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2025-2026人教版九年级数学期末专项训练
专题03 二次函数（高频考点归纳+解析+单元检测）
考点01 二次函数的概念
考点02 二次函数图象与性质
考点03 二次函数图象与系数的关系
考点04 二次函数的解析式
考点05二次函数与方程、不等式关系
考点06二次函数的平移
考点07二次函数的实际应用
考点01 二次函数的概念
一、单选题
1．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25九年级上·陕西西安·期末）若关于的函数是二次函数，则的值为（ ）
A．0 B．2 C．或2 D．
3．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）已知是二次函数，则（ ）
A．0 B．1 C． D．1或
4．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25九年级上·全国·期中）已知是关于x的二次函数，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）已知二次函数，则 ．
考点02 二次函数图象与性质
一、单选题
1．（24-25九年级上·北京·期末）点，在抛物线上，则，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法判断
2．（24-25九年级上·北京通州·期末）如果二次函数的图象经过点，那么该图象必经过点（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25九年级上·山西大同·期末）将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线的表达式为，则，的值为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）已知二次函数（为常数，且）的图象上有四点，，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，在正方形中，点，的坐标分别为，，点在抛物线的图象上，则的值为 ．
6．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）已知点，在抛物线上．若，则 0．（用“”或“”连接）
三、解答题
7．（24-25九年级上·山西期末）如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于，两点，其中点的坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点为抛物线与轴的交点；
①点在抛物线上，且，求点点坐标；
②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值．
考点03 二次函数图象与系数的关系
一、单选题
1．（24-25九年级上·山西吕梁期末）二次函数的图象如图所示，下列各式成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23九年级上·安徽·期末）如图，已知抛物线经过点，且顶点在直线上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25九年级上·山西长治·期末）抛物线（a，b，c为常数）的对称轴为直线，过点和点，有下列结论：①；②对任意实数m都有：；③；④若，则．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，二次函数图像的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图像给出下列结论：
①；②；③；
④关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；
⑤若点，均在该二次函数图像上，则．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．（24-25九年级上·江苏南京·期末）已知函数是常数，且图象经过，三点．下列结论：①；②如果，那么；③如果，那么．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
6．（24-25九年级上·江苏·期末）如图，抛物线的对称轴是．下列结论：①；②；③；④，正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）抛物线图象如图所示，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，抛物线与轴交于点和点，以下结论：①；②；③；④当时，随的增大而减小．其中正确的结论个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
三、解答题
9．（24-25八年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过两点．
(1)若，求m的值（用含a的式子表示）；
(2)若对于，都有，求a的取值范围．
10．（24-25九年级上·北京密云·期末）已知抛物线，，是抛物线上两点，抛物线的对称轴是直线．
(1)当时．
①直接写出b与a满足的等量关系 ；
②若，则．
(2)已知，，点在抛物线上．当时，总有，求t的取值范围．
考点04 二次函数的解析式
一、解答题
1．（24-25九年级上·北京·期中）已知抛物线图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x … 0 1 2 3 …
y … 5 0 0 …
(1)求此抛物线的解析式；
(2)画出函数图象，结合图象直接写出当时，y的范围．
2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数图象的顶点坐标为，且经过点．
(1)求该二次函数表达式；
(2)直接写出y随x的增大而减小时x的取值范围．
3．（24-25八年级下·浙江金华·期末）二次函数的图象经过点，且对称轴为直线．
(1)求这个二次函数的解析式．
(2)若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”．
①求这个函数“倍值点”的坐标；
②若是该二次函数图象上“倍值点”之间的点（包括端点），求的最大值与最小值的差．
4．（24-25九年级上·天津·阶段练习）已知：如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点，点在原点的左侧，点的坐标为，与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)过点作轴的平行线交直线于点，求线段的最大值．
(3)在直线找一点，使得为等腰三角形，直接写出点坐标
5．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）【综合与实践】某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察刹车距离．
【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．
【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下：
刹车后行驶的时间
刹车后行驶的距离
发现：开始刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系；汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止．
【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题：
(1)求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)若汽车刹车后，行驶了多长距离；
(3)若汽车司机发现正前方处有一辆抛抛锚的车停在路面，立刻刹车，请问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由．
6．（24-25九年级上·北京顺义·期末）已知二次函数的图象经过点，．
(1)求二次函数的表达式；
(2)直接写出时，的最大值．
7．（24-25九年级下·江苏南京·期末）如图，二次函数的图像经过点，顶点坐标为．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)当时，的取值范围为_____；
(3)将该抛物线向上平移_____个单位后，所得抛物线与坐标轴有两个公共点．
8．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知二次函数（为常数，且）
(1)若函数图像过点，求的值；
(2)当时，函数的最大值为M，最小值为N，若，求a的值．
9．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）小明在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组与的对应值．
… …
… …
(1)求该二次函数的表达式；
(2)该二次函数的图象与直线恒有两个交点，，请直接写出的取值范围．
考点05二次函数与方程、不等式关系
一、解答题
1．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）已知二次函数的图象与x轴交于、B两点，与y轴交于点
(1)求b的值及点B的坐标；
(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(3)若直线l：（、n为常数且）经过B、C两点，则关于x的不等式的解集为______．
2．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）已知二次函数（其中为常数）．
(1)若该函数图像经过点和，求的值；
(2)若，判断二次函数的图像与轴公共点的个数，并说明理由；
(3)若点都在二次函数的图像上，试比较的大小．
3．（24-25九年级上·山西临汾·期末）已知二次函数．
(1)该二次函数的图像与x轴的交点坐标是 、 ，顶点坐标是 ；
(2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图像；（要求至少描出5个格点）
(3)当时，结合函数图像，直接写出y的取值范围 ．
4．（24-25九年级上·北京朝阳·期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴有两个交点，其中一个交点的坐标为
(1)求a的值和抛物线的对称轴用含b的式子表示；
(2)若点，，在该抛物线上，且，求b的取值范围.
