资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2025-2026人教版济南九年级数学期末专项训练
专题05 旋转（高频考点归纳+解析+单元检测）
考点01 旋转的概念与性质
考点02 轴对称与中心对称图形的识别
考点03 关于原点对称的点的坐标
考点04 利用旋转性质作图
考点05利用旋转的性质计算与证明
考点06旋转中的几何模型
考点01 旋转的概念与性质
1．（24-25九年级上·北京朝阳·期末）如图，在正方形网格中的这两个格点三角形的旋转中心是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
2．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，将三角形绕点顺时针旋转得到三角形．若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25九年级上·北京·期末）如图，绕某点旋转得到，则其旋转中心的坐标是 ．
4．（24-25九年级上·陕西渭南期末）如图，在的方格纸中，格点四边形甲经过旋转后得到格点四边形乙，则其旋转中心是点 ．
5．（24-25九年级上·山西运城·期末）在平面直角坐标系中，如图所示，
(1)请画出向右平移5个单位后得到的．
(2)经过一次旋转得到
①请直接写出旋转中心点P的坐标_______．
②经过怎样的旋转可以得到？
6．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，网格中每个小正方形边长为1，的顶点都在格点（网格线的交点）上，利用网格画图．
(1)在图（1）中画出将先向上平移3格，再向左平移2格，得到的（点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为），请在图上标出，并求出线段扫过图形的面积为__________；
(2)通过旋转可以使其与重合，请用无刻度的直尺在图（2）中确定旋转中心（保留作图痕迹），并标出点．
考点02 轴对称与中心对称图形的识别
1．（24-25九年级上·北京通州·期末）下列图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·山西临汾·期末）下列图形是我国部分银行的行徽标志，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．（22-23九年级上·浙江台州·期末）志愿服务，传递爱心，传递文明．下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·江苏淮安·中考真题）中国古典建筑中的镂空砖雕图案精美，下列砖雕图案中不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
考点03 关于原点对称的点的坐标
1．（24-25九年级上·山西长治·期末）点关于原点对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则的值为 ．
3．（24-25九年级上·山西运城·期末）已知平面直角坐标系中，与关于原点中心对称．若点的坐标为，则点的对应点的坐标为 ．
4．（22-23九年级上·北京西城·期末）在平面直角坐标系xOy中，点关于原点的对称点坐标为 ．
5．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）若点与点关于坐标原点对称，则的值为 ．
6．（24-25九年级上·山西忻州期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)将向右平移6个单位长度得到，请画出．
(2)画出关于点O的中心对称图形．
7．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)平移到，其中点A的对应点的坐标为，请在图中画出；点的坐标为___________；
(2)请画出绕原点旋转180°得到的；点的坐标为___________；
(3)若绕某点旋转可以得到，则旋转中心的坐标为___________．
考点04 利用旋转性质作图
1．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上．
(1)将向右平移5个单位长度，得到，请画出；
(2)与关于直线对称，请画出；
(3)将绕点顺时针旋转，得到，请画出．
2．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：，，．
(1)平移，使点的对应点的坐标为，请在图中画出平移后得到的；
(2)将绕点顺时针旋转得到，请在图中画出．
3．（24-25九年级上·北京·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，以点A为圆心，长为半径画弧，交轴正半轴于点C．
(1)画出点C，并直接写出线段的长及点C的坐标；
(2)将线段平移至，其中点A与点对应，点B与点对应，画出线段，并直接写出a，b的值．
4．（24-25九年级上·北京大兴·期末）如图，点A，点B在由边长为1的小正方形组成的网格的格点上．
(1)将线段绕点A逆时针旋转，画出旋转后的线段；
(2)在网格格点上除点外取一点C，使为等腰三角形，请标出所有满足条件的点C的位置．
5．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
(1)将绕坐标原点O逆时针旋转，得到，请在图中画出；
(2)直接写出（1）中点的坐标：___________．
6．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）仅使用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．
(1)如图1，已知点是长方形边的中点，过点作长方形的对称轴；
(2)如图2，在方格纸上画出绕点按顺时针方向旋转后的图形．
7．（24-25九年级上·江苏南京·期末）在平面内，线段绕点O按某个方向旋转一定角度得到线段，点A的对应点是，为旋转角．
提出问题
如图（1），求作一个点O和一条线段，使得．
分析问题
（1）如图（2），先画出需作线段和旋转中心O，尝试建立可作图形和需作图形关系：连接，，可知（______）（填推理依据）．
连接，根据，可作…
解决问题
（2）请按上述思路，在图（1）中完成需作图形．
问题拓展
（3）已知：如图（3），是一段不规则曲线，是以点M为圆心的圆．求作一点O和一条线段，使得点O在上，点在上．
（要求：用直尺和圆规作图；保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．）
考点05利用旋转的性质计算与证明
1．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，在边长为6的正方形中，是边上一动点，连接，把线段绕点逆时针旋转到线段，连接，则线段的最小值为（　　）
A． B． C． D．
2．（23-24九年级上·山西临汾期末）如图，绕点顺时针旋转到的位置，已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25九年级上·北京·期末）如图，将绕点B顺时针旋转得到，A，C的对应点分别为D，E，的延长线分别交，于点F，G，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25九年级上·陕西·期末）如图，在中，，将绕点顺时针旋转角至，使得点恰好落在边上，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，将绕点顺时针旋转，使点的对应点落在边上．若，则 °．
6．（24-25九年级上·山西吕梁期末）如图，将矩形绕点B顺时针旋转至的位置，连接，取，的中点M，N，连接，若，，则 ．
7．（24-25九年级上·北京·期末）如图，M是等腰直角三角形的边的中点，且，P是平面内一动点，且与点M之间的距离为1，连接，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，则的最小值为 ．
考点06旋转中的几何模型
1．（24-25九年级上·山西晋中·期末）综合与探究
【问题情景】
一节数学综合实践课上，刘老师与同学们以“线段的旋转”为背景进行了探究，具体如下：
已知：如图1，在中，，，点是边上的一点（不与A、重合），连接，将沿绕点按逆时针方向旋转得到，连接．
【猜想证明】
（1）如图2，若连接，求证：；
【深入探究】
（2）如图3，若取的中点，连接，且设它们交于点，试判断与的数量关系与位置关系，并说明理由；
方法一：延长到H，使得，连接……
方法二：延长到H，使得，连接……
请选择其中一种方法做出解答．
（3）如图1，在点的选取过程中，若是等腰三角形时，直接写出的长度．
2．（24-25九年级上·陕西西安·期末）问题提出
（1）如图1，一点是矩形内部一点，且，，延长交于点，连接，则的度数为________；
问题解决
（2）如图2，在菱形中，，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段（点在菱形内部），延长交于点，连接，，求的度数；
