴ ，
故选B．
7．在2025年跳水世界杯女子十米台单人赛中，中国队包揽冠亚军．某商场为宣传体育精神，计划在如图所示的长，宽的矩形海报上分别展示全红婵和陈芋汐两位运动健儿的照片，每幅小矩形照片（灰色部分）的面积均为，若海报外沿与照片之间及相邻照片之间的空白区域的宽度均相等，则空白区域的宽度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握该知识点是解题的关键．设宽度为，可知两幅照片可以合并成长为，宽为的长方形，然后根据题意列出方程，解出答案即可．
【详解】解：设宽度为，
，
解得（舍去），
故选：B．
8．在解方程时，对方程进行配方，对于甲、乙两人的做法，说法正确的是（　　）
甲
乙
A．两人都正确 B．甲正确，乙不正确
C．甲不正确，乙正确 D．两人都不正确
【答案】A
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程的步骤，掌握其步骤是解题的关键．
根据配方法的基本步骤，分别验证甲和乙的解题过程是否正确．甲保持二次项系数并调整方程后进行配方，而乙通过将二次项系数化为1后进行配方，两种方法均符合配方法的原理．
【详解】解：甲的解法：
原方程变形为，
两边乘以3，得，
配方，得，即，
步骤正确，结果符合配方法要求；
乙的解法：
原方程变形为，
两边除以3，得，
配方，得，即，
步骤正确，结果符合配方法要求，
综上，两人均正确应用配方法，
故答案为：A．
9．为了迎接清明小长假，某月季大观园准备分三个阶段扩大月季新品种种植面积，第一阶段已实现新品种的种植目标，三个阶段共实现的种植目标．设第二、三阶段月季新品种种植面积的平均增长率为，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是理解平均增长率的意义．
第一阶段已实现的种植目标为，第二阶段需实现的种植目标为，第三阶段需实现的种植目标为，由此可解．
【详解】解：由题意得：第一阶段已实现的种植目标为，
第二阶段实现的种植目标为，
第三阶段实现的种植目标为，
∴三个阶段共实现的种植目标为，
故选：D．
10．如图，中，，，，点P从点B出发向终点C以每秒1个单位长度的速度移动，点Q从点C出发向终点A以每秒2个单位长度的速度移动，P，Q两点同时出发，其中一点先到达终点时，P，Q两点同时停止移动．则当的面积等于4时，经过了（ ）
A．1秒 B．4秒 C．6秒 D．1秒或4秒
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设运动时间为秒，则，，求出，再根据得出，求解即可，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键．
【详解】解：设运动时间为秒，
由题意得：，，
∴，
∴，
解得：或，
∵，
∴，
∴，
∴当的面积等于4时，经过了1秒，
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．若实数x满足方程，则x的值为
【答案】0或3
【分析】本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程，把方程变形为，求解即可得出答案．
【详解】解：
，
则或，
解得：或，
故答案为：0或3．
12．“少年强，则国强”，为丰富学生的校园文化生活，激发学生参与体育运动的积极性，某校组织了学生篮球赛，共有若干支队伍报名参赛．参赛的每两支队伍之间都要进行一场比赛，受场地和时间限制，每天都安排4场比赛，赛程持续7天．则参赛队伍共有 支．
【答案】
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键在于审清题意．根据题意，可得关系式为：球队总数每支球队需要比赛的场数总场数，把相关数值代入即可．
【详解】解：设参赛队伍共有x支，
由题意得，，
解得，或（舍去）．
答：参赛队伍共有支．
故答案为：．
13．新定义运算：，例如，则方程的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据新定义运算列方程并解方程是解题的关键．
由新定义得，解方程即可．
【详解】解：由新定义得：，
解得：．
故答案为：．
14．如图，点阵的层数用表示，点的总个数用表示，当时，
【答案】15
【分析】本题考查了图形类变化规律、一元二次方程的应用，找出点的总个数与点阵的层数之间的规律是解题的关键．根据题意可知当点阵有层时，点的总个数，再代入，求出的值即可解答．
【详解】解：当点阵有1层时，点的总个数，
当点阵有2层时，点的总个数为，
当点阵有3层时，点的总个数为，
当点阵有4层时，点的总个数为，
……
依此类推，当点阵有层时，点的总个数，
当时，则，
解得或（不符合题意，舍去），
∴．
故答案为：15．
