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第4课时 方差的应用
6.1 平均数与方差
1. 巩固标准差和方差的概念，掌握方差的求解方法.
(重点)
2. 从实际案例中学会借助方差来求解常见的实际问题.
(难点)
3.在解决数据分析类问题的过程中，培养严谨的数学思维和处理问题的能力.
1. 什么是方差、标准差
方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数。
标准差则是方差的算术平方根。
2. 方差的计算公式是什么
英国统计学家卡尔 皮尔逊 (Karl Pearson)是现代统计学的奠基人之一，致力于将统计学从数学分支发展为独立学科。并于 1894 年在论文中正式引入方差概念，定义为
探究点：方差的应用
某日， A，B 两地的气温如图所示。
问题1：不计算，说说 A，B 两地这一天气温的特点。
A 地：气温波动大，早晚和中午温差明显，先降(凌晨到 4 点)、再大幅升(4 点到 14 点左右)、后降(14 点到 24 点) ，
B 地：气温相对平稳，波动小，整体温度均衡，仅有小幅度升降。
A地
B地
问题2：分别计算 A， B 两地气温的平均数和方差，与你刚才的看法一致吗
探究点：方差的应用
时间 4:00 8:00 12:00 16:00 20:00 24:00
气温 16 20.5 24 23 19.5 18
时间 4:00 8:00 12:00 16:00 20:00 24:00
气温 18 22 23.5 22.5 21 20
取 B 地阶段时刻气温数据：
解：取 A 地阶段时刻气温数据：
A 地平均数为
（℃）
B 地平均数为
（℃）
从平均数看，A、B 两地平均气温因数据读取近似有差异，但整体能体现两地温度水平；从方差看，
，说明 A 地气温波动大，B 地气温平稳，和 (1)中“A 地温差大、B 地气温相对平稳”的看法一致.
探究点：方差的应用
例1 某校要从甲、乙两个跳远运动员中挑选一人参加一项比赛。在最近的 10 次选拔赛中，他们的成绩 (单位：cm) 如下：
(1) 甲、乙的平均成绩分别是多少？
甲：(585+596+610+598+612+597+604+600+613+601)÷10
= 601.6（cm）
乙：(613+618+580+574+618+593+585+590+598+624)÷10
= 599.3（cm）
甲：585, 596, 610, 598, 612, 597, 604, 600, 613, 601；
乙：613, 618, 580, 574, 618, 593, 585, 590, 598, 624.
探究点：方差的应用
(2) 甲、乙这 10 次比赛成绩的方差分别是多少？
(3) 这两名运动员的运动成绩各有什么特点？
= 65.84
= 284.21
甲运动员成绩较稳定，因为其方差比较小；
还可以说乙较有潜质，因为乙的最远成绩比甲的最远成绩好等。
探究点：方差的应用
(4) 历届比赛成绩表明，成绩达到 5.96 m 就很可能夺冠，你认为为了夺冠应选谁参加这项比赛？如果历届比赛成绩表明，成绩达到 6.10 m 就能打破纪录，那么你认为为了打破纪录应选谁参加这项比赛呢？
在 10 次比赛中，甲运动员有 9 次超过 596 cm，而乙仅有 5 次，因此一般应选甲运动员参加这项比赛；
但若要打破 610 cm 的跳远纪录，则一般应选乙运动员。
探究点：方差的应用
【思考·交流】 10 个苹果的直径如图所示。
8580757065
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
直径/cm
(1) 若想把这10个苹果分成
两组，使每组苹果的“个头”
差不多，你想怎么分？
说说你分组的理由。
可以根据尺寸进行分组，让每组的苹果大小尽量相差较小。
探究点：方差的应用
80
69
81
80
70
65
78
76
76
75
在统计学里，分组的方法有很多，其中较常用的方法是使“组内离差平方和达到最小”。
(2) 一般情况下，如果想把一组数据分成若干组，使每个小组组内的数据差距不大，且组与组之间的数据差别明显，那么你认为应遵循怎样的分组原则？与同伴进行交流。
探究点：方差的应用
例2 按照：“组内离差平方和达到最小”的方法，把图中的 10 个苹果按直径大小分成两组。
解：将 10 个数据由小到大排序：
把 10 个数据分成两组，共有 9 种情况:
①第一组 1 个数据{65}，第二组 9 个数据{69，···，81}；
②第一组 2 个数据{65，69}，
第二组 8 个数据{70，···，81}； ······ ；
⑨第一组 9 个数据{65，···，80}，第二组 1 个数据{81}。
65，69，70，75，76，76，78，80，80，81。
探究点：方差的应用
因此第 2 种分组情况的组内离差平方S=S1+S2=8+90=98。
以第 2 种分组情况为例，计算组内离差平方和。
其中，第一组有 2 个数据{65，69}，这 2 个数据的平均数是 67 ，故第一组数据的组内离差平方和
S1 = (65 - 67) + (69 - 67) = 8；
第二组有8个数据{70，75，76，76，78，80，80，81}，
这 8 个数据的平均数是 77，故第二组数据的组内离差平方和
S2 = (70 - 77) + (75 - 77) + ··· + (81 - 77) = 90。
探究点：方差的应用
同理计算其他 8 种分组情况的组内离差平方和，结果如下：
分组情况 组内离差平方和
第一组 1 个，第二组 9 个 146.889
第一组 2个，第二组 8 个 98
第一组 3个，第二组 7 个 48
第一组 4 个，第二组 6 个 74.25
第一组 5 个，第二组 5 个 98
第一组 6 个，第二组 4 个 107.583
第一组 7 个，第二组 3个 136.095
第一组 8 个，第二组 2 个 182.375
第一组 9 个，第二组 1 个 218
计算结果表明，第 3 种情况的组内离差平方和最小。
探究点：方差的应用
因此把10个苹果按直径大小分成的两组是：
{65，69，70}，
{75，76，76，78，80，80，81}.
