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第2节　位移
变化规律
学习目标 课标解读
1.知道v-t图线与t轴所围“面积”与物体位移的关系。 2.会应用匀变速直线运动的v-图像推导匀变速直线运动的位移公式。 3.知道匀变速直线运动的速度与位移的关系式的推导。 4.会应用匀变速直线运动的位移公式解决实际问题。 1.通过匀变速直线运动位移公式的推导,感受利用极限思想解决物理问题的科学思维方法。
2.通过速度与位移关系的推导,体会数学推理作用的重要性。
3.通过匀变速直线运动规律在实际问题中的应用,感悟物理与生活的关系。
探究·必备知识
「探究新知」
一、匀变速直线运动的位移—时间关系
1.关系式推导
2.公式的特殊形式
二、匀变速直线运动的位移—速度关系
2as
2.推导
3.应用条件
已知量和未知量都不涉及 。
时间
2as
v0+at
「新知检测」
1.思考判断
×
×
√　
×
×
2.思维探究
如果你是机场跑道设计师,若已知飞机的加速度为a,起飞速度为vt,你应该如何来设计飞机跑道的长度L
突破·关键能力
要点一　对匀变速直线运动位移—时间关系的理解
「情境探究」
(1)把匀变速直线运动的v-t图像分成几个小段,如图甲所示。每段位移约等于每段起始时刻的速度乘每段的时间,等于对应矩形的面积。故整个过程的位移约等于各个小矩形的　　　　　　。
面积之和　
(2)把运动过程分为更多的小段,如图乙所示,各小矩形的　　　　　　可以更精确地表示物体在整个过程的位移。
面积之和
(3)把整个运动过程分得非常细,如图丙所示,很多小矩形合在一起形成了一个梯形OABC,　　　　　　就代表物体在相应时间间隔内的位移。面积大小为　　　　　　　　　,把面积及各条线段换成其所代表的物理量,上式变成　　　　　,将vt=v0+at代入得　　　　　　。
梯形面积
1.公式的适用条件
「要点归纳」
(1)匀加速直线运动中,a与v0同向,a取正值;匀减速直线运动中,a与v0反向,a取负值。
(2)若位移的计算结果为正值,说明位移方向与规定的正方向相同;若位移的计算结果为负值,说明位移方向与规定的正方向相反。
3.两种特殊形式
[例1] 汽车以10 m/s的速度沿平直公路匀速行驶,现以大小为0.5 m/s2的加速度开始刹车。求:
(1)汽车开始刹车后4 s末的速度大小;
【答案】 (1)8 m/s　
【解析】 (1)刹车过程,设经t0时间速度减为零,由v=v0-at0,得t0=20 s,
因为t1=4 s由v1=v0-at1,解得v1=8 m/s。
(2)汽车刹车后行驶75 m所需的时间;
【答案】 (2)10 s
(3)汽车30 s内行驶的距离。
【答案】 (3)100 m
[针对训练1] 某一向右做直线运动的物体的图像如图所示,根据图像求:
(1)物体刚出发时的加速度;
【答案】 (1)4 m/s2,向右
(2)物体距出发点最远时的位移;
【答案】 (2)6 m,向右
(3)前4 s内物体通过的路程。
【答案】 (3)7 m
[针对训练2] 质点做直线运动的位移s与时间t的关系为s=5t+t2(式中时间的单位为s,位移的单位为m)。则该质点(　　)
A.初速度是5 m/s,任意1 s内的速度增量都是2 m/s
B.第2 s末的速度是6 m/s
C.第1 s内的位移是5 m
D.加速度是1 m/s2
A
要点二　对速度位移公式的理解及应用
「情境探究」
射击时,燃气膨胀推动子弹加速运动。若把子弹在枪筒中的运动看成匀加速直线运动,设子弹的加速度a=5×105 m/s2,枪筒长s=0.64 m。求子弹射出枪口时的速度。采用的最直接的公式是哪个
「要点归纳」
(3)vt>0,说明速度的方向与初速度方向相同;vt<0,说明速度的方向与初速度方向相反。
3.公式的特点:不涉及时间,v0、vt、a、s中已知三个量可求第四个量。
[例2] 如图所示为静止的航空母舰,若舰载飞机在跑道上加速时的加速度恒为5 m/s2,飞机在跑道上滑行160 m起飞。
(1)若从静止开始加速,求飞机离开滑行跑道时的速度大小;
【答案】 (1)40 m/s
【解析】 (1)若从静止开始加速,飞机离开滑行跑道时的速度满足v2=2as,解得v=40 m/s。
(2)若要使飞机起飞时的速度大小达到50 m/s,则弹射系统必须使飞机具有的最小初速度为多大
【答案】 (2)30 m/s
(3)在(2)的前提下,求飞机在甲板上滑行的时间。
【答案】 (3)4 s
·学习笔记·
应用速度位移关系式的两点注意
B
[针对训练4] 一个做匀加速直线运动的物体,当它的速度由v增至2v时,发生的位移为s1;当它的速度由2v增至3v时,发生的位移为s2,则 s1∶s2等于(　　)
A.1∶2 B.2∶3 C.3∶5 D.1∶5
C
【解析】 当速度由v增至2v时,发生的位移为s1,根据速度—位移关系可得(2v)2-v2=2as1;当速度由2v增至3v时,发生的位移为s2,根据速度—位移关系可得(3v)2-(2v)2=2as2,联立解得s1∶s2=3∶5,故C正确,A、B、D错误。
提升·核心素养
「模型·方法·结论·拓展」
匀变速直线运动中“逆向思维法”的应用
“逆向思维”是把人们通常思考问题的思维反过来思考的思维方式,运用逆向思维分析和解决问题的方法称为逆向思维法。所谓逆向思维,简单来说就是“倒过来想一想”。匀变速直线运动中常把末速度为0的匀减速直线运动看成初速度为0、加速度大小相等的反向匀加速直线运动。
如物体的初速度为v0,加速度大小为a,做匀减速直线运动,经过时间t速度为0,则可将此运动逆向看成初速度为0、加速度大小为a的匀加速直线运动,末速度为v0,则经过的位移s可有以下表达形式:
[示例] 如图所示,某冰壶项目运动员在一次训练中将冰壶以v0=3 m/s的速度推出,冰壶先做匀减速直线运动一段距离后,其队友开始在冰壶滑行的前方利用冰壶刷持续摩擦冰面,使后一阶段匀减速直线运动的加速度变为前一阶段的一半,冰壶在后一阶段运动中的最后2 s内滑行0.2 m,已知两个阶段冰壶一共滑行30 m。求:
(1)最后2 s内的加速度大小;
【答案】 (1)0.1 m/s2
(2)后一阶段运动的初速度v1的大小。
「科学·技术·社会·环境」
交通安全与运动规律
在高速公路上,有时会发生“追尾”事故——后面的汽车撞上前面的汽车。造成追尾的主要因素是超速和精力不集中,在汽车高速行驶时,驾驶员从发现险情到汽车开始制动大概需要1.5 s,按速度100 km/h 算,1.5 s 汽车前进约
40 m,汽车在高速行驶时,保持合适的车距和控制合理车速至关重要。
[示例] 某次汽车刹车性能测试中,测得汽车刹车痕迹长62.5 m。假设制动后加速度大小恒为5 m/s2,下列判断正确的是(　　)
A.该车刹车时的初速度为30 m/s
B.该车刹车后,6 s内的位移为60 m
C.该车刹车后,最后1 s内的位移为2.5 m
D.该车刹车后,第4 s初的速度为5 m/s
C
检测·学习效果
1.(双选)彩虹滑道是很有趣的游玩项目,游客坐在橡皮圈上随之一起滑下,如图所示。假设游客(视为质点)从静止开始做匀加速直线运动,第1 s内的位移是0.5 m,下列说法正确的是(　 　)
A.游客的加速度大小是2 m/s2
B.游客在1 s末的速度是1 m/s
C.游客在第3 s内的平均速度是2.5 m/s
D.游客在第5 s内的位移大小是2.75 m
BC
2.一物体做直线运动的位置坐标与时间的函数关系式为s=t2+2t+3(式中x单位为m,t单位为s)。下列关于该物体运动的说法正确的是(　　)
A.物体的加速度大小为1 m/s2
B.t=0时刻,物体的速度大小为3 m/s
C.0～2 s内,物体的位移大小为11 m
D.0～5 s内,物体的平均速度大小为7 m/s
D
3.(2024·甘肃卷)小明测得兰州地铁一号线列车从“东方红广场”到“兰州大学”站的v-t图像如图所示,此两站间的距离约为(　　)
A.980 m B.1 230 m
C.1 430 m D.1 880 m
C
4.质点从O点由静止开始做匀加速直线运动,依次经过A、B、C三点,OA段的运动时间为1 s,OA段的距离为4 m。若AB段的运动时间为2 s,BC段的运动时间为1 s,则加速度为　　　　 m/s2,BC段的距离为　　　　m;若AB段的距离为 20 m,BC段的距离为4 m,则BC段的运动时间为　　　　 s。
8
28
5.电动玩具小车在水平地面上由静止开始做初速度为零的匀加速直线运动,已知第6 s末的速度大小为3 m/s,求:
(1)小车的加速度大小;
【答案】 (1)0.5 m/s2
(2)小车开始运动后前6 s内的位移大小;
【答案】 (2)9 m
(3)小车在4～6 s内的平均速度大小。
【答案】 (3)2.5 m/s
感谢观看第2节　位移变化规律
课时作业　　　　　　 　　　　　 　　　　　
基础巩固
1.纯电动汽车不排放污染空气的有害气体,具有较好的发展前景。某型号的电动汽车在一次刹车测试中,初速度为20 m/s,以4 m/s2的加速度刹车,若将该过程视为匀减速直线运动,则汽车在刹车6 s后的位移为(　　)
A.48 m B.50 m
C.60 m D.80 m
【答案】 B
【解析】 汽车刹车,做匀减速直线运动,经过时间t0停下,根据匀变速直线运动的速度公式,有t0===5 s,由于t0为s===50 m,故选B。
2.如图所示,一辆汽车(视为质点)在平直公路上做匀加速直线运动,依次经过甲、乙、丙三棵树,从甲树运动到乙树所用的时间为3 s,从乙树运动到丙树所用的时间为2 s,已知相邻两棵树间的距离均为15 m,则汽车经过乙树时的速度大小为(　　)
A.6.0 m/s B.6.5 m/s
C.7.0 m/s D.7.5 m/s
【答案】 B
【解析】 汽车从甲树运动到乙树有d=v1t1+a,汽车从甲树运动到丙树有2d=v1(t1+t2)+
a(t1+t2)2,解得v1=3.5 m/s,a=1 m/s2,汽车经过乙树时的速度大小v2=v1+at1=6.5 m/s,故选B。
3.大力研发电动汽车是减少二氧化碳排放的主要手段之一。若某一电动汽车以15 m/s的速度在一条平直公路上行驶,前方遇到一障碍物,汽车以大小为5 m/s2的加速度开始减速,从开始减速计时,则在第一个2 s内与第二个2 s内,电动汽车所走的位移之比为(　　)
A.8∶1 B.1∶1 C.3∶1 D.8∶3
【答案】 A
【解析】 汽车从开始减速到停止运动的时间为t0===3 s,汽车在第一个2 s内的位移为 s1=v0t-at2=15 m/s×2 s-×5 m/s2×(2 s)2=20 m,汽车在 3 s末停止运动,所以在第二个2 s内的位移为 s2=a-s1=×5 m/s2×(3 s)2-20 m=2.5 m,在第一个2 s内与第二个 2 s内,电动汽车所走的位移之比为==,故A正确,B、C、D错误。
4.在一次交通事故中,交通警察测量出肇事车辆的刹车痕迹是30 m,该车辆的刹车加速度大小是15 m/s2,该路段限速为60 km/h,则该车(　　)
A.超速
B.刹车前速度为30 km/h
C.无法判断是否超速
D.刹车前速度为60 km/h
【答案】 A
【解析】 设车辆刹车前的速度大小为vt,刹车距离为s=30 m,刹车过程的加速度大小a=
15 m/s2,由位移—速度公式可得=2as,代入数据得vt=30 m/s=108 km/h,该速度大于限速,该车超速,故B、C、D错误,A正确。
