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2026年中考数学复习专题课件★★
二次函数的性质综合
(一题多角度)如图①，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，P为直线BC下方抛物线上一点，设点P的横坐标为m.
能力点一　设函数解析式上动点坐标
(1)点P的坐标为 (用含m的代数式表示)，m的取值范围为
；
能力点二　表示竖直方向的线段长
(2)如图②，过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点E，则点D的坐标为 ，点E的坐标为 ，DP的长为 ，EP的长为 ；(均用含m的代数式表示)
(m，m2－2m－3)
0(m，0)
(m，m－3)
－m2＋2m＋3
3m－m2
能力点三　表示水平方向的线段长
(3)如图③，过点P作PF∥x轴，分别交直线BC于点F，交y轴于点G，则点F的坐标为 ，点G的坐标为 ，PF的长为 ，PG的长为 ；(均用含m的代数式表示)
能力点四　表示不与坐标轴平行的线段长
(4)如图④，过点P作PH⊥BC于点H，PH的长为 (用含m的代数式表示)．
(m2－2m，m2－2m－3)
(0，m2－2m－3)
－m2＋3m
m
－22(m2－3m)
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【提分关键】
(1)设动点坐标的方法：设动点的横坐标，代入对应的函数解析式，得到动点的纵坐标；
(2)特点：竖直方向直线上点的横坐标相等．
计算方法：结合函数图象，用上方点的纵坐标减去下方点的纵坐标可得线段长．
(3)特点：水平方向直线上点的纵坐标相等．
计算方法：结合函数图象，用右侧点的横坐标减去左侧点的横坐标可得线段长．
(4)遇到斜直线的解题步骤
第一步：以所求解线段长为一边构造直角三角形；
第二步：找与其相似的直角三角形(一般情况下，二次函数图象与坐标轴交点构成的直角三角形与其相似)；
第三步：利用三角函数或相似列等量关系式求解．
(一题多角度)已知抛物线y＝x2＋bx－8经过点A(－2，0)，它与x轴的另一交点为B，与y轴的交点为C，P是第四象限内抛物线上一点．
(1)求b的值；
解：把A(－2，0)代入抛物线y＝x2＋bx－8中，得
4－2b－8＝0，解得b＝－2.
(2)如图①，连接OP，PC，若OP＝PC，求点P的坐标；
解：过点P作y轴的垂线，交y轴于点Q，
由(1)得抛物线的解析式为y＝x2－2x－8，
∵OP＝PC，∴△OPC为等腰三角形，
∴点P在OC的垂直平分线上，∴OQ＝CQ，
∵点C的坐标为(0，－8)，
∴点Q的坐标为(0，－4)，∴点P的纵坐标为－4，
将y＝－4代入y＝x2－2x－8中，
解得x＝5＋1或x＝－5＋1(舍去)，
∴点P的坐标为(5＋1，－4)．
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(3)如图②，连接BC，过点P作x轴的垂线，与BC交于点D，过点P作PQ∥x轴交抛物线于点Q，设w＝PQ＋DP，求w的最大值；
解：设点P的横坐标为p，∴P(p，p2－2p－8)，
∵PQ∥x轴，∴点P和点Q关于抛物线的对称
轴直线x＝1对称，
∴Q(2－p，p2－2p－8)，
∵B(4，0)，C(0，－8)，
易得直线BC的解析式为y＝2x－8，
∵PD⊥x轴，∴D(p，2p－8)，
∴PD＝2p－8－(p2－2p－8)＝－p2＋4p，
∴w＝PQ＋DP＝p－(2－p)－p2＋4p＝－p2＋6p－2
＝－(p－3)2＋7，
∵－1<0，点P在第四象限内，
∴当p＝3时，w取得最大值，最大值为7.
(4)如图③，连接BC，过点P作PR⊥BC于点R，求线段PR长的最大值；
解：过点P作x轴的垂线，交BC于点D.