15．如图是一张长为40 cm，宽为20 cm的长方形硬纸板，将其在四个直角处分别剪去一个边长为的正方形和中间的一个正方形，剩余部分（阴影部分）可制作两个大小完全相等且体积均为的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计），则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程方程的应用，
根据剪裁方法和长方形纸板的边长可得无盖长方体纸盒的边长，从而由其体积为列方程即可求解．
【详解】解：由图可知：中间的一个正方形的边长为，
∴无盖长方体纸盒的底面一边长为：，
另一边长为，
∴
解得：，
故答案为．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（10分）解方程．
(1)
(2)
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
（1）根据因式分解法即可求解；
（2）运用公式法求解即可．
【详解】（1）解： ，
，
∴或，
∴，．
（2）
，．
17．（7分）阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题．
解：移项得，①两边同除以2得，②配方得，③即，或④⑤
(1)上述解题过程有误，错在步骤___________（填序号），错误的原因是___________；
(2)请你写出正确的解答过程．
【答案】(1)③；只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加
(2)，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．
（1）根据解一元二次方程的基本步骤，进行判定即可；
（2）用配方法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：上述解题过程有误，错在步骤③，错误的原因是只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加；
（2）解：解：，
移项得，，
两边同除以2得，，
配方得，，
即，，
∴或，
∴，．
18．（8分）某水果批发商销售一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价元，日销售量将减少10千克．
(1)若该水果每千克涨价2元，则每天售出水果的利润为_____元．
(2)如果该水果批发商要保证每天盈利6000元，同时又让顾客得到实惠，那么该水果每千克应涨价多少元？
【答案】(1)5520
(2)5
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据每天盈利元列出一元二次方程．
（1）用单个的利润乘销售量得出每天售出水果的利润即可；
（2）总盈利每千克盈利销售量，利用总利润为6000元得到方程后求解即可．
【详解】（1）解：
（元），
答：该水果每千克涨价2元，则每天售出水果的利润为5520元．
（2）解：设每千克应涨价元，根据题意得：
，
解得：，，
要使顾客得到实惠，
，
答：每千克应涨价5元．
19．（9分）观察下列一元二次方程，并回答问题：
第1个方程：，方程的两个根分别是．
第2个方程：，方程的两个根分别是．
第3个方程：，方程的两个根分别是．
第4个方程：，方程的两个根分别是．
……
(1)请按照此规律写出一元二次方程的两个根，分别是___________．
(2)定义：如果关于的一元二次方程满足．那么我们称这样的方程为“归零方程”
①一元二次方程（填“是”或“不是”）“归零方程”；
②试说明“归零方程”有实数根．
(3)已知关于的方程是“归零方程”，且是这个“归零方程”的一个根，求的值．
【答案】(1)
(2)①是，②见解析
(3)
【分析】本题主要考查一元二次方程的根的规律，“归零方程”的定义，理解新定义以及解二次方程是解题的关键．
（1）根据规律直接写出结果即可；
（2）①观察即可；
②由“归零方程”的定义，可得，代入判别式并化简，证明其非负即可说明；
（3）利用“归零方程”的定义和已知条件，联立关于m的方程求解即可．
【详解】（1）根据题意，得到方程的根为，
的根为，
故答案为：；
（2）①，一元二次方程是“归零方程”，
故答案为：是；
②，
，
，
“归零方程”有实数根．
（3）是“归零方程”，
，
，
．
是这个“归零方程”的一个根，
，
解得．
20．（7分）第七届山西文化产业博览交易会上，首次亮相的唐代木构建筑毛绒玩具，将佛光寺释迦塔、南禅寺等唐代古建拟人化为“萌物”，让文物走进大众视野．某礼品店新购进一批古建毛绒玩具，采用多种方式进行宣传、促销．
信息收集：试销期间，该礼品店某款古建毛绒玩具销售情况如下表：
每周销量 80个
每个盈利 16元
