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2025-2026人教版九年级数学期末专项训练
专题02 一元二次方程易错点详解（易错点归纳+易错题型解析+巩固提高）
一元二次方程是初中数学的核心内容，也是考试中容易出错的地方。为了帮助你避开这些“陷阱”，梳理了五大易错类型，并附上典型错解和正解分析，助你巩固掌握。
下面这个表格先帮你快速了解这些易错类型的核心问题所在。
易错类型 核心问题 关键提醒
忽视一元二次方程的定义 忽略二次项系数 的隐含条件。 见到“一元二次方程”几个字，第一反应就是确认 。
解方程过程中出错 配方错误；方程两边同除以含未知数的代数式导致漏根。 配方时，等式两边要同时加上一次项系数一半的平方；移项提公因式是避免漏根的好方法。
判别式应用错误 用判别式或韦达定理前，忽略 的前提。 使用判别式注意二次项系数不为0，使用韦达定理前，必须确认方程有实根。
根与系数关系应用错误 使用韦达定理时，未考虑判别式非负的条件。 使用韦达定理前，必须确认方程有实根。
实际应用问题考虑不周 解方程后，未检验根的合理性（如人数为正数、满足三角形三边关系等）。 解出根后，一定要代入原题情境，检验是否满足实际意义和所有隐含条件。
1.忽视一元二次方程的定义
这是最基础的错误，也是高频易错点。解题时，必须时刻警惕 a 这个前提条件。
例1．当为何值时，方程是关于的一元二次方程？
典型错解：
解：由未知数最高次数为2，得
解得：
所以当时，方程是关于的一元二次方程
错因分析：
忽略了二次项系数 。当m= -1时，二次项系数为0，方程不再是一元二次方程。
正确解法
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程，一元二次方程的一般形式下，注意二次项系数不等于零是解题的关键．
直接根据一元二次方程的定义列方程求解即可．
【详解】解：根据题意，得且．
解，得，
解，得，
所以．
所以当时，原方程是关于的一元二次方程．
针对练习1
1．关于的方程是一元二次方程，则（ ）
A． B． C． D．
2．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 ．
3．关于的方程是一元二次方程，则 ．
2. 解方程过程中出错
解方程的方法选择不当或步骤错误，会导致结果错误或漏根。
例2．解下列方程：
(1)；
(2)．
典型错解：
解：(1)；
移项得：x2+4x=8
配方 x2+4x+4=8
整理得：（x+2）2 =8
所以：x+2=
X1=2-2 x2=-2-2
(2)
方程两边直接除以（x+3）得：
X+3=1-x
解得：x=-1
错因分析:
(1)忽略了配方时方程两边同时加上4，左边加上4，右边没有加，导致错误
(2) 方程两边只能除以一个不为零的代数式。直接除以（x+3），忽略了其可能为0的情况，造成漏根。
正确解法：
【答案】(1)，
(2)，．
【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，解题方法多样，关键在于熟练掌握解一元二次方程的步骤，第（2）题要特别注意先进行移项使方程右边为零．
（1）根据配方法求解即可；
（2）先移项，使方程右边为零，然后将方程左边进行因式分解，使分解后的两个一次因式分别为零，即可解答．
【详解】（1）解：整理得，
配方得，即，
开方得，
解得，；
（2）解：整理得，
因式分解得，即可，
则或，
解得，．
针对练习 2
1．若，则的值为 ．
2．用适当的方法解方程：．
3．解下列方程：
(1)；
(2)．
4．（1）解方程：；
（2）下面是小聪同学用配方法解方程的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题．
解：移项，得，①
二次项系数化为1，得，②
配方，得，即，③
由此可得，④
，．⑤
整个解答过程从第_______步开始出现错误，错误的原因是_______，请给出正确的解题过程．
5．用配方法解方程∶
3.判别式应用错误
涉及方程根的情况讨论时，必须考虑判别式，并且要注意二次项系数不为0。
例3：关于 的方程 mx2+(2m-1)x+1=0有实数根，求 m的取值范围。
典型错解：
∵ 方程有实根，∴(2m-1)2-4m ，
解得 m。
错因分析：忽略了二次项系数m可能为0的情况。当m=0时，方程变为一元一次方程 ，它同样有实数根 。
正确解法：
需分类讨论：① 当m=0时，方程有实根；
② 当m时，需满足(2m-1)2-4m。即：m且m。
最后综合两种情况求并集
综上所述当m时 ，关于 的方程 mx2+(2m-1)x+1=0有实数根
针对练习3
1．关于的一元二次方程有实数解，则的取值范围为 ．
2．若关于的方程有两个实数根，则所满足的条件是 ．
3．已知关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
4．若关于x的一元二次方程有实根，则k的取值范围是 ．
5．已知关于的方程（是实数）
(1)求证：该方程有两个不相等的实数根；
(2)如果一个等腰三角形的一条边长为7，且另外两条边长分别是该方程的两个实数根，求这个等腰三角形的周长．
4.根与系数关系（韦达定理）应用错误
韦达定理的使用有一个大前提：方程必须有实数根，即 b2-4ac。
例4．已知：关于的一元二次方程有两个实数根，．若，求的值．
典型错解：
由韦达定理，，，
∵，
∴，整理得，
解得：，，
所以：，，
错因分析：
此解法未验证当m=-3 时，方程是否有实根。代入验证得 ，方程无实根，因此结论错误。
正确解法:
在利用韦达定理得到含参数m的表达式后，必须加上约束条件b2-4ac0“方程有两实根”，即 ，先求出m的有效取值范围，再在此范围内求表达式的取值范围
【答案】的值为．
【分析】此题考查了一元二次方程的根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的两个根为，，则，．利用根与系数的关系，，然后代入求解即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得：；
