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第5节　自由
落体运动
学习目标 课标解读
1.知道自由落体运动的特点以及物体做自由落体运动的条件。 2.知道重力加速度的特点,掌握自由落体运动的特点和规律。 3.了解落体运动研究的物理史实,了解伽利略逻辑推理的意义。 1.通过实验,知道自由落体运动的特点,体会科学探究的重要性。
2.通过自由落体加速度及运动规律的形成,体会科学思维在物理规律形成过程中的作用。
3.结合物理学史,认识物理实验与科学推理在物理学研究中的作用。
探究·必备知识
「探究新知」
一、自由落体运动
1.定义:物体只在 作用下从 开始下落的运动。
2.特点
(1)只受 。
(2)初速度v0= 。
3.运动性质:是一种 直线运动。在实际中,物体下落过程中总会受重力外的其他因素的影响,当其他因素的影响可以忽略时,仍可将物体的下落视为自由落体运动。
重力
静止
重力
0
匀加速
二、自由落体运动的规律
1.自由落体加速度
(1)定义:物体自由下落时具有的加速度,也称为 ,常用g来表示。
(2)方向:总是 。
(3)大小:不同地点的重力加速度大小有 ,在同一地点,一切物体的重力加速度都相同。一般情况下,取g= m/s2,粗略计算时可取 g= m/s2。
2.自由落体运动的基本规律
(1)速度公式:v= 。
(2)位移公式:h= 。
重力加速度
竖直向下
差异
9.8
10
gt
三、自由落体运动规律探索回眸
1.亚里士多德认为,重物比轻物下落得快。
2.伽利略的探索
(1)逻辑推理:利用亚里士多德观点,若把重物和轻物 后下落,得出两个相互矛盾的推论,否定了亚里士多德关于重物比轻物下落快的论断。
(2)观点:物体下落快慢的差异与空气阻力有关,在忽略空气阻力的情况下,所有物体的下落都一样快。
(3)猜想:自由落体运动是一种最简单的变速运动(即匀变速直线运动)。
(4)数学推理:当物体从静止开始运动时,只要物体的 与所用时间的
成正比,就可判定这个物体做匀变速直线运动。
拴在一起
位移
平方
(5)间接实验:由于时间测量的困难,把从直接研究自由落体运动,转向研究物体在 的运动。
斜面上
(6)合理外推:当倾角为90°(即小球自由下落)时,小球仍做匀变速直线运动。
3.伽利略研究自然规律的科学方法是将数学推理和实验研究相结合的方法。
「新知检测」
1.思考判断
(1)物体从静止开始下落的运动就是自由落体运动。(　　)
(2)只在重力作用下的下落运动就是自由落体运动。(　　)
(3)加速度为g的运动是自由落体运动。(　　)
(4)自由落体运动在任意相等的时间内速度变化量相等。(　　)
(5)地球上任意一点的重力加速度都相同。(　　)
√
×
×
×
×
2.思维探究
(1)在空气中,将一张纸片和一石块从同一高度同时释放,哪个下落得快 若把这张纸片团紧成一团,再与石块从同一高度释放,情况会怎样
【答案】 (1)石块下落得快;纸团和石块几乎同时着地。
(2)自由落体加速度是恒定的吗
【答案】 (2)不是。在同一地点,一切物体的重力加速度都相同。也就是说,在同一地点,一切物体自由下落的快慢都相同。但是,在地球上的不同地方,重力加速度的大小略有不同。在地球表面,重力加速度随纬度的增加而增大,在地球表面的同一地点,重力加速度随高度的增加而减小。
突破·关键能力
要点一　对自由落体运动的理解
1.自由落体运动是一种理想化模型
(1)这种模型忽略了次要因素——空气阻力,突出了主要因素——重力。实际上,物体下落时由于受空气阻力的作用,并不做自由落体运动。
(2)当空气阻力远小于重力时,物体由静止开始的下落可看作自由落体运动。如在空气中自由下落的石块可看作自由落体运动,空气中羽毛的下落不能看作自由落体运动。
「要点归纳」
2.自由落体运动的实质
自由落体运动是初速度v0=0、加速度a=g的匀加速直线运动,它只是匀变速直线运动的特例。
[例1] 关于自由落体运动,以下说法正确的是(　　)
A.物体竖直向下的运动一定是自由落体运动
B.雨滴下落的过程可看作自由落体运动
C.被抛向篮筐的篮球的运动过程可看作自由落体运动
D.从拧紧的水龙头滴落的水滴运动过程可看作自由落体运动
D
【解析】 自由落体运动是物体初速度为零且只在重力作用下的运动,故A错误;雨滴下落过程所受空气阻力与速度大小有关,速度增大时阻力增大,雨滴速度增大到一定值时,阻力与重力相比不可忽略,不能看作自由落体运动,故B错误;被抛向篮筐的篮球有斜向上的初速度,不是自由落体运动,故C错误;从水龙头上滴落的水滴所受空气阻力与重力相比可忽略不计,可认为只受重力作用,可看作自由落体运动,故D正确。
自由落体运动的判断方法
(1)根据条件来判断:物体做自由落体运动的条件是物体的初速度为零且物体只受重力作用(或物体除受重力外也受其他力,但其他力远小于物体受到的重力,可以忽略),两者缺一不可。
(2)根据题目中一些暗示语言来判断:有些题目直接给出诸如“物体由静止开始自由下落”“忽略空气阻力”或“空气阻力远小于重力”等提示语时,可将物体的下落看成自由落体运动。
·学习笔记·
[针对训练1] 物体下落的运动司空见惯,关于对自由落体运动的说法正确的是(　　)
A.物体做自由落体运动不受力
B.伽利略认为“重的物体下落得快”
C.做自由落体运动的物体,质量越轻,下落越慢
D.自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动
D
【解析】 物体做自由落体运动只受重力,故A错误。亚里士多德认为,重的物体下落得快,轻的物体下落得慢;伽利略认为,轻、重物体下落得一样快,故B错误。因为做的都是自由落体运动,所以物体下落一样快,故C错误。自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动,故D正确。
要点二　对自由落体运动的加速度及规律的理解
「情境探究」
频闪照相可以每隔相等的时间拍摄一次。利用频闪照相可追踪记录做自由落体运动的物体在各个时刻的位置(如图所示为一小球做自由落体运动的频闪照片),根据频闪照片可以测出自由落体运动的加速度。
(1)怎样判断上述自由落体运动是否是匀变速直线运动
【答案】 (1)根据Δs是否为恒量,可判断自由落体运动是否为匀变速直线运动。
(2)如何求出自由落体运动的加速度
「要点归纳」
1.对重力加速度的理解
(1)产生原因:由于地球上的物体受到地球的吸引力。
(2)大小:与地球上的位置及距地面的高度有关。在地球表面,重力加速度随纬度的增加而增大,在赤道处重力加速度最小,在两极处重力加速度最大,但差别很小。在地面上的同一地点,随高度的增加,重力加速度减小。在一般的高度内,可认为重力加速度的大小不变。
(3)方向:竖直向下。地球上不同位置的重力加速度的方向是不同的。
2.自由落体运动的规律及推论
[例2] 屋檐每隔一定时间滴下一滴水,当第5滴正欲滴下时,第1滴刚好落到地面,而第3滴与第2滴分别位于高为1 m的窗子的上、下沿,如图所示(g取 10 m/s2),问:
(1)此屋檐离地面多高
(2)滴水的时间间隔是多少
【答案】 (1)3.2 m　(2)0.2 s
(1)自由落体运动是匀变速直线运动的特例,分析匀变速直线运动的各种方法适用于自由落体运动。
(2)应用自由落体运动的规律时,可能研究某一过程,应结合运动规律进行求解。
·学习笔记·
[针对训练2] 自由落体运动的重力加速度为g,关于自由落体运动,下列说法正确的是(　　)
A.物体刚下落时,速度和加速度都为零
B.物体在做自由落体运动的过程中,每秒的速度增加量都相同
C.重的物体g值大,轻的物体g值小
D.地球上任何地方g值都一样大
B
【解析】 物体刚下落时,速度为零,加速度不为零,故A错误;根据Δv=gt,可知物体在做自由落体运动的过程中,每秒的速度增加量都相同,故B正确;地球上不同的地方g值一般都不一样大,从低纬度到高纬度依次增大,与物体自身的质量没有关系,故C、D错误。