拓展探究
（3）如图3，在正方形中，，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段（点在正方形内部），连接，，过点作交的延长线于点，交于点，当是等腰直角三角形时，求的长度及五边形的面积．
3．（24-25九年级上·北京大兴·期末）在中，，，将边绕点B逆时针旋转，得到线段，连接，过点B作的垂线交于点E，交延长线于点M，连接．
(1)求的度数；
(2)用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
4．（25-26九年级上·江苏南通·期末）（1）如图①，在等边三角形中，点B，C在直线上，E为边上的一点，连接，并把线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，则线段与的数量关系是 ，线段与直线所夹锐角的度数是 ．
（2）如图②，在等边三角形中，点B，C在直线上．若E为延长线上的一点，连接，并把线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，上述两个结论还成立吗？请说明理由．
（3）如图③，在正方形中，点B，C在直线上，E为直线上的任意一点，连接，并把线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，若正方形的边长为2，则当时，求线段的长．
5．（22-23九年级上·山东聊城·期末）在等边三角形的内部有一点D，连接，，以点B为中心，把逆时针旋转得到，连接，．以点C为中心，把顺时针旋转得到，连接，．
(1)判断和的大小关系，并说明理由；
(2)求证：；
(3)求证：四边形是平行四边形．
6．（24-25九年级上·山东日照·期末）在平面直角坐标系中，已知矩形，点，现将矩形绕点O逆时针旋转得到矩形，点B、C、D的对应点分别为点E、F、G．
(1)如图1，当点E落在边上时，线段 ，旋转角 °；
(2)在（1）的条件下，求直线的函数表达式；
(3)如图2，当C、E、F三点在一直线上时，所在直线与分别交于点H、M，求线段的长度．
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得平行，则度数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，将绕点旋转得到．设点的坐标为，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，将先向右平移1个单位，再绕点P按顺时针方向旋转，得到，则点C的对应点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，菱形的对角线、交于点，将绕着点C旋转得到，连接，则的长是(　　)
A．3 B．4 C．5 D．7
6．如图，点是正方形内一点，连接、、，将绕点顺时针旋转到的位置．若，，，则求的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，将绕点C顺时针旋转得到，若，则等于（ ）．
A． B． C． D．
8．如图，在等腰三角形中，，，边在轴上，将绕原点逆时针旋转，得到，若，则点的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在中，，，将绕点逆时针方向旋转60°到的位置，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C．3 D．2
上，将线段绕点顺时针旋转，点落在边上点处，连结，若，，则的长为（ ）
A． B．9 C． D．10
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为 ．
12．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转，得到，连接交于点，则与的周长之和为 ．
13．如图，在中，，D、E是斜边上两点，连接、，且，将绕点A顺时针旋转后，得到，连接，若的周长为4，则的长度为 ．
14．如图，将绕直角边的中点H旋转，得到．若的直角顶点D落在的斜边上，与交于点G，且恰好是以为底边的等腰三角形，则 ．
15．如图，在等边中，D是边上一点，连接．将绕点B逆时针旋转得到，连接．若，，则的周长是 ．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．(9分)如图，是正方形的边上一点，是边上一点，逆时针旋转后能够与重合．
(1)写出它的旋转中心；
(2)旋转角至少是多少度？
(3)______（填“＞”或“＝”或“＜”）．
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
(1)画出关于轴对称的；
(2)画出关于原点成中心对称的．
18．（8分）如图所示，，，，绕点B逆时针旋转得到，连接．
(1)求证：；
(2)连接，求的长．
19．(9分)直角坐标系中，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）的坐标A、B、C分别为，
(1)求三角形的面积
(2)以点C为旋转中心，将三角形旋转得到三角形，直接写出点的坐标．
(3)已知，在x轴上找点P使得三角形为等腰三角形，在图中画出点P并写出点P坐标．
20．（8分）如图，在正方形中，E、F是对角线上的两点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
21．(9分)阅读与思考
阅读下面材料（摘自华师大数学八年级下P127），完成以下问题．
图形的等分如图1，将一张矩形纸片顺着中缝翻折，其折痕，也就是一组对边中点的连线所在的直线，将这个矩形一分为二，两部分的形状与大小完全一样．我们现在探究的图形的等分，着眼于面积的等分．那么是否还存在其他直线，也能将这个矩形分成面积相等的两部分呢？你肯定会说，那当然有！对角线所在的直线也可以（如图2）．你还能发现其他直线吗？它们之间有什么共同的规律呢？如果想用两条直线将一个矩形分成面积相等的四部分，那么应该如何画出这两条直线呢？你可能马上想到两组对边中点的连线所在的直线与两条对角线所在的直线（如图3）．你还能找到其他直线吗？它们之间又有什么规律呢？我们知道，矩形是一种特殊的平行四边形，对于一般的平行四边形（如图4），是否和矩形一样，也存在这样的直线，将其面积二等分，或进一步将其面积四等分？它们之间又有什么规律呢？
问题1：二等分平行四边形的面积，除以下两种方法以外（图5、图6），你还有其他什么方法呢？请在图7中画出来并写出作法；
问题2：如图8，该平面图形是由6个边长为1的小正方形组成，通过以上二等分平行四边形的面积的过程，请你用一条直线将该图形分成面积相等的两部分；（要求用2种不同方法，并写出作法）
问题3：如图9，在平面直角坐标系中，将正方形和如图放置，点恰好是边的中点．已知，是否存在一条直线将整个图形的面积二等分？若存在，画出该直线并求出该直线的函数解析式；若不存在，请说明理由．
22．（12分）在“综合与实践”课上，同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动：
(1)【探究发现】
如图1，在正方形中，点是边上任意一点，以点为中心，将顺时针旋转，使得点与点重合得到，连接．则是______三角形．
(2)【联想拓展】
如图2，若点是正方形的对角线上一点，将顺时针旋转得到，连接．求证：．
(3)【迁移应用】
如图3，已知菱形，，，点是菱形的对角线上一点，将顺时针旋转得到，连接．当时，求．
23．（12分）综合与探究
(1)如图1，在中，，，D（不与点B，C重合）为边上的一点，将线段绕点A逆时针旋转后，得到，连接，．
①求的度数．
②探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，在中，，，D（不与点B，C重合）为边上的一点，将线段绕点A逆时针旋转后，得到，连接．请探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，在四边形中，，，，，直接写出的值．
2025-2026人教版济南九年级数学期末专项训练
专题05 旋转（高频考点归纳+解析+单元检测）
考点01 旋转的概念与性质
考点02 轴对称与中心对称图形的识别
考点03 关于原点对称的点的坐标
考点04 利用旋转性质作图
考点05利用旋转的性质计算与证明
考点06旋转中的几何模型
考点01 旋转的概念与性质
1．（24-25九年级上·北京朝阳·期末）如图，在正方形网格中的这两个格点三角形的旋转中心是（ ）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】C
【分析】此题重点考查旋转的性质、勾股定理等知识，观察图形并且找出到两个格点三角形的每一组对应顶点的距离都相等的点是解题的关键．观察图形可知，点C到两个格点三角形的每一组对应顶点的距离都相等，再根据勾股定理进行验证即可．
【详解】解：如图，两个格点三角形分别为和，连接，
设正方形网格中的每个小正方形的边长均为1，
由勾股定理得，，
和的每一组对应顶点到点C的距离都相等，
两个格点和的旋转中心是点C，
故选：C.