∵关于的一元二次方程有两个实数根，，
∴，，
∵，
∴，整理得，
解得：，，
∵，
∴，
∴的值为．
针对练习4
1．关于的方程的两个根的平方和是，则的值是（ ）
A．或6 B．2 C．6 D．
2．已知关于的方程的两个实数根的平方和为，求的值．
3．已知、是关于的方程的两个实数根，且，求的值．
4．已知关于的方程．设方程的两实根为，．
(1)当时，求的值；
(2)是否存在值使方程的两个根为一个矩形的两邻边长，且矩形的对角线长为？请通过计算说明．
5．解答下列问题：
(1)方程的两个实数根分别为，，求的值；
(2)若、是关于的方程的两个实数根且，求的值．
5.实际应用问题考虑不周
列方程解决实际问题时，解出的根必须符合实际情境。
例5．某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费．
(1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示）
(2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少．
月份 用电量/度 交电费总数/元
2月 80 25
3月 45 10
典型错解：
（2）解∶2月份用电量超过x度，依题意得
x（80－x）＝25－10．
整理得x2－80x＋1500＝0．
解这个方程得x1＝30，x2＝50．
所以x度为30度、50度
答：电厂规定的x度为30度或50度．
错因分析
然解方程正确，但未考虑3月份用电量45度，交电费10元，电厂规定超过45度，所以x=30不符合题意。
因此，需要检查解是否满足所有实际条件（如边长非负、几何图形存在等）。
正确解法：
解出根后，一定要代入原题情境进行检验，舍去不符合实际意义的根。
【答案】(1)x（90－x）元
(2)50度
【分析】（1）根据题意可得用电90度超过了规定度数（90－x）度，再由超过部分按每度元交电费，即可求解；
（2）根据题意可得2月份用电量超过x度，列出方程，再由3月份用电45度只交电费10元，可得x≥45，即可求解．
【详解】（1）解：∵规定用电x度，
∴用电90度超过了规定度数（90－x）度，
∵超过部分按每度元交电费，
∴超过部分应交的电费为x（90－x）元．
（2）解∶2月份用电量超过x度，依题意得
x（80－x）＝25－10．
整理得x2－80x＋1500＝0．
解这个方程得x1＝30，x2＝50．
根据题意得：3月份用电45度只交电费10元，
∴电厂规定的x≥45，
∴x1＝30不合题意，舍去．
∴x＝50．
答：电厂规定的x度为50度．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
针对练习5
1．（1）在禽流感即将来临前，某农场主计划建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙，墙长25m，其它三面用建筑材料围建，中间也用建筑材料建一道墙隔成两间饲养室，并在如图所示的两处各留1m宽的门．已知建筑材料总长52m（不包括门，不考虑墙厚度）
①设的长为，用含x的代数式表示的长；
②若建成的饲养室总占地面积为时，求AB的长；
（2）假设有一只鸡得了禽流感，未及时采取防治措施，经过两天传染后，共有64只鸡受到感染，求一只鸡平均每天传染了几只鸡？（直接写出答案）
2．如图，学校为美化环境，准备用总长为的篱笆，在靠墙的一侧设计一块矩形花圃，其中墙长，花圃三边外围用篱笆围起，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．若花圃的面积为，求花圃的一边的长；
3．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？
4．某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示，其中，另外每天还需支付其他各项费用80元．
销售单价x（元）
销售量y（袋） 280 120
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若要每天获得160元的利润，销售单价为多少元？
5．已知：如图所示，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．P，Q分别从A，B同时出发，当P、Q两点中有一点到达终点，则停止运动．
(1)_______秒后，的长度等于；
(2)几秒后，四边形的面积等于？
(3)在运动过程中，是否存在这样的时刻，使以P为圆心，为半径的圆正好经过点Q？若存在，求出运动时间，若不存在，请说明理由．
6．“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒．
(1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼；
(2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？
7．月日，重庆在除夕夜举行了首届重庆都市艺术节跨年焰火表演，以跨年整点焰火的形式辞旧迎新，为感受喜庆、热烈的现场氛围，甲、乙两人从各自家前往朝天门广场观看焰火表演、由于当晚观看焰火表演的人较多，甲先将车开到距离自己家千米的停车场后，再步行千米到达目的地，共花了小时，此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的倍．
(1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？
(2)乙先将车开到停车场后，再步行前往目的地，总路程为千米，此期间，已知乙开车的平均速度比甲开车的平均速度快千米/小时，乙开车时间比甲开车时间少小时；乙步行的平均速度比甲步行的平均速度快千米/小时，乙步行了小时后到达目的地，求的值．