5．（24-25九年级上·北京平谷·期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数．
(1)当时，求抛物线与轴的交点坐标；
(2)将抛物线在轴上方的部分沿轴翻折，其余部分保持不变，得到的新函数记为，若点，是函数图象上的两点，若对于任意的，，都有，求的取值范围．
6．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是抛物线上异于点的动点，若的面积与的面积相等，求出点的坐标．
考点06二次函数的平移
一、解答题
1．（24-25九年级上·陕西安康·期末）已知二次函数的图象经过点．
(1)求的值和该二次函数图象的顶点坐标．
(2)若将该二次函数的图象向右平移2个单位长度，求新抛物线与轴交点的坐标．
2．（24-25九年级上·陕西延安·期末）已知二次函数，若将该二次函数图象向上平移m个单位长度，平移后的抛物线经过点，求m的值．
3．（24-25九年级上·北京丰台·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若将该抛物线向右平移3个单位得到抛物线G，直接写出抛物线G的解析式．
4．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）已知二次函数（、为常数）．
(1)若把二次函数的图象向下平移1个单位长度，再向左平移5个单位后，所得的抛物线的顶点坐标为，求，的值；
(2)若点，在二次函数的图象上，且，求的取值范围．
5．（24-25九年级上·江苏南通·期末）已知平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于点．
(1)若将点向右平移4个单位，再次落在该函数的图象上，则的值为____________；
(2)在（1）的条件下，若点，均在该函数的图象上，且，求的取值范围；
(3)当时，这个二次函数的最小值为3，求的值．
6．（24-25九年级上·江苏期末）已知二次函数的图象经过点，．
(1)求，的值；
(2)求出顶点坐标，并在所给平面直角坐标系中画出二次函数的图象；
(3)如果此抛物线上下平移后过点，试确定平移的方向和平移的距离．
考点07二次函数的实际应用
一、解答题
1．（23-24九年级上·北京丰台·期末）如图1，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图2是灌溉车浇水操作时的截面图．现将灌溉车喷出水的上、下边缘线近似地看作平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．已知喷水口H离地竖直高度为，草坪水平宽度，竖直高度忽略不计.上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，设灌溉车到草坪的距离为d（单位：m）．
(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程的长；
(2)下边缘抛物线落地点B的坐标为______；
(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为______．
2．（24-25九年级上·北京·期末）某兴趣小组在老师们的带领下自制一种小球发射器，已知该发射器的小球出口C离地竖直高度OC=1.6米．如图，小球在最大档位和最小档位的力度发射出去的路线可以抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，矩形为移动的接球盒，其中米，米，最小档位发射的抛物线可以看作由最大档位发射的抛物线向左平移得到，最大档位抛物线最高点D离出球口的水平距离为2米，高出出球口0.4米．
(1)求最大档位时小球射出的抛物线的函数表达式，并求出小球射出的最大射程OA；
(2)最小档位发射的抛物线可以看作由最大档位发射的抛物线向左平移个单位长度而得到；
(3)要使接球盒能接住所有档位射出的小球（即射出的小球都能落入水平移动的接球盒中），请直接写出接球盒距发射器的水平距离的取值范围．
3．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图1，悬索桥两端主塔塔顶之间的主索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主索之间用垂直吊索连接．已知两端主塔之间水平距离为，两主塔塔顶距桥面的高度为，主索最低点P离桥面的高度为，若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．
(1)求这条抛物线对应的函数表达式；
(2)若在抛物线最低点P左下方桥梁上的点处放置一个射灯，该射灯光线恰好经过点P和右侧主索最高点D．
（i）求主索到射灯光线的最大竖直距离；
（ii）现将这个射灯沿水平方向向右平移，并保持光线与原光线平行，若要保证该射灯所射出的光线能照到右侧主索．则最多向右平移___________米．
4．（24-25九年级上·陕西安康·期末）问题提出（1）当时，二次函数的最大值为______．
问题探究（2）已知二次函数是常数，的图象经过两点，平移该函数的图象，使其顶点始终在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点的纵坐标的最大值．
问题解决（3）某养殖户利用一段围墙（围墙足够长）为一边，用总长为的围网围成了如图所示的三块矩形区域，且这三块矩形区域的面积相等．设的长度为，矩形区域的面积为，当为何值时，有最大值？最大值是多少？
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．函数的图像的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
3．已知点，，都在二次函数的图象上，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．抛物线的部分图象如图所示，则一元二次方程的根为（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，直线与抛物线交于点A，B，且点A在y轴上，点B在x轴上，则不等式的解集为（ ）．
A．或 B．
C． D．或
6．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则他将铅球推出的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．如表记录了二次函数中两个变量与的组对应值，其中，
… …
… …
根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为了一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2．已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，开口向上的抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③当时，随的增大而减小；④当时，关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确的结论是（ ）
A．①③④ B．②③④ C．②③ D．①②④
10．二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．②③④ D．①②③④
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．已知点是抛物线上的一点，则a的值为 ．
12．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，水柱所在抛物线第一象限部分的函数解析式为雕塑的高为 ．
13．若原点是抛物线的顶点，则抛物线的开口向 ．
14．在二次函数中，自变量与函数的部分对应值如下表：
则表中的值是 ．
15．近年来，随着施工技术的不断发展，渠道设计已由原来单一的梯形向多元化形式变化．其中抛物线形渠道就是一种明渠断面形式．如图是一个抛物线形渠道的断面图．现测得渠道的断面宽度，渠道顶点与断面所在水平直线的距离，以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，当渠道内的水深时，水面宽 ．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（10分）已知：二次函数．
(1)通过配方，将其写成的形式；
(2)求出图象与轴的交点、的坐标；
(3)为何值时，；
(4)当________时，随的增大而减少．
17．（8分）已知二次函数．
(1)当时，求函数图象与x轴的交点坐标．
(2)若该函数图象与x轴没有交点，求实数a的取值范围．
18．（8分）某商店销售一种成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨1元，月销售量就减少10千克．
(1)写出月销售利润y（单位：元）与销售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式．
(2)当销售价定为多少元时会获得最大利润？
19．（8分）在平面直角坐标系中，二次函数经过点与点
(1)求m，n的值．
(2)若点，为该二次函数图象上的两个不同点其中a，b为常数，，求的面积．
20．（8分）如图1,在长方形中，，，点从点开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动，如果、分别从同时出发，请问：
(1)经过几秒时，的面积等于8平方厘米？
(2)经过几秒时，五边形的面积最小 最小值是多少？
21．（9分）阅读与思考
下面是小雨同学的数学学习笔记的部分内容，请认真阅读，并完成后面的任务．
“k倍点”【概念理解】如果在抛物线上存在一点P，使它的纵坐标是横坐标的k倍，那么我们把这样的点P称为“k倍点”．例如，抛物线的“3倍点”为或【问题提出】问题1：抛物线的“2倍点”（原点除外）的坐标为▲．问题2：若抛物线上有两个不同的“3倍点”，求m的取值范围．【问题解答】解：设该抛物线上的“3倍点”为，则有，即该抛物线有两个不同的“3倍点”，一元二次方程有两个不同的实数根，
任务：
(1)问题1中，“▲”处应填写______．
(2)补全问题2中剩余的解答过程．
(3)若抛物线仅有一个“k倍点”，求k的值．
22．（12分）在综合实践课上，数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题，实践报告如下：
活动课题 设计围篱笆的方案
活动工具 直角三角板、量角器、皮尺、篱笆等
活动过程 【了解场地】如图，测出墙与墙的夹角是；【设计图纸】用篱笆围成一个梯形的菜园，梯形满足，，且边上留一个米宽的门；【准备材料】现有篱笆（虚线部分）的长度是．
解决问题 如何围篱笆才能使其所围梯形的面积最大？最大面积是多少平方米？
(1)请你帮助兴趣小组解决以上问题．
(2)王爷爷利用兴趣小组的成果围篱笆建造小菜园，并在农贸市场销售蔬菜，销售过程中，王爷爷发现：销售单价定为每斤黄瓜7元时，可售出20斤，销售单价每上涨0.5元，每天销量减少2斤，王爷爷的黄瓜成本为每斤2元．请你帮王爷爷计算出销售单价多少元时，每日利润为96元．
23．（12分）综合与探究
如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，D是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)如图2，在此抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图3，为抛物线上的一点，为第一象限抛物线上的一点，连接．若，直接写出点的坐标．
2025-2026人教版九年级数学期末专项训练
专题03 二次函数（高频考点归纳+解析+单元检测）（解析版）
考点01 二次函数的概念
考点02 二次函数图象与性质
考点03 二次函数图象与系数的关系
考点04 二次函数的解析式
考点05二次函数与方程、不等式关系
考点06二次函数的平移
考点07二次函数的实际应用
考点01 二次函数的概念
一、单选题
1．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的定义，掌握二次函数都是整式成为解题的关键．
直接根据二次函数的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、不是二次函数，不合题意；
B、是二次函数，符合题意；
C、，当时，是二次函数，不合题意；
D、是一次函数，符合题意．
故选：B．
2．（24-25九年级上·陕西西安·期末）若关于的函数是二次函数，则的值为（ ）
A．0 B．2 C．或2 D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义得出且，求出即可．
【详解】解：关于的函数是二次函数，
且，
解得：，
故选：B．
3．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）已知是二次函数，则（ ）
A．0 B．1 C． D．1或
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义可得且，从而可得答案．
【详解】解：∵是二次函数，
∴，
解得或，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
4．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的识别，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键：一般地，形如（、、是常数，）的函数叫做二次函数，其中是自变量，、、分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项．根据二次函数的定义逐项分析判断即可．
【详解】解：A. ，不是二次函数，故选项不符合题意；
B. ，不是二次函数，故选项不符合题意；
C. ，不是二次函数，故选项不符合题意；
D. ，是二次函数，故选项符合题意；
故选：．
5．（24-25九年级上·全国·期中）已知是关于x的二次函数，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了二次函数的定义，形如的函数叫做二次函数.据此进行解答即可.