5.(双选)质点做直线运动的位移s随时间t变化、速度v随时间t变化的图像如图所示,其中能反映质点在0～4 s内的平均速度为2 m/s的是(　　)
A B
C D
【答案】 BC
【解析】 由题图A可知,质点在0～4 s内的位移为s=-4 m-4 m=-8 m,则平均速度为==
-2 m/s,故A错误;由题图B可知,质点在0～4 s内的位移为s=8 m-0=8 m,则平均速度为==
2 m/s,故B正确;根据vt 图像面积表示位移,由题图C可知,质点在0～4 s内的位移为s=×4×
4 m=8 m,则平均速度为==2 m/s,故C正确;根据vt图像面积表示位移,由题图D可知,质点在0～4 s内的位移为s=×(2+4)×4 m=12 m,则平均速度为==3 m/s,故D错误。
6.自驾游是目前比较流行的旅游方式,在人烟稀少的公路上行驶,司机会经常遇到动物过公路的情形。如图所示是一辆汽车正在以v0=20 m/s的速度匀速行驶,突然公路上冲出三只小动物,司机马上刹车,假设刹车过程是匀减速直线运动,加速度大小为 4 m/s2,小动物与汽车距离约为55 m,以下说法正确的是(　　)
A.汽车匀减速6 s末的速度大小为4 m/s
B.匀减速运动的汽车一定撞上小动物
C.汽车第2 s末的速度为10 m/s
D.汽车匀减速第4 s末到第6 s末位移为2 m
【答案】 D
【解析】 根据题意,由公式vt=v0+at代入数据解得 t=5 s,可知汽车在刹车5 s后停止运动,故
6 s末速度为0,故A错误;由A分析可知,汽车在刹车 5 s后停止运动,根据公式s=v0t+at2,代入数据解得s=50 m,汽车刹车行驶50 m停下,小于 55 m,则没有撞上小动物,故B错误;根据题意,由公式 vt=v0+at,解得汽车第2 s末的速度为 12 m/s,故C错误;汽车刹车减速5 s停止,根据逆运算,第4 s末到第 6 s末位移可看成第5 s末反向初速度为零的匀加速运动,则加速时间为1 s,根据公式s=at2,代入数据解得s=2 m,故D正确。
7.列车在某一路段做匀加速直线运动,速度由 10 m/s 增加到20 m/s时的位移为s,接着列车再运动4s的位移时,列车的速度是(　　)
A.30 m/s B.40 m/s
C.50 m/s D.60 m/s
【答案】 B
【解析】 设列车的加速度为a,根据-=2as,有s=,当列车接着运动4s的位移时,设末速度为v2,根据 -=2a·4s,则4s=,把v0=10 m/s,v1=20 m/s代入,联立解得v2=
40 m/s,故B正确,A、C、D错误。
8.(双选)(2024·福建漳州期中)冰壶是以队为单位在冰上进行的一种投掷性竞赛项目。在某次比赛中,冰壶被投出后,如果做匀减速直线运动,用时20 s停止,最后1 s内的位移大小为0.2 m,则下列说法正确的是(　　)
A.冰壶第1 s内的位移大小是7.8 m
B.冰壶的加速度大小是0.4 m/s2
C.冰壶的初速度大小是6 m/s
D.前10 s的位移和后10 s的位移之比为2∶1
【答案】 AB
【解析】 整个过程的逆过程是初速度为0的匀加速直线运动,最后1 s内的位移大小为0.2 m,由s1=at2,代入数据解得a=0.4 m/s2,B正确;冰壶的初速度为v0=at0=8 m/s,C错误;冰壶第1 s内的位移大小是s2=v0t-at2=7.8 m,A正确;由初速度为零的匀加速直线运动的规律可知,前10 s的位移和后10 s的位移之比为 3∶1,D错误。
9.甲、乙两质点在同一条直线上运动,从t=0时刻起同时出发,甲做匀加速直线运动,st图像如图甲所示,乙做匀减速直线运动,整个运动过程的sv2图像如图乙所示。下列说法正确的是(　　)
A.甲质点的加速度大小为2 m/s2
B.乙质点的加速度大小为10 m/s2
C.t=2 s时,乙的位移为10 m
D.t=0时刻,甲、乙的初速度均为10 m/s
【答案】 C
【解析】 由题图甲可知,前1 s的位移s1=0-(-2) m=2 m,前2 s的位移s2=6 m-(-2) m=8 m,根据位移公式 s=v0t+at2,代入数据解得加速度 a1=4 m/s2,初速度v01=0,A、D错误;质点乙做匀减速直线运动,根据位移速度关系式-=2as,结合题图乙可知,加速度a2=-5 m/s2,初速度为 v02=10 m/s,根据速度公式vt=v0+at 可知,乙停下来的时间t=2 s,此时乙的位移刚好为
10 m,C正确,B错误。
能力提升
10.(双选)某汽车以一定的初速度开始刹车做匀减速直线运动直到停止,前2 s内的位移大小为32 m,后4 s内的位移大小为32 m,则下列说法正确的是(　　)
A.该汽车的加速度大小为8 m/s2
B.该汽车的初速度大小为20 m/s
C.该汽车刹车的时间为6 s
D.该汽车从刹车到停止的总位移大小为50 m
【答案】 BD
【解析】 由于后4 s内的位移大小为32 m,利用逆向思维将运动看成初速度为零的匀加速直线运动,由位移与时间的关系,可知s4=a,解得a=4 m/s2,A错误;由于前2 s内的位移大小为32 m,由匀变速直线运动位移与时间的关系,可知s2=v0t2-a,解得v0=20 m/s,B正确;根据匀变速直线运动速度与时间的关系,可知vt=v0-at停,解得该汽车的刹车时间t停=5 s,C错误;根据-=-2as,解得该汽车从刹车到停止的总位移大小s=50 m,D正确。