2．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，将三角形绕点顺时针旋转得到三角形．若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了找旋转角，旋转的性质．先利用旋转的性质得到，，再利用，计算即可．
【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到，
∴，，
∵，
∴，
故选：B．
3．（24-25九年级上·北京·期末）如图，绕某点旋转得到，则其旋转中心的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质、找旋转中心，熟练掌握以上知识点，采用数形结合的思想是解此题的关键．
先根据旋转的性质得出点的对应点为点，点的对应点为点，连接、，作线段、的垂直平分线，它们的交点为，即可得到答案．
【详解】解：绕某点旋转，得到，
点的对应点为点，点的对应点为点，
如图，连接、，作线段、的垂直平分线，它们的交点为，
，旋转中心的坐标是，
故答案为：．
4．（24-25九年级上·陕西渭南期末）如图，在的方格纸中，格点四边形甲经过旋转后得到格点四边形乙，则其旋转中心是点 ．
【答案】
【分析】此题考查了旋转的性质．连接两组对应顶点，作对应顶点所连线段的垂直平分线，交于点即可．
【详解】解：如图，连接两组对应顶点，作对应顶点所连线段的垂直平分线，交于点，

故答案为：．
5．（24-25九年级上·山西运城·期末）在平面直角坐标系中，如图所示，
(1)请画出向右平移5个单位后得到的．
(2)经过一次旋转得到
①请直接写出旋转中心点P的坐标_______．
②经过怎样的旋转可以得到？
【答案】(1)见解析
(2)①；②绕点逆时针旋转可以得到
【分析】此题考查了平移和旋转的作图和性质，根据旋转和平移的性质进行解答即即可．
（1）根据平移方式作图即可得到答案；
（2）①根据旋转的特征找到旋转中心即可；②根据旋转的特征找到旋转三要素即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求，
（2）①旋转中心点P的坐标为，
故答案为：
②由题意可得，绕点逆时针旋转可以得到
6．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，网格中每个小正方形边长为1，的顶点都在格点（网格线的交点）上，利用网格画图．
(1)在图（1）中画出将先向上平移3格，再向左平移2格，得到的（点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为），请在图上标出，并求出线段扫过图形的面积为__________；
(2)通过旋转可以使其与重合，请用无刻度的直尺在图（2）中确定旋转中心（保留作图痕迹），并标出点．
【答案】(1)图形见解析，14
(2)图形见解析
【分析】本题考查作图-旋转变换、作图-平移变换；
（1）根据平移的性质作图即可；利用割补法计算即可．
（2）结合旋转的性质，连接，分别作线段的垂直平分线，相交于点，则点即为所求．
【详解】（1）解：如图（1），即为所求．
线段扫过图形的面积为．
故答案为：14．
（2）解：如图（2），连接，分别作线段的垂直平分线，相交于点，则绕点逆时针旋转可以与重合，
则点即为所求．
考点02 轴对称与中心对称图形的识别
1．（24-25九年级上·北京通州·期末）下列图形中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两边的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；如果将图形旋转后仍与原图形重合，这个图形即是中心对称图形，据此逐项判断即可．
【详解】A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故该选项正确；
B、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故该选项错误；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项错误；
D、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故该选项错误；
故选：A．
2．（24-25九年级上·山西临汾·期末）下列图形是我国部分银行的行徽标志，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【详解】解：A、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
故选：A．
3．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】、是中心对称图形，不是轴对称图形，该选项不合题意；
、是中心对称图形，不是轴对称图形，该选项不合题意；
、既是轴对称图形又是中心对称图形，该选项符合题意；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项不合题意；
故选：．
4．（22-23九年级上·浙江台州·期末）志愿服务，传递爱心，传递文明．下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
根据中心对称图形的定义逐项判断即可．
【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意；
B．是中心对称图形，符合题意；
C．不是中心对称图形，不符合题意；
D．不是中心对称图形，不符合题意．
故选B．
5．（2024·江苏淮安·中考真题）中国古典建筑中的镂空砖雕图案精美，下列砖雕图案中不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了中心对称图形，“图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心”，掌握以上知识是解答本题的关键；
本题根据中心对称图形的知识，进行作答，然后即可求解．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故该选项符合题意；
B、是中心对称图形，故该选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故该选项不符合题意；
D、是中心对称图形，故该选项不符合题意；
故选：A；
考点03 关于原点对称的点的坐标
1．（24-25九年级上·山西长治·期末）点关于原点对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特点，根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
【详解】解：根据中心对称的性质，可知：点关于原点对称的点的坐标为．
故选B ．
2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了关于原点成中心对称的点的坐标特点，代数式求值，解题的关键在于根据对称求出的值．
根据关于原点对称的点的纵、横坐标互为相反数，求出的值，再将的值代入中计算，即可解题．
【详解】解：点与点关于原点成中心对称，
，
则的值为，
故答案为：．
3．（24-25九年级上·山西运城·期末）已知平面直角坐标系中，与关于原点中心对称．若点的坐标为，则点的对应点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，理解并掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题关键．
根据“关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数”解答即可．
【详解】解：∵与关于原点对称，点的坐标为，
∴对应点的坐标为．
答案：．