8．北京时间2025年8月25日凌晨，WTT欧洲大满贯瑞典站女单决赛，孙颖莎战胜王曼昱，夺得WTT欧洲大满贯瑞典站女单冠军．趁此机会，某班举行乒乓球赛，球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），如图是小米和小诚对比赛总场数的统计．
(1)小诚的说法有道理吗？请通过计算说明；
(2)赛后经查询，小米的统计正确．因为有一人身体不适，参加4场比赛后中途退赛，求原来有多少人参加比赛．
1．已知关于x的方程 是一元二次方程，求 m的值．
2．若关于x的方程是一元二次方程，求m的值．
3．解方程
(1)
(2)
4．解下列方程
(1)；
(2)
5．如果关于的方程没有实数根，试判断关于的方程的根的情况．
6．已知关于x的方程．
(1)若该方程有一根为2，求a的值及方程的另一根；
(2)当a为何值时，方程的根仅有唯一的值？求出此时a的值．
7．如果关于的一元二次方程有实数根，
(1)求的取值范围；
(2)若分别是一元二次方程的两个实数根，是否存在实数，使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
8．关于的方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若方程的一个实数根是另一个实数根的倍，求的值．
9．国庆假期成都市某景区吸引了各地游客前来参观，据统计，假期第一天景区的游客人数为5000人次，第三天游客人数达到7200人次．
(1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率；
(2)据悉，景区附近商店推出了旅游纪念章，每个纪念章的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个，为了尽快减少库存，商店决定降价销售．市场调查发现，售价每降低3元，平均每天可多售出600个，若要使每天销售旅游纪念章获利2800元，则售价应调整为多少元？
10．某风景区的旅游信息如下表：
旅游人数 收费标准
不超过30人 人均收费800元
超过30人 每增加1人，人均收费降低10元，但人均收费不低于550元．
(1)一个25人的老年团去该风景区旅游共需支付_____元；
(2)某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付旅行费用29250元．请求出参加这次旅游的人数．
2025-2026人教版九年级数学期末专项训练
专题02 一元二次方程易错点详解（易错点归纳+易错题型解析+巩固提高）(解析版)
一元二次方程是初中数学的核心内容，也是考试中容易出错的地方。为了帮助你避开这些“陷阱”，梳理了五大易错类型，并附上典型错解和正解分析，助你巩固掌握。
下面这个表格先帮你快速了解这些易错类型的核心问题所在。
易错类型 核心问题 关键提醒
忽视一元二次方程的定义 忽略二次项系数 的隐含条件。 见到“一元二次方程”几个字，第一反应就是确认 。
解方程过程中出错 配方错误；方程两边同除以含未知数的代数式导致漏根。 配方时，等式两边要同时加上一次项系数一半的平方；移项提公因式是避免漏根的好方法。
判别式应用错误 用判别式或韦达定理前，忽略 的前提。 使用判别式注意二次项系数不为0，使用韦达定理前，必须确认方程有实根。
根与系数关系应用错误 使用韦达定理时，未考虑判别式非负的条件。 使用韦达定理前，必须确认方程有实根。
实际应用问题考虑不周 解方程后，未检验根的合理性（如人数为正数、满足三角形三边关系等）。 解出根后，一定要代入原题情境，检验是否满足实际意义和所有隐含条件。
1.忽视一元二次方程的定义
这是最基础的错误，也是高频易错点。解题时，必须时刻警惕 a 这个前提条件。
例1．当为何值时，方程是关于的一元二次方程？
典型错解：
解：由未知数最高次数为2，得
解得：
所以当时，方程是关于的一元二次方程
错因分析：
忽略了二次项系数 。当m= -1时，二次项系数为0，方程不再是一元二次方程。
正确解法
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程，一元二次方程的一般形式下，注意二次项系数不等于零是解题的关键．
直接根据一元二次方程的定义列方程求解即可．
【详解】解：根据题意，得且．
解，得，
解，得，
所以．
所以当时，原方程是关于的一元二次方程．
针对练习1
1．关于的方程是一元二次方程，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
方程为一元二次方程，需满足最高次项为二次且二次项系数非零，据此计算求解即可．
【详解】解：由于方程是一元二次方程，
则最高次项次数：，且二次项系数，
方程，解得或，
不等式，解得，
因此，
故答案为：D．
2．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查一元二次方程的定义及解一元二次方程，理解一元二次方程的定义是解题关键．
根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数且未知数的最高次数是2次的整式方程），求m的值，注意二次项的系数不为0．
【详解】解：∵是一元二次方程，
，
解得：，
又，
，
∴，
故答案为：．
3．关于的方程是一元二次方程，则 ．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义可得：未知数的最高次数为，且二次项系数不为零．解题的关键是掌握：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数的整式方程，叫做一元二次方程．
【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴且，
∴且，
∴．
故答案为：．
2. 解方程过程中出错
解方程的方法选择不当或步骤错误，会导致结果错误或漏根。
例2．解下列方程：
(1)；