[针对训练3] 如图所示为“眼疾手快”游戏装置示意图,游戏者需接住从支架上随机落下的圆棒。已知圆棒长为0.4 m,圆棒下端距水平地面2.1 m,某次游戏中一未被接住的圆棒下落经过A、B两点,A、B间距为0.4 m,B点距离地面为1.25 m。圆棒下落过程中始终保持竖直,重力加速度g取10 m/s2,不计空气阻力。求:
(1)圆棒下端到达A点时的时间及圆棒下端经过A点时的速度大小;
【答案】 (1)0.3 s　3 m/s　
(2)圆棒经过AB段所需的时间。
【答案】 (2)0.2 s
提升·核心素养
「模型·方法·结论·拓展」
自由落体运动中几个比例关系式的应用技巧
1.第1 s末、第2 s末、第3 s末……第n s末速度之比为v1∶v2∶v3∶…∶vn=
1∶2∶3∶…∶n。
证明:由vt=gt,得vt∝t。
2.前1 s内、前2 s内、前3 s内……前n s内的位移之比为h1∶h2∶h3∶…∶hn=
1∶4∶9∶…∶n2。
[示例] (双选)(2025·福建泉州期中)一矿井深80 m,在井口每隔一定时间自由释放一个小球(下落过程可视为自由落体运动),当第9个小球刚从井口下落时,第1个小球恰好到井底(重力加速度g取10 m/s2),则(　 　)
A.第1个小球落至井底时的速度为30 m/s
B.此时第1个小球与第2个小球相距45 m
C.相邻两个小球下落的时间间隔是0.5 s
D.第1、2小球都在空中时,第1个小球相对第2个小球做匀速直线运动
CD
「科学·技术·社会·环境」
悬在城市上空的痛
随着城市化进程的推进,一座座高楼拔地而起,但从天而降的不只是惊喜,普通的物品加上距离的“加持”,可能就会变成伤人甚至致命的“凶器”。近几年连续几起高空抛物坠物事件的发生,让人们在不寒而栗的同时,也开始思考如何预防和避免此类悲剧的发生。
实验表明,一个鸡蛋从7楼掉下就可以使人头破血流;一根铁钉从10楼掉下就可能插进行人头部,威胁生命;一块西瓜皮从25楼掉下可使人当场毙命……如何防止悲剧再次上演,治理城市上空痛点,成为文明城市建设中亟待解决的问题。
[示例] 某小区楼房年久老化,靠路边的楼房墙体有一块混凝土脱落,混凝土下落过程可看作自由落体运动,离地面最后2 m下落所用的时间为0.1 s,重力加速度大小g取10 m/s2,则这块混凝土脱落处到地面的高度约为(　　)
A.10 m B.12 m C.21 m D.15 m
C
检测·学习效果
1.如图所示为伽利略对自由落体运动的研究示意图,对伽利略研究过程的分析,下列说法正确的是(　　)
A.伽利略用实验直接验证了自由落体运动的速度随时间均匀变化
B.伽利略直接测量的是小球自由落体的位移,验证位移与时间的平方的关系
C.运用丁实验,可“冲淡”重力的作用,更方便进行实验测量
D.伽利略对自由落体的研究用了逻辑推理和科学实验相结合的方法
D
【解析】 伽利略通过数学推演并让小球在斜面上下滑验证了速度与时间成正比,并进一步推出了自由落体运动位移与时间二次方成正比,没有直接通过实验验证,故A错误;伽利略通过数学运算得出结论如果自由落体运动的速度与时间成正比,只要证明位移与时间的平方成正比即可,伽利略时代,不能非常准确地测量时间,他大胆猜想斜面上小球的运动规律和自由落体运动的规律相同,题图中甲斜面上小球加速较慢,可“冲淡”重力,方便测量时间,随着斜面倾角的增大,运动规律是一样的,当斜面如题图中丁竖直时就是自由落体运动,其也满足位移与时间的平方成正比,故题图中甲、乙、丙是实验现象,丁是经过合理的外推得到的结论,并不是实验现象,所以伽利略对自由落体的研究用了逻辑推理和科学实验相结合的方法,并非直接测量小球自由落体的位移,故B、C错误,D正确。
2.关于自由落体运动,下列说法正确的是(　　)
A.物体从静止开始下落的运动叫作自由落体运动
B.自由落体运动是初速度为零的匀变速直线运动
C.物体在只有重力作用下的运动叫自由落体运动
D.一片树叶的下落可以当作自由落体运动来处理
B
【解析】 物体只在重力的作用下从静止开始下落的运动叫自由落体运动。它是初速度为零的特殊匀变速直线运动,初速度为零和只受重力是自由落体运动的两个特点,缺少任一个都不是自由落体运动,故A、C错误,B正确;一片树叶在下落过程中受到的空气阻力不能忽略,所以它的下落不是自由落体运动,故D错误。
3.下列图像中,与自由落体运动规律相符合的是(　　)
B
A B C D
4.如图所示,一滴雨滴从离地面20 m 高的楼房屋檐自由下落,下落5 m到达窗口上沿,再经Δt=0.2 s的时间通过窗口,g取10 m/s2,求:
(1)雨滴在到达窗口上沿时的速度;
【答案】 (1)10 m/s
(2)窗口的高度;
【答案】 (2)2.2 m
(3)雨滴落地前最后1 s内下落的高度。
【答案】 (3)15 m
感谢观看第5节　自由落体运动
课时作业
基础巩固
1.如图所示,苹果树上有甲和乙两个苹果,甲的质量大约是乙的2倍,它们同时开始自由下落,若不计两个苹果下落的空气阻力,在两苹果落地前,下列说法正确的是(　　)
A.同一时刻,甲比乙的速度大
B.同一时间间隔,甲与乙的速度变化量相同
C.甲比乙的加速度大
D.乙比甲的加速度大
【答案】 B
【解析】 两个苹果同时开始自由下落,落地前的同一时刻下落时间相同,根据v=gt可知两个苹果具有相同的速度,故A错误;根据Δv=gΔt可知经过同一时间间隔,甲与乙的速度变化量相同,故B正确;两个苹果运动的加速度与质量无关,都等于重力加速度,甲、乙加速度相等,故C、D错误。
2.关于自由落体运动和重力加速度,下列说法正确的是(　　)
A.重力加速度g是标量,只有大小,没有方向,通常g取9.8 m/s2
B.在地面上的不同地方,g的数值都相同
C.地球上的同一地点,一切物体做自由落体运动的加速度都相同
D.不考虑空气阻力的运动就是自由落体运动
【答案】 C
【解析】 重力加速度g是矢量,方向竖直向下,故A错误;在地面上的不同地方重力加速度的大小一般不同,但相差不大,故B错误;在地球表面同一地点,重力加速度都相同,故C正确;自由落体运动的条件是初速度为零,仅受重力作用,故D错误。
3.(双选)甲、乙两物体质量之比为m甲∶m乙=5∶1,甲从高H处自由落下的同时乙从2H处自由落下,不计空气阻力,以下说法正确的是(　　)
A.在下落过程中,同一时刻甲的速度较大
B.甲落地时,乙距地面的高度为H
C.甲落地时,乙的速度大小为 gH
D.甲、乙在空中运动的时间之比为1∶
【答案】 BD
【解析】 因为甲、乙两物体同时做自由落体运动,它们的初速度为零,加速度为g,任意时刻的速度都为v=gt,所以两物体下落过程中,在同一时刻甲的速度与乙的速度相等,故A错误;甲落地时,甲、乙运动的位移都为H,所以乙离地面的高度为2H-H=H,故B正确;甲落地时,由位移速度关系式v2=2gH,可得v=,它们的速度相同,乙的速度也是这个值,故C错误;因为甲、乙两物体均做自由落体运动,加速度为g,甲下落的时间为t1=,乙下落的时间为t2=,所以甲、乙在空中运动的时间之比为1∶,故D正确。
4.如图所示,有一根长L1=0.5 m的木棍,悬挂在某房顶上的O点,它自由下落时经过一高为L2=1.5 m的窗口,通过窗口所用的时间t=0.2 s,不计空气阻力,重力加速度大小g取 10 m/s2,则窗口上边缘离悬点O的距离h为(　　)
A.4.55 m B.3.45 m
C.2.95 m D.5.05 m
【答案】 A
【解析】 设木棍下端和窗上边缘对齐时,下落的时间为t1,木棍上端和窗下边缘对齐时,下落的时间为t2,由位移和时间关系得h-L1=g,h+L2=g,通过窗口所用的时间为t=t2-t1,联立解得h=4.55 m,故B、C、D错误,A正确。
5.如图所示,在轻绳的两端各拴一个小球a、b,一个人用手拿着绳子上端的小球,站在三层楼的阳台上,释放小球,使小球自由下落,轻绳不可伸缩。两小球相继落地的时间差为Δt,如果人站在四层楼的阳台上,用同样的方法释放小球,让小球自由下落,则两小球相继落地的时间差将(　　)