4．（22-23九年级上·北京西城·期末）在平面直角坐标系xOy中，点关于原点的对称点坐标为 ．
【答案】
【分析】根据关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数即可求解．
【详解】解：点关于原点的对称点坐标为，
故答案为：
【点睛】此题考查了关于原点对称的点，熟练掌握关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数是解题的关键．
5．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）若点与点关于坐标原点对称，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是．注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标．
【详解】解：∵点与关于坐标原点对称，
∴，即
故答案为：．
6．（24-25九年级上·山西忻州期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示．
(1)将向右平移6个单位长度得到，请画出．
(2)画出关于点O的中心对称图形．
【答案】(1)图见详解
(2)图见详解
【分析】本题考查作图中心对称，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．
（1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
（2）利用中心对称的性质分别作出，，的对应点，，即可
【详解】（1）解：所作图形如图所示；
（2）解：所作图形如上图所示．
7．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．
(1)平移到，其中点A的对应点的坐标为，请在图中画出；点的坐标为___________；
(2)请画出绕原点旋转180°得到的；点的坐标为___________；
(3)若绕某点旋转可以得到，则旋转中心的坐标为___________．
【答案】(1)见解析，
(2)见解析，
(3)见解析，(2，0)
【详解】（1）解：如图，即为所求，
由图可得，点的坐标为．
故答案为：；
（2）解：如图，即为所求．
由图可得，点的坐标为．
故答案为：；
（3）解：连接相交于点，则绕点旋转可以得到，
∴旋转中心的坐标为．
故答案为：．
考点04 利用旋转性质作图
1．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点上．
(1)将向右平移5个单位长度，得到，请画出；
(2)与关于直线对称，请画出；
(3)将绕点顺时针旋转，得到，请画出．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了作图-旋转变换、作图-轴对称变换、作图-平移变换，熟练掌握平移的性质、轴对称的性质、旋转的性质是解答本题的关键．
（1）根据平移的性质作图即可；
（2）根据轴对称的性质作图即可；
（3）根据旋转的性质作图即可．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）如图所示，即为所求；
（3）如图所示，即为所求．
2．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：，，．
(1)平移，使点的对应点的坐标为，请在图中画出平移后得到的；
(2)将绕点顺时针旋转得到，请在图中画出．
【答案】(1)见详解
(2)见解析
【分析】本题主要考查了平移的性质，图形与坐标，旋转作图等知识点，解决此题的关键是能掌握相关作图方法．
（1）根据对应点的坐标得出平移的分式，画出平移后的三角形即可解答；
（2）根据旋转的定义画出图形即可；
【详解】（1）解：根据题意可得向右平移6个单位，再向下平移2个单位即为，如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求，
．
3．（24-25九年级上·北京·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，以点A为圆心，长为半径画弧，交轴正半轴于点C．
(1)画出点C，并直接写出线段的长及点C的坐标；
(2)将线段平移至，其中点A与点对应，点B与点对应，画出线段，并直接写出a，b的值．
【答案】(1)图形见解析；；点C的坐标为；
(2)图形见解析；，
【分析】本题主要考查了坐标与图形变换—旋转和平移：
（1）根据题意画出图形，再根据勾股定理求出的长，即可；
（2）根据平移的性质可得线段先向右平移2个单位，再向下平移3个单位至，即可．
【详解】（1）解：如图，点C即为所求；
∵，
∴，
∴，
∵以点A为圆心，长为半径画弧，交轴正半轴于点C，
∴，
∴，
∴点C的坐标为；
（2）解：如图，线段即为所求；
∵点与点对应，点与点对应，
∴线段先向右平移2个单位，再向下平移3个单位至，
∴，．
4．（24-25九年级上·北京大兴·期末）如图，点A，点B在由边长为1的小正方形组成的网格的格点上．
(1)将线段绕点A逆时针旋转，画出旋转后的线段；
(2)在网格格点上除点外取一点C，使为等腰三角形，请标出所有满足条件的点C的位置．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图-旋转变换、等腰三角形的判定，熟练掌握旋转的性质、等腰三角形的判定是解答本题的关键．
（1）根据旋转的性质作图即可．
（2）结合等腰三角形的判定确定点C的位置，即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，线段即为所求．
（2）解：如图，点，，，均满足题意．
5．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
(1)将绕坐标原点O逆时针旋转，得到，请在图中画出；
(2)直接写出（1）中点的坐标：___________．
【答案】(1)图形见解析
(2)
【分析】本题考查作图﹣旋转变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
（1）根据图形旋转的性质，先分别作三个顶点绕原点旋转得到的对应点，再将三个对应点连结成三角形即可；
（2）根据图形即可写出坐标．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：由图可知点的坐标．
故答案为：．
6．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）仅使用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．
(1)如图1，已知点是长方形边的中点，过点作长方形的对称轴；
(2)如图2，在方格纸上画出绕点按顺时针方向旋转后的图形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查作图-旋转变换、矩形的性质、作图-轴对称变换，熟练掌握旋转的性质、矩形的性质、轴对称的性质是解答本题的关键．
（1）连接、交于点，连接，过点与点，作直线，结合矩形的性质即可求解；
（2）结合题意，根据旋转的性质进行作图，即可．
【详解】（1）解：如图，连接、交于点，过点与点，作直线．则直线即为所求．
作法：连接、交于点，过点与点，作直线．
证明：∵四边形是矩形，
∴，
即点在的垂直平分线上，
∵点是的中点，
∴点在的垂直平分线上，
∴是的垂直平分线，
即直线是长方形的一条对称轴．
（2）解：如图，即为所求．
作法：连接、、，分别将、、绕点按顺时针方向旋转，得到、、；依次连接、、；即为所求．
7．（24-25九年级上·江苏南京·期末）在平面内，线段绕点O按某个方向旋转一定角度得到线段，点A的对应点是，为旋转角．
提出问题
如图（1），求作一个点O和一条线段，使得．
分析问题
（1）如图（2），先画出需作线段和旋转中心O，尝试建立可作图形和需作图形关系：连接，，可知（______）（填推理依据）．
