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(共25张PPT)
数学 基础模块 （上册）
4.7 余弦函数的图像及性质
探索新知
情境导入
归纳总结
例题辨析
学习目标
理解通过坐标法定义借助单位圆作余弦函数图像的方法；
根据余弦函数图像理解余弦函数的性质并能简单应用；
应用“五点法”画出余弦函数在一个周期上的图像；
3
2
1
余弦函数的图像和性质是重点，图像的画法和函数的单调性是难点。
4
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例题辨析
研究函数，的图像和性质，也可以先从函数，
的图像和性质开始。
我们用描点法作出了正弦函数在上的图像，通过不断向左、向右平移（每次移动个单位）得到了正弦函数，的图像，并通过正弦曲线研究了正弦函数的性质。对余弦函数，，可否用同样的方法？
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在直角坐标系中画出以原点为圆心的单位圆，与轴的非负半轴的交点为。在单位圆上，将点绕着原点旋转弧度至点，根据余弦函数的单位圆定义，点的横坐标为角的余弦函数值。度量点的横坐标，以为横坐标，为纵坐标画点，得到函数图像上的点，。
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若把轴上从到这一段分成12等分，使的值分别为，，，，、、、，它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，再按上述画点的方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图像上的点：
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当在区间内取到足够多的值而画出足够多的点，，将这些点连成光滑的曲线，可得到比较精确的函数，的图像。
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由可知：自变量每增加（减少），余弦函数值将重复出现。
利用诱导公式（一），函数，，且的图像与函数，的图像形状完全一致。因此将函数，
的图像向左、向右平移（每次移动个单位长度），就可以作出函数，的图像。

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余弦函数，的图像叫做余弦曲线，它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”“周而复始”的连续光滑曲线。
，
，
，
，
，
在函数，的图像上，以下五点：
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五点的横坐标也是把轴上从到这一段四等分时的取值。
是确定余弦函数的图像形状的关键点。
在精确度要求不高时，常常先作出这五个关键点，再连成光滑的曲线，得到余弦函数的简图。这称之为“五点法”作图。
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在同一坐标系下观察正弦曲线与余弦曲线：
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余弦函数，的图像可以通过正弦函数，的图像向左平移个单位长度而得到。
余弦函数的性质
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1. 周期性
余弦函数是周期函数，且都是它的周期，最小正周期是。
余弦函数的性质
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2. 奇偶性
观察余弦曲线，可以看到余弦曲线关于轴对称；
由诱导公式也可以得到： 余弦函数是偶函数。

余弦函数的性质
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由于余弦函数是周期函数，可以先在它的一个周期的区间上讨论它的单调性，再利用周期扩展到整个定义域。
当由增大到时，曲线从左到右上升，的值由增大到；
当由增大到时，曲线从左到右下降，的值由减小到。
3. 单调性
余弦函数的性质
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例题辨析
的值的变化情况如下表：
余弦函数在区间上单调递增，函数值从增加到；
在区间上单调递增，函数值从增加到；
在区间上单调递减，函数值从减小到；
在区间上单调递减，函数值从减小到。
3. 单调性
余弦函数的性质
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由余弦函数的周期性可得：
余弦函数在每一个闭区间上单调递增，其值从增大到；
在每一个闭区间上单调递减，其值从减小到
3. 单调性
余弦函数的性质
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4. 最大值与最小值
余弦函数的性质
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4. 最大值与最小值
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由以上观察，得到函数,的性质如下：
（1）定义域：余弦函数的定义域是实数集
（2）值域：余弦曲线分布在两条直线和之间，余弦函数的值域是。 当时，取最大值；当时，取最小值。
（3）周期性：余弦函数是周期为的周期函数。
（4）奇偶性：其图像关于轴对称，，余弦函数是偶函数。
（5）单调性：余弦函数在每一个闭区间上都是增函数，函数值从增大到；在每一个闭区间上都是减函数，函数值从减小到。
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例题1 利用五点法作出函数在上的图像。
解：（1）列表：
解：（2）描点作图:
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例题1 利用五点法作出函数在上的图像。
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例题2 求函数的最大值和最小值及取得最大值、最小值时自变量的集合。
解：由余弦函数的性质可知，，所以
，
，
即 。
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例题3 不求值，比较下列各组数的大小。
（1）与；
解：由余弦函数的图像和性质可知：
余弦函数在上是减函数，
因为，所以
；
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例题3 不求值，比较下列各组数的大小。
（2）与。
解：余弦函数在上是增函数，
因为，所以
。
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