A.不变 B.变小
C.变大 D.无法确定
【答案】 B
【解析】 设落地时两球的速度分别为va、vb。无论是从3层阳台上还是4层阳台上自由下落,两小球落地时,两球的距离差始终为绳长,则人站在4层阳台上放手后,a球在b球落地瞬间的瞬时速度及之后a球下落绳长距离内的平均速度均比在3层阳台释放时大,而位移相同,则时间差变小。故选B。
6.(双选)从某一高度相隔1 s 释放两个相同的小球甲和乙,不计空气阻力,则在空中下落过程中,下列说法正确的是(　　)
A.甲、乙两球速度之差越来越大
B.甲、乙两球速度之差不变
C.甲、乙两球距离越来越大
D.甲、乙两球距离保持不变
【答案】 BC
【解析】 由自由落体的速度公式v=gt可知,两球的速度差为Δv=g(t+1)-gt=g,即速度差恒为定值,故A错误,B正确;由自由落体的位移公式h=gt2可知,两球的位移差Δs=g(t+1)2-
gt2=gt+,故两球的位移差越来越大,故C正确,D错误。
7.(双选)一物体自某高度静止释放,忽略空气阻力,落地之前瞬间的速度为v。在运动过程中,下列说法正确的是(　　)
A.物体在前一半时间和后一半时间发生的位移之比为1∶2
B.物体通过前一半位移和后一半位移所用时间之比为1∶
C.物体在位移中点的速度等于v
D.物体在中间时刻的速度等于
【答案】 CD
【解析】 从静止开始的匀加速直线运动中,连续相等的时间间隔内,位移之比为1∶3∶5∶…,因此物体在前一半时间和后一半时间发生的位移之比为1∶3,A错误;从静止开始的匀加速直线运动中,连续相等的位移所用的时间之比为1∶(-1)∶(-)∶…,因此物体通过前一半位移和后一半位移所用时间之比为1∶(-1),B错误;利用-0=
2g·,v2-=2g·,可知物体在位移中点的速度v中位==v,C正确;根据匀变速直线运动平均速度的推论可知=v中时=v,D正确。
8.小球从靠近竖直砖墙的某个位置(可能不是图中1的位置)由静止释放,用频闪方法拍摄的小球位置如图中1、2、3和4所示。已知连续两次闪光的时间间隔均为T,每块砖的厚度为d,重力加速度为g,可知小球(　　)
A.经过位置2时的瞬时速度大小约为gT
B.从位置1到4过程中的平均速度大小约为
C.下落过程中的加速度大小约为
D.小球的静止释放点距离位置1为d
【答案】 C
【解析】 由题知题图中位置1不一定是释放点,故经过位置2时的瞬时速度不一定等于v=gT,应根据小球经过位置2的瞬时速度等于1、3段的平均速度进行计算,即 v2==,故A错误;位置1到位置4的平均速度为v3==,故B错误;由题图可知,2、3与1、2两段的位移差为Δs=d,根据Δs=aT2,解得下落过程中的加速度大小为a=,故C正确;设释放点距离位置1为h,则从释放点到位置2,有h+2d=,将v2=、a=代入可得h=d,小球的静止释放点距离位置1为d,故D错误。
能力提升
9.(双选)一个苹果从树上由静止开始做自由落体运动,经0.5 s落到地面,重力加速度大小为10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
A.该苹果下落前离地面的高度为1.25 m
B.该苹果在0.1～0.2 s内的位移大小为0.25 m
C.该苹果在0.2 s时的速度大小为2.5 m/s
D.该苹果在0.2～0.3 s内的位移大小与在0.3～0.4 s内的位移大小之比为5∶7
【答案】 AD
【解析】 苹果下落的高度为h=gt2=1.25 m,故A正确;根据位移公式可得,在0.1 s内的位移为s1=g=0.05 m,在0.2 s内的位移为s2=g=0.20 m,所以该苹果在0.1～0.2 s内的位移大小为Δs=s2-s1=0.15 m,故B错误;该苹果在0.2 s时的速度大小为v=gt2=2 m/s,故C错误;苹果做匀加速直线运动,初速度为0,则在0～0.1 s内、0.1～0.2 s内、0.2～0.3 s内、0.3～0.4 s内的位移关系满足Δs1∶Δs2∶Δs3∶Δs4=1∶3∶5∶7,所以该苹果在0.2～0.3 s内的位移大小与在0.3～0.4 s内的位移大小之比为5∶7,故D正确。
10.如图所示,空中有A、B两个小球,初始高度差为h1。先将小球A由静止释放,当A下落高度为h2时,再将小球B由静止释放,结果小球B经过时间t,两小球同时落到地面上。重力加速度为g,不计空气阻力,则小球B经过的时间t为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】 B
【解析】 小球A下落高度h2过程,根据位移公式有h2=g,设B距离地面高度为h0,根据位移公式有h0=gt2,小球A下落过程,根据位移公式有h1+h0=g,解得t=。故选B。
11.如图,屋檐上每隔相同的时间间隔滴下一滴水,某时刻空中有5个水滴,第1、第2两滴水滴的间距为1.6 m,第2、第3两滴水滴的间距为1.2 m,不计空气阻力,则第3、4两滴水滴的间距为　　　　m,此时第3个水滴的瞬时速度为　　　　 m/s;第4、5两滴水滴的间距和第1、2两滴水滴的间距的比值为　　　　。(重力加速度g取 10 m/s2)
【答案】 0.8　5　1∶4
【解析】 水滴做自由落体运动,则h12-h23=h23-h34,得h34=0.8 m。根据h12-h23=gt2,得t=0.2 s,则每隔0.2 s滴下一滴水。第3个水滴的瞬时速度v3==5 m/s。同理可知h45=0.4 m,故h45∶h12=1∶4。
12.如图所示,某地利用无人机定点空投生活物资。假设由静止释放的一包物资,经4 s刚好着地。忽略空气阻力的作用,g取10 m/s2,求:
(1)释放后第1 s末物资的速度大小;
(2)无人机距离地面的高度;
(3)物资落地前最后2 s内的平均速度。
【答案】 (1)10 m/s　(2)80 m (3)30 m/s,竖直向下
【解析】 (1)释放后第1 s末物资的速度大小v1=gt1=10 m/s2×1 s=10 m/s。
(2)无人机距离地面的高度h=gt2=×10 m/s2×(4 s)2=80 m。
(3)物资落地前最后2 s内的位移
s=h-g=80 m-×10 m/s2×(2 s)2
=60 m,
物资落地前最后2 s内的平均速度===30 m/s,方向竖直向下。第5节　自由落体运动
学习目标 课标解读
1.知道自由落体运动的特点以及物体做自由落体运动的条件。 2.知道重力加速度的特点,掌握自由落体运动的特点和规律。 3.了解落体运动研究的物理史实,了解伽利略逻辑推理的意义。 1.通过实验,知道自由落体运动的特点,体会科学探究的重要性。 2.通过自由落体加速度及运动规律的形成,体会科学思维在物理规律形成过程中的作用。 3.结合物理学史,认识物理实验与科学推理在物理学研究中的作用。
探究新知
一、自由落体运动
1.定义:物体只在重力作用下从静止开始下落的运动。
2.特点
(1)只受重力。
(2)初速度v0=0。
3.运动性质:是一种匀加速直线运动。在实际中,物体下落过程中总会受重力外的其他因素的影响,当其他因素的影响可以忽略时,仍可将物体的下落视为自由落体运动。
二、自由落体运动的规律
1.自由落体加速度
(1)定义:物体自由下落时具有的加速度,也称为重力加速度,常用g来表示。
(2)方向:总是竖直向下。
(3)大小:不同地点的重力加速度大小有差异,在同一地点,一切物体的重力加速度都相同。一般情况下,取g=9.8 m/s2,粗略计算时可取 g=10 m/s2。
2.自由落体运动的基本规律
(1)速度公式:v=gt。
(2)位移公式:h=gt2。
三、自由落体运动规律探索回眸
1.亚里士多德认为,重物比轻物下落得快。
2.伽利略的探索
(1)逻辑推理:利用亚里士多德观点,若把重物和轻物拴在一起后下落,得出两个相互矛盾的推论,否定了亚里士多德关于重物比轻物下落快的论断。