(2)．
典型错解：
解：(1)；
移项得：x2+4x=8
配方 x2+4x+4=8
整理得：（x+2）2 =8
所以：x+2=
X1=2-2 x2=-2-2
(2)
方程两边直接除以（x+3）得：
X+3=1-x
解得：x=-1
错因分析:
(1)忽略了配方时方程两边同时加上4，左边加上4，右边没有加，导致错误
(2) 方程两边只能除以一个不为零的代数式。直接除以（x+3），忽略了其可能为0的情况，造成漏根。
正确解法：
【答案】(1)，
(2)，．
【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，解题方法多样，关键在于熟练掌握解一元二次方程的步骤，第（2）题要特别注意先进行移项使方程右边为零．
（1）根据配方法求解即可；
（2）先移项，使方程右边为零，然后将方程左边进行因式分解，使分解后的两个一次因式分别为零，即可解答．
【详解】（1）解：整理得，
配方得，即，
开方得，
解得，；
（2）解：整理得，
因式分解得，即可，
则或，
解得，．
针对练习 2
1．若，则的值为 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查运用换元法解一元二次方程，通过设元法，令，将原方程转化为关于的一元二次方程，求解并根据非负性确定合理值．
【详解】解：设，则原方程化为，即．
解该方程，判别式，
所以，
得,．
由于，故舍去，
因此．
故答案为：2．
2．用适当的方法解方程：．
【答案】，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，再利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得，．
3．解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有：直接开方法、配方法、公式法、分解因式法．
用分解因式法解一元二次方程；
用配方法解一元二次方程．
【详解】（1）解：，
移项得：，
分解因式得：，
解得：，；
（2）解：，
方程两边同时除以得：，
移项得：，
配方得：，
分解因式得：，
两边同时开方得：，
解得：，．
4．（1）解方程：；
（2）下面是小聪同学用配方法解方程的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题．
解：移项，得，①
二次项系数化为1，得，②
配方，得，即，③
由此可得，④
，．⑤
整个解答过程从第_______步开始出现错误，错误的原因是_______，请给出正确的解题过程．
【答案】(1) , ；(2) ③，等号右边没有加上1，正确过程见解析
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键．
（1）利用因式分解法解方程即可；
（2）利用配方法解一元二次方程的步骤求解判断即可．
【详解】解：（1）
或
∴, ；
（2）解：整个解答过程从第③步开始出现错误，错误的原因是等号右边没有加上1，
正确的解题过程：
解：移项，得，
二次项系数化为1，得，
配方，得，即，③
由此可得，④
，．
5．用配方法解方程∶
【答案】，
【分析】本题考查配方法解一元二次方程，根据配方法的步骤，一除，二移，三配，四变形，进行求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
解得，．
3.判别式应用错误
涉及方程根的情况讨论时，必须考虑判别式，并且要注意二次项系数不为0。
例3：关于 的方程 mx2+(2m-1)x+1=0有实数根，求 m的取值范围。
典型错解：
∵ 方程有实根，∴(2m-1)2-4m ，
解得 m。
错因分析：忽略了二次项系数m可能为0的情况。当m=0时，方程变为一元一次方程 ，它同样有实数根 。
正确解法：
需分类讨论：① 当m=0时，方程有实根；
② 当m时，需满足(2m-1)2-4m。即：m且m。
最后综合两种情况求并集
综上所述当m时 ，关于 的方程 mx2+(2m-1)x+1=0有实数根
针对练习3
1．关于的一元二次方程有实数解，则的取值范围为 ．
【答案】且
【分析】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式等知识点．根据根的判别式列不等式再结合二次项系数不为零是解题的关键．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴且，
解得：且．
故答案为：且．
2．若关于的方程有两个实数根，则所满足的条件是 ．
【答案】
且
【分析】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系．若一元二次方程有两个实数根，则判别式，建立关于m的不等式，求出m即可．
【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根，
∴且，
∴且，
解得且，
故答案为：且．
3．已知关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．根据一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式可得且，由此即可得．
【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴这个方程是关于的一元二次方程，且方程根的判别式，
∴且，
解得且，
故答案为：且．
4．若关于x的一元二次方程有实根，则k的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题考查一元二次方程有实根的条件和一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义以及根的判别式求解即可.
【详解】解：一元二次方程 有实根，
则 ，即 ，判别式 。
令 ，得 ，解得 。
则且,
故答案为：且.