【详解】解：∵是关于x的二次函数，
∴，
∴，
故选：D
二、填空题
6．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）已知二次函数，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了二次函数的定义，形如，这样的函数叫做二次函数，根据二次函数的定义得到，，进行求解即可．
【详解】解：∵函数是二次函数，
∴，，
∴．
故答案为：．
考点02 二次函数图象与性质
一、单选题
1．（24-25九年级上·北京·期末）点，在抛物线上，则，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法判断
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，首先确定抛物线的对称轴，再根据开口方向，根据二次函数的性质即可判断，的大小关系．
【详解】解：∵抛物线，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴在对称轴右侧y随x的增大而增大，
∴关于对称轴的对称点为，
∵，
∴．
故选：A．
2．（24-25九年级上·北京通州·期末）如果二次函数的图象经过点，那么该图象必经过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，利用二次函数的对称性解答即可；
【详解】二次函数的图象得对称轴是直线，
∵二次函数的图象经过点
∴二次函数的图象必经过点，
故选：B
3．（24-25九年级上·山西大同·期末）将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线的表达式为，则，的值为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数图形的平移，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数图形平移的规律．
根据“上加下减，左加右减”的原则，求出平移前后的二次函数的解析式，即可解答．
【详解】将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的表达式为，
所以，，，
故选：A．
4．（23-24九年级上·湖北武汉·期末）已知二次函数（为常数，且）的图象上有四点，，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征可以解答本题，本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质．
【详解】解：∵点，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴，
故选：B．
二、填空题
5．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，在正方形中，点，的坐标分别为，，点在抛物线的图象上，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查正方形的性质，三角形全等的判定和性质，二次函数图象上点的坐标特征，过点C作轴，过点B作于M，过点D作于N，利用三角形全等的性质，即可得出C点坐标，代入即可得出b的值．
【详解】解：过点C作轴，过点B作于M，过点D作于N，
∴，
由条件可知，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
解得：，
∴，
∵点C在抛物线的图象上，
∴，
∴．
故答案为：．
6．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）已知点，在抛物线上．若，则 0．（用“”或“”连接）
【答案】
【分析】本题考查二次函数的图形和性质，求出抛物线的对称轴，根据函数值的大小关系确定开口方向，即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点，在抛物线上，且，
∴在对称轴的左侧随着的增大而减小，
∴抛物线的开口向上，
∴；
故答案为：．
三、解答题
7．（24-25九年级上·山西期末）如图，对称轴为直线的抛物线与轴相交于，两点，其中点的坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点为抛物线与轴的交点；
①点在抛物线上，且，求点点坐标；
②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值．
【答案】(1)
(2)或；
【分析】本题考查了二次函数—几何综合，解题关键是熟练掌握二次函数的图像及性质．
（1）因为抛物线的对称轴为直线点坐标为在抛物线上，代入抛物线的解析式，即可解答；
（2）①先由二次函数的解析式为，得到点坐标，然后设点坐标为，根据列出关于的方程，解方程求出的值，进而得到点的坐标；
②先运用待定系数法求出直线的解析式为，再设点坐标为，则点坐标为，然后用含的代数式表示，根据二次函数的性质即可求出线段长度的最大值．
【详解】（1）解：因为抛物线的对称轴为直线点坐标为在抛物线上，则∶
，
解得∶．
所以抛物线的解析式为∶．
（2）①抛物线的解析式为，
抛物线与y轴交点坐标为，
，
设点坐标为，
∵
，
．
当时，，
当时，．
点的坐标或，
②设直线的解析式为，将代入，
得，
解得∶．
即直线的解析式为．
设点坐标为，则点坐标为，
∴，
当时，有最大值．
考点03 二次函数图象与系数的关系
一、单选题
1．（24-25九年级上·山西吕梁期末）二次函数的图象如图所示，下列各式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，根据函数图象可以判断a、b、c的正负情况，从而可以解答本题．
【详解】解：由函数图象，可得：
A、函数开口向上，则，选项不符合题意；
B、对称轴在y轴右侧，则，选项符合题意；
C、图象与y轴交点在y轴正半轴，则，选项不符合题意；
D、图象与x轴有两个交点，则，选项不符合题意；
故选：B．
2．（22-23九年级上·安徽·期末）如图，已知抛物线经过点，且顶点在直线上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据抛物线经过点，以及抛物线的对称轴，联立方程，即可得到．
【详解】∵抛物线经过点，且顶点在直线
∴a-b+c=0①
-=1②
解得：b=-2a，c=-3a，
∴
故选：B
【点睛】本题考查了二次函数图像以及性质，对称轴，二次函数与各项系数的关系，熟悉并掌握二次函数的图像和性质是解题关键．
3．（24-25九年级上·山西长治·期末）抛物线（a，b，c为常数）的对称轴为直线，过点和点，有下列结论：①；②对任意实数m都有：；③；④若，则．其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数图像的对称性、增减性以及二次函数图像上点的坐标特征是解题的关键．根据抛物线的对称轴和增减性可知，进而判断①；根据函数的最大值可判断②；由时的函数值大于0，可判断③；由点的对称点为，可判断④．
【详解】解：∵抛物线（a，b，c为常数）的对称轴为直线，过点，
∴抛物线开口向下，则，即，
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，即，
∴，故①错误；
∵抛物线开口向下，对称轴为，
∴函数的最大值为，
∴对任意实数m都有：，即，故②错误；
∵对称轴为，，即函数图像与y轴的交于正半轴，
∴点的关于直线的对称点为，
∴当时的函数值大于0，即，
∴，故③正确；
∵对称轴为，点关于直线的对称点为，抛物线开口向下，
∴若，则，故④正确；
综上，正确的有③④共2个．
故选：B．
4．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，二次函数图像的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图像给出下列结论：
①；②；③；
④关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；
⑤若点，均在该二次函数图像上，则．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】根据抛物线的对称轴、开口方向、与y轴的交点确定a、b、c的正负，即可判定①和②；将点代入抛物线解析式并结合即可判定③；运用根的判别式并结合a、c的正负，判定判别式是否大于零即可判定④；判定点，的对称轴为，然后根据抛物线的对称性即可判定⑤．
【详解】解：抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，
，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，即，即②错误；
∴，即①正确，
二次函数图像的一部分与x轴的一个交点坐标为
，即，故③正确；
∵关于x的一元二次方程，，，
∴，，
∴无法判断的正负，即无法确定关于x的一元二次方程的根的情况，故④错误；
∵
∴点，关于直线对称
∵点，均在该二次函数图像上，
∴，即⑤正确；
综上，正确的为①③⑤，共3个
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的的性质及图像与系数的关系，能够从图像中准确的获取信息是解题的关键．
5．（24-25九年级上·江苏南京·期末）已知函数是常数，且图象经过，三点．下列结论：①；②如果，那么；③如果，那么．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，把，代入整理后即可判断①；利用二次函数的性质，根据二次函数的最值即可判断②；把代入解析式即可判断③．正确理解二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：函数，，是常数，且图象经过，，
，
解得，故①正确；
如果为顶点时，抛物线开口向下，
那么时，，故②不正确；
，
，
，
，
，
，故③正确；
故选：B．
6．（24-25九年级上·江苏·期末）如图，抛物线的对称轴是．下列结论：①；②；③；④，正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】由抛物线的性质和对称轴是，分别判断a、b、c的符号，即可判断①；抛物线与x轴有两个交点，可判断②；由，得，令，求函数值，即可判断③；令时，则，令时，，即可判断④；然后得到答案．
【详解】解：根据题意，则，，
∵，
∴，
∴，故①错误；
由抛物线与x轴有两个交点，则，故②正确；
∵，
令时，，
∴，故③正确；
在中，
令时，则，
令时，，
由两式相加，得，故④正确；
∴正确的结论有：②③④，共3个；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，熟练判断各个式子的符号．