(2)观点:物体下落快慢的差异与空气阻力有关,在忽略空气阻力的情况下,所有物体的下落都一样快。
(3)猜想:自由落体运动是一种最简单的变速运动(即匀变速直线运动)。
(4)数学推理:当物体从静止开始运动时,只要物体的位移与所用时间的平方成正比,就可判定这个物体做匀变速直线运动。
(5)间接实验:由于时间测量的困难,把从直接研究自由落体运动,转向研究物体在斜面上的运动。
①让小球从斜面的不同位置自由滚下,观测小球多次从不同起点滚动的位移与所用时间平方的比值是否保持不变,结果有==。
②不断加大斜面的倾角,对于每一个特定的倾角,比值仍然保持不变。
(6)合理外推:当倾角为90°(即小球自由下落)时,小球仍做匀变速直线运动。
3.伽利略研究自然规律的科学方法是将数学推理和实验研究相结合的方法。
新知检测
1.思考判断
(1)物体从静止开始下落的运动就是自由落体运动。(　×　)
(2)只在重力作用下的下落运动就是自由落体运动。(　×　)
(3)加速度为g的运动是自由落体运动。(　×　)
(4)自由落体运动在任意相等的时间内速度变化量相等。(　√　)
(5)地球上任意一点的重力加速度都相同。(　×　)
2.思维探究
(1)在空气中,将一张纸片和一石块从同一高度同时释放,哪个下落得快 若把这张纸片团紧成一团,再与石块从同一高度释放,情况会怎样
(2)自由落体加速度是恒定的吗
【答案】 (1)石块下落得快;纸团和石块几乎同时着地。
(2)不是。在同一地点,一切物体的重力加速度都相同。也就是说,在同一地点,一切物体自由下落的快慢都相同。但是,在地球上的不同地方,重力加速度的大小略有不同。在地球表面,重力加速度随纬度的增加而增大,在地球表面的同一地点,重力加速度随高度的增加而减小。
要点一　对自由落体运动的理解
要点归纳
1.自由落体运动是一种理想化模型
(1)这种模型忽略了次要因素——空气阻力,突出了主要因素——重力。实际上,物体下落时由于受空气阻力的作用,并不做自由落体运动。
(2)当空气阻力远小于重力时,物体由静止开始的下落可看作自由落体运动。如在空气中自由下落的石块可看作自由落体运动,空气中羽毛的下落不能看作自由落体运动。
2.自由落体运动的实质
自由落体运动是初速度v0=0、加速度a=g的匀加速直线运动,它只是匀变速直线运动的
特例。
[例1] 关于自由落体运动,以下说法正确的是(　　)
A.物体竖直向下的运动一定是自由落体运动
B.雨滴下落的过程可看作自由落体运动
C.被抛向篮筐的篮球的运动过程可看作自由落体运动
D.从拧紧的水龙头滴落的水滴运动过程可看作自由落体运动
【答案】 D
【解析】 自由落体运动是物体初速度为零且只在重力作用下的运动,故A错误;雨滴下落过程所受空气阻力与速度大小有关,速度增大时阻力增大,雨滴速度增大到一定值时,阻力与重力相比不可忽略,不能看作自由落体运动,故B错误;被抛向篮筐的篮球有斜向上的初速度,不是自由落体运动,故C错误;从水龙头上滴落的水滴所受空气阻力与重力相比可忽略不计,可认为只受重力作用,可看作自由落体运动,故D正确。
自由落体运动的判断方法
(1)根据条件来判断:物体做自由落体运动的条件是物体的初速度为零且物体只受重力作用(或物体除受重力外也受其他力,但其他力远小于物体受到的重力,可以忽略),两者缺一不可。
(2)根据题目中一些暗示语言来判断:有些题目直接给出诸如“物体由静止开始自由下落”
“忽略空气阻力”或“空气阻力远小于重力”等提示语时,可将物体的下落看成自由落体运动。
[针对训练1] 物体下落的运动司空见惯,关于对自由落体运动的说法正确的是(　　)
A.物体做自由落体运动不受力
B.伽利略认为“重的物体下落得快”
C.做自由落体运动的物体,质量越轻,下落越慢
D.自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动
【答案】 D
【解析】 物体做自由落体运动只受重力,故A错误。亚里士多德认为,重的物体下落得快,轻的物体下落得慢;伽利略认为,轻、重物体下落得一样快,故B错误。因为做的都是自由落体运动,所以物体下落一样快,故C错误。自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动,故D正确。
要点二　对自由落体运动的加速度及规律的理解
情境探究
频闪照相可以每隔相等的时间拍摄一次。利用频闪照相可追踪记录做自由落体运动的物体在各个时刻的位置(如图所示为一小球做自由落体运动的频闪照片),根据频闪照片可以测出自由落体运动的加速度。
(1)怎样判断上述自由落体运动是否是匀变速直线运动
(2)如何求出自由落体运动的加速度
【答案】 (1)根据Δs是否为恒量,可判断自由落体运动是否为匀变速直线运动。
(2)根据匀变速直线运动的推论Δs=gT2求出重力加速度g=。
要点归纳
1.对重力加速度的理解
(1)产生原因:由于地球上的物体受到地球的吸引力。
(2)大小:与地球上的位置及距地面的高度有关。在地球表面,重力加速度随纬度的增加而增大,在赤道处重力加速度最小,在两极处重力加速度最大,但差别很小。在地面上的同一地点,随高度的增加,重力加速度减小。在一般的高度内,可认为重力加速度的大小不变。
(3)方向:竖直向下。地球上不同位置的重力加速度的方向是不同的。
2.自由落体运动的规律及推论
项目 匀变速直线运动 自由落体运动
速度公式 vt=v0+at vt=gt
位移公式 s=v0t+at2 h=gt2
速度—位移关系式 -=2as =2gs
推论1 == ==
推论2 Δs=at2 Δs=gt2
[例2] 屋檐每隔一定时间滴下一滴水,当第5滴正欲滴下时,第1滴刚好落到地面,而第3滴与第2滴分别位于高为1 m的窗子的上、下沿,如图所示(g取 10 m/s2),问:
(1)此屋檐离地面多高
(2)滴水的时间间隔是多少
【答案】 (1)3.2 m　(2)0.2 s
【解析】 方法一　利用基本规律求解
设屋檐离地面高为h,滴水间隔为T,
由h=gt2得
第1滴水的位移h=g(4T)2,
第2滴水的位移h2=g(3T)2,
第3滴水的位移h3=g(2T)2,
由题意知h2-h3=1 m,
联立解得T=0.2 s,h=3.2 m。
方法二　用比例法求解
(1)由于初速度为零的匀加速直线运动从开始运动起,在连续相等的时间间隔内的位移比为1∶3∶5∶7∶…∶(2n-1),据此设相邻两水滴之间的间距之比从上到下依次是s0∶3s0∶5s0∶7s0。(如图)
显然,窗高为5s0,即5s0=1 m,
得s0=0.2 m,
屋檐总高s=s0+3s0+5s0+7s0=16s0=3.2 m。
(2)由x=gt2知,滴水时间间隔为T== =0.2 s。
方法三　用平均速度求解
设滴水间隔为T,则雨滴经过窗子过程中的平均速度为==,
由v=gt知,雨滴下落2.5T时的速度为v=2.5gT,
由于=v,故有=2.5gT,解得T=0.2 s,
则s=g(4T)2=3.2 m。
(1)自由落体运动是匀变速直线运动的特例,分析匀变速直线运动的各种方法适用于自由落体运动。
(2)应用自由落体运动的规律时,可能研究某一过程,应结合运动规律进行求解。
[针对训练2] 自由落体运动的重力加速度为g,关于自由落体运动,下列说法正确的是(　　)
A.物体刚下落时,速度和加速度都为零
B.物体在做自由落体运动的过程中,每秒的速度增加量都相同
C.重的物体g值大,轻的物体g值小
D.地球上任何地方g值都一样大
【答案】 B
【解析】 物体刚下落时,速度为零,加速度不为零,故A错误;根据Δv=gt,可知物体在做自由落体运动的过程中,每秒的速度增加量都相同,故B正确;地球上不同的地方g值一般都不一样大,从低纬度到高纬度依次增大,与物体自身的质量没有关系,故C、D错误。
[针对训练3] 如图所示为“眼疾手快”游戏装置示意图,游戏者需接住从支架上随机落下的圆棒。已知圆棒长为0.4 m,圆棒下端距水平地面2.1 m,某次游戏中一未被接住的圆棒下落经过A、B两点,A、B间距为0.4 m,B点距离地面为1.25 m。圆棒下落过程中始终保持竖直,重力加速度g取10 m/s2,不计空气阻力。求:
(1)圆棒下端到达A点时的时间及圆棒下端经过A点时的速度大小;
(2)圆棒经过AB段所需的时间。
【答案】 (1)0.3 s　3 m/s　(2)0.2 s
【解析】 (1)圆棒下端与A点间距h1=2.1 m-0.4 m-1.25 m=0.45 m,
圆棒下端到达A点过程,
根据位移公式有h1=g,解得t1=0.3 s,
根据速度与位移的关系有=2gh1,
解得v1=3 m/s。
(2)圆棒上端与B点间距h2=2.1 m-1.25 m+0.4 m=1.25 m,
圆棒上端到达B点过程,根据位移公式有h2=g,解得t2=0.5 s,
则圆棒经过AB段所需的时间t=t2-t1=0.2 s。
模型·方法·结论·拓展
自由落体运动中几个比例关系式的应用技巧
1.第1 s末、第2 s末、第3 s末……第n s末速度之比为v1∶v2∶v3∶…∶vn=1∶2∶3∶…∶n。
证明:由vt=gt,得vt∝t。
2.前1 s内、前2 s内、前3 s内……前n s内的位移之比为h1∶h2∶h3∶…∶hn=1∶4∶9∶…∶n2。
证明:由h=gt2,得h∝t2。
3.连续相等时间内的位移之比为hⅠ∶hⅡ∶hⅢ∶…∶hn=1∶3∶5∶…∶(2n-1)。
证明:由于hT=gt2-g(t-1)2=g(2t-1),故hT∝(2t-1)。
[示例] (双选)(2025·福建泉州期中)一矿井深80 m,在井口每隔一定时间自由释放一个小球(下落过程可视为自由落体运动),当第9个小球刚从井口下落时,第1个小球恰好到井底
(重力加速度g取10 m/s2),则(　　)
A.第1个小球落至井底时的速度为30 m/s
B.此时第1个小球与第2个小球相距45 m
C.相邻两个小球下落的时间间隔是0.5 s
D.第1、2小球都在空中时,第1个小球相对第2个小球做匀速直线运动
【答案】 CD
【解析】 第1个小球自由下落的时间满足H=g,解得t0=4 s,根据题意,第1个小球刚落至井底的瞬间,第9个小球刚好在井口,因此空中存在8个相等的时间间隔,故相邻两个小球下落的时间间隔是Δt==0.5 s,故C正确;第1个小球落至井底时的速度为v1=gt0=40 m/s,故A错误;此时第1个小球与第2个小球相距Δh=H-g(7Δt)2=18.75 m,故B错误;两小球都在空中时,第1个小球与第2个小球的相对速度为Δv=gt-g(t-Δt)=gΔt=5 m/s,即第1个小球相对第2个小球做匀速运动,故D正确。
科学·技术·社会·环境
悬在城市上空的痛
　　随着城市化进程的推进,一座座高楼拔地而起,但从天而降的不只是惊喜,普通的物品加上距离的“加持”,可能就会变成伤人甚至致命的“凶器”。近几年连续几起高空抛物坠物事件的发生,让人们在不寒而栗的同时,也开始思考如何预防和避免此类悲剧的发生。
　　实验表明,一个鸡蛋从7楼掉下就可以使人头破血流;一根铁钉从10楼掉下就可能插进行人头部,威胁生命;一块西瓜皮从25楼掉下可使人当场毙命……如何防止悲剧再次上演,治理城市上空痛点,成为文明城市建设中亟待解决的问题。
[示例] 某小区楼房年久老化,靠路边的楼房墙体有一块混凝土脱落,混凝土下落过程可看作自由落体运动,离地面最后2 m下落所用的时间为0.1 s,重力加速度大小g取10 m/s2,则这块混凝土脱落处到地面的高度约为(　　)
A.10 m B.12 m C.21 m D.15 m
【答案】 C
【解析】 设离地面最后h0=2 m的过程中的初速度为v0,末速度为v1,根据匀变速运动规律有v1=v0+gΔt,=,其中Δt=0.1 s,联立解得v1= m/s,这块混凝土脱落处到地面的高度为h=≈21 m,故选C。
1.如图所示为伽利略对自由落体运动的研究示意图,对伽利略研究过程的分析,下列说法正确的是(　　)
A.伽利略用实验直接验证了自由落体运动的速度随时间均匀变化
B.伽利略直接测量的是小球自由落体的位移,验证位移与时间的平方的关系
C.运用丁实验,可“冲淡”重力的作用,更方便进行实验测量
D.伽利略对自由落体的研究用了逻辑推理和科学实验相结合的方法
【答案】 D
【解析】 伽利略通过数学推演并让小球在斜面上下滑验证了速度与时间成正比,并进一步推出了自由落体运动位移与时间二次方成正比,没有直接通过实验验证,故A错误;伽利略通过数学运算得出结论如果自由落体运动的速度与时间成正比,只要证明位移与时间的平方成正比即可,伽利略时代,不能非常准确地测量时间,他大胆猜想斜面上小球的运动规律和自由落体运动的规律相同,题图中甲斜面上小球加速较慢,可“冲淡”重力,方便测量时间,随着斜面倾角的增大,运动规律是一样的,当斜面如题图中丁竖直时就是自由落体运动,其也满足位移与时间的平方成正比,故题图中甲、乙、丙是实验现象,丁是经过合理的外推得到的结论,并不是实验现象,所以伽利略对自由落体的研究用了逻辑推理和科学实验相结合的方法,并非直接测量小球自由落体的位移,故B、C错误,D正确。
2.关于自由落体运动,下列说法正确的是(　　)
A.物体从静止开始下落的运动叫作自由落体运动
B.自由落体运动是初速度为零的匀变速直线运动
C.物体在只有重力作用下的运动叫自由落体运动
D.一片树叶的下落可以当作自由落体运动来处理
【答案】 B
【解析】 物体只在重力的作用下从静止开始下落的运动叫自由落体运动。它是初速度为零的特殊匀变速直线运动,初速度为零和只受重力是自由落体运动的两个特点,缺少任一个都不是自由落体运动,故A、C错误,B正确;一片树叶在下落过程中受到的空气阻力不能忽略,所以它的下落不是自由落体运动,故D错误。
3.下列图像中,与自由落体运动规律相符合的是(　　)
A B
C D
【答案】 B
【解析】 自由落体运动的加速度g是恒定不变的,选项A错误;根据v=gt,即v-t图像是过原点的倾斜直线,选项B正确;根据s=gt2,可知s-t2图像是过原点的倾斜直线,s-t图像是抛物线,选项C、D错误。
4.如图所示,一滴雨滴从离地面20 m 高的楼房屋檐自由下落,下落5 m到达窗口上沿,再经Δt=0.2 s的时间通过窗口,g取10 m/s2,求:
(1)雨滴在到达窗口上沿时的速度;
(2)窗口的高度;
(3)雨滴落地前最后1 s内下落的高度。
【答案】 (1)10 m/s　(2)2.2 m　(3)15 m
【解析】 (1)由公式=2gh1,
解得雨滴在到达窗口上沿时的速度v1===10 m/s。
(2)由公式h1=g,
解得雨滴到达窗口上沿时的时间t1===1 s,
所以从楼房屋檐下落到达窗口下沿的距离
h2=g(t1+Δt)2=×10 m/s2×(1 s+0.2 s)2
=7.2 m,
因此窗口的高度为Δh=h2-h1=(7.2-5) m=2.2 m。
(3)雨滴从离地面20 m高的楼房屋檐自由下落到地面的时间为t===2 s,
结合(2)可知第1 s下落5 m,所以雨滴落地前最后1 s内下落的高度为
h3=h-h1=20 m-5 m=15 m。
课时作业
基础巩固
1.如图所示,苹果树上有甲和乙两个苹果,甲的质量大约是乙的2倍,它们同时开始自由下落,若不计两个苹果下落的空气阻力,在两苹果落地前,下列说法正确的是(　　)
A.同一时刻,甲比乙的速度大
B.同一时间间隔,甲与乙的速度变化量相同
C.甲比乙的加速度大
D.乙比甲的加速度大
【答案】 B
【解析】 两个苹果同时开始自由下落,落地前的同一时刻下落时间相同,根据v=gt可知两个苹果具有相同的速度,故A错误;根据Δv=gΔt可知经过同一时间间隔,甲与乙的速度变化量相同,故B正确;两个苹果运动的加速度与质量无关,都等于重力加速度,甲、乙加速度相等,故C、D错误。
2.关于自由落体运动和重力加速度,下列说法正确的是(　　)
A.重力加速度g是标量,只有大小,没有方向,通常g取9.8 m/s2
B.在地面上的不同地方,g的数值都相同