5．已知关于的方程（是实数）
(1)求证：该方程有两个不相等的实数根；
(2)如果一个等腰三角形的一条边长为7，且另外两条边长分别是该方程的两个实数根，求这个等腰三角形的周长．
【答案】(1)见解析
(2)15
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，熟练掌握以上知识点是关键．
（1）根据根的判别式证明即可；
（2）先得出长为7的边只能为腰，即有一根为7，把代入方程求出，进而求出方程的解，再结合构成三角形的条件求解即可．
【详解】（1）证明：，
，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵等腰三角形的一条边长为7，且另外两条边长分别是该方程的两个实数根，方程有两个不相等的实数根，
∴长为7的边只能为腰，
∴有一根为7，
把代入，
，
解得：，
当时，方程为，
解得，
此时等腰三角形三边分别为1，7，7，，
∴此时能构成三角形，，
∴这个等腰三角形的周长为15；
当时，方程为，
解得，
此时三边分别为41，7，7，
∵，
∴此时不能构成三角形，不存在此三角形；
综上可知，这个等腰三角形的周长为15．
4.根与系数关系（韦达定理）应用错误
韦达定理的使用有一个大前提：方程必须有实数根，即 b2-4ac。
例4．已知：关于的一元二次方程有两个实数根，．若，求的值．
典型错解：
由韦达定理，，，
∵，
∴，整理得，
解得：，，
所以：，，
错因分析：
此解法未验证当m=-3 时，方程是否有实根。代入验证得 ，方程无实根，因此结论错误。
正确解法:
在利用韦达定理得到含参数m的表达式后，必须加上约束条件b2-4ac0“方程有两实根”，即 ，先求出m的有效取值范围，再在此范围内求表达式的取值范围
【答案】的值为．
【分析】此题考查了一元二次方程的根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的两个根为，，则，．利用根与系数的关系，，然后代入求解即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得：；
∵关于的一元二次方程有两个实数根，，
∴，，
∵，
∴，整理得，
解得：，，
∵，
∴，
∴的值为．
针对练习4
1．关于的方程的两个根的平方和是，则的值是（ ）
A．或6 B．2 C．6 D．
【答案】D
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，掌握相关知识是解决问题的关键．设方程的两根为，，根据根与系数的关系得，，利用 得到关于 的方程，解方程后验证判别式是否非负．
【详解】解：∵，，且 ，
∴，
即 ，
∴ ，
解得 或 ．
又∵ 方程有实数根，
∴ ．
当 时，， 舍去；
当 时，，
∴ ．
故选：D．
2．已知关于的方程的两个实数根的平方和为，求的值．
【答案】
【分析】本题考查根的判别式，根与系数的关系，根据根与系数的关系，结合两个实数根的平方和为，列出方程进行求解，再根据方程有实数根，进行验证即可．
【详解】解：设方程的两个实数根为，
∴，，
由题意，，
解得或；
当时，原方程化为，，符合题意；
当时，原方程化为，，不符合题意；
∴．
3．已知、是关于的方程的两个实数根，且，求的值．
【答案】
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系及判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
根据一元二次方程根与系数的关系（为二次项系数、为一次项系数），结合，进行计算解题即可．
【详解】解：由题意得：，
化简得
解得或
方程有两个实数根
解得
则不符合题意，舍去，
的值为．
答：的值为．
4．已知关于的方程．设方程的两实根为，．
(1)当时，求的值；
(2)是否存在值使方程的两个根为一个矩形的两邻边长，且矩形的对角线长为？请通过计算说明．
【答案】(1)
(2)不存在，说明见解析
【分析】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是熟记根与系数之间的关系公式，
（1）根据和求解即可；
（2）利用完全平方公式得到，建立关于的方程，进行求解，需要考虑的取值范围进行求解．
【详解】（1）解：根据题意得：，
．
又方程有两个实数根，
，即，
．
（2）解：假设存在这样的．则有：．
，，
．
解得，．
，即，且．
．
所以，不存在这样的的值．
5．解答下列问题：
(1)方程的两个实数根分别为，，求的值；
(2)若、是关于的方程的两个实数根且，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题主要考查一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，分式的求值，完全平方公式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
（1）根据根与系数的关系得到，而，整体代入求解即可；
（2）首先根据根的判别式求得的取值范围，然后由根与系数的关系得到，然后将变形为，然后整体代入求解即可．
【详解】（1）解：∵方程的两个实数根分别为，
，
；
（2）解：∵是关于的方程的两个实数根，
，
，
，
，
，
，
整理得，，
，
解得（舍去）或．
∴．
5.实际应用问题考虑不周
列方程解决实际问题时，解出的根必须符合实际情境。
例5．某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过度，那么这个月这户居民只交10元电费；如果超过度，这个月除了交10元电费外，超过部分按每度元交费．
(1)该厂某户居民1月份用电90度，超过了度的规定，试写出超过部分应交的电费．（用含的代数式表示）
(2)下表是这户居民2月、3月的用电情况，请根据其中的数据，求电厂规定的度是多少．
月份 用电量/度 交电费总数/元
2月 80 25
3月 45 10
典型错解：
（2）解∶2月份用电量超过x度，依题意得
x（80－x）＝25－10．
整理得x2－80x＋1500＝0．
解这个方程得x1＝30，x2＝50．
所以x度为30度、50度
答：电厂规定的x度为30度或50度．
错因分析
然解方程正确，但未考虑3月份用电量45度，交电费10元，电厂规定超过45度，所以x=30不符合题意。
因此，需要检查解是否满足所有实际条件（如边长非负、几何图形存在等）。
正确解法：
解出根后，一定要代入原题情境进行检验，舍去不符合实际意义的根。
【答案】(1)x（90－x）元
(2)50度
【分析】（1）根据题意可得用电90度超过了规定度数（90－x）度，再由超过部分按每度元交电费，即可求解；