7．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）抛物线图象如图所示，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象与性质，由抛物线的开口方向，对称轴直线的位置，与轴交点的位置得出，，，故；由图象可知：，，即，故；由对称轴，，则，故有；由图象可知：顶点的纵坐标大于，从而得出不等式，求解即可得出，掌握二次函数图象与性质是解题的关键．
【详解】解：、由图象开口可知：，
由对称轴可知：，
∴，
又由抛物线与轴的交点可知：，
∴，故原选项正确，不符合题意；
、由图象可知：，，
∴，
∴，故原选项正确，不符合题意；
、∵对称轴，，
∴，
∴，故原选项错误，符合题意；
、由图象可知：顶点的纵坐标大于，
∴，
∵，
∴，
∴，故原选项正确，不符合题意；
故选：．
8．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，抛物线与轴交于点和点，以下结论：①；②；③；④当时，随的增大而减小．其中正确的结论个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的对称轴位置和抛物线开口方向确定①③，根据时判定②，由抛物线图象性质判定④．要求熟悉掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
【详解】解：①抛物线的对称轴在轴右侧，则，而，故，故正确；
②时，函数值小于0，则，故正确；
③与轴交于点和点，则对称轴，故，即，故③正确；
④当时，图象位于对称轴左边，随的增大而增大．故④错误；
综上所述，正确的为①②③，有3个．
故选：C．
三、解答题
9．（24-25八年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过两点．
(1)若，求m的值（用含a的式子表示）；
(2)若对于，都有，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)或．
【分析】题目主要考查二次函数的性质，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
（1）根据题意，将点A、B代入计算求解即可；
（2）根据题意化简得出，然后根据二次函数的性质分情况分析求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过，
∴，
∵，
∴，
整理得：，
即，
解得：；
（2）由（1）得，
∵，，
∴，即，
令，即
当时，抛物线开口向上，
∴的解集为两根之间，
由（1）得，
∴且，
解得：或（不符合题意，舍去）
∴；
当时，抛物线开口向下，
∴的解集为两根之外，
∴，
解得：
∴
综上：或．
10．（24-25九年级上·北京密云·期末）已知抛物线，，是抛物线上两点，抛物线的对称轴是直线．
(1)当时．
①直接写出b与a满足的等量关系 ；
②若，则．
(2)已知，，点在抛物线上．当时，总有，求t的取值范围．
【答案】(1)①；②4
(2)或
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质．
（1）①利用对称轴公式求得即可；
②利用二次函数的对称性即可求解；
（2）由题意可知在对称轴的左侧，在对称轴的右侧，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，据此即可得到关于的不等式组，解不等式组即可．
【详解】（1）解：①∵，
．
故答案为：；
②∵是抛物线上两点，，
∴关于对称轴对称，
∵抛物线的对称轴为直线，
，
，
故答案为：4；
（2）解：由题意可知，在对称轴的左侧，在对称轴的右侧，
∵点在抛物线上，，
∴点关于对称轴的对称点为，
，
当点在对称轴的左侧时，
∵当时，总有，
∴，解得；
当点在对称轴的右侧时，
∵当时，总有，
∴，解得：；
∴的取值范围是或．
考点04 二次函数的解析式
一、解答题
1．（24-25九年级上·北京·期中）已知抛物线图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x … 0 1 2 3 …
y … 5 0 0 …
(1)求此抛物线的解析式；
(2)画出函数图象，结合图象直接写出当时，y的范围．
【答案】(1)，
(2)．
【分析】本题考查了待定系数求二次函数解析式，二次函数的图象性质等知识点，解决此题关键是能根据表格里的数据得到对称轴．
（1）根据表格里的数据得到对称轴，可设抛物线解析式，再找一个组值代入即可；
（2）根据表格中的数据，在平面直角坐标系里描出点，用平滑的曲线连接即可；根据图象的性质，即可得到时，y的范围．
【详解】（1）解：由表格可知对称轴为，所以可设抛物线的解析式为，
∵时，，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：函数图象如图所示
由（1）可知，对称轴为，
所以令时，，
当时，
∴能取到最小值，
即．
2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知二次函数图象的顶点坐标为，且经过点．
(1)求该二次函数表达式；
(2)直接写出y随x的增大而减小时x的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
【分析】主要考查的是二次函数的性质，求二次函数解析式．
（1）把代入中求出a即可得到抛物线解析式；
（2）根据抛物线的对称轴即可得到结论；
【详解】（1）解：∵二次函数图象的顶点坐标为，
∴设二次函数表达式为，
把代入，
得，
解得，
所以二次函数表达式为；
（2）∵，抛物线的开口向下，
抛物线的对称轴为，
∴当y随x的增大而减小时x的取值范围．
3．（24-25八年级下·浙江金华·期末）二次函数的图象经过点，且对称轴为直线．
(1)求这个二次函数的解析式．
(2)若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”．
①求这个函数“倍值点”的坐标；
②若是该二次函数图象上“倍值点”之间的点（包括端点），求的最大值与最小值的差．
【答案】(1)；
(2)①，；②
【分析】（）利用待定系数法解答即可；
（）①把代入（）所得函数解析式，求出的值即可求解；②由①可得，再根据二次函数的性质求出的最大值与最小值，进而相减即可求解；
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得，，
解得，
∴二次函数的解析式解析式为；
（2）解：①把代入，得，
解得或，
∴或，
∴这个函数“倍值点”的坐标为，；
②由①可得，，
∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为，
∴当时，有最小值为；当时，有最大值为，
即的最大值为，最小值为，
∴的最大值与最小值的差为．
4．（24-25九年级上·天津·阶段练习）已知：如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点，点在原点的左侧，点的坐标为，与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)过点作轴的平行线交直线于点，求线段的最大值．
(3)在直线找一点，使得为等腰三角形，直接写出点坐标
【答案】(1)
(2)线段的最大值为
(3)Q点的坐标为或或或
【分析】本题主要考查的是二次函数的综合运用，数形结合是解本题的主要思想，注意等腰三角形求解时需要进行多种情况讨论．
（1）直接利用待定系数法，将B、C两点坐标代入解析式即可求得抛物线解析式；
（2）根据B、C坐标求出BC所在直线解析式为：，设点，则，进而求得，再根据二次函数的性质求解即可；
（3）由于Q点在直线上，所以设Q点坐标为，由此可以表示出，，，根据等腰三角形的性质，分三种情况进行讨论，即可求得Q点坐标．
【详解】（1）解：由题意得，将B、C两点坐标代入解析式得：，
解得：，
∴二次函数的解析式为：；
（2）解：设BC所在直线解析式为：，
将B、C两点坐标代入解析式得：，
解得：，
∴BC所在直线解析式为：，
设点，则，
∴
，
∵，开口向下，
∴线段的最大值为；
（3）解：设Q点坐标为,
∵，，
∴，，，
为等腰三角形分三种情况：
①当时，，
解得：，
此时Q点的坐标为或；
②当时，，
解得：或（舍去），
此时点Q的坐标为；
③当时，有，
解得：，
此时点Q的坐标为，
综上所述，Q点的坐标为或或或．
5．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）【综合与实践】某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察刹车距离．
【知识背景】“道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离．
【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下：
刹车后行驶的时间
刹车后行驶的距离
发现：开始刹车后行驶的距离（单位：）与刹车后行驶的时间（单位：）之间成二次函数关系；汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止．
【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题：
(1)求关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(2)若汽车刹车后，行驶了多长距离；
(3)若汽车司机发现正前方处有一辆抛抛锚的车停在路面，立刻刹车，请问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由．
【答案】(1)关于的函数解析式为；
(2)汽车刹车后，行驶了米；
(3)该车在不变道的情况下会撞到抛锚的车，理由见解析．
【分析】（）利用待定系数法即可求出关于的函数解析式；
（）将 代入（）中求出的解析式，即可求出行驶了多长距离；
（）求出（）中函数的最大值，与比较，即可解决问题；
本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．
【详解】（1）解：设关于的函数解析式为，将，，代入，
，解得：，
∴关于的函数解析式为；
（2）解：由（）得关于的函数解析式为，
当时，，
∴汽车刹车后，行驶了米；
（3）解：由（）得关于的函数解析式为，
∴，
∴当时，汽车停下，行驶了米，
∵，
∴该车在不变道的情况下会撞到抛锚的车．
6．（24-25九年级上·北京顺义·期末）已知二次函数的图象经过点，．
(1)求二次函数的表达式；
(2)直接写出时，的最大值．
【答案】(1)
(2)6
【分析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式和二次函数的最值、