11.在处理较复杂的变化量问题时,常常先把整个区间化为若干个小区间,认为每一小区间内研究的量不变,再求和。这是物理学中常用的一种方法。如图甲是某物体以一定初速度做匀变速直线运动的vt图像。可以想象,如果把整个运动过程分割得非常非常细,很多很多小矩形的面积之和就能非常精确地代表物体的位移了(图乙、图丙)。这时,很多很多小矩形顶端的“锯齿形”就看不出来了,这些小矩形合在一起组成一个梯形OABC(图丁)。这个梯形的面积就代表做匀变速直线运动的物体从开始到t时刻这段时间间隔的位移。
(1)上面这种分析问题的方法具有一般意义,原则上对于处理任意形状的vt图像都适用。某物体做直线运动的vt图像如图戊所示,请根据该物体的vt图像估算它在13 s内的位移s=
　　　　m。
(2)有研究表明,汽车启动时加速度平稳变化使人感到舒服。如图己所示为一辆汽车启动过程中加速度随时间变化的图像。类比是一种常用的研究方法,对于直线运动,由vt图像可以求得位移。请你借鉴此方法,对比加速度的定义,可知at图像与坐标轴围成的图形面积表示　　　　　　　,根据题中at图像,求出汽车在2 s内速度的变化量Δv=　　　　 m/s。
【答案】 (1)93　(2)速度的变化量　3
【解析】 (1)利用速度—时间图像与坐标轴围成的图形面积表示位移,对于图线不是直线的图形面积,我们可以通过数格子的方法去求,由图像可知每一格表示1 m,总位移=格子总数×1 m,数格子注意大于半格的算一格,小于半格的不算,则在13 s内的位移为s=93×1 m=93 m。
(2)因为s=vt,速度—时间图像与坐标轴围成的图形面积表示位移,而Δv=at,类比可知,at图像与坐标轴围成的图形面积表示速度的变化量,则汽车在2 s内速度的变化量为Δv=×2×3 m/s=
3 m/s。
12.一辆总质量为20 t的卡车在下坡时,司机突然发现刹车失灵,同时发动机又失去动力,此时速度表的示数为18 km/h,卡车继续沿下坡道匀加速直线行驶136 m,用时8 s,此时刚好进入一条避险车道(如图所示),从下坡道进入避险车道时速度大小不变,卡车以5 m/s2的加速度大小在避险车道做匀减速直线运动,直至停下,求:
(1)卡车在下坡道上行驶的加速度大小;
(2)卡车在下坡道的末速度大小;
(3)卡车在避险车道上通过的最大位移。
【答案】 (1)3 m/s2　(2)29 m/s　(3)84.1 m
【解析】 (1)根据位移公式有s1=v0t1+a1,
解得a1=3 m/s2。
(2)匀加速运动的末速度大小为v=v0+a1t1=29 m/s。
(3)根据02-v2=-2a2s2,
解得s2=84.1 m。第2节　位移变化规律
学习目标 课标解读
1.知道vt图线与t轴所围“面积”与物体位移的关系。 2.会应用匀变速直线运动的vt图像推导匀变速直线运动的位移公式。 3.知道匀变速直线运动的速度与位移的关系式的推导。 4.会应用匀变速直线运动的位移公式解决实际问题。 1.通过匀变速直线运动位移公式的推导,感受利用极限思想解决物理问题的科学思维方法。 2.通过速度与位移关系的推导,体会数学推理作用的重要性。 3.通过匀变速直线运动规律在实际问题中的应用,感悟物理与生活的关系。
探究新知
一、匀变速直线运动的位移—时间关系
1.关系式推导
根据vt图像中图线与时间轴围成的面积等于位移的大小,有s=(v0+vt)t,将公式vt=v0+at代入上式,有s=v0t+at2。
2.公式的特殊形式
当v0=0时,s=at2(由静止开始的匀加速直线运动)。
二、匀变速直线运动的位移—速度关系
1.关系式:-=2as。
2.推导
3.应用条件
已知量和未知量都不涉及时间。
新知检测
1.思考判断
(1)位移公式s=v0t+at2仅适用于匀加速直线运动。(　×　)
(2)初速度越大,时间越长,匀变速直线运动物体的位移一定越大。(　×　)
(3)匀变速直线运动的位移与初速度、加速度、时间三个因素有关。(　√　)
(4)公式-=2as适用于所有的直线运动。(　×　)
(5)匀加速直线运动中速度的二次方v2一定与位移s成正比。(　×　)
2.思维探究
如果你是机场跑道设计师,若已知飞机的加速度为a,起飞速度为vt,你应该如何来设计飞机跑道的长度L
【答案】 根据公式-=2as得=2aL,所以L=,即应使飞机跑道的长度大于。
要点一　对匀变速直线运动位移—时间关系的理解
情境探究
(1)把匀变速直线运动的vt图像分成几个小段,如图甲所示。每段位移约等于每段起始时刻的速度乘每段的时间,等于对应矩形的面积。故整个过程的位移约等于各个小矩形的
　　　　　　。
(2)把运动过程分为更多的小段,如图乙所示,各小矩形的　　　　　　可以更精确地表示物体在整个过程的位移。
(3)把整个运动过程分得非常细,如图丙所示,很多小矩形合在一起形成了一个梯形OABC,　　　　　　就代表物体在相应时间间隔内的位移。面积大小为　　　　　　　　　,把面积及各条线段换成其所代表的物理量,上式变成　　　　　,将vt=v0+at代入得　　　　　　。
【答案】 (1)面积之和　(2)面积之和
(3)梯形面积　S=(OC+AB)·OA　s=　s=v0t+at2
要点归纳
1.公式的适用条件
位移公式s=v0t+at2只适用于匀变速直线运动。
2.公式的矢量性
s=v0t+at2为矢量式,其中s、v0、a都是矢量,应用时必须选取正方向。一般选v0的方向为正方向。
(1)匀加速直线运动中,a与v0同向,a取正值;匀减速直线运动中,a与v0反向,a取负值。
(2)若位移的计算结果为正值,说明位移方向与规定的正方向相同;若位移的计算结果为负值,说明位移方向与规定的正方向相反。
3.两种特殊形式
(1)当v0=0时,s=at2,即由静止开始的匀加速直线运动的位移公式,位移s与t2成正比。
(2)当a=0时,s=v0t,即匀速直线运动的位移公式。
[例1] 汽车以10 m/s的速度沿平直公路匀速行驶,现以大小为0.5 m/s2的加速度开始刹车。求:
(1)汽车开始刹车后4 s末的速度大小;
(2)汽车刹车后行驶75 m所需的时间;
(3)汽车30 s内行驶的距离。
【答案】 (1)8 m/s　(2)10 s　(3)100 m
【解析】 (1)刹车过程,设经t0时间速度减为零,由v=v0-at0,得t0=20 s,
因为t1=4 s由v1=v0-at1,解得v1=8 m/s。
(2)当s=75 m时,有s=v0t2-a,
解得t2=10 s,t2′=30 s(t2′>t0,舍去),
故汽车从开始刹车到位移为75 m时所经历的时间为10 s。
(3)汽车共运动20 s,30 s内行驶的距离为刹车总距离s=v0t0=100 m。
[针对训练1] 某一向右做直线运动的物体的图像如图所示,根据图像求:
(1)物体刚出发时的加速度;
(2)物体距出发点最远时的位移;
(3)前4 s内物体通过的路程。
【答案】 (1)4 m/s2,向右　(2)6 m,向右 (3)7 m
【解析】 (1)根据vt图像的斜率表示加速度,可得物体刚出发时的加速度
a===4 m/s2,方向向右。
(2)由图像与坐标轴围成的面积表示位移,可得3 s时物体的位移最大,为
sm=t3=×3 m=6 m,方向向右。
(3)由图像与坐标轴围成的面积可得,前4 s内物体通过的路程l=l1+l2=×3 m+×1 m=7 m。
[针对训练2] 质点做直线运动的位移s与时间t的关系为s=5t+t2(式中时间的单位为s,位移的单位为m)。则该质点(　　)
A.初速度是5 m/s,任意1 s内的速度增量都是2 m/s
B.第2 s末的速度是6 m/s
C.第1 s内的位移是5 m
D.加速度是1 m/s2
【答案】 A
【解析】 根据位移公式s=v0t+at2,由位移s与时间t的关系s=5t+t2,可得v0=5 m/s,a=2 m/s2,所以任意1 s内的速度增量都是2 m/s,故A正确,D错误;第2 s末的速度v2=v0+at2=5 m/s+
2 m/s2×2 s=9 m/s,故B错误;第1 s内的位移是s1=v0t1+a=5 m/s×1 s+×2 m/s2×(1 s)2=6 m,故C错误。
要点二　对速度位移公式的理解及应用
情境探究
射击时,燃气膨胀推动子弹加速运动。若把子弹在枪筒中的运动看成匀加速直线运动,设子弹的加速度a=5×105 m/s2,枪筒长s=0.64 m。求子弹射出枪口时的速度。采用的最直接的公式是哪个
【答案】 根据位移s与速度v的关系式-=2as,得vt==800 m/s。
此问题中,并不知道时间t,时间只是一个中间量,可用一个不含时间的公式-=2as直接
解决。
要点归纳
1.适用范围:速度与位移的关系-=2as仅适用于匀变速直线运动。
2.公式的矢量性:-=2as是矢量式,v0、vt、a、s都是矢量,应用解题时一定要先规定正方向,一般取v0方向为正方向。
(1)若物体做加速运动,a取正值;做减速运动,a取负值。
(2)s>0,说明位移的方向与初速度方向相同;s<0,说明位移的方向与初速度方向相反。
(3)vt>0,说明速度的方向与初速度方向相同;vt<0,说明速度的方向与初速度方向相反。
3.公式的特点:不涉及时间,v0、vt、a、s中已知三个量可求第四个量。
[例2] 如图所示为静止的航空母舰,若舰载飞机在跑道上加速时的加速度恒为5 m/s2,飞机在跑道上滑行160 m起飞。
(1)若从静止开始加速,求飞机离开滑行跑道时的速度大小;
(2)若要使飞机起飞时的速度大小达到50 m/s,则弹射系统必须使飞机具有的最小初速度为
多大
(3)在(2)的前提下,求飞机在甲板上滑行的时间。
【答案】 (1)40 m/s　(2)30 m/s　(3)4 s
【解析】 (1)若从静止开始加速,飞机离开滑行跑道时的速度满足v2=2as,解得v=40 m/s。
(2)根据速度—位移公式有v′2-=2as,
弹射系统必须使飞机具有的最小初速度为
v0=30 m/s。
(3)飞机在甲板上滑行的时间为t==4 s。
应用速度位移关系式的两点注意
(1)若不涉及时间,优先选用-=2as。
(2)选用-=2as时,要注意符号关系,必要时应对计算结果进行分析,验证其合理性。
[针对训练3] 如图所示,物体A在斜面上由静止匀加速滑下s1后,又在水平面上匀减速地滑过s2后停下,测得s2=2s1。已知经过拐弯处速度大小不变,则物体在斜面上的加速度大小a1与水平面上的加速度大小a2的关系为(　　)
A.a1=a2 B.a1=2a2
C.a1=a2 D.a1=4a2
【答案】 B
【解析】 设物体在斜面末端时的速度为vt,由-=2as得-02=2a1s1,02-=2(-a2)s2,联立解得a1=2a2。
[针对训练4] 一个做匀加速直线运动的物体,当它的速度由v增至2v时,发生的位移为s1;当它的速度由2v增至3v时,发生的位移为s2,则 s1∶s2等于(　　)
A.1∶2 B.2∶3 C.3∶5 D.1∶5
【答案】 C
【解析】 当速度由v增至2v时,发生的位移为s1,根据速度—位移关系可得(2v)2-v2=2as1;当速度由2v增至3v时,发生的位移为s2,根据速度—位移关系可得(3v)2-(2v)2=2as2,联立解得s1∶s2=3∶5,故C正确,A、B、D错误。
模型·方法·结论·拓展
匀变速直线运动中“逆向思维法”的应用
　　“逆向思维”是把人们通常思考问题的思维反过来思考的思维方式,运用逆向思维分析和解决问题的方法称为逆向思维法。所谓逆向思维,简单来说就是“倒过来想一想”。匀变速直线运动中常把末速度为0的匀减速直线运动看成初速度为0、加速度大小相等的反向匀加速直线运动。如物体的初速度为v0,加速度大小为a,做匀减速直线运动,经过时间t速度为0,则可将此运动逆向看成初速度为0、加速度大小为a的匀加速直线运动,末速度为v0,则经过的位移s可有以下表达形式:
　　s=v0t-at2(正向的表达),
　　s=at2(逆向的表达),
　　s=t(平均速度的表达)。
[示例] 如图所示,某冰壶项目运动员在一次训练中将冰壶以v0=3 m/s的速度推出,冰壶先做匀减速直线运动一段距离后,其队友开始在冰壶滑行的前方利用冰壶刷持续摩擦冰面,使后一阶段匀减速直线运动的加速度变为前一阶段的一半,冰壶在后一阶段运动中的最后2 s内滑行0.2 m,已知两个阶段冰壶一共滑行30 m。求:
(1)最后2 s内的加速度大小;
(2)后一阶段运动的初速度v1的大小。
【答案】 (1)0.1 m/s2　(2) m/s
【解析】 (1)依题意,冰壶做匀减速直线运动,其末速度为零,采用逆向思维可视为反向初速度为0的匀加速直线运动,可得s1=a1,
解得a1=0.1 m/s2。
(2)依题意,前一阶段的加速度大小为
a=2a1=0.2 m/s2,
由匀变速直线运动位移与速度的关系,可得
+=s,
解得v1= m/s。
科学·技术·社会·环境
交通安全与运动规律
　　在高速公路上,有时会发生“追尾”事故——后面的汽车撞上前面的汽车。造成追尾的主要因素是超速和精力不集中,在汽车高速行驶时,驾驶员从发现险情到汽车开始制动大概需要1.5 s,按速度100 km/h 算,1.5 s 汽车前进约40 m,汽车在高速行驶时,保持合适的车距和控制合理车速至关重要。
[示例] 某次汽车刹车性能测试中,测得汽车刹车痕迹长62.5 m。假设制动后加速度大小恒为5 m/s2,下列判断正确的是(　　)
A.该车刹车时的初速度为30 m/s
B.该车刹车后,6 s内的位移为60 m
C.该车刹车后,最后1 s内的位移为2.5 m
D.该车刹车后,第4 s初的速度为5 m/s
【答案】 C
【解析】 根据匀变速直线运动中位移与速度的关系有 =2as,解得v0=25 m/s,故A错误;刹车时间为t===5 s<6 s,故汽车5 s时已经停下,之后停止不动,位移为整个刹车位移,为62.5 m,故B错误;运用逆向思维,可以认为汽车做初速度为0的匀加速直线运动,则最后1 s内的位移为s1=at2=×5 m/s2×(1 s)2=2.5 m,故C正确;第4 s初的速度为vt=v0-at=25 m/s-5 m/s2×
3 s=10 m/s,故D错误。
1.(双选)彩虹滑道是很有趣的游玩项目,游客坐在橡皮圈上随之一起滑下,如图所示。假设游客(视为质点)从静止开始做匀加速直线运动,第1 s内的位移是0.5 m,下列说法正确的是(　　)
A.游客的加速度大小是2 m/s2
B.游客在1 s末的速度是1 m/s
C.游客在第3 s内的平均速度是2.5 m/s
D.游客在第5 s内的位移大小是2.75 m
【答案】 BC
【解析】 游客从静止开始做匀加速直线运动,第1 s内的位移s1=at2,解得游客的加速度大小是1 m/s2,故A错误;游客在1 s末的速度v1=at=1 m/s,故B正确;游客在第3 s内的平均速度等于第2.5 s时的瞬时速度,v3=at′=2.5 m/s,故C正确;游客在第5 s内的位移大小s5=a-a=
4.5 m,故D错误。
2.一物体做直线运动的位置坐标与时间的函数关系式为s=t2+2t+3(式中x单位为m,t单位为s)。下列关于该物体运动的说法正确的是(　　)
A.物体的加速度大小为1 m/s2
B.t=0时刻,物体的速度大小为3 m/s
C.0～2 s内,物体的位移大小为11 m
D.0～5 s内,物体的平均速度大小为7 m/s
【答案】 D
【解析】 物体做匀变速直线运动,有s=v0t+at2+s0,s0为t=0时刻物体的位置,对比函数可知,t=0时刻,物体的初速度v0=2 m/s,加速度a=2 m/s2,初位置s0=3 m,故A、B错误;t=2 s时,s=11 m,0～2 s内,物体的位移大小为s1=11 m-3 m=8 m,故C错误;t=5 s时,s=38 m,0～5 s内,物体的位移大小为s2=38 m-3 m=35 m,物体的平均速度大小为==7 m/s,故D正确。
3.(2024·甘肃卷)小明测得兰州地铁一号线列车从“东方红广场”到“兰州大学”站的vt图像如图所示,此两站间的距离约为(　　)
A.980 m B.1 230 m
C.1 430 m D.1 880 m
【答案】 C
【解析】 vt图像中图线与横轴围成的面积表示位移,故可得s=(74-25+94)×20× m=1 430 m。故C正确。
4.质点从O点由静止开始做匀加速直线运动,依次经过A、B、C三点,OA段的运动时间为
1 s,OA段的距离为4 m。若AB段的运动时间为2 s,BC段的运动时间为1 s,则加速度为　　　　 m/s2,BC段的距离为　　　　m;若AB段的距离为 20 m,BC段的距离为4 m,则BC段的运动时间为　　　　 s。
【答案】 8　28　-
【解析】 第1 s内,根据公式sOA=a,解得a=8 m/s2,OB段位移为sOB=a=36 m,OC段位移为sOC=a=64 m,则BC段的距离为sBC=sOC-sOB=28 m;OB段,根据sOB′=a,解得 tOB= s;OC段,根据sOC′=a,解得tOC= s,则BC段运动时间为t=tOC-tOB=(-) s。
5.电动玩具小车在水平地面上由静止开始做初速度为零的匀加速直线运动,已知第6 s末的速度大小为3 m/s,求:
(1)小车的加速度大小;
(2)小车开始运动后前6 s内的位移大小;
(3)小车在4～6 s内的平均速度大小。
【答案】 (1)0.5 m/s2　(2)9 m　(3)2.5 m/s