连接，根据，可作…
解决问题
（2）请按上述思路，在图（1）中完成需作图形．
问题拓展
（3）已知：如图（3），是一段不规则曲线，是以点M为圆心的圆．求作一点O和一条线段，使得点O在上，点在上．
（要求：用直尺和圆规作图；保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．）
【答案】（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）见解析；（3）见解析．
【分析】本题主要考查了作旋转图形，熟练掌握旋转和等腰三角形性质是解题的关键．
（1）根据旋转性质分析即可；
（2）以为底边、为顶角，构造等腰，即可得出，再根据旋转作图作出点B的对应点是，即可完成作图；
（3）以为底边、的半径为腰构造等腰，根据旋转中心在对应点的垂直平分线可知作的垂直平分线交于点O，故以点为旋转中心，旋转到位置时，线段旋转到对应位置，再根据对应点到旋转中心的距离相等； 在上找到对应的点，，即可解题．
【详解】（1）连接，，可知，理由是：对应点到旋转中心的距离相等；
（2）如图，点O和线段为所求，
①作射线，以为顶点作，
②作的角平分线，得，则
③作，交于，则，即点为旋转中心，旋转角为；
④作，，
⑤连接，即得所求线段．
（3）解∶如图，点O和线段为所求 ，

①以为底边、的半径为腰构造等腰，
②作的垂直平分线交于点O，即点为旋转中心；
③以为圆心，分别以、为半径作画弧，交得对应的点，，
④连接，即得所求线段．
考点05利用旋转的性质计算与证明
1．（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，在边长为6的正方形中，是边上一动点，连接，把线段绕点逆时针旋转到线段，连接，则线段的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接、交于点，由正方形的性质得，，，求得，，，则，作点关于直线的对称点，连接，由旋转得，，因为垂直平分，所以，则，所以，可证明，得，作于点，作交的延长线于点，可证明，得，因为四边形是矩形，所以，由，得，则线段的最小值为，于是得到问题的答案．
【详解】解：连接、交于点，
四边形是边长为的正方形，
，，，
，，，
，
作点关于直线的对称点，连接，
把线段绕点逆时针旋转到线段，
，，
垂直平分，
，
，
，
，，
在和中，
，
，
，
作于点，作交的延长线于点，则，
在和中，
，
，
，
点在经过点且与垂直的直线上运动，
，
四边形是矩形，
，
，
，
线段的最小值为，
故选：B．
【点睛】此题重点考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质、旋转的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、垂线段最短等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
2．（23-24九年级上·山西临汾期末）如图，绕点顺时针旋转到的位置，已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了旋转的性质，由旋转性质可知，然后由即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键．
【详解】解：∵绕点顺时针旋转到的位置，
∴，
∴，
故选：．
3．（24-25九年级上·北京·期末）如图，将绕点B顺时针旋转得到，A，C的对应点分别为D，E，的延长线分别交，于点F，G，下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查旋转的性质、平行线的判定，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．
由旋转得，可得，进而可得，则，即，从而可得答案．
【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，
，
，
即，
故C选项正确，符合题意；
根据已知条件不能得出A、B、D选项，
故A、B、D选项不正确，不符合题意．
故选：C．
4．（24-25九年级上·陕西·期末）如图，在中，，将绕点顺时针旋转角至，使得点恰好落在边上，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定与性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
由旋转可得，，再证明是等边三角形，即可求出的度数．
【详解】解：，
．
将绕点顺时针旋转角至，
，，
是等腰三角形，且，
是等边三角形，
．
故选：D．
5．（24-25九年级上·江苏盐城·期末）如图，在中，，将绕点顺时针旋转，使点的对应点落在边上．若，则 °．
【答案】62
【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，先由垂线的定义得到，则可求出，由旋转的性质可得，则，再根据平角的定义可得，解之即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
由旋转的性质可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
6．（24-25九年级上·山西吕梁期末）如图，将矩形绕点B顺时针旋转至的位置，连接，取，的中点M，N，连接，若，，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、旋转的性质．连接，在中，利用勾股定理可得，利用矩形性质可知，根据旋转的性质得到是等腰直角三角形，利用勾股定理求出．
【详解】解：连接、，
∵将矩形绕点B顺时针旋转至的位置，，，
在中，利用勾股定理可得，
为中点，
矩形绕点B顺时针旋转至的位置，
，且，
．
故答案为：．
7．（24-25九年级上·北京·期末）如图，M是等腰直角三角形的边的中点，且，P是平面内一动点，且与点M之间的距离为1，连接，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，则的最小值为 ．
【答案】3
【分析】连接，，将线段绕着点A逆时针旋转得到线段，连接，，由旋转性质可推导，是等腰直角三角形，则，，根据等腰直角三角形的性质及勾股定理求得值，根据三角形三边关系，得，可知当M、Q、H共线时，最小，最小值为，即可求解．
【详解】解：连接，，将线段绕着点A逆时针旋转得到线段，连接，，
由旋转性质得，，，即，
∴，是等腰直角三角形，
∴，，
∵点M是等腰直角三角形边的中点，，
∴，，
∴，
，
∴，
根据三角形三边关系，，即
∴当M、Q、H共线时，最小，最小值为，
∴的最小值为，
故答案为：3．
【点睛】本题考查旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握它们的性质是解题的关键．
考点06旋转中的几何模型
1．（24-25九年级上·山西晋中·期末）综合与探究
【问题情景】
一节数学综合实践课上，刘老师与同学们以“线段的旋转”为背景进行了探究，具体如下：
已知：如图1，在中，，，点是边上的一点（不与A、重合），连接，将沿绕点按逆时针方向旋转得到，连接．
【猜想证明】
（1）如图2，若连接，求证：；
【深入探究】
（2）如图3，若取的中点，连接，且设它们交于点，试判断与的数量关系与位置关系，并说明理由；
方法一：延长到H，使得，连接……
方法二：延长到H，使得，连接……
请选择其中一种方法做出解答．
（3）如图1，在点的选取过程中，若是等腰三角形时，直接写出的长度．
【答案】（1）见解析；（2），，理由见解析；（3）或．
【分析】（1）由中，，，可得，再根据证明，则可得，进而可得，则可得．
（2）方法一：延长到H，使得，连接则可得是的中位线，则，．再根据证明，则可得，，进而可得．由可得， 进而可得．由可得，进而可得．
方法二：如图，延长到H，使得，连接，则可得，则，．再根据证明，则可得，，进而可．由可得．由可得，进而可得.