（1）利用待定系数法求出二次函数的表达式即可；
（2）把二次函数化为顶点式，根据二次函数的性质进行解答即可．
【详解】（1）解：将，代入二次函数得
解得
所以二次函数的表达式为
（2），
∴抛物线对称轴为直线，开口向上，
当时，∵
∴当时，取得最大值，最大值为
7．（24-25九年级下·江苏南京·期末）如图，二次函数的图像经过点，顶点坐标为．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)当时，的取值范围为_____；
(3)将该抛物线向上平移_____个单位后，所得抛物线与坐标轴有两个公共点．
【答案】(1)
(2)
(3)3或4
【分析】本题主要考查了待定系数法确定二次函数的解析式及二次函数图象的平移，解题的关键是正确地求得解析式．
（1）设为顶点式，运用待定系数法求解即可；
（2）抛物线开口向上，有最小值，在范围内，有最小值是，求出当时，，结合函数图象可得y的取值范围；
（3）根据题意分两种情况：当抛物线与x轴只有一个公共点时，当与原点相交时，结合二次函数的性质及平移的性质求解验证即可．
【详解】（1）解：根据题意，设二次函数的表达式为．
将代入，得，
解得，，
∴．
（2）当时，
∵抛物线的顶点坐标为
∴y的最小值为，
∴当时，y的取值范围为
故答案为；
（3）当抛物线与x轴只有一个公共点时，向上平移4个单位长度得，
∴与x轴只有一个交点即，
当时，，
∴与y轴的有一个交点即，
符合题意；
当与原点相交时，，向上平移3个单位长度，
函数解析式为：，
当y=0时，，
解得：，
所得交点为，符合题意；
∴该抛物线向上平移3或4个单位后，所得抛物线与坐标轴有两个公共点．
故答案为：3或4．
8．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）已知二次函数（为常数，且）
(1)若函数图像过点，求的值；
(2)当时，函数的最大值为M，最小值为N，若，求a的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数的最值，分类讨论是解题的关键．
（1）把点代入解析式即可求得a的值；
（2）把解析式化成顶点式，即可求得抛物线的顶点为，即可求得时，，进而求得当时，，然后分两种情况列出关于a的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象过点，
∴，
∴；
（2）解：∵
∴抛物线的顶点为，
∴时，
当时，，
当时，当时，
∵，
∴，
∴；
当时，当时，
∵，
∴，
∴；
∴a的值为或．
9．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）小明在画一个二次函数的图象时，列出了下面几组与的对应值．
… …
… …
(1)求该二次函数的表达式；
(2)该二次函数的图象与直线恒有两个交点，，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)该二次函数的表达式为
(2)
【分析】（1）由表格知二次函数的顶点为，故可设二次函数，又图象过，可得，求出的值即可求解；
（2）由（1）得，令，从而可得，故，又二次函数的图象与直线恒有两个交点，，进而可得，解出的取值范围即可．
【详解】（1）解：由表格数据集合二次函数图象对称性可得图象顶点为，
设二次函数的表达式为，
将代入得，
解得：，
该二次函数的表达式为；
（2）解：由（1）得，
令，
，
，
二次函数的图象与直线恒有两个交点，，
，
．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
考点05二次函数与方程、不等式关系
一、解答题
1．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）已知二次函数的图象与x轴交于、B两点，与y轴交于点
(1)求b的值及点B的坐标；
(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
(3)若直线l：（、n为常数且）经过B、C两点，则关于x的不等式的解集为______．
【答案】(1)，；
(2)见解析；
(3)．
【分析】本题考查了二次函数与不等式，掌握待定系数法和函数与不等式的关系是解题的关键．
（1）根据待定系数法求解；
（2）根据描点法作图；
（3）根据函数与不等式的关系求解．
【详解】（1）解：把代入，
得：，，
，
令，则，
解得：，，
∴；
（2）解：列表：
0 1 2 3 4
3 0 0 3
描点，连线，
图象如图所示：
；
（3）解：当时，，
∴，
直线l的图象如图示：
由图象得：当时，，
故答案为：．
2．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）已知二次函数（其中为常数）．
(1)若该函数图像经过点和，求的值；
(2)若，判断二次函数的图像与轴公共点的个数，并说明理由；
(3)若点都在二次函数的图像上，试比较的大小．
【答案】(1)
(2)只有一个公共点，理由见解析
(3)
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与x轴的交点问题以及二次函数的图像和性质等知识．
（1）利用待定系数法求解即可．
（2）根据根的判别式判断即可．
（3）法一：把两点分别代入二次函数得出和，然后做差即可比较．
法二：利用二次函数的图像和性质比较即可．
【详解】（1）解：将和代入，
得，
解得．
（2）解：，
，
图像与轴只有一个公共点．
（3）解：法一：
由题意知
法二：对称轴为，
与关于对称轴对称，
∴当时，随着的增大而增大，
．
∴．
3．（24-25九年级上·山西临汾·期末）已知二次函数．
(1)该二次函数的图像与x轴的交点坐标是 、 ，顶点坐标是 ；
(2)在平面直角坐标系中，画出二次函数的图像；（要求至少描出5个格点）
(3)当时，结合函数图像，直接写出y的取值范围 ．
【答案】(1)；；
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，画二次函数图像．
（1）把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标，分别令求得与坐标轴的交点坐标即可；
（2）先确定抛物线与坐标轴的交点坐标，然后利用描点法画出二次函数图像；
（3）结合二次函数图像，写出当时对应的y的取值范围．
【详解】（1）解：令，则，
解得：，
∴二次函数图像与轴的交点坐标是，，
∵，
∴该二次函数图像顶点坐标为．
（2）解：列表：
描点，连线，如图：
．
（3）解：由图像可知，当时，．
4．（24-25九年级上·北京朝阳·期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴有两个交点，其中一个交点的坐标为
(1)求a的值和抛物线的对称轴用含b的式子表示；
(2)若点，，在该抛物线上，且，求b的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
将代入，可得，则抛物线的解析式为，即可得抛物线的对称轴为直线
由题意得，点C到对称轴的距离小于点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，即，求出b的取值范围即可．
【详解】（1）将代入，
得
，
抛物线的解析式为，
抛物线的对称轴为直线
（2）点，，在该抛物线上，且，
点C到对称轴的距离小于点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，
即，
解得
的取值范围为
5．（24-25九年级上·北京平谷·期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数．
(1)当时，求抛物线与轴的交点坐标；
(2)将抛物线在轴上方的部分沿轴翻折，其余部分保持不变，得到的新函数记为，若点，是函数图象上的两点，若对于任意的，，都有，求的取值范围．
【答案】(1)抛物线与轴的两个交点和
(2)或
【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题，解一元二次方程，抛物线的图象和性质，解不等式等；熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．
（1）将代入函数解析式，令，列出一元二次方程，解方程即可求解；
（2）先将抛物线整理为顶点坐标式，求出顶点坐标和对称轴，令，列出一元二次方程，解方程求出抛物线与轴的交点坐标， 结合抛物线的性质和题意，画图，列出不等式，即可求解．
【详解】（1）解：当时，，
令，得，
解得，，
∴抛物线与轴的两个交点和；
（2）解：由，
得出抛物线的顶点坐标为，抛物线的对称轴为，
令，得，
解得，，
∴抛物线与轴的两个交点和；
由题意，图象G如图所示，分以下两种情况：
当时，如图：
此时，满足，则，
解得，，
当时，如图：
此时，满足，则，且抛物线的对称轴，
即，
∴或．
6．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是抛物线上异于点的动点，若的面积与的面积相等，求出点的坐标．
【答案】(1)
(2)点N的坐标为或或
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，与面积有关的二次函数综合，解一元二次方程等知识，掌握这些基础知识是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）设底边上的高为h，利用面积相等，可得，即，再解两个一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线过，两点，
∴，
解得：，
所以二次函数解析式为；
（2）解：在中，令，则，
即，
∴；
设底边上的高为h，
∵的面积与的面积相等，
∴
即，
∴，
当时，解得：，
此时点N的坐标为或；
当时，解得：（舍去），
此时点N的坐标为；
综上，点N的坐标为或或．
考点06二次函数的平移
一、解答题
1．（24-25九年级上·陕西安康·期末）已知二次函数的图象经过点．
(1)求的值和该二次函数图象的顶点坐标．
(2)若将该二次函数的图象向右平移2个单位长度，求新抛物线与轴交点的坐标．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了二次函数图象和几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）把点代入，即可求出，再把一般式化为顶点式，即可得到该函数图象的顶点坐标；
（2）利用“左加右减”的平移规律得到平移后的抛物线解析式，令，则，得到新抛物线与轴交点的坐标为．
【详解】（1）解：将点代入二次函数得，
解得：，
，
该二次函数图象的顶点坐标为．
（2）解：将二次函数的图象向右平移2个单位长度，
则新抛物线的函数表达式为．