① 数据 x1 - 3，x2 - 3，x3 - 3，…，xn - 3 的
平均数为 ，方差为 ；
总结：
(1) 数据 x1±b、x2±b、…、xn±b 的
平均数为 ， 方差为 s2.
±b
x
② 数据 x1 + 3，x2 + 3，x3 + 3，…，xn + 3 的
平均数为 ，方差为 .
若数据 x1、x2、…、xn 的平均数为 ，方差为 s2，则
- 3
x
s2
s2
x
+ 3
x
【拓展与延伸】
探究点：方差的应用
总结：
(3) 数据 ax1±b、ax2±b、…、axn±b 的
平均数为 ，方差为 a2s2.
±b
ax
总结：
(2) 数据 ax1、ax2、…、axn 的
平均数为 ，方差为 a2s2.
ax
③ 数据 3x1 ，3x2 ，3x3 ，…，3xn 的
平均数为 ，方差为 .
9s2
3x
④ 数据 2x1 - 3，2x2 - 3，2x3 - 3 ，…，2xn - 3 的
平均数为 ，方差为 .
- 3
2x
4s2
探究点：方差的应用
【练一练】
1. 若一组数据 x1 + 1，x2 + 1，…，xn + 1 的方差为 1，则另一组数据 x1 + 2，x2 + 2，…，xn + 2 的方差是
；数据 3x1 + 2，3x2 + 2，…，3xn + 2 的方差是 .
1
9
根据本节课的学习，说说你学会了什么？
我学会了当所有数据发生相同变化时，如何快速求出方差和平均数.
我学会了计算方差，并合理利用数据分析作出决策.
1. 体育课上，某班两名同学分别进行了5次短跑训
练，要判断哪一名同学的成绩比较稳定，通常需要
比较两名同学成绩的(　B　)
A. 平均数 B. 方差
C. 频数分布 D. 中位数
B
2. 已知甲、乙两个合唱队队员的平均身高为
170 cm，方差分别是 ， ，且 ＞ ，则这
两个队的队员的身高较整齐的是(　B　)
A. 甲队 B. 乙队
C. 两队一样整齐 D. 不能确定
B
3. 篮球队5名场上队员的身高(单位：cm)分别是：
188，190，192，194，195.现用一名身高为191cm
的队员换下身高为195 cm的队员，与换人前相比，
场上队员的身高(　A　)
A. 平均数变小，方差变小
B. 平均数变小，方差变大
C. 平均数变大，方差变小
D. 平均数变大，方差变大
A
4. 某同学对甲、乙、丙、丁四个市场二月份每天的
白菜价格进行调查，计算后发现这个月四个市场的
白菜价格平均值相同，方差分别为 ＝8.5，
＝2.5， ＝10.1， ＝7.4，则二月份白菜价格最稳定的市场是 .
乙　
5. 甲、乙两人8次射击的成绩(单位：环)如图所示，根据图中的信息判断这8次射击中成绩比较稳定的是 .(填“甲”或“乙”)
甲　
6. 甲、乙两种水稻试验田连续5年的平均单位面积
产量(单位：吨/公顷)如下：
品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年
甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2
乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8
解： ＝ (9.8＋9.9＋10.1＋10＋10.2)＝10(吨/公顷)，
＝ (9.4＋10.3＋10.8＋9.7＋9.8)＝10(吨/公顷).
∵ ＝ ，
∴两种水稻的平均单位面积产量一样高.
(1)哪种水稻的平均单位面积产量比较高？
(2)哪种水稻的产量比较稳定？
解：(2) ＝ [(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2
＋(10－10)2＋(10.2－10)2]＝0.02，
＝ [(9.4－10)2＋(10.3－10)2＋(10.8－10)2＋(9.7
－10)2＋(9.8－10)2]＝0.244.
∵ ＜ ，∴甲种水稻的产量比较稳定.
解： ＝ [(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2＋
(10－10)2＋(10.2－10)2]＝0.02，
＝ [(9.4－10)2＋(10.3－10)2＋(10.8－10)2＋(9.7
－10)2＋(9.8－10)2]＝0.244.
∵ ＜ ，
∴甲种水稻的产量比较稳定.

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