（2）根据题意可得2月份用电量超过x度，列出方程，再由3月份用电45度只交电费10元，可得x≥45，即可求解．
【详解】（1）解：∵规定用电x度，
∴用电90度超过了规定度数（90－x）度，
∵超过部分按每度元交电费，
∴超过部分应交的电费为x（90－x）元．
（2）解∶2月份用电量超过x度，依题意得
x（80－x）＝25－10．
整理得x2－80x＋1500＝0．
解这个方程得x1＝30，x2＝50．
根据题意得：3月份用电45度只交电费10元，
∴电厂规定的x≥45，
∴x1＝30不合题意，舍去．
∴x＝50．
答：电厂规定的x度为50度．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
针对练习5
1．（1）在禽流感即将来临前，某农场主计划建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙，墙长25m，其它三面用建筑材料围建，中间也用建筑材料建一道墙隔成两间饲养室，并在如图所示的两处各留1m宽的门．已知建筑材料总长52m（不包括门，不考虑墙厚度）
①设的长为，用含x的代数式表示的长；
②若建成的饲养室总占地面积为时，求AB的长；
（2）假设有一只鸡得了禽流感，未及时采取防治措施，经过两天传染后，共有64只鸡受到感染，求一只鸡平均每天传染了几只鸡？（直接写出答案）
【答案】（1）①；②的长为 10 米；（2）一只鸡每天平均传染7只鸡
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据题意建立方程模型并求解．
（1）①根据建筑材料总长和门的宽度，结合矩形边长关系用含的代数式表示的长；②根据面积公式建立方程求解的长；
（2）根据传染问题的数量关系建立方程求解一只鸡平均每天传染的鸡的数量；
【详解】解：（1）①∵可建围墙（不包括门）的总长为52米，且边长为米，
∴边长为：；
②根据题意得：，
整理得：，
解得：，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：饲养室总占地面积能为 240 平方米，此时的长为 10 米；
（2）解：设每轮传染中1只鸡传染只鸡，则第一轮传染中有只鸡被传染，第二轮传染中有只鸡被传染，
依题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），
答：一只鸡每天平均传染7只鸡．
2．如图，学校为美化环境，准备用总长为的篱笆，在靠墙的一侧设计一块矩形花圃，其中墙长，花圃三边外围用篱笆围起，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．若花圃的面积为，求花圃的一边的长；
【答案】花圃的一边的长为
【分析】本题考查一元二次方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．设，则，根据花圃的面积为列方程，并保留符合实际意义的解即的长度不能超过墙的长度．
【详解】解：设，则，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意．
答：花圃的一边的长为
3．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？
【答案】(1)
(2)50
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可；
（2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可．
【详解】（1）解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得
解得，（不合题意，舍去）
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
（2）解：设该品牌头盔每个售价为y元，
依题意，得
整理，得
解得
因尽可能让顾客得到实惠
所以不合题意，舍去．
所以．
答：该品牌头盔每个售价应定为50元．
4．某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示，其中，另外每天还需支付其他各项费用80元．
销售单价x（元）
销售量y（袋） 280 120
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若要每天获得160元的利润，销售单价为多少元？
【答案】(1)
(2)销售单价为4元
【分析】（1）设，利用待定系数法解答即可；
（2）设售价为x元，根据题意，得，解方程即可；
本题考查了待定系数法求解析式，解一元二次方程，熟练掌握待定系数法，解方程是解题的关键．
【详解】（1）解：设，把时，；时，分别代入解析式，得，
解得，
故．
（2）解：设售价为x元，根据题意，得，
整理，得
解得，，
由，
故舍去，
答：每天获得160元的利润，销售单价为4元．
5．已知：如图所示，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．P，Q分别从A，B同时出发，当P、Q两点中有一点到达终点，则停止运动．
(1)_______秒后，的长度等于；
(2)几秒后，四边形的面积等于？
(3)在运动过程中，是否存在这样的时刻，使以P为圆心，为半径的圆正好经过点Q？若存在，求出运动时间，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)3
(2)1秒后，四边形的面积等于
(3)不存在；理由见解析
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用及勾股定理，解题的关键是理解题意；
（1）由题意易得，则有，然后根据勾股定理可建立方程进行求解；
（2）由题意易得，然后根据（1）可建立方程进行求解；
（3）由题意易得，然后根据勾股定理可建立方程，进而根据一元二次方程根的判别式可进行求解．
【详解】（1）解：设t秒后，的长度等于，由题意得：，则有，，
∴在中，由勾股定理可得：，
解得：（负根舍去），
故答案为3；
（2）解：设t秒后，四边形的面积等于，由题意得：，
整理得：，
解得：，（舍去），
答：1秒后，四边形的面积等于．
（3）解：不存在；理由如下：
设t秒后，以P为圆心，为半径的圆正好经过点Q，由题意得：，
整理得：，
，
方程无实数解，
不存在这样的时刻，使以P为圆心，为半径的圆正好经过点Q．
6．“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒．