C.地球上的同一地点,一切物体做自由落体运动的加速度都相同
D.不考虑空气阻力的运动就是自由落体运动
【答案】 C
【解析】 重力加速度g是矢量,方向竖直向下,故A错误;在地面上的不同地方重力加速度的大小一般不同,但相差不大,故B错误;在地球表面同一地点,重力加速度都相同,故C正确;自由落体运动的条件是初速度为零,仅受重力作用,故D错误。
3.(双选)甲、乙两物体质量之比为m甲∶m乙=5∶1,甲从高H处自由落下的同时乙从2H处自由落下,不计空气阻力,以下说法正确的是(　　)
A.在下落过程中,同一时刻甲的速度较大
B.甲落地时,乙距地面的高度为H
C.甲落地时,乙的速度大小为 gH
D.甲、乙在空中运动的时间之比为1∶
【答案】 BD
【解析】 因为甲、乙两物体同时做自由落体运动,它们的初速度为零,加速度为g,任意时刻的速度都为v=gt,所以两物体下落过程中,在同一时刻甲的速度与乙的速度相等,故A错误;甲落地时,甲、乙运动的位移都为H,所以乙离地面的高度为2H-H=H,故B正确;甲落地时,由位移速度关系式v2=2gH,可得v=,它们的速度相同,乙的速度也是这个值,故C错误;因为甲、乙两物体均做自由落体运动,加速度为g,甲下落的时间为t1=,乙下落的时间为t2=,所以甲、乙在空中运动的时间之比为1∶,故D正确。
4.如图所示,有一根长L1=0.5 m的木棍,悬挂在某房顶上的O点,它自由下落时经过一高为L2=1.5 m的窗口,通过窗口所用的时间t=0.2 s,不计空气阻力,重力加速度大小g取 10 m/s2,则窗口上边缘离悬点O的距离h为(　　)
A.4.55 m B.3.45 m
C.2.95 m D.5.05 m
【答案】 A
【解析】 设木棍下端和窗上边缘对齐时,下落的时间为t1,木棍上端和窗下边缘对齐时,下落的时间为t2,由位移和时间关系得h-L1=g,h+L2=g,通过窗口所用的时间为t=t2-t1,联立解得h=4.55 m,故B、C、D错误,A正确。
5.如图所示,在轻绳的两端各拴一个小球a、b,一个人用手拿着绳子上端的小球,站在三层楼的阳台上,释放小球,使小球自由下落,轻绳不可伸缩。两小球相继落地的时间差为Δt,如果人站在四层楼的阳台上,用同样的方法释放小球,让小球自由下落,则两小球相继落地的时间差将(　　)
A.不变 B.变小
C.变大 D.无法确定
【答案】 B
【解析】 设落地时两球的速度分别为va、vb。无论是从3层阳台上还是4层阳台上自由下落,两小球落地时,两球的距离差始终为绳长,则人站在4层阳台上放手后,a球在b球落地瞬间的瞬时速度及之后a球下落绳长距离内的平均速度均比在3层阳台释放时大,而位移相同,则时间差变小。故选B。
6.(双选)从某一高度相隔1 s 释放两个相同的小球甲和乙,不计空气阻力,则在空中下落过程中,下列说法正确的是(　　)
A.甲、乙两球速度之差越来越大
B.甲、乙两球速度之差不变
C.甲、乙两球距离越来越大
D.甲、乙两球距离保持不变
【答案】 BC
【解析】 由自由落体的速度公式v=gt可知,两球的速度差为Δv=g(t+1)-gt=g,即速度差恒为定值,故A错误,B正确;由自由落体的位移公式h=gt2可知,两球的位移差Δs=g(t+1)2-
gt2=gt+,故两球的位移差越来越大,故C正确,D错误。
7.(双选)一物体自某高度静止释放,忽略空气阻力,落地之前瞬间的速度为v。在运动过程中,下列说法正确的是(　　)
A.物体在前一半时间和后一半时间发生的位移之比为1∶2
B.物体通过前一半位移和后一半位移所用时间之比为1∶
C.物体在位移中点的速度等于v
D.物体在中间时刻的速度等于
【答案】 CD
【解析】 从静止开始的匀加速直线运动中,连续相等的时间间隔内,位移之比为1∶3∶5∶…,因此物体在前一半时间和后一半时间发生的位移之比为1∶3,A错误;从静止开始的匀加速直线运动中,连续相等的位移所用的时间之比为1∶(-1)∶(-)∶…,因此物体通过前一半位移和后一半位移所用时间之比为1∶(-1),B错误;利用-0=
2g·,v2-=2g·,可知物体在位移中点的速度v中位==v,C正确;根据匀变速直线运动平均速度的推论可知=v中时=v,D正确。
8.小球从靠近竖直砖墙的某个位置(可能不是图中1的位置)由静止释放,用频闪方法拍摄的小球位置如图中1、2、3和4所示。已知连续两次闪光的时间间隔均为T,每块砖的厚度为d,重力加速度为g,可知小球(　　)
A.经过位置2时的瞬时速度大小约为gT
B.从位置1到4过程中的平均速度大小约为
C.下落过程中的加速度大小约为
D.小球的静止释放点距离位置1为d
【答案】 C
【解析】 由题知题图中位置1不一定是释放点,故经过位置2时的瞬时速度不一定等于v=gT,应根据小球经过位置2的瞬时速度等于1、3段的平均速度进行计算,即 v2==,故A错误;位置1到位置4的平均速度为v3==,故B错误;由题图可知,2、3与1、2两段的位移差为Δs=d,根据Δs=aT2,解得下落过程中的加速度大小为a=,故C正确;设释放点距离位置1为h,则从释放点到位置2,有h+2d=,将v2=、a=代入可得h=d,小球的静止释放点距离位置1为d,故D错误。
能力提升
9.(双选)一个苹果从树上由静止开始做自由落体运动,经0.5 s落到地面,重力加速度大小为10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
A.该苹果下落前离地面的高度为1.25 m
B.该苹果在0.1～0.2 s内的位移大小为0.25 m
C.该苹果在0.2 s时的速度大小为2.5 m/s
D.该苹果在0.2～0.3 s内的位移大小与在0.3～0.4 s内的位移大小之比为5∶7
【答案】 AD
【解析】 苹果下落的高度为h=gt2=1.25 m,故A正确;根据位移公式可得,在0.1 s内的位移为s1=g=0.05 m,在0.2 s内的位移为s2=g=0.20 m,所以该苹果在0.1～0.2 s内的位移大小为Δs=s2-s1=0.15 m,故B错误;该苹果在0.2 s时的速度大小为v=gt2=2 m/s,故C错误;苹果做匀加速直线运动,初速度为0,则在0～0.1 s内、0.1～0.2 s内、0.2～0.3 s内、0.3～0.4 s内的位移关系满足Δs1∶Δs2∶Δs3∶Δs4=1∶3∶5∶7,所以该苹果在0.2～0.3 s内的位移大小与在0.3～0.4 s内的位移大小之比为5∶7,故D正确。
10.如图所示,空中有A、B两个小球,初始高度差为h1。先将小球A由静止释放,当A下落高度为h2时,再将小球B由静止释放,结果小球B经过时间t,两小球同时落到地面上。重力加速度为g,不计空气阻力,则小球B经过的时间t为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】 B
【解析】 小球A下落高度h2过程,根据位移公式有h2=g,设B距离地面高度为h0,根据位移公式有h0=gt2,小球A下落过程,根据位移公式有h1+h0=g,解得t=。故选B。
11.如图,屋檐上每隔相同的时间间隔滴下一滴水,某时刻空中有5个水滴,第1、第2两滴水滴的间距为1.6 m,第2、第3两滴水滴的间距为1.2 m,不计空气阻力,则第3、4两滴水滴的间距为　　　　m,此时第3个水滴的瞬时速度为　　　　 m/s;第4、5两滴水滴的间距和第1、2两滴水滴的间距的比值为　　　　。(重力加速度g取 10 m/s2)
【答案】 0.8　5　1∶4
【解析】 水滴做自由落体运动,则h12-h23=h23-h34,得h34=0.8 m。根据h12-h23=gt2,得t=0.2 s,则每隔0.2 s滴下一滴水。第3个水滴的瞬时速度v3==5 m/s。同理可知h45=0.4 m,故h45∶h12=1∶4。
12.如图所示,某地利用无人机定点空投生活物资。假设由静止释放的一包物资,经4 s刚好着地。忽略空气阻力的作用,g取10 m/s2,求:
(1)释放后第1 s末物资的速度大小;