市场调研结果 售价每下降1元，一周可多销售10个
问题解决：为让利于顾客，礼品店决定降价销售这款古建毛绒玩具．根据试销信息，要想使该礼品店每周销售此款玩具的盈利为1440元，每件玩具应降价多少元？
【答案】4元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意列方程求解是关键．设每件玩具应降价x元，则此款玩具的销售价格为元，销量为个，即可列方程求解．
【详解】解：设每件玩具应降价x元，
由题意，得，
解得，
答：每件玩具应降价4元．
21．（9分）下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：二次系数化为1，得……第一步移项，得……第二步配方，得，即……第三步由此，可得……第四步所以，……第五步
任务一：填空：
①上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是 ，其中，“配方法”所依据的数学公式是 ；
②“第二步”变形的数学依据是 ；
③小明同学解题过程中，从第 步开始出现错误，并直接写出正确的结果 ．
任务二：请你运用“配方法”解一元二次方程：．
【答案】任务一：转化；完全平方公式（或填）；②等式的基本性质（或等式两边同时加上（或减去）同一个整式，所得结果仍是等式）；③三；，；任务二：，
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握配方法，是解题的关键：
任务一：①根据转化思想，完全平方公式进行作答即可；②根据等式的基本性质，进行作答即可；③第三步方程两边应该同时加1，而不是4，求出正确结果即可；
任务二：利用配方法的步骤解方程即可．
【详解】解：任务一：①体现的数学思想是转化；“配方法”所依据的数学公式为完全平方公式（或填）．
②变形依据为等式的基本性质（或等式两边同时加上（或减去）同一个整式，所得结果仍是等式）；
③第三步出现错误，方程两边应同时加1；
配方，得，即，
由此，可得，
∴，；
任务二：
解：，
，
，
，
，
，
或，
，．
22．（12分）综合与实践
问题情境：在数学实践课上，老师让同学们就长方体收纳盒的制作展开了讨论．
如图1，长方形纸板的长为，宽为，将其纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折叠成一个如图2所示的有盖的长方体收纳盒，和恰好重合且无重叠部分．
解决问题：设收纳盒的高为．
(1)收纳盒底面的边_____cm，_____cm．（用含的代数式表示）
(2)若收纳盒底面的面积为，求该收纳盒的高．
(3)收纳盒底面的面积可以是吗？若可以，求出收纳盒的高；若不能，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)该收纳盒的高为
(3)不能，理由见解析
【分析】本题考查了与图形有关的一元二次方程的应用，理解题意并列出一元二次方程是关键；
（1）由图知，的长度是长方形纸板的宽减去两个高的差，的长度是长方形纸板的长减去两个高的差的一半；
（2）由（1）所求结合长方形面积公式即可列出一元二次方程，求解即可；
（3）由（1）所求结合长方形面积公式即可列出一元二次方程，求解即可．
【详解】（1）解：，，
故答案为：；．
（2）解：根据题意，得．
整理得，
解得（不合题意，舍去）．
答：该收纳盒的高为．
（3）解：收纳盒底面的面积不可以是．
理由：假设收纳盒底面的面积可以是，
则有，
整理得，
解得．
，
，
显然两个解均不符合题意，
收纳盒底面的面积不可以是．
23．（13分）综合与探究
问题情境：
如图，在中，，，，动点D从点A出发，以的速度向点C移动，同时动点E从点C出发，以的速度向点B移动，设它们的运动时间为．
猜想证明：
（1）当点D，E都运动时，的长可以是吗？如果可以，请求出t的值；如果不可以，请说明理由．
拓展延伸：
（2）当时，求四边形的面积．
（3）直接写出当t为何值时，的面积等于四边形的面积的．
【答案】（1）不可以，理由见解析；（2）；（3）或
【分析】本题考查一元二次方程的应用、勾股定理，理解题意，正确列出方程是解答的关键．
（1）根据路程速度时间，结合勾股定理列方程，再根据一元二次方程解的情况可求解；
（2）先根据路程速度时间求得，，然后利用求解即可；
（3）根据题意可得面积等于面积的，进而列方程求解即可．
【详解】解：（1）当点D，E都运动时，的长不可以是，理由：
由题意，，，则
在中，由勾股定理得，
整理，得，
∵，
∴该方程无实数根，
故当点D，E都运动时，的长不可以是；
（2）当时，，，
∴，
∵，
∴；
（3）∵的面积等于四边形的面积的，
∴面积等于面积的，
∴，
即，
整理，得，
解得，．
答：当t为或时，的面积等于四边形的面积的．
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