令，则，
新抛物线与轴交点的坐标为．
2．（24-25九年级上·陕西延安·期末）已知二次函数，若将该二次函数图象向上平移m个单位长度，平移后的抛物线经过点，求m的值．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键：左加右减，上加下减．
根据二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”即可得出平移后的二次函数解析式，然后将点代入，得出关于的一元一次方程，解方程即可求出m的值．
【详解】解：二次函数的解析式为，
将该二次函数图象向上平移个单位长度后，所得抛物线的函数解析式为，
平移后的抛物线经过点，
，
解得：．
3．（24-25九年级上·北京丰台·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若将该抛物线向右平移3个单位得到抛物线G，直接写出抛物线G的解析式．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，熟知以上知识是解题的关键．
（1）把点，代入，求出、的值即可得出结论；
（2）把（1）中抛物线的解析式化为顶点式的形式，再根据“左加右减”的法则即可得出结论．
【详解】（1）解：抛物线经过点，，
，
解得，
此抛物线的解析式为；
（2）解：由（1）知，抛物线的解析式为，
将该抛物线向右平移3个单位得到抛物线的解析式为：，
即．
4．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）已知二次函数（、为常数）．
(1)若把二次函数的图象向下平移1个单位长度，再向左平移5个单位后，所得的抛物线的顶点坐标为，求，的值；
(2)若点，在二次函数的图象上，且，求的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】此题考查了二次函数的平移，二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）根据题意得到平移后的表达式为，然后根据平移规律求解即可；
（2）首先得到二次函数开口向上，然后分和两种情况讨论，分别求解即可．
【详解】（1）根据题意得，平移后的表达式为
∴原二次函数表达式为
∵二次函数
∴，；
（2）∵二次函数中二次项系数为
∴开口向上，
∵点，在二次函数的图象上，且，
∴当时，即时，
解得
∴
当时，
解得
综上所述，．
5．（24-25九年级上·江苏南通·期末）已知平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于点．
(1)若将点向右平移4个单位，再次落在该函数的图象上，则的值为____________；
(2)在（1）的条件下，若点，均在该函数的图象上，且，求的取值范围；
(3)当时，这个二次函数的最小值为3，求的值．
【答案】(1)2
(2)
(3)或5
【分析】本题主要考查了二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征、坐标与图形变化——平移，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
（1）依据题意，由二次函数的图象交轴于点，可得，又将点向右平移4个单位得到，故此时在二次函数上，从而计算得解；
（2）依据题意，由点，在二次函数的图象上，从而，，结合，故，进而计算可以得解；
（3）依据题意，分当、和进行分类讨论，进而计算可以得解．
【详解】（1）解：由题意，二次函数的图象交轴于点，
，
将点向右平移4个单位得到，
又此时在二次函数上，
，
，
故答案为：2；
（2）解：∵点，在二次函数的图象上，
，
，
，
，
．
（3）解：①当时，
二次函数在的范围内随的增大而增大，
当时，的最小值为3．
，
解得，（舍去）；
②当时，
二次函数的最小值为，不合题意，舍去；
③当时，
二次函数在的范围内随的增大而减小，
当时，的最小值为3．
，
解得（舍去），．
综上可知，的值为或5．
6．（24-25九年级上·江苏期末）已知二次函数的图象经过点，．
(1)求，的值；
(2)求出顶点坐标，并在所给平面直角坐标系中画出二次函数的图象；
(3)如果此抛物线上下平移后过点，试确定平移的方向和平移的距离．
【答案】(1)
(2)顶点坐标为，图象见解析
(3)向下平移10个单位
【分析】（1）利用待定系数法，将，代入，即可求解；
（2）将二次函数解析式化为顶点式，即可求出顶点坐标；再根据画函数图象的步骤画图即可；
（3）把代入，得，即点向下平移10个单位得到点．
【详解】（1）解：将，代入，
得，
解得：；
（2）二次函数，
画函数图象的步骤：
列表：
x … 0 1 2 3 4 …
… 3 0 0 3 …
描点：
连线：
图象如图所示，
顶点坐标为，对称轴是直线；
（3）把代入，
得，
点向下平移10个单位得到点，
所以需将抛物线向下平移10个单位．
考点07二次函数的实际应用
一、解答题
1．（23-24九年级上·北京丰台·期末）如图1，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图2是灌溉车浇水操作时的截面图．现将灌溉车喷出水的上、下边缘线近似地看作平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．已知喷水口H离地竖直高度为，草坪水平宽度，竖直高度忽略不计.上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，设灌溉车到草坪的距离为d（单位：m）．
(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程的长；
(2)下边缘抛物线落地点B的坐标为______；
(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为______．
【答案】(1)喷出水的最大射程为
(2)
(3)
【分析】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键．
（1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得a的值，从而解决问题；
（2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得点B的坐标；
（3）根据点坐标以及草坪宽度可得结论．
【详解】（1）解：由题意得是上边缘抛物线的顶点，
设，
又∵抛物线过点，
∴
∴，
∴上边缘抛物线的函数解析式为，
当时，，
解得（舍去），
∴喷出水的最大射程为；
（2）解：∵对称轴为直线，
∴点的对称点为，
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，
∴点B的坐标为，
故答案为：；
（3）解：∵，
，
，，
，，
，
∴要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为，
故答案为：．
2．（24-25九年级上·北京·期末）某兴趣小组在老师们的带领下自制一种小球发射器，已知该发射器的小球出口C离地竖直高度OC=1.6米．如图，小球在最大档位和最小档位的力度发射出去的路线可以抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，矩形为移动的接球盒，其中米，米，最小档位发射的抛物线可以看作由最大档位发射的抛物线向左平移得到，最大档位抛物线最高点D离出球口的水平距离为2米，高出出球口0.4米．
(1)求最大档位时小球射出的抛物线的函数表达式，并求出小球射出的最大射程OA；
(2)最小档位发射的抛物线可以看作由最大档位发射的抛物线向左平移个单位长度而得到；
(3)要使接球盒能接住所有档位射出的小球（即射出的小球都能落入水平移动的接球盒中），请直接写出接球盒距发射器的水平距离的取值范围．
【答案】(1),小球最大射程为米
(2)4
(3)
【分析】本题考查二次函数的实际应用，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键．
（1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得的值，从而解决问题；
（2）由对称轴知点的对称点为，则最小档位的抛物线是由最大档位的抛物线向左平移得到的，即可得出结论；
（3）根据，令解方程求出的值，再根据最小档位的抛物线是由最大档位的抛物线向左平移得到的，求出的取值范围．
【详解】（1）解：由题意得，，
设抛物线解析式为．
抛物线经过点，
，
解得，
最大档位时射出小球的抛物线的函数解析式为；
当时，则，
，（舍去），
小球最大射程为米；
（2）解：抛物线的函数解析式为，
对称轴为直线，
点的对称点为，
最小档位时射出的抛物线是由最大时的抛物线向左平移4米得到的，
故答案为：4；
（3）解：，
令，则．
解得，（舍，
要使接球盒能接住小球．
由（2）知，最小档位抛物线是由最大档位抛物线向左平移4米得到的，
，
即接球盒距发射器的水平距离的取值范围为．
3．（24-25九年级上·山西大同·期末）如图1，悬索桥两端主塔塔顶之间的主索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主索之间用垂直吊索连接．已知两端主塔之间水平距离为，两主塔塔顶距桥面的高度为，主索最低点P离桥面的高度为，若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系．
(1)求这条抛物线对应的函数表达式；
(2)若在抛物线最低点P左下方桥梁上的点处放置一个射灯，该射灯光线恰好经过点P和右侧主索最高点D．
（i）求主索到射灯光线的最大竖直距离；
（ii）现将这个射灯沿水平方向向右平移，并保持光线与原光线平行，若要保证该射灯所射出的光线能照到右侧主索．则最多向右平移___________米．
【答案】(1)
(2)（i）最大距离为 （ii）
【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数的性质，正确记忆相关知识点是解题关键.
（1）利用待定系数法代入数据求解即可；
（2）（i）作垂直与x轴的直线与，抛物线分别交于.利用解析书求取线段的表达式，分情况讨论比较即可得到结论;
（ii）根据题意分别求出原直线与平移后直线与轴的交点，相减即可得到结论.
【详解】（1）解：由题意可知,抛物线的顶点为，
设抛物线的解析式为：，
由∵，
，
解得：，
∴解析式为：；
（2）(i)设直线为
将 ，代入可得
，解得：，
解析式为；
如图，作垂直为轴的直线交于，交抛物线于点，设点的坐标为则为 ，
当时，
，
故时有最大值；
当时，
，
时，随的增大而减小，，
∴当时，有最大值为：，
综上所述，最大距离为；
(ii)设平移后的直线为：，
联立 ，
，
当 时 ，
解得：，
时, ，
时, ，
∴向右最多平移 (米)，
故答案为: .