（3）分两种情况：时和时，讨论即可得解．
【详解】（1）∵中，，，
∴，
∵将沿绕点按逆时针方向旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）方法一：如图，延长到H，使得，连接
∵，是的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴与的数量关系与位置关系是，．
方法二：如图，延长到H，使得，连接．
∵，，，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴， ，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴与的数量关系与位置关系是，．
（3）∵中，，，
∴．
①当时，，
则，
，
．
②当时，
．
综上，若是等腰三角形时， 的长度为或．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线的判定和性质，熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键．
2．（24-25九年级上·陕西西安·期末）问题提出
（1）如图1，一点是矩形内部一点，且，，延长交于点，连接，则的度数为________；
问题解决
（2）如图2，在菱形中，，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段（点在菱形内部），延长交于点，连接，，求的度数；
拓展探究
（3）如图3，在正方形中，，将线段绕点按逆时针方向旋转得到线段（点在正方形内部），连接，，过点作交的延长线于点，交于点，当是等腰直角三角形时，求的长度及五边形的面积．
【答案】（1）；（2）；（3）当的长度为或时，五边形的面积为110
【分析】题目主要考查矩形、菱形、正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等，理解题意，作出相应图形，综合运用这些知识点是解题关键．
（1）根据矩形的性质及等边对等角，进行等量代换求解即可；
（2）根据菱形及旋转的性质得出，再由各角之间的关系求解即可；
（3）根据题意得出，然后分两种情况分析：和，作出相应图形，利用全等三角形的判定和性质及勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴；
故答案为：；
（2）∵菱形，线段绕点按逆时针方向旋转得到线段，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）根据题意，点P在正方形内，由（2）得，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形时，分为和两种情况，
当时，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由（2）得，
∴为等腰直角三角形，
设，则，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∵
∴；
当时，在上截取，
∴，
∴为等腰直角三角形，
同理得：，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
∴当的长度为或时，五边形的面积为110．
3．（24-25九年级上·北京大兴·期末）在中，，，将边绕点B逆时针旋转，得到线段，连接，过点B作的垂线交于点E，交延长线于点M，连接．
(1)求的度数；
(2)用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)
(2)，见解析
【分析】（1）作于点Q，由旋转得，则，因为，，所以，而于点E，则，则，所以；
（2）由，得，所以，则，而，，所以，则可得结论．
【详解】（1）解：作于点Q，则，
将边绕点B逆时针旋转，得到线段，
，
，
，，
，
于点E，
，
，
，
的度数是
（2）解：，
证明：，
，
，
，
，于点Q，
，
，于点E，
，
垂直平分，
，
，
，
【点睛】此题重点考查等腰直角三角形的性质、旋转的性质、等腰三角形的“三线合一”、线段的垂直平分线的性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
4．（25-26九年级上·江苏南通·期末）（1）如图①，在等边三角形中，点B，C在直线上，E为边上的一点，连接，并把线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，则线段与的数量关系是 ，线段与直线所夹锐角的度数是 ．
（2）如图②，在等边三角形中，点B，C在直线上．若E为延长线上的一点，连接，并把线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，上述两个结论还成立吗？请说明理由．
（3）如图③，在正方形中，点B，C在直线上，E为直线上的任意一点，连接，并把线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，若正方形的边长为2，则当时，求线段的长．
【答案】（1）；；（2）成立，理由见解析；（3）1或3
【分析】（1）过点作交于点．证明，可得结论；
（2）连接，由旋转可得为等边三角形，可知．由为等边三角形，可知，，进而可得，可证得，可得，进而可得，即可得结论；
（3）分三种情况：①当点在线段上时，②当点在线段延长线上的右侧时，③当点在线段延长线上的左侧时，分别进行讨论求解即可．
【详解】解：（1）如图，过点作交于点．
根据旋转可得，
∵是等边三角形，
，
，
，
∴是等边三角形，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：，．
（2），线段与直线所夹锐角的度数为仍成立．
理由：如图，连接，由旋转可知：，
∴为等边三角形，
，
为等边三角形，
，则，
，
，
，
，
即线段与直线所夹锐角的度数为；
（3）由旋转可知：，
∵四边形是正方形，
∴，
①当点在线段上时，如图，过点作交于点，作交于点．
则，
∴，
∴，
即
∴，
∴四边形是正方形，
设正方形的边长为，则，
，
在中，，
即，
解得（舍去），
∴．
∵点在线段上，
，
∴（不合题意，舍去）；
②如图，当点在线段延长线上的右侧时，如图，过点作交于点，延长交于点．
则四边形是矩形，
∴，
设，
同①可证，
∴，
即，
∴，
∴，
∴在中，，
解得（舍去），
∴．
③如图，当点在线段延长线上的左侧时，如图，过点作交的延长线于点，作交于点．设正方形的边长为，
同①可得，
∴在中，，
解得（舍去），
∴．
综上所述，线段的长为 1 或 3 ．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
5．（22-23九年级上·山东聊城·期末）在等边三角形的内部有一点D，连接，，以点B为中心，把逆时针旋转得到，连接，．以点C为中心，把顺时针旋转得到，连接，．
(1)判断和的大小关系，并说明理由；
(2)求证：；
(3)求证：四边形是平行四边形．
【答案】(1)；理由见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质和平行四边形的判定；
（1）先根据旋转的性质得，，则可判断为等边三角形，所以，，再利用为等边三角形得到，，则可得到；
（2）通过证明得到；
（3）先判断为等边三角形得到，，再与（2）的证明方法一样证明得到，所以，加上，从而可判断四边形是平行四边形．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵逆时针旋转得到，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴.
（2）证明：在和中，
，
∴，
∴.
（3）证明：∵顺时针旋转得到，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
6．（24-25九年级上·山东日照·期末）在平面直角坐标系中，已知矩形，点，现将矩形绕点O逆时针旋转得到矩形，点B、C、D的对应点分别为点E、F、G．
(1)如图1，当点E落在边上时，线段 ，旋转角 °；
(2)在（1）的条件下，求直线的函数表达式；
(3)如图2，当C、E、F三点在一直线上时，所在直线与分别交于点H、M，求线段的长度．
【答案】(1)，45；
(2)；
(3)2
【分析】（1）由矩形的性质得，，，，根据勾股定理求得，进而可求出，进而可求出旋转角；
（2）由（1）可得，求得直线的表达式为，过点G作轴于点A，利用勾股定理求得，设的函数表达式为，再利用待定系数法求解即可；
（3）过点M作于点N，连接、，旋转的性质得，，再根据等腰三角形的性质得，证明四边形是矩形，可得，可证，可得，设，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，
∴，，，
∵矩形是矩形旋转得到，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：，45；
（2）解：由（1）可知，，
设直线的表达式为，
把点代入得，，
解得，
∴直线的表达式为，
设的函数表达式为，
过点G作轴于点A，
∵，，
∴，
∴，
∴，
把点代入得，，
解得，
∴的函数解析式为；
（3）解：如图，过点M作于点N，连接、，
∵矩形是矩形旋转得到，
∴，，
∵C、E、F三点在一条直线上，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
在中，，即，
解得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴线段的长度为2；
【点睛】本题考查用待定系数法求一次函数解析式、矩形的性质与判定、勾股定理、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形是指如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