(1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼；
(2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？
【答案】(1)甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼
(2)甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单
【分析】本题考查列方程（组）解应用题，找到等量关系列出方程（组）是解决问题的关键．
（1）设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼，根据题意找到两个等量关系列方程再求解即可；
（2）设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意列出方程求解并保留符合题意的整数解即可．
【详解】（1）解：设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼，
根据题意，得，
解得，
答：甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼；
（2）解：设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意，得
，
整理得，
解得，（不符合题意，舍去），
答：甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单．
7．月日，重庆在除夕夜举行了首届重庆都市艺术节跨年焰火表演，以跨年整点焰火的形式辞旧迎新，为感受喜庆、热烈的现场氛围，甲、乙两人从各自家前往朝天门广场观看焰火表演、由于当晚观看焰火表演的人较多，甲先将车开到距离自己家千米的停车场后，再步行千米到达目的地，共花了小时，此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的倍．
(1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？
(2)乙先将车开到停车场后，再步行前往目的地，总路程为千米，此期间，已知乙开车的平均速度比甲开车的平均速度快千米/小时，乙开车时间比甲开车时间少小时；乙步行的平均速度比甲步行的平均速度快千米/小时，乙步行了小时后到达目的地，求的值．
【答案】(1)甲开车的平均速度是千米/小时，步行的平均速度是千米/小时；
(2)．
【分析】（）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，根据甲先将车开到距离自己家千米的停车场后，再步行千米到达目的地，共花了小时．列出分式方程，解方程即可；
（）根据乙先将车开到停车场后，再步行前往目的地，总路程为千米．列出一元二次方程，解之取其正值即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程和一元二次方程．
【详解】（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：甲开车的平均速度是千米小时，步行的平均速度是千米小时；
（2）由（）可知，甲开车的时间为小时，则乙开车的时间为小时，
由题意可知，乙开车的速度为千米小时，乙步行的速度为千米小时，
由题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
答：的值为．
8．北京时间2025年8月25日凌晨，WTT欧洲大满贯瑞典站女单决赛，孙颖莎战胜王曼昱，夺得WTT欧洲大满贯瑞典站女单冠军．趁此机会，某班举行乒乓球赛，球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），如图是小米和小诚对比赛总场数的统计．
(1)小诚的说法有道理吗？请通过计算说明；
(2)赛后经查询，小米的统计正确．因为有一人身体不适，参加4场比赛后中途退赛，求原来有多少人参加比赛．
【答案】(1)小诚的说法有道理，见解析
(2)原来有9人参加比赛
【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键．
（1）设有人报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论；
（2）设原来有人参加比赛，设有一人比赛了场后退出比赛，可得方程，整理并求解即可．
【详解】（1）解：小诚的说法有道理．理由如下：
设有人报名参赛，由题意，得，
整理得．
解得．
与都不是整数，
方程的解不符合实际，故小诚的说法有道理．
（2）解：设原来有人参加比赛，
由题意，得，
整理得．
解得（不符合题意，舍去）．
原来有9人参加比赛．
1．已知关于x的方程 是一元二次方程，求 m的值．
【答案】．
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义得到，求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得，
解得：．
2．若关于x的方程是一元二次方程，求m的值．
【答案】3
【分析】此题考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程即为一元二次方程，根据定义列方程求出答案
【详解】解：由一元二次方程的定义可知，
由①得．
由②得，
所以．
3．解方程
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，配方法，换元法和十字相乘法，解题的关键在于根据题目灵活的选择应用适当的解法，本题易错点在于配方不得当，漏项，换元法忘记还原，十字相乘法数字选择不当；
（1）先将二次项系数化1，再将常数项移到等式右边，给二次项和一次项配一个常数项凑成完全平方公式，开方，求解即可；
（2）利用换元法，令，再用十字相乘法进行计算，最后记得还原即可．
【详解】（1）
二次项系数化1得
移项，配方得
使用完全平方公式得
开方得
拆开式子得
解得
故原方程的解为．
（2）
设，
则原式为
十字相乘法得
或
解得或．
当时，；
当时，；
解得，．
故原方程的解为，．
4．解下列方程
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键：
（1）利用直接开方法解方程即可；
（2）移项后，利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：，
，
，
解得；