4．（24-25九年级上·陕西安康·期末）问题提出（1）当时，二次函数的最大值为______．
问题探究（2）已知二次函数是常数，的图象经过两点，平移该函数的图象，使其顶点始终在直线上，求平移后所得抛物线与轴交点的纵坐标的最大值．
问题解决（3）某养殖户利用一段围墙（围墙足够长）为一边，用总长为的围网围成了如图所示的三块矩形区域，且这三块矩形区域的面积相等．设的长度为，矩形区域的面积为，当为何值时，有最大值？最大值是多少？
【答案】（1）3；（2）；（3）当时，有最大值，最大值是
【分析】（1）由题意知，，则对称轴为直线，图象开口向下，然后根据二次函数的图象与性质求当时的即可；
（2）待定系数法求得二次函数的解析式为．由顶点始终在直线上，可知抛物线横、纵坐标平移的距离相同，设平移后的抛物线为，令，表示，然后根据二次函数的图象与性质进行求解作答即可；
（3）由题意知，，即．设，则．由周长为列等式，整理得，解得，，根据，可得，即，．根据二次函数的图象与性质求解作答即可．
【详解】（1）解：由题意知，，
∴对称轴为直线，图象开口向下，
∴当时，随的增大而减小，
∴时，，
故答案为：3；
（2）解：将代入得，，
解得，
二次函数的解析式为．
顶点始终在直线上，
抛物线横、纵坐标平移的距离相同，设平移后的抛物线为，
令，则，
∵，
平移后所得抛物线与轴交点的纵坐标的最大值为．
（3）解：三块矩形区域的面积相等，
，
∴．
设，则．
，
∴，
解得，，
∵，
解得，
∴，
∴．
∵，，
当时，有最大值，最大值是300．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数解析式，二次函数的应用，二次函数的最值，二次函数图象的平移等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．函数的图像的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的顶点式，顶点坐标为．根据二次函数的顶点式 的顶点坐标是，直接写出即可．
【详解】解：∵函数是顶点形式，
∴顶点坐标是．
故选：C．
2．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，再结合相关图象即可求出结果．
【详解】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的，
∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故C选项错误；
当时，二次函数开口向上，一次函数必经过一、三象限，故D选项错误；
当时，二次函数开口向下，一次函数必经过二、四象限，故A选项错误，B选项正确．
故选：B．
3．已知点，，都在二次函数的图象上，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据二次函数图象的性质可得关于对称轴的对称点为点，再由当时，y随x的增大而增大，即可求解．
【详解】解：∵二次函数，
∴二次函数的图象的对称轴为直线，
∴关于对称轴的对称点为点，
∵二次项系数，
∴当时，y随x的增大而增大，
∵点，都在二次函数的图象上，且，
∴．
故选：C
4．抛物线的部分图象如图所示，则一元二次方程的根为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质，将交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题的关键，由图象可知的根即为直线与抛物线的交点横坐标，是其中一个根，再根据抛物线的对称性可得另一根．
【详解】解：由图象可知的根即为直线与抛物线的交点横坐标，是其中一个根，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴另一个根为．
故选：C．
5．如图，直线与抛物线交于点A，B，且点A在y轴上，点B在x轴上，则不等式的解集为（ ）．
A．或 B．
C． D．或
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据交点坐标确定不等式的解集，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出，再结合直线与抛物线交于点A，，且点A在y轴上，运用数形结合思想，即可作答．
【详解】解：∵点B在抛物线上，且点B在x轴上，
∴令则，
∴
观察函数图象，得出点B在x轴的正半轴，即
∵直线与抛物线交于点A，，且点A在y轴上，
∴结合函数图象，得不等式的解集为，
故选：B
6．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是，则他将铅球推出的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，把函数问题转化为方程问题来解，渗透了函数与方程相结合的解题思想方法．
根据题意可得推出的距离就是当高度时，x的值，所以解方程可求解．
【详解】解：依题意，令，则，
整理得
解得： （舍去），
∴他将铅球推出的距离为
故选：C
7．如表记录了二次函数中两个变量与的组对应值，其中，
… …
… …
根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象与性质，通过表格数据可得直线对称轴，则可得出，从而求出，再根据二次函数的性质即可求解，掌握二次函数图象与性质是解题的关键．
【详解】解：∵点和关于对称轴对称，
∴对称轴，
∵点和在抛物线上，且对称轴，
∴，
设抛物线为，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
则当时，，当时，，当时，，
∵当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，
∴的取值范围是，
故选：．
8．图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为了一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2．已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确地求出函数解析式是解题的关键．先建立直角坐标系，再根据题意设抛物线的解析式，然后根据点在抛物线上，可求出抛物线的解析式，最后将代入求出x的值，即可得的长．
【详解】解：以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，
，
设抛物线的解析式为，
将代入，
得，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
将代入得：，
解得：，
，
故选：A．
9．如图，开口向上的抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②；③当时，随的增大而减小；④当时，关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确的结论是（ ）
A．①③④ B．②③④ C．②③ D．①②④
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与轴的交点，综合判断即可．掌握二次函数的图象与系数之间的关系是解题的关键．
【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，
即，
∴，即，故①正确；
∵开口向上的抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，
∴抛物线与轴的另一个交点坐标为，
∴当时，，
∴，故②错误；
∵对称轴为直线，开口向上，
∴当时，随的增大而减小，即当时，随的增大而减小，故③正确；
∵对称轴为直线，开口向上，
∴当时，抛物线是最小值，
∴当时，直线与抛物线有两个交点，
∴当时，关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，故④正确．
综上所述，其中正确的结论是①③④．
故选：A．
10．二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④；其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．②③④ D．①②③④
【答案】B
【分析】根据图象得出，结合图象上的点和与x轴交点个数即可逐项判断．本题考查了二次函数的图象与系数的关系的应用，题目比较典型，主要考查学生的理解能力和辨析能力．
【详解】解：∵二次函数的图象的开口向下，
∵二次函数的图象与轴的交点在轴的正半轴上，
∵二次函数图象的对称轴是直线，
，
∴
∴①错误，②正确；
∵二次函数图象与x轴有两交点，
∴，故③正确；
∵二次函数图象可知，当时，，
∴，故④错误；
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．已知点是抛物线上的一点，则a的值为 ．
【答案】3
【分析】本题考查了二次函数的性质．由于点P在抛物线上，将其横坐标代入抛物线方程，即可求得纵坐标a的值．
【详解】解：∵点是抛物线上的一点，
∴，
故答案为：3．
12．某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，水柱所在抛物线第一象限部分的函数解析式为雕塑的高为 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的实际应用，掌握相关知识是解决问题的关键．解题思路是明确求雕塑的高即求抛物线与y轴交点的纵坐标，将代入抛物线解析式计算即可．
【详解】解： 将代入抛物线解析式，
．
故答案为：．
13．若原点是抛物线的顶点，则抛物线的开口向 ．
【答案】上
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法是解题的关键．
由顶点在原点，得出对称轴为y轴，从而求出a的值，再根据二次项系数的正负判断开口方向．
【详解】解：抛物线方程为 ，其顶点在原点，
，
，
解得：，
代入原方程，得 ，
二次项系数 ，
抛物线开口向上，
故答案为：上．
14．在二次函数中，自变量与函数的部分对应值如下表：
则表中的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质，由表可知当时，，当时，；当时，，当时，，从而得出抛物线的对称轴为直线，然后求出的值即可，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：由表可知，当时，，当时，，
∴抛物线的对称轴为直线，
又当时，，当时，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，解得：，
故答案为：．