∵PD⊥x轴，CO⊥x轴，∴PD∥OC，
∴∠OCB＝∠RDP，
∵B(4，0)，∴OB＝4，∵C(0，－8)，
∴OC＝8，在Rt△OBC中，BC＝????????2+OC2＝45，
∴sin∠OCB＝????????????????＝445＝55，∴sin∠RDP＝????????????????＝55，
由(3)得PD＝－p2＋4p＝－(p－2)2＋4，
∵－1<0，∴当p＝2时，PD取得最大值，最大值为4，
∴PR的最大值为PD·sin∠RDP＝455.
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【提分关键】
1．利用二次函数性质求线段最值
(1)求竖直线段MN的长的最大值(如图)
第一步：设点M(t，at2＋bt＋c)，则N(t，mt＋n)；
第二步：表示线段MN的长，MN＝at2＋bt＋c－mt－n；
第三步：化简MN＝at2＋bt＋c－mt－n＝at2＋(b－m)t＋c－n，利用二次函数性质求最值．
(2)求斜线段MP的长的最大值(如图)
利用锐角三角函数化斜为直，得MP＝MN·sin∠MNP，再根据(1)的步骤解题即可．
2．线段数量关系问题
根据所给线段数量关系列方程求解．
3．利用对称性质求线段和最值时的点坐标，即将军饮马问题(如图，求PA＋PB值最小时点P的坐标)
(1)求点B关于对称轴l对称的点C的坐标；
(2)连接AC交直线l于点P，此时点P满足要求；
(3)用待定系数法求AC的函数解析式；
(4)将l对应的x的值代入AC的函数解析式可得点P的坐标．
(5)如图④，连接BC，过点P作y轴的平行线，与BC交于点D，连接OP交BC于点E，求????????????????的最大值；
【分层分析】
要求????????????????的值，考虑利用平行线分线段成比例进行转化，将????????????????
转化为????????????????，利用二次函数的性质求解即可．
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解：∵PD∥y轴，∴PD∥OC，∴△DEP∽△CEO，
∴????????????????＝????????????????＝－????2＋4????8＝－18(p－2)2＋12，
∵－18<0，点P在第四象限内，
∴当p＝2时，????????????????有最大值，最大值为12.
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(6)如图⑤，连接AC，在抛物线的对称轴上找一点M，使△AMC的周长最小，求出此时点M的坐标及△AMC的周长．
【分层分析】
因为AC长为定值，要求△AMC周长的最小值，只需求AM＋MC
的最小值即可，根据两点之间，线段最短，将点A转化为点
B，当B，M，C三点共线时，△AMC的周长取得最小值．
解：由(1)知，该抛物线的解析式为y＝x2－2x－8，∵抛物线的对称轴为直线x＝－－22＝1，点M在对称轴上，设点M的坐标为(1，m)，
∵点A(－2，0)，C(0，－8)，∴AC＝22＋82＝217，
∵点A关于对称轴直线x＝1的对称点为点B(4，0)，如答图，连
接BC，与对称轴的交点即为点M，此时△AMC的周长取得最小值
，由(3)得直线BC的解析式为y＝2x－8，
∴把M(1，m)代入直线BC的解析式y＝2x－8中，解得m＝－6，即点M的坐标为(1，－6)，
∵AM＝BM，∴AM＋CM＝BM＋CM＝BC，
∵BC＝45，∴△AMC的周长＝BC＋AC＝45＋217.
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类型二：二次函数与面积问题
(一题多角度)如图①，在平面直角坐标系中，已知A(－2，0)，B(4，0)，C(0，3)，连接AC，BC.
能力点一　表示三角形面积
(1)△ABC的面积为 ；
(2)若D是第一象限内直线AC上一动点，其横坐标为m，请用含m的式子表示出△BCD的面积；
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解：∵A(－2，0)，C(0，3)，易得直线AC的解析式为y＝32x＋3，
∴D????，32????＋3，AB＝6，
∴S△BCD＝S△ABD－S△ABC＝12AB·|yD－yC|＝92m(m>0)．
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(3)若D是第四象限内直线y＝－2上一点，是否存在点D，使得S△ACD＝S△ABC？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
解：存在，过点B作AC的平行线交直线y＝－2?于点D，连接AD，CD，如答图，
则根据同底等高得S△ABC＝S△ACD，
设直线BD的解析式为y＝32x＋b，
把B(4，0)代入得b＝－6，∴y＝32x－6，
令y＝32x－6＝－2，得x＝83，∴D83，－2.