【解析】 (1)由题意可知,小车做初速度为零的匀加速直线运动,根据匀加速直线运动的加速度公式,可得小车的加速度大小为a===0.5 m/s2。
(2)根据位移公式,结合(1)求得的小车的加速度大小,可得小车开始运动后前6 s内的位移大小为s1=at2=×0.5 m/s2×(6 s)2=9 m。
(3)同理可求小车在前4 s内的位移大小
s2=at′2=×0.5 m/s2×(4 s)2=4 m,
故小车在4～6 s内的平均速度大小
===2.5 m/s。
课时作业　　　　　　 　　　　　 　　　　　
基础巩固
1.纯电动汽车不排放污染空气的有害气体,具有较好的发展前景。某型号的电动汽车在一次刹车测试中,初速度为20 m/s,以4 m/s2的加速度刹车,若将该过程视为匀减速直线运动,则汽车在刹车6 s后的位移为(　　)
A.48 m B.50 m
C.60 m D.80 m
【答案】 B
【解析】 汽车刹车,做匀减速直线运动,经过时间t0停下,根据匀变速直线运动的速度公式,有t0===5 s,由于t0为s===50 m,故选B。
2.如图所示,一辆汽车(视为质点)在平直公路上做匀加速直线运动,依次经过甲、乙、丙三棵树,从甲树运动到乙树所用的时间为3 s,从乙树运动到丙树所用的时间为2 s,已知相邻两棵树间的距离均为15 m,则汽车经过乙树时的速度大小为(　　)
A.6.0 m/s B.6.5 m/s
C.7.0 m/s D.7.5 m/s
【答案】 B
【解析】 汽车从甲树运动到乙树有d=v1t1+a,汽车从甲树运动到丙树有2d=v1(t1+t2)+
a(t1+t2)2,解得v1=3.5 m/s,a=1 m/s2,汽车经过乙树时的速度大小v2=v1+at1=6.5 m/s,故选B。
3.大力研发电动汽车是减少二氧化碳排放的主要手段之一。若某一电动汽车以15 m/s的速度在一条平直公路上行驶,前方遇到一障碍物,汽车以大小为5 m/s2的加速度开始减速,从开始减速计时,则在第一个2 s内与第二个2 s内,电动汽车所走的位移之比为(　　)
A.8∶1 B.1∶1 C.3∶1 D.8∶3
【答案】 A
【解析】 汽车从开始减速到停止运动的时间为t0===3 s,汽车在第一个2 s内的位移为 s1=v0t-at2=15 m/s×2 s-×5 m/s2×(2 s)2=20 m,汽车在 3 s末停止运动,所以在第二个2 s内的位移为 s2=a-s1=×5 m/s2×(3 s)2-20 m=2.5 m,在第一个2 s内与第二个 2 s内,电动汽车所走的位移之比为==,故A正确,B、C、D错误。
4.在一次交通事故中,交通警察测量出肇事车辆的刹车痕迹是30 m,该车辆的刹车加速度大小是15 m/s2,该路段限速为60 km/h,则该车(　　)
A.超速
B.刹车前速度为30 km/h
C.无法判断是否超速
D.刹车前速度为60 km/h
【答案】 A
【解析】 设车辆刹车前的速度大小为vt,刹车距离为s=30 m,刹车过程的加速度大小a=
15 m/s2,由位移—速度公式可得=2as,代入数据得vt=30 m/s=108 km/h,该速度大于限速,该车超速,故B、C、D错误,A正确。
5.(双选)质点做直线运动的位移s随时间t变化、速度v随时间t变化的图像如图所示,其中能反映质点在0～4 s内的平均速度为2 m/s的是(　　)
A B
C D
【答案】 BC
【解析】 由题图A可知,质点在0～4 s内的位移为s=-4 m-4 m=-8 m,则平均速度为==
-2 m/s,故A错误;由题图B可知,质点在0～4 s内的位移为s=8 m-0=8 m,则平均速度为==
2 m/s,故B正确;根据vt 图像面积表示位移,由题图C可知,质点在0～4 s内的位移为s=×4×
4 m=8 m,则平均速度为==2 m/s,故C正确;根据vt图像面积表示位移,由题图D可知,质点在0～4 s内的位移为s=×(2+4)×4 m=12 m,则平均速度为==3 m/s,故D错误。
6.自驾游是目前比较流行的旅游方式,在人烟稀少的公路上行驶,司机会经常遇到动物过公路的情形。如图所示是一辆汽车正在以v0=20 m/s的速度匀速行驶,突然公路上冲出三只小动物,司机马上刹车,假设刹车过程是匀减速直线运动,加速度大小为 4 m/s2,小动物与汽车距离约为55 m,以下说法正确的是(　　)
A.汽车匀减速6 s末的速度大小为4 m/s
B.匀减速运动的汽车一定撞上小动物
C.汽车第2 s末的速度为10 m/s
D.汽车匀减速第4 s末到第6 s末位移为2 m
【答案】 D
【解析】 根据题意,由公式vt=v0+at代入数据解得 t=5 s,可知汽车在刹车5 s后停止运动,故
6 s末速度为0,故A错误;由A分析可知,汽车在刹车 5 s后停止运动,根据公式s=v0t+at2,代入数据解得s=50 m,汽车刹车行驶50 m停下,小于 55 m,则没有撞上小动物,故B错误;根据题意,由公式 vt=v0+at,解得汽车第2 s末的速度为 12 m/s,故C错误;汽车刹车减速5 s停止,根据逆运算,第4 s末到第 6 s末位移可看成第5 s末反向初速度为零的匀加速运动,则加速时间为1 s,根据公式s=at2,代入数据解得s=2 m,故D正确。
7.列车在某一路段做匀加速直线运动,速度由 10 m/s 增加到20 m/s时的位移为s,接着列车再运动4s的位移时,列车的速度是(　　)
A.30 m/s B.40 m/s
C.50 m/s D.60 m/s
【答案】 B
【解析】 设列车的加速度为a,根据-=2as,有s=,当列车接着运动4s的位移时,设末速度为v2,根据 -=2a·4s,则4s=,把v0=10 m/s,v1=20 m/s代入,联立解得v2=