(2)无人机距离地面的高度;
(3)物资落地前最后2 s内的平均速度。
【答案】 (1)10 m/s　(2)80 m (3)30 m/s,竖直向下
【解析】 (1)释放后第1 s末物资的速度大小v1=gt1=10 m/s2×1 s=10 m/s。
(2)无人机距离地面的高度h=gt2=×10 m/s2×(4 s)2=80 m。
(3)物资落地前最后2 s内的位移
s=h-g=80 m-×10 m/s2×(2 s)2
=60 m,
物资落地前最后2 s内的平均速度===30 m/s,方向竖直向下。
匀变速直线运动　检测试题
一、单项选择题:本题共4小题,每小题4分,共16分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.下列有关对匀变速直线运动的认识,其中正确的是(　　)
A.物体在一条直线上运动,若在相等的时间内通过的位移差相等,则物体的运动就是匀变速直线运动
B.加速度大小不变的直线运动就是匀变速直线运动
C.匀变速直线运动的vt图像是一条曲线
D.匀变速直线运动的加速度是一个恒量
【答案】 D
【解析】 物体在一条直线上运动,若在任意连续相等的时间内通过的位移差相等,则物体的运动就是匀变速直线运动,必须强调是“任意连续相等的时间内”,选项A错误;加速度不变的直线运动就是匀变速直线运动,只是大小不变的运动不一定是匀变速直线运动,选项B错误;匀变速直线运动的vt图像是一条直线,选项C错误;匀变速直线运动的加速度是一个恒量,选项D正确。
2.弹弹棋游戏的实物图及简化示意图分别如下,棋子依靠横拴在棋盘上的橡皮筋来发射,若棋子离开橡皮筋A时获得一个水平向右的初速度v0,沿棋盘轴线做匀减速直线运动,经过0.2 s棋子到达对方橡皮筋B处,测量两方橡皮筋A、B距离L=0.5 m,则v0的数据可能为(　　)
A.2.5 m/s B.4 m/s
C.7 m/s D.10 m/s
【答案】 B
【解析】 由位移—时间公式可得L=v0t-at2==2.5 m/s,由于加速度不可能为0,故取不到2.5 m/s。若到B速度刚好为0,有L=t,解得v0=5 m/s,故应有2.5 m/s5 m/s,故B正确,A、C、D错误。
3.一辆汽车以24 m/s的速度匀速行驶,突发紧急情况,开始刹车,汽车可视为做加速度大小为4 m/s2 的匀减速运动,则刹车前2 s内和前7 s内汽车的位移之比为(　　)
A.16∶25 B.2∶7
C.5∶9 D.10∶21
【答案】 C
【解析】 由运动学知识可得,汽车停下来的时间为t==6 s,则前7 s内汽车的位移等于前6 s内汽车的位移,即s==72 m,前2 s内汽车的位移等于s′=vt1-a=40 m,则前2 s内汽车的位移与前7 s内汽车的位移之比为=,C正确。
4.如图所示,某运动员运用机器狗来运输铁饼。假设机器狗单次运输铁饼是直线运动,距离是60 m,先由静止做匀加速直线运动,达到最大速度后立即做匀减速直线运动,最后停止,共用时12 s,匀加速的加速度大小是匀减速的加速度大小的2倍。则在单次运输铁饼的运动过程中,以下说法错误的是(　　)
A.匀加速的加速度大小为2.5 m/s2
B.匀加速的时间是4 s
C.最大速度是10 m/s
D.全程的平均速度是10 m/s
【答案】 D
【解析】 设匀加速直线运动时的加速度大小为a1,匀减速直线运动时的加速度大小为a2,匀加速直线运动的时间为t1,匀减速直线运动的时间为t2,由运动学公式s=a1+a2=
60 m,t1+t2=12 s,a1t1=a2t2,a1=2a2,联立可得a1=2.5 m/s2,a2=1.25 m/s2,t1=4 s,t2=8 s,最大速度为v=a1t1=2.5 m/s2×4 s=10 m/s,故A、B、C说法正确,不符合题意;全程的平均速度为===
5 m/s,故D说法错误,符合题意。
二、双项选择题:本题共4小题,每小题6分,共 24分。每小题有两项符合题目要求,全部选对的得6分,选对但不全的得3分,有选错的得0分。
5.2023年7月30日,正在执行护航任务的中国第44批护航编队发现,六艘不明快艇试图靠近正在停泊的中国商船,护航编队采取紧急措施成功将其驱离。假如其中一艘快艇在海面上运动的vt图像如图所示,下列说法正确的是(　　)
A.快艇在0～t1时间内从静止出发做加速度逐渐减小的加速直线运动
B.快艇在t1时刻离中国商船最近
C.快艇在t2时刻离中国商船最近
D.快艇在t2～t3时间内沿反方向做匀减速直线运动
【答案】 AC
【解析】 根据vt图像的意义可知,某点处切线的斜率表示该点处的加速度,结合题图可知,0～t1内快艇做加速度逐渐减小的加速直线运动,故A正确;t1末快艇开始减速,t2末减速到零,此时离商船最近,然后开始调头,故B错误,C正确;t2～t3时间内,加速度为负且为定值,说明快艇沿反方向做匀加速直线运动,故D错误。
6.如图所示为某型号电动平衡车,驾驶者站在平衡车上沿水平直轨道由静止开始做匀加速运动,已知第3 s内的位移与第2 s内的位移相差1 m,下列说法正确的是(　　)
A.平衡车在这3 s内的平均速度为3 m/s
B.平衡车在这3 s内的加速度为1 m/s2
C.平衡车在第1 s内的位移为1 m
D.平衡车在前3 s内的位移为4.5 m
【答案】 BD
【解析】 第3 s内的位移与第2 s内的位移相差1 m,即Δs=aT2,解得a=1 m/s2,故B正确;平衡车在前3 s内的位移为s=at2=4.5 m,故D正确;平衡车在这3 s内的平均速度为===1.5 m/s,故A错误;平衡车在第1 s内的位移为 s1=a=0.5 m,故C错误。
7.甲、乙两车某时刻由同一地点、沿同一方向开始做直线运动。若以该时刻作为计时起点,得到两车的位移—时间图像(即st图像),如图所示。甲图像过O点的切线与AB平行,过C点的切线与OA平行,则下列说法正确的是(　　)
A.在两车相遇前,t1时刻两车相距最远
B.0～t2时间内,甲车的瞬时速度始终大于乙车的瞬时速度
C.0～t3时间内,甲车的平均速度等于乙车的平均速度
D.t3时刻甲车在乙车的前方
【答案】 AC
【解析】 根据图像可知,0～t1时刻甲车速度较大,两车距离逐渐变大,在t1时刻两车速度相等,从t1～t3时刻,甲车速度小于乙车速度,所以两车距离减小,故t1时刻两车相距最远,A正确;图线的斜率表示速度,由题图可知,0～t1时间内甲的速度大于乙的速度,t1～t2时间内甲的速度小于乙的速度,B错误;0～t3时间内,两车位移相等,根据=可知,两车的平均速度相等,C正确;t3时刻两车位移相等,D错误。
8.如图所示,A球是铜球、B球是铁球、C球是铅球,且三个小球的质量分别为1 kg、2 kg、3 kg。将这三个小球从离地面高度分别为h1、h2、h3处由静止释放,其中h1=15 m、h2=10 m、h3=5 m。如果先后依次释放A、B、C,三球刚好同时落到地面上,空气阻力忽略不计,则下列说法正确的是(　　)
A.A、B、C到达地面时的速度大小之比是 ∶∶1
B.A、B、C落地前在同一高度处速度大小相等
C.A、B、C的加速度之比为3∶2∶1
D.B与A开始下落的时间差小于C与B开始下落的时间差
【答案】 AD
【解析】 由v2=2gh得v=,所以A、B、C到达地面时的速度大小之比是vA∶vB∶vC=∶∶=∶∶1,A、B、C落地前到达同一高度时下落的高度不相等,所以在同一高度处速度大小不相等,故A正确,B错误;A、B、C的加速度相等,均为重力加速度,故C错误;由h=gt2得t=,所以tA-tB=(-) s=0.318 s,tB-tC=(-1) s=0.414 s,即B与A开始下落的时间差小于C与B开始下落的时间差,故D正确。
三、非选择题:共60分。
9.(3分)如图所示,一辆汽车在平直公路上行驶,它从位置P开始做匀减速运动,3 s末恰好停在与P相距27 m的位置Q。则该汽车运动过程中的加速度大小为　　　　m/s2,初速度大小为　　　　m/s,第1 s末的速度大小为　　　　m/s。