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能力点二　表示四边形面积
(4)如图②，抛物线y＝－38x2＋34x＋3分别过A，B，C三点，若D为第一象限内抛物线上一点，设点D的横坐标为m，请用含m的代数式表示四边形COBD的面积．
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解：由题意得D????，－38????2＋34????＋3，
0S四边形COBD＝S△COD＋S△BOD＝12OC·xD＋12OB·yD
＝12×3m＋12×4×－38????2＋34????＋3
＝－34m2＋3m＋6(0?
【提分关键】
方法一　直接公式法
当三角形的一边在坐标轴上或平行于坐标轴时，可直接使用三角形的面积公式S＝12AB·h，其中AB是△ABC在坐标轴上或平行于坐标轴的边，h为AB边上的高．
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①S△ABC＝12|xB－xA|·|yC|
②S△ABC＝12|xB－xA|·|yC－yA|
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方法二　转化法
对于三边都不与坐标轴平行(或都不在坐标轴上)的三角形面积的计算：
1．分割法
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S△ABC＝12BD·(AF＋CE)
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2．补形法
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S△ABC＝S四边形AMNC－(S△ABM＋S△BCN)
3．和差法
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S△ABC＝S△AOC＋S△BOC－S△AOB
【方法拓展】其他求面积方法
如图①，同底等高三角形的面积相等，平行线间的距离处处相等．
如图②，同底三角形的面积比等于高的比．
如图③，同高三角形的面积比等于底的比．
(一题多角度)在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴交于点A，B(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，作直线AC，连接BC.
(1)如图①，在直线AC上方的抛物线上，是否存在点P，使得四边形PABC的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
解：存在，过点P作PN∥y轴，交AC于点N，
由题易知，点A，B，C的坐标分别为(－3，0)，(1，0)，(0，3)，
∴AB＝4，OC＝3，
直线AC的解析式为y＝x＋3，∴S△ABC＝12AB·OC＝12×4×3＝6.
∵S四边形PABC＝S△PAC＋S△ABC，S△ABC为定值，∴要使四边形PABC的面积最大，即使△PAC的面积最大．设P(x，－x2－2x＋3)，则N(x，x＋3)，
∴PN＝－x2－3x.
∴S△PAC＝S△APN＋S△CPN＝12PN·OA＝12×(－x2－3x)×3＝－32????＋322＋278.
∵－32<0，－3∴存在点P，使得四边形PABC的面积最大，点P的坐标为－32，154.
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(2)如图②，在直线AC上方的抛物线上，是否存在点Q，使得S△QAO＝S△QOC？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
【分层分析】设点Q坐标，用含未知数的式子表示，点到坐标轴的距离即两个三角形的高，两个三角形的面积相等，即可解出点Q的坐标．
解：存在，连接QO，设点Q的坐标为(q，－q2－2q＋3)，
∵点A，C的坐标分别为(－3，0)，(0，3)，
∴S△QAO＝12AO·yQ＝－32q2－3q＋92，S△QOC＝12CO·|xQ|＝－32q，
∴当S△QAO＝S△QOC时，－32q2－3q＋92＝－32q，
解得q＝?1?132或q＝?1+132(舍去)，∴点Q的坐标为?1?132,1+132.
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类型三：二次函数与图形变化问题
在平面坐标系中,已知点A(1,3),B(3,5),C(3,－7),直线l：y＝x＋m经过点A,抛物线L：y＝ax2＋bx＋2(a≠0)恰好经过A,B,C三点中的两点.
(1)判断点B是否在直线l上,并说明理由；
解：点B在直线l上,
理由：∵直线l：y＝x＋m经过点A(1,3),∴3＝1＋m,解得m＝2,
∴直线l的解析式为y＝x＋2.当x＝3时,y＝3＋2＝5,∴点B在直线l上.
(2)求a,b的值；
解：由(1)知直线l的解析式为y＝x＋2.易知抛物线y＝ax2＋bx＋2与直线l都经过点(0,2),
又∵B,C两点的横坐标相同,∴抛物线只能经过A,C两点.