B．该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C．该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
故选D．
2．如图，在中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，使得平行，则度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了旋转的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据平行线的性质得出，根据旋转的性质得出，根据等边对等角得出，根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
根据题意可得，将绕点旋转得到，
故，
∴，
∴．
故选：A．
3．如图，将绕点旋转得到．设点的坐标为，则点B的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了坐标系中的旋转，掌握旋转的性质和中点坐标公式是解题的关键；
根据旋转的性质可得：点C是的中点，设点B的坐标为，然后根据中点坐标公式求解即可．
【详解】解：根据旋转的性质可得：点C是的中点，
设点B的坐标为，
则，
解得：，
∴点B的坐标为；
故选：D．
4．如图，将先向右平移1个单位，再绕点P按顺时针方向旋转，得到，则点C的对应点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查图形与坐标，涉及平移作图、旋转作图，根据题意，按要求作出图形，在平面直角坐标系中数形结合即可得到答案，熟练掌握平移作图、旋转作图是解决问题的关键．
【详解】解：将先向右平移个单位，再绕点按顺时针方向旋转，得到，如图所示：
，
故选：C．
5．如图，菱形的对角线、交于点，将绕着点C旋转得到，连接，则的长是(　　)
A．3 B．4 C．5 D．7
【答案】C
【分析】本题考查了菱形的性质、图形旋转的性质及勾股定理，解题的关键是利用菱形对角线互相垂直且平分的性质求出相关线段长度，结合旋转的性质确定直角三角形的直角边，再用勾股定理计算的长．
先根据菱形性质得，且、，求出、；再由旋转180°的性质得、、，计算；最后在中，用勾股定理求出的长．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∵绕着点C旋转得到，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
6．如图，点是正方形内一点，连接、、，将绕点顺时针旋转到的位置．若，，，则求的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线的夹角等于旋转角．也考查了勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的判定与性质．
连接，如图，根据旋转的性质得，，，则可判断为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得，，在中，由于，根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形，即，然后利用求解．
【详解】解：连接，如图，
绕点顺时针旋转得到，
，，，
为等腰直角三角形，
，，
在中，，，，
，
，
为直角三角形，
，
．
故选：A．
7．如图，将绕点C顺时针旋转得到，若，则等于（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据旋转，可知，，然后结合，求得，从而得出答案．
【详解】解：绕点C顺时针旋转得到，
，，
，
，
．
故选：A．
8．如图，在等腰三角形中，，，边在轴上，将绕原点逆时针旋转，得到，若，则点的对应点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理，如图，过点作轴于点，过点作于点．由等腰三角形的性质可得，，再由直角三角形的性质并结合勾股定理计算可得，，即可得出，根据旋转的性质可得，，求出，即可得出，由勾股定理可得，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作于点．
，，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
根据旋转的性质可得，，
∴，
∴，
∴，
∴点的对应点的坐标为，
故选：B．
9．如图，在中，，，将绕点逆时针方向旋转60°到的位置，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】B
【分析】过点作于点D，根据旋转的性质可得到是等边三角形，，进而得到阴影部分的面积等于，再由勾股定理求出，继而得到，即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点D，
∵将绕点A逆时针方向旋转到的位置，
∴，，
∴是等边三角形，，
∴，阴影部分的面积等于，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即阴影部分的面积是．
故选B．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
10．如图，在矩形中，点在边上，将线段绕点顺时针旋转，点落在边上点处，连结，若，，则的长为（ ）
A． B．9 C． D．10
【答案】D
【分析】根据矩形和旋转的性质证明出，得到，，求出，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵将线段绕点顺时针旋转，点落在边上点处，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴；
∵四边形是矩形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
【点睛】此题考查了矩形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标．根据关于原点对称的点的坐标性质，横坐标和纵坐标均互为相反数，进行作答即可．
【详解】解：点关于原点的对称点坐标为，
故答案为：．
12．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转，得到，连接交于点，则与的周长之和为 ．
【答案】
【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合旋转的性质得，，根据等边三角形的性质得，运用勾股定理列式计算得，再结合周长公式进行列式计算，即可作答．
【详解】解：将绕点顺时针旋转，得到，
，，
，
为等边三角形，
，
在中，，
与的周长之和
，
故答案为：．
13．如图，在中，，D、E是斜边上两点，连接、，且，将绕点A顺时针旋转后，得到，连接，若的周长为4，则的长度为 ．
【答案】4
【分析】此题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质．根据旋转得，，，证明，可得，据此求解即可．
【详解】解：∵在中，，
∴，
由旋转得：，，，
，，
，
又，，
，
，
的周长为4，即，
，
故答案为：4．
14．如图，将绕直角边的中点H旋转，得到．若的直角顶点D落在的斜边上，与交于点G，且恰好是以为底边的等腰三角形，则 ．
【答案】/36度
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
利用旋转性质得到，，再利用等腰三角形的性质和三角形的外角性质得到，然后利用三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：∵将绕直角边的中点H旋转，得到，
∴，，
∴，
∴，
∵是以为底边的等腰三角形，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
15．如图，在等边中，D是边上一点，连接．将绕点B逆时针旋转得到，连接．若，，则的周长是 ．
【答案】19
【分析】本题考查了图形的旋转、等边三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．先根据等边三角形的性质可得，再根据旋转的性质可得，则可得是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，然后根据三角形的周长公式求解即可得．
【详解】解：∵在等边中，，
∴，
∵将绕点逆时针旋转得到，且，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴的周长是，
故答案为：19．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．(9分)如图，是正方形的边上一点，是边上一点，逆时针旋转后能够与重合．
(1)写出它的旋转中心；
(2)旋转角至少是多少度？
(3)______（填“＞”或“＝”或“＜”）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）本题考查的是旋转中心的确定；由点旋转后的对应点是其本身，从而可得旋转中心；
（2）本题考查的是旋转角；由旋转前后B，D为对应点，所以，的夹角为旋转角，从而可得答案，掌握旋转角的定义是解本题的关键；
（3）本题考查的是旋转的性质，正方形的性质，由旋转前后的对应线段线段可得，从而可得答案；熟记旋转的性质是解本题的关键．
【详解】（1）解：逆时针旋转后能够与重合：旋转中心是点．