【答案】 6　18　12
【解析】 根据s=t,可得汽车的初速度大小为v0===18 m/s,汽车的加速度大小为a===6 m/s2,第1 s末的速度大小v1=v0-at1=18 m/s-6 m/s2×1 s=12 m/s。
10.(3分)如图为收费站ETC通道和人工收费通道的示意图,一辆汽车正以v1=15 m/s朝收费站沿直线行驶。如果汽车过ETC通道,需要在收费站中心线前10 m处正好匀减速至v2=5 m/s,以该速度匀速运动至中心线后,再匀加速至v1行驶,设汽车加速和减速过程中的加速度大小均为1 m/s2,则汽车从开始减速到恢复v1行驶,所通过的位移大小为　　　 m;汽车匀速通过这段距离所用的时间为　　　　 s;如果这辆车过人工收费通道,由于收费,所以会比以v1匀速通过此通道耽搁30 s时间,则汽车过ETC通道比过人工收费通道节约的时间是　　　　 s。
【答案】 210　14　22
【解析】 汽车减速运动位移与加速运动的位移相等,为s1==100 m,运动的总位移为s=2s1+d=210 m;若汽车以v1匀速通过210 m,所用的时间为t===14 s,汽车通过人工收费通道所用时间为t1=t+30 s=44 s,汽车通过ETC通道所用时间为t2=2·+=22 s,汽车过ETC通道比过人工收费通道节约的时间是Δt=t1-t2=22 s。
11.(3分)编号为1～8的八个小球在离地面不同高度处做自由落体运动。从释放时刻起,每隔T的时间间隔,八个小球按编号1～8依次碰到地面,则刚开始运动时,编号为2、3两小球的间距与编号为5、6两小球的间距之比为　　　　,编号为3与编号为6的小球碰到地面时的速度之比为　　　　,编号3、5两小球下落高度之比为　　　　。
【答案】 5∶11　1∶2　9∶25
【解析】 编号为2的小球下落时间为2T,编号为3的小球下落时间为3T,编号为5的
小球下落时间为5T,编号为6的小球下落时间为6T。所以编号2、3两小球的间距为Δh23=h3-h2=g(3T)2-g(2T)2=gT2,编号5、6两小球的间距为Δh56=h6-h5=g(6T)2-
g(5T)2=gT2,所以两间距之比为Δh23∶Δh56=5∶11;编号为3的小球落地时速度为v3=g·3T=3gT,编号为6的小球落地时的速度为v6=g·6T=6gT,所以速度之比为v3∶v6=1∶2。编号为3的小球下落高度h3=g(3T)2,编号为5的小球下落高度h5=g(5T)2,则h3∶h5=
9∶25。
12.(6分)某实验小组同学利用电磁打点计时器做“测定匀变速直线运动的加速度”实验。装置如图甲所示,在调整好仪器后,通过正确操作得到点迹清晰的纸带。
(1)如图乙所示是某同学通过实验得到的小车运动情况的纸带,他进行如下数据处理:在纸带上连续选取六个点迹A、B、C、D、E、F,并测得A、C两点间的距离为s1,已知打点计时器所用的交流电源的频率为f,则打点计时器在纸带上打下B点时小车运动的瞬时速度大小vB=　　　　;若打下C点时小车的速度为s1f,则小车运动的加速度a=　　　　。
(2)如图丙、丁所示是两名同学用同一组实验数据,分别作出的小车运动的vt图像,正确的是图　　　　(选填“丙”或“丁”)。
【答案】 (1)　　(2)丙
【解析】 (1)用一段很短时间内的平均速度代替中间某点的瞬时速度,则有vB=,且f=,解得vB=;由a=可得a==。
(2)作图时,应尽可能使较多的点落在直线上,不在直线上的点应尽量分居在图线的两侧,相差较远的点应舍去,故选题图丙。
13.(6分)某物理研究小组用光电计时装置设计了一个实验,用来测量当地的重力加速度,实验装置如图甲所示。
(1)测出小球的直径d,将光电门固定在A处,从A的正上方由静止释放小球,光电计时器可记录下小球经过光电门的时间Δt,则小球运动到光电门处时速度vA=　　　(用题中所给字母表示)。小组成员讨论分析时发现,由于小球的直径并不是足够小,利用光电门的挡光时间求得的速度实际上并不严格等于小球球心通过光电门位置的实际速度,这样用光电门测出的速度比实际速度　　　　(选填“偏大”或“偏小”)。
(2)上下移动光电门在竖直杆上的位置并固定,测量出光电门与铁架台底板B之间的距离h,由静止释放小球并记录小球通过光电门的时间Δt。重复进行多次实验并得到多组h与Δt的数值,然后利用实验数据画出如图乙所示的h图像,图线与横轴和纵轴的交点坐标分别为a和b,根据以上数据可求得重力加速度g=　　　　,小球到达铁架台底板B点时的瞬时速度vB=　　　　。
【答案】 (1)　偏小　(2)　d
【解析】 (1)小球运动到光电门处时速度为vA=,由于小球的直径并不是足够小,利用光电门的挡光时间求得的速度实际上是小球经过光电门的平均速度(中间时刻的速度),而小球球心通过光电门位置的速度为瞬时速度(中间位置的速度),由于中间位置的速度大于中间时刻的速度,所以这样用光电门测出的速度比实际速度偏小。
(2)设小球初始释放的位置到底板的距离为H,则H-h==·,所以h=H-·,结合图线可得H=b,=,所以g=,根据自由落体运动规律可得2gH=,所以vB=d。
14.(11分)如图所示,在某次高山滑雪速降比赛中,运动员由静止开始沿滑道向下做加速直线运动,前3 s内可视为匀加速直线运动。已知运动员在第1 s内位移为2 m,求:
(1)前3 s内运动员加速度的大小;
(2)3 s末运动员的速度大小;
(3)第3 s内运动员的平均速度大小。
【答案】 (1)4 m/s2　(2)12 m/s　(3)10 m/s
【解析】 (1)根据匀变速直线运动位移时间关系,运动员在第1 s内有s1=a,则前3 s内运动员加速度的大小为a==4 m/s2。
(2)3 s末运动员的速度大小为v3=at3=12 m/s。
(3)2 s末运动员的速度大小为v2=at2=8 m/s,
则第3 s内运动员的平均速度大小为==10 m/s。
15.(12分) 如图所示,在一次训练中,某无人机静止在地面上,某时刻开始以 2 m/s2的加速度竖直上升,10 s后关闭发动机,不计空气阻力,g取10 m/s2。
(1)10 s末无人机离地面高度是多少
(2)关闭发动机后经多长时间坠落到地面
(3)重启发动机后,无人机产生向上的最大加速度为5 m/s2,关闭发动机最长多久后重启,可以让无人机恰好安全降落到地面(落到地面时速度恰好为0)
【答案】 (1)100 m　(2)(2+2) s (3)(2+2) s
【解析】 (1)根据位移公式有h1=a,
解得h1=100 m。
(2)10 s末,根据速度公式有v1=at1,
关闭发动机后无人机做竖直上抛运动,
则有-h1=v1t2-g,
舍去负值,解得t2=(2+2) s。
(3)设关闭发动机后最长t3后重启,则关闭发动机过程,有-v2=v1-gt3,h2=t3,
重启发动机,无人机向下减速至0,利用逆向思维有=2a′h3,
结合上述有h1=h3-h2,
舍去负值,解得t3=(2+2) s。
16.(16分)一列货车以8 m/s的速度在平直铁路上运行,由于调度失误,在后面600 m处有一列快车以20 m/s的速度向它靠近。快车司机发觉后立即制动,若两车恰好不相撞(货车速度保持不变),求:
(1)快车从制动至两车恰好不相撞所用时间t;
(2)快车制动过程中的加速度a的大小;
(3)从制动至两车恰好不相撞,快车的位移s的大小。
【答案】 (1)100 s　(2)0.12 m/s2　(3)1 400 m
【解析】 (1)由题意分析可知,要使两车不相撞,它们的运动满足t=v货t+Δs,
可得快车从制动到两车恰好不相撞的时间为t=100 s。
(2)根据v快-at=v货,
解得a=0.12 m/s2。
(3)由运动学公式s=t,
解得从制动到两车不相撞,快车的位移为s=1 400 m。

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