将点A(1,3),C(3,－7)代入y＝ax2＋bx＋2,得a＋b＋2＝3,9a＋3b＋2＝－7, 解得a＝－2,b＝3.
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(3)平移抛物线L.
①使其顶点为B,求新抛物线与y轴交点的坐标；
解：易得新抛物线的解析式为y＝－2(x－3)2 ＋5,令x＝0,得y＝－13,
∴新抛物线与y轴交点的坐标为(0,－13).
②【核心设问】使其顶点在直线l上,求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值.
解：由题意可设平移后所得抛物线的解析式为y＝－2(x－h)2＋k.
∵平移后所得抛物线的顶点在直线l：y＝x＋2上,∴k＝h＋2,
∴y＝－2(x－h)2＋h＋2.
令x＝0,得到平移后所得抛物线与y轴交点的纵坐标为－2h2＋h＋2＝－2??142＋178.∵－2<0,
∴当h＝14时,平移后所得抛物线与y轴交点的纵坐标最大,最大值为178.
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③把抛物线L向下平移n(n＞0)个单位长度得到新抛物线,若新抛物线与x轴有交点,请求出n的取值范围.
解：由(2)可知抛物线L的解析式为y＝－2x2＋3x＋2.
∵把抛物线L向下平移n(n>0)个单位长度得到新抛物线,
∴新抛物线的解析式为y＝－2x2＋3x＋2－n＝－2?????342＋258－n.
∵新抛物线与x轴有交点,∴258－n≥0.解得n≤258.
又∵n>0,∴0?
已知直线y＝kx＋1经过点(2,3),与抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴交于点????,12.
(1)k＝ ,b＝ ,n＝ ；
(2)若抛物线经过点(0,－2),点A(x1,y1),B(x2,y2)都在该抛物线上.
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1
1
－12
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①若－4解：y1∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(0,－2),∴c＝－2.由(1)知b＝1,
∴抛物线的解析式为y＝x2＋x－2,∴抛物线的对称轴为直线x＝－12.
又∵1>0,∴抛物线开口向上,∴抛物线上的点离对称轴越远,函数值就越大.
∵－4?
②【核心设问】若x1＋x2＝6,求y1＋y2的最小值.
解：∵x1＋x2＝6,∴x2＝6－x1.由①得抛物线的解析式为y＝x2＋x－2,
∴y1＝????12＋x1－2,y2＝????22＋x2－2,∴y1＋y2＝????12＋x1－2＋????22＋x2－2＝????12＋????22＋x1＋x2－4＝????12＋????22＋2＝????12＋(6－x1)2＋2＝2????12－12x1＋38＝2(x1－3)2＋20.
∵2>0.∴当x1＝3时,y1＋y2有最小值,最小值为20.
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(3)【核心设问】若抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于(x3,0),(x4,0)两点,且3≤x4－x3<9,P＝????32－3????42,求P的最大值；
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解：由(1)得b＝1,∴抛物线的解析式为y＝x2＋x＋c.
∵抛物线y＝x2＋x＋c与x轴交于(x3,0),(x4,0)两点,
∴x3,x4是方程x2＋x＋c＝0的两个实数根,∴x3＋x4＝－1,∴x4＝－1－x3,
∵3≤x4－x3<9,3≤(－1－x3)－x3<9,∴－5∴P＝????32－3????42＝????32－3(－1－x3)2＝－2????3+322＋32.
∵－2<0,－5P最大＝－2×?2+322＋32＝1.
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(4)【拓展设问】若当1≤x≤3＋c时,抛物线y＝－x2＋bx＋c－4有最小值－7,求c的值.
解：由(1)得b＝1,∴抛物线y＝－x2＋x＋c－4的对称轴为直线x＝12.
∵－1<0.∴当1≤x≤3＋c时,y随x的增大而减小,
∴当x＝3＋c时,y有最小值－7,
∴－(3＋c)2＋(3＋c)＋c－4＝－7,解得c1＝－1,c2＝－3.
∵1≤x≤3＋c,∴3＋c≥1,∴c≥－2,∴c的值为－1.

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