（2），
，
，
，
解得．
5．如果关于的方程没有实数根，试判断关于的方程的根的情况．
【答案】当时，方程有一个实数根；当且时，方程有两个不相等的实数根
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
首先根据已知方程无实根可得m的取值范围，再计算新方程的判别式，结合m的取值范围确定新方程根的判别式的情况，进而得出新方程根的情况即可．
【详解】解：当时，方程化为，
解得，不符合题意，
当时，方程没有实数根，
∴，
解得；
当时，方程化为，
解得，方程有一个根；
当且时，，
此时方程有两个不相等的实数解．
∴当时，方程有一个实数根；当且时，方程有两个不相等的实数根．
6．已知关于x的方程．
(1)若该方程有一根为2，求a的值及方程的另一根；
(2)当a为何值时，方程的根仅有唯一的值？求出此时a的值．
【答案】(1)，方程的另一根为
(2)或或
【分析】此题考查方程的解，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解法，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键．
（1）将代入方程求解a，再代入原方程求另一根；
（2）分方程为一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论，当为一元二次方程时，令判别式为0求解a．
【详解】（1）解：将代入方程，得，解得．
将代入原方程，得，解得或．
∴，方程的另一根为．
（2）当，即时，方程为，解得，方程有唯一根．
当时，方程为一元二次方程，令判别式，即，解得．
∴当或或时，方程的根仅有唯一的值．
7．如果关于的一元二次方程有实数根，
(1)求的取值范围；
(2)若分别是一元二次方程的两个实数根，是否存在实数，使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)且；
(2)不存在，理由见解析．
【分析】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系以及根与系数的关系，掌握根的情况与判别式的关系和根与系数的关系是解题的关键．
（1）根据一元二次方程根的判别式，建立关于的不等式，求得的取值范围；
（2）利用根与系数的关系，根据将代入，即可求出的值，再看是否满足（1）中的取值范围，从而确定的值是否存在．
【详解】（1）解:由题意得，且，
解得，
的取值范围为且；
（2）不存在．
由根与系数的关系得，，，
解得，
由（1）得，，
满足条件的值不存在．
8．关于的方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若方程的一个实数根是另一个实数根的倍，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系，关键是知识点的熟练应用；
（1）由两个不等实根可得，即可求得的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可求得的值．
【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
即：，
解得：
（2）解：设一个根为，则另一个根为
根据根与系数的关系得：
，
即：，
∵，
∴，
即：.
9．国庆假期成都市某景区吸引了各地游客前来参观，据统计，假期第一天景区的游客人数为5000人次，第三天游客人数达到7200人次．
(1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率；
(2)据悉，景区附近商店推出了旅游纪念章，每个纪念章的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个，为了尽快减少库存，商店决定降价销售．市场调查发现，售价每降低3元，平均每天可多售出600个，若要使每天销售旅游纪念章获利2800元，则售价应调整为多少元？
【答案】(1)游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为
(2)售价应调整为8.5元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x，利用该景区假期第三天游客人数=该景区假期第一天游客人数游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
（2）设售价应调整为y元，则每个纪念章的销售利润为元，平均每天可售出个，利用总利润=每个纪念章的销售利润×日销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要尽快减少库存，即可确定结论．
【详解】（1）解：设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为20%；
（2）解：设售价应调整为y元，则每个纪念章的销售利润为元，平均每天可售出个，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，
又∵要尽快减少库存，
∴．
答：售价应调整为8.5元．
10．某风景区的旅游信息如下表：
旅游人数 收费标准
不超过30人 人均收费800元
超过30人 每增加1人，人均收费降低10元，但人均收费不低于550元．
(1)一个25人的老年团去该风景区旅游共需支付_____元；
(2)某公司组织一批员工到该风景区旅游，支付旅行费用29250元．请求出参加这次旅游的人数．
【答案】(1)20000
(2)45人
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用（分段收费问题），解题的关键是根据人数范围确定收费标准，列方程并检验解的合理性．
（1）判断25人在“不超过30人”的收费范围，用“人数人均收费”计算费用；
（2）先判断人数超过30人，根据“人数×（原人均收费降低的费用）总费用”列方程，求解后检验人均收费是否符合“不低于550元”的条件，确定最终人数．
【详解】（1）解：由题意得（元）
应该支付20000元．
故答案为：20000
（2）设参加这次旅游的人数是人，
（元），，
．
根据题意得：．
解得：，，
当时，人均旅游费用为，符合题意，
当时，人均旅游费用为，不符合题意，舍去．
答：参加这次旅游的有45人．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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