15．近年来，随着施工技术的不断发展，渠道设计已由原来单一的梯形向多元化形式变化．其中抛物线形渠道就是一种明渠断面形式．如图是一个抛物线形渠道的断面图．现测得渠道的断面宽度，渠道顶点与断面所在水平直线的距离，以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，当渠道内的水深时，水面宽 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意和平面直角坐标系，设函数关系式为，将带入即可求出函数解析式，进而问题可求解．
【详解】解：由平面直角坐标系得，，，
设函数关系式为，
，
解得，
，
当时，则，
解得，
水面宽，
故答案为：．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（10分）已知：二次函数．
(1)通过配方，将其写成的形式；
(2)求出图象与轴的交点、的坐标；
(3)为何值时，；
(4)当________时，随的增大而减少．
【答案】(1)
(2)点坐标为，点坐标为
(3)或
(4)
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数顶点解析式等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数图象的性质和解析式之间的转化．
（1）利用配方法即可将函数解析式的一般式转化成顶点式；
（2）利用二次函数和一元二次方程的关系，当为0时，求出的值，即可求出交点坐标；
（3）根据二次函数图象的性质即可判定的取值范围；
（4）利用函数图象的性质，开口方向，顶点坐标，即可得出答案．
【详解】（1）解：
（2）解：
∴点坐标为，点坐标为．
（3）解：根据二次函数的解析式可知，
，抛物线开口向下，
由（2）得抛物线与轴的交点分别为，
根据图象的性质可得，
当或时，．
（4）解：由可知，抛物线的顶点坐标为，
，抛物线开口向下，
∴当时，随的增大而减少．
17．（8分）已知二次函数．
(1)当时，求函数图象与x轴的交点坐标．
(2)若该函数图象与x轴没有交点，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)这样的实数不存在，见解析
【分析】本题考查了抛物线与x轴交点问题，解题关键是根据数形结合的方法，判断取值范围．
（1）把代入，得二次函数，求出当时，x的值即可求出结论；
（2）因为，所以该函数图象与轴必有交点，即可得出结论．
【详解】（1）解：当时，二次函数，
当时，，
解得：，
∴函数图象与x轴的交点坐标；
（2）解：因为，
所以该函数图象与轴必有交点，
若使该函数图象与轴没有交点，这样的实数不存在．
18．（8分）某商店销售一种成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨1元，月销售量就减少10千克．
(1)写出月销售利润y（单位：元）与销售价x（单位：元/千克）之间的函数解析式．
(2)当销售价定为多少元时会获得最大利润？
【答案】(1)
(2)当销售价定为70元时会获最大利润
【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意；
（1）由题意易得月销售量为，然后可列出函数关系式；
（2）根据（1）可得，然后根据二次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）解：由题意得：
月销售量为，
∴；
（2）解：由题意，结合（1）
，
又∵，
∴当时，y最大，最大值为9000．
答：当销售价定为70元时会获最大利润．
19．（8分）在平面直角坐标系中，二次函数经过点与点
(1)求m，n的值．
(2)若点，为该二次函数图象上的两个不同点其中a，b为常数，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．
先将点A的坐标代入函数解析式求出m的值，再将点B的坐标代入计算即可；
先求出a，b的值，据此得出的长，再结合点B的坐标进行计算即可．
【详解】（1）解：将点A的坐标代入得：，
解得：，
所以二次函数解析式为
将点B的坐标代入得，
，
解得，
所以；
（2）解：将代入得，
，
解得：或，
所以，
则点C坐标为，点D坐标为，
所以．
又因为点B坐标为，
所以的面积为：
20．（8分）如图1,在长方形中，，，点从点开始沿边向点以1厘米/秒的速度移动，点从点开始沿边向点以2厘米/秒的速度移动，如果、分别从同时出发，请问：
(1)经过几秒时，的面积等于8平方厘米？
(2)经过几秒时，五边形的面积最小 最小值是多少？
【答案】(1)2或4
(2)
【分析】本题考查二次函数的应用，根据已知条件列出解析式是解题的关键．
（1）设运动时间为秒，则,，根据三角形的面积公式列出方程，解方程即可；
（2）由（1）知，，该函数图象开口向下，有最大值，根据顶点坐标公式求出顶点坐标，五边形的面积最小值等于矩形面积减去的面积的最大值，据此计算求解即可．
【详解】（1）解：设运动时间为秒，则,
则，
即，
解得或
答：经过2秒或4秒时，的面积等于8平方厘米；
（2）解：设运动时间为秒，则,
则，
当时，有最大值，最大值为，
则五边形的面积最小值为：，
答：经过3秒时,五边形的面积最小，最小值是．
21．（9分）阅读与思考
下面是小雨同学的数学学习笔记的部分内容，请认真阅读，并完成后面的任务．
“k倍点”【概念理解】如果在抛物线上存在一点P，使它的纵坐标是横坐标的k倍，那么我们把这样的点P称为“k倍点”．例如，抛物线的“3倍点”为或【问题提出】问题1：抛物线的“2倍点”（原点除外）的坐标为▲．问题2：若抛物线上有两个不同的“3倍点”，求m的取值范围．【问题解答】解：设该抛物线上的“3倍点”为，则有，即该抛物线有两个不同的“3倍点”，一元二次方程有两个不同的实数根，
任务：
(1)问题1中，“▲”处应填写______．
(2)补全问题2中剩余的解答过程．
(3)若抛物线仅有一个“k倍点”，求k的值．
【答案】(1)；
(2)且；
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程得关系、二次函数的应用，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据题意建立方程求解即可；
（2）依据题意补全过程求m范围即可；
（3）参考（2）中过程求解即可．
【详解】（1）解：由题可知，
解得舍去或，
将代入得，
抛物线的“2倍点”原点除外的坐标为，
故答案为：；
（2）解：由整理得，
，
解得，
又，即，
的取值范围为且；
（3）解：是抛物线，
，
设抛物线的“k倍点”坐标为，
点在抛物线上，
整理得，
抛物线仅有一个“k倍点”，
一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得．
22．（12分）在综合实践课上，数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题，实践报告如下：
活动课题 设计围篱笆的方案
活动工具 直角三角板、量角器、皮尺、篱笆等
活动过程 【了解场地】如图，测出墙与墙的夹角是；【设计图纸】用篱笆围成一个梯形的菜园，梯形满足，，且边上留一个米宽的门；【准备材料】现有篱笆（虚线部分）的长度是．
解决问题 如何围篱笆才能使其所围梯形的面积最大？最大面积是多少平方米？
(1)请你帮助兴趣小组解决以上问题．
(2)王爷爷利用兴趣小组的成果围篱笆建造小菜园，并在农贸市场销售蔬菜，销售过程中，王爷爷发现：销售单价定为每斤黄瓜7元时，可售出20斤，销售单价每上涨0.5元，每天销量减少2斤，王爷爷的黄瓜成本为每斤2元．请你帮王爷爷计算出销售单价多少元时，每日利润为96元．
【答案】(1)当的长度为米时，才能使其所围梯形的面积最大，最大面积是平方米
(2)销售单价为8元时，每日利润为96元
【分析】本题考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用；
（1）过点作于点，则四边形是矩形，则，进而证明，设米，所围梯形的面积为，则米，米，利用梯形的面积公式，可找出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题；
（2）设黄瓜的销售单价为元，则每斤的销售利润为元，每天可售出斤，利用每日利润每斤的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，过点作于点，则四边形是矩形，则，
，
设米，所围梯形的面积为，则米，米，
根据题意得：，
即
，
当时，取得最大值，最大值为．
答：当的长度为米时，才能使其所围梯形的面积最大，最大面积是平方米；
（2）解：设黄瓜的销售单价为元，则每斤的销售利润为元，每天可售出斤，
根据题意得：，
整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），．
答：销售单价为元时，每日利润为元．
23．（12分）综合与探究
如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，D是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)如图2，在此抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图3，为抛物线上的一点，为第一象限抛物线上的一点，连接．若，直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】对于（1），将点代入关系式，求出方程组的解即可；
对于（2），先根据两点之间线段最短，连接交对称轴于点P，再求出直线的关系式，进而求出答案；
对于（3），作，交的延长线于点F，过点D作平行于x轴的直线，过点F作，作，再求出，根据“角边角”证明，可得点，然后求出直线的关系式，将两个函数关系式联立求出解即可得出答案．
【详解】（1）解：设二次函数关系式为，将点代入，得
，
解得，
∴二次函数关系式为；
（2）解：∵点A，点B关于对称轴对称，
∴，
即，
根据两点之间线段最短，连接交对称轴于P．
设直线的关系式为，将点代入，得
，
解得，
∴直线的关系式为．
∵二次函数关系式为的对称轴是，
当时，，
∴点；
（3）解：如图所示，过点D作，交的延长线于点F，过点D作平行于x轴的直线，过点F作，作，
∴，
∴．
当时，，
∴点．
∵点，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴点．
设直线的关系式为，将点代入，得
，
解得，
∴直线的关系式为，
将两个函数关系式联立，得
，
解得，
∴，
所以点．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式，求一次函数关系式，全等三角形的性质和判定，根据轴对称求线段和最小问题，二次函数与一次函数的交点问题，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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