（2）逆时针旋转后能够与重合：旋转角至少是；
（3）∵正方形，
∴，
由旋转可得：，
∴．
17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
(1)画出关于轴对称的；
(2)画出关于原点成中心对称的．
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
【分析】本题考查了作图——轴对称变换，作图——中心对称变换，熟练掌握作轴对称图形，中心对称图形的方法是解题的关键．
（1）根据关于轴对称的点的坐标特征写出点、、的对应点、、的坐标，然后描点即可得到；
（2）根据关于原点对称的点的坐标特征写出点、、的对应点、、的坐标，然后描点即可得到；
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
18．（8分）如图所示，，，，绕点B逆时针旋转得到，连接．
(1)求证：；
(2)连接，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
（1）根据旋转的性质得到，，，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）连接，根据旋转的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵绕点B逆时针旋转得到，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴；
（2）连接，
∵绕点B逆时针旋转得到，
∴，，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴．
19．(9分)直角坐标系中，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）的坐标A、B、C分别为，
(1)求三角形的面积
(2)以点C为旋转中心，将三角形旋转得到三角形，直接写出点的坐标．
(3)已知，在x轴上找点P使得三角形为等腰三角形，在图中画出点P并写出点P坐标．
【答案】(1)
(2)，
(3)作图见解析；点P坐标为：，，，．
【分析】（1）用割补法求出的面积即可；
（2）根据旋转的性质和中点坐标求出结果即可；
（3）分三种情况：当时，当时，当时，分别画出图形，根据图形进行求解即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：∵以点C为旋转中心，将三角形旋转得到三角形，
∴点C为的中点，点C为的中点，
∵，
∴，，
即，；
（3）解：当时，点P在点和的位置处，如图所示：
此时，；
当时，如图，点P在点位置处，此时点；
当时，如图，点P在点位置处，此时点；
综上分析可知：点P的坐标为：，，，．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，利用网格求三角形的面积，等腰三角形的定义，中点坐标公式，坐标与图形综合，解题的关键是数形结合，注意分类讨论．
20．（8分）如图，在正方形中，E、F是对角线上的两点，连接，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，解题的关键是利用旋转和正方形的性质推导相等的边与角，证明全等三角形，再通过角度转化得到直角三角形，进而用勾股定理计算线段长度．
（1）由线段绕点A顺时针旋转得，故且；因四边形是正方形，故且，从而，两边同时减去得；结合、，根据“”可证；
（2）由(1)中全等三角形的性质得，且；因正方形对角线平分内角，故，从而，进而，即是直角三角形；已知、，代入勾股定理得，计算得．
【详解】（1）证明：∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由(1)得，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴在中，．
21．(9分)阅读与思考
阅读下面材料（摘自华师大数学八年级下P127），完成以下问题．
图形的等分如图1，将一张矩形纸片顺着中缝翻折，其折痕，也就是一组对边中点的连线所在的直线，将这个矩形一分为二，两部分的形状与大小完全一样．我们现在探究的图形的等分，着眼于面积的等分．那么是否还存在其他直线，也能将这个矩形分成面积相等的两部分呢？你肯定会说，那当然有！对角线所在的直线也可以（如图2）．你还能发现其他直线吗？它们之间有什么共同的规律呢？如果想用两条直线将一个矩形分成面积相等的四部分，那么应该如何画出这两条直线呢？你可能马上想到两组对边中点的连线所在的直线与两条对角线所在的直线（如图3）．你还能找到其他直线吗？它们之间又有什么规律呢？我们知道，矩形是一种特殊的平行四边形，对于一般的平行四边形（如图4），是否和矩形一样，也存在这样的直线，将其面积二等分，或进一步将其面积四等分？它们之间又有什么规律呢？
问题1：二等分平行四边形的面积，除以下两种方法以外（图5、图6），你还有其他什么方法呢？请在图7中画出来并写出作法；
问题2：如图8，该平面图形是由6个边长为1的小正方形组成，通过以上二等分平行四边形的面积的过程，请你用一条直线将该图形分成面积相等的两部分；（要求用2种不同方法，并写出作法）
问题3：如图9，在平面直角坐标系中，将正方形和如图放置，点恰好是边的中点．已知，是否存在一条直线将整个图形的面积二等分？若存在，画出该直线并求出该直线的函数解析式；若不存在，请说明理由．
【答案】问题1：详见解析（答案不唯一）；问题2（答案不唯一）：详见解析；问题3：存在，详见解析，
【分析】本题考查了中心对称图形的对称中心及正比例函数的解析式．坐标与图形，正方形的性质，正确找到各图形的对称中心是解题关键．
问题1：设平行四边形的对角线交于点，过点作直线
问题2：直线或直线都可将图形分成面积相等的两部分．（答案不唯一，只要直线经过图形的对称中心即可）
问题3：设两个正方形的对角线交点分别为，作直线，用待定系数法可得该直线的表达式为．
【详解】解：问题1：如图所示：直线将平行四边形的面积二等分．（答案不唯一）
作法：设平行四边形的对角线交于点，过点作直线．
问题2：如图所示，直线或直线都可将图形分成面积相等的两部分．（答案不唯一，只要直线经过图形的对称中心即可）
作法：不唯一，只要描述清晰，作图正确即可．
问题3：存在
如图所示：直线将图形的面积二等分．
作法：设两个正方形的对角线交点分别为，作直线，如图：
由图易知．
设直线的函数解析式为，
直线经过两点，代入得：
解得：
∴该直线的函数解析式为．
22．（12分）在“综合与实践”课上，同学们以“图形的旋转”为主题开展数学活动：
(1)【探究发现】
如图1，在正方形中，点是边上任意一点，以点为中心，将顺时针旋转，使得点与点重合得到，连接．则是______三角形．
(2)【联想拓展】
如图2，若点是正方形的对角线上一点，将顺时针旋转得到，连接．求证：．
(3)【迁移应用】
如图3，已知菱形，，，点是菱形的对角线上一点，将顺时针旋转得到，连接．当时，求．
【答案】(1)等腰直角
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由正方形的性质得出，即，由旋转的性质可得：，，从而得出，即可得证；
（2），由旋转的性质可得：，，，，从而得出为等腰直角三角形，，再由勾股定理即可得出答案；
（3）由旋转的性质得，求出，易证，根据四边形为菱形，且，求出，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：为等腰直角三角形，理由如下：
∵四边形为正方形，
∴，即，
由旋转的性质可得：，，
∴，即，
∴为等腰直角三角形；
（2）证明：∵四边形为正方形，
∴，
由旋转的性质可得：，，，，
∴为等腰直角三角形，，
∴，，
∴；
（3）解：由旋转的性质得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形为菱形，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴（负值舍去）．
【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、菱形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
23．（12分）综合与探究
(1)如图1，在中，，，D（不与点B，C重合）为边上的一点，将线段绕点A逆时针旋转后，得到，连接，．
①求的度数．
②探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，在中，，，D（不与点B，C重合）为边上的一点，将线段绕点A逆时针旋转后，得到，连接．请探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，在四边形中，，，，，直接写出的值．
【答案】(1)①；②；理由见解析
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）①证明，根据全等三角形的性质解答；
②由可得，即可得到；
（2）根据全等三角形的性质得到，，得到，根据勾股定理计算即可；
（3）过点作交于点，连接，证明，求得，，利用勾股定理先后求得和的长，再利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：①∵在中，，，
，
，即，
在和中，
，
∴，
，，
故答案为：；
②，理由如下：
∵，
，
；
故答案为：；
（2）解：，
理由如下：
在中，，，
由（1）同理可得，，
，，
，
，
在中，，又，
；
（3）解：过点作交于点，连接，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质以及旋转变换的性质．作出合适的辅助线是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