40 m/s,故B正确,A、C、D错误。
8.(双选)(2024·福建漳州期中)冰壶是以队为单位在冰上进行的一种投掷性竞赛项目。在某次比赛中,冰壶被投出后,如果做匀减速直线运动,用时20 s停止,最后1 s内的位移大小为0.2 m,则下列说法正确的是(　　)
A.冰壶第1 s内的位移大小是7.8 m
B.冰壶的加速度大小是0.4 m/s2
C.冰壶的初速度大小是6 m/s
D.前10 s的位移和后10 s的位移之比为2∶1
【答案】 AB
【解析】 整个过程的逆过程是初速度为0的匀加速直线运动,最后1 s内的位移大小为0.2 m,由s1=at2,代入数据解得a=0.4 m/s2,B正确;冰壶的初速度为v0=at0=8 m/s,C错误;冰壶第1 s内的位移大小是s2=v0t-at2=7.8 m,A正确;由初速度为零的匀加速直线运动的规律可知,前10 s的位移和后10 s的位移之比为 3∶1,D错误。
9.甲、乙两质点在同一条直线上运动,从t=0时刻起同时出发,甲做匀加速直线运动,st图像如图甲所示,乙做匀减速直线运动,整个运动过程的sv2图像如图乙所示。下列说法正确的是(　　)
A.甲质点的加速度大小为2 m/s2
B.乙质点的加速度大小为10 m/s2
C.t=2 s时,乙的位移为10 m
D.t=0时刻,甲、乙的初速度均为10 m/s
【答案】 C
【解析】 由题图甲可知,前1 s的位移s1=0-(-2) m=2 m,前2 s的位移s2=6 m-(-2) m=8 m,根据位移公式 s=v0t+at2,代入数据解得加速度 a1=4 m/s2,初速度v01=0,A、D错误;质点乙做匀减速直线运动,根据位移速度关系式-=2as,结合题图乙可知,加速度a2=-5 m/s2,初速度为 v02=10 m/s,根据速度公式vt=v0+at 可知,乙停下来的时间t=2 s,此时乙的位移刚好为
10 m,C正确,B错误。
能力提升
10.(双选)某汽车以一定的初速度开始刹车做匀减速直线运动直到停止,前2 s内的位移大小为32 m,后4 s内的位移大小为32 m,则下列说法正确的是(　　)
A.该汽车的加速度大小为8 m/s2
B.该汽车的初速度大小为20 m/s
C.该汽车刹车的时间为6 s
D.该汽车从刹车到停止的总位移大小为50 m
【答案】 BD
【解析】 由于后4 s内的位移大小为32 m,利用逆向思维将运动看成初速度为零的匀加速直线运动,由位移与时间的关系,可知s4=a,解得a=4 m/s2,A错误;由于前2 s内的位移大小为32 m,由匀变速直线运动位移与时间的关系,可知s2=v0t2-a,解得v0=20 m/s,B正确;根据匀变速直线运动速度与时间的关系,可知vt=v0-at停,解得该汽车的刹车时间t停=5 s,C错误;根据-=-2as,解得该汽车从刹车到停止的总位移大小s=50 m,D正确。
11.在处理较复杂的变化量问题时,常常先把整个区间化为若干个小区间,认为每一小区间内研究的量不变,再求和。这是物理学中常用的一种方法。如图甲是某物体以一定初速度做匀变速直线运动的vt图像。可以想象,如果把整个运动过程分割得非常非常细,很多很多小矩形的面积之和就能非常精确地代表物体的位移了(图乙、图丙)。这时,很多很多小矩形顶端的“锯齿形”就看不出来了,这些小矩形合在一起组成一个梯形OABC(图丁)。这个梯形的面积就代表做匀变速直线运动的物体从开始到t时刻这段时间间隔的位移。
(1)上面这种分析问题的方法具有一般意义,原则上对于处理任意形状的vt图像都适用。某物体做直线运动的vt图像如图戊所示,请根据该物体的vt图像估算它在13 s内的位移s=
　　　　m。
(2)有研究表明,汽车启动时加速度平稳变化使人感到舒服。如图己所示为一辆汽车启动过程中加速度随时间变化的图像。类比是一种常用的研究方法,对于直线运动,由vt图像可以求得位移。请你借鉴此方法,对比加速度的定义,可知at图像与坐标轴围成的图形面积表示　　　　　　　,根据题中at图像,求出汽车在2 s内速度的变化量Δv=　　　　 m/s。
【答案】 (1)93　(2)速度的变化量　3
【解析】 (1)利用速度—时间图像与坐标轴围成的图形面积表示位移,对于图线不是直线的图形面积,我们可以通过数格子的方法去求,由图像可知每一格表示1 m,总位移=格子总数×1 m,数格子注意大于半格的算一格,小于半格的不算,则在13 s内的位移为s=93×1 m=93 m。
(2)因为s=vt,速度—时间图像与坐标轴围成的图形面积表示位移,而Δv=at,类比可知,at图像与坐标轴围成的图形面积表示速度的变化量,则汽车在2 s内速度的变化量为Δv=×2×3 m/s=
3 m/s。
12.一辆总质量为20 t的卡车在下坡时,司机突然发现刹车失灵,同时发动机又失去动力,此时速度表的示数为18 km/h,卡车继续沿下坡道匀加速直线行驶136 m,用时8 s,此时刚好进入一条避险车道(如图所示),从下坡道进入避险车道时速度大小不变,卡车以5 m/s2的加速度大小在避险车道做匀减速直线运动,直至停下,求:
(1)卡车在下坡道上行驶的加速度大小;
(2)卡车在下坡道的末速度大小;
(3)卡车在避险车道上通过的最大位移。
【答案】 (1)3 m/s2　(2)29 m/s　(3)84.1 m
【解析】 (1)根据位移公式有s1=v0t1+a1,
解得a1=3 m/s2。
(2)匀加速运动的末速度大小为v=v0+a1t1=29 m/s。
(3)根据02-v2=-2a2s2,
解得s2=84.1 m。

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