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1.1 集 合
新课导入
《三国志》记载：“布有良马名曰赤兔。”据《三国演义》描述，这匹宝马后来跟随关羽并大展神威。
思考：下面三句话里的“是”各自的含义是什么
A.关羽千里走单骑的坐骑是赤兔马
B.赤兔马是红马
C.红马是马
新课导入
第一个“是”的含义相当于“＝”；
第二个和第三个“是”的含义是前者是后者中的一部分，表示“属于”。
在数学语言中，把一些对象放在一起考虑时，就说这些对象组成了一个“集合”或“集”；这些对象中的每一个，都叫做这个集合的一个“元素”。
新知探究| 一、集合与元素
集合与元素的关系：
若是一个集合，是的一个元素，记作，读作“”；
若不是的元素，记作（或 ， ），读作“”。
新知探究| 一、集合与元素
集合的基本属性：
（1）同一集合中的元素是互不相同的．
（2）集合中的元素是确定的，亦即给定一个集合， 任何一个元素属于或不属于这个集合是确定的．
（3）集合中的元素没有顺序．
互异性
确定性
无序性
新知探究| 典例
例1：设L（A,B）表示直线AB上全体点组成的集合，P∈L（A,B）的含义是什么？
答： P∈L（A,B）表示“点P是直线AB上的一个点”．
常见数集：
全体自然数组成的集合叫自然数集，记作；
全体整数组成的集合叫整数集，记作
全体有理数组成的集合叫有理数集，记作
全体实数组成的集合叫实数集，记作
通常用R+表示全体正实数组成的集合；类似的有R-，Z+，N+，Q-，……
新知探究|要点归纳
新知探究| 集合的分类
集合的分类
元素个数有限的集合叫有限集（或有穷集），元素无限多的集合叫无限集（或无穷集）；
没有元素的集合叫空集，记作，空集也是有限集。
例2 下列哪些集合是有限集，哪些是无限集？
（1）一元二次方程；
（2）所有素数之集；
（3）所有矩形组成的集合；
（4）所有亚洲国家组成的集合.
新知探究| 典例
答：（1）是空集，有限集（2）、（3）是无限集（4）是有限集
新知探究| 练习
1.使用“”“”和数集符号来替代下列自然语言：
(1)“255是正整数”即(　　　　　　　　　　)；
(2)“不是有理数”即(　　　　　　　　　)；
(3)“ 3.1416是正有理数”即(　　　　　　　)；
(4)“－1是整数”即(　　　　　　　　　　　)；
(5)“x是负实数”即(　　　　　　　　　 　)．
新知探究| 练习
2.下列集合中哪些是有限集？哪些是无限集？
（1）不等式5x-3>7的所有实数解组成的集合；
（2）一元二次方程x2+x+1=0的全体实根组成的集合；
（3）中国古代四大发明组成的集合；
（4）二次函数y=3x2+4的函数值组成的集合.
例 2 下列集合中哪些是空集？哪些是无限集？
(1)一元二次方程的全体实根之集；
(2)所有素数之集；
(3)满足条件和的所有实数组之集；
(4)满足条件和的所有实数组之集.
集合的表示方法
问题：表示一个集合，就是把它有哪些元素交代清楚。集合的表示方法有哪些？
列举法：把集合中的元素一一列举出来，这叫作列举法．数学里用列举法表示集合，常用的格式是在一个大括号里写出每个元素的名字，相邻的名字用逗号分隔．
例如：小于10的正偶数组成的集合，用列举法可以表示为{2,4,6,8}或{8,2,6,4}等．
集合的表示方法
新知探究| 典例
例3.用列举法表示下列集合
（1）由方程x2-1=0的所有实数解构成的集合S；
（2）平方小于225的所有素数构成的集合P.
问题：是否所有的集合都可以用列举法表示？
描述法：在数学里常用描述法来表示集合，一般的格式是
在一个大括号里写出集合中元素的共有属性．
例如，小于10的正偶数组成的集合，用描述法表示为{小
于10的正偶数}．
有些集合用一句话描述起来很不方便，通常在大括号里先写出集合元素的一般属性或形式，再画一条竖线，然后在竖线后面列出这些元素要满足的相关条件．
例如，任何一个偶数都可以表示为 的形式，则所有偶数的集合表示为
新知探究| 典例
例4．选择适当方法表示集合．
（1）由大于20且小于30的所有实数组成的集合A；
（2）由方程x2+y2=4的所有整数解（x,y）组成的集合B．（用两种方法）
把集合中的元素一一列举出来，常用的格式是在大括号里写出每个元素，相邻元素用逗号隔开。
把集合中元素共有的，也只有该集合中元素才有的属性描述出来，以确定这个集合。一般格式为{}。
新知探究| 辨析
思考一下：如何用集合表示上图数轴所示的范围呢？
如图所示，设是两个实数，，所有大于并且小于的实数组成的集合叫作开区间，记作（），实数分别叫作上述区间的左端点和右端点；用符号表示就是（ ）={}。
新知探究| 区间
数学里最常用的一类集合叫区间．
新知探究| 区间
符号“∞”：读作“无穷大”或“无穷”；
符号“+∞”：读作“正无穷大”或“正无穷”；
符号“-∞”：读作“负无穷大”或“负无穷”．
R=(-∞ ， +∞)
例5 用区间表示下列集合：
（1）{}；
（2）{R}；
（3）{0}.
新知探究| 典例
例3.(1)用列举法表示下列集合：
①不大于10的非负偶数组成的集合A；
②小于8的质数组成的集合B；
③方程的实数根组成的集合C；
④一次函数与的图象的交点组成的集合D.
答案：;;;
例3.(2)用描述法表示下列集合：
①函数图象上的所有点组成的集合；
②不等式组成的集合；
③被3除余数等于1的正整数组成的集合；
④与的所有正的公倍数组成的集合.
答案：;;
;
例4.已知集合中含有两个元素1和且，则实数的值为？
解：∵，而A中含有两个元素1和
∴(1)若1，则集合,不符合集合元素的互异性；
(2)若，则，此时集合，符合.
综上，的值为0.
1、用适当的方法表示下列集合：
（1）小于10的所有正奇数组成的集合；
（2）被3除余1的自然数组成的集合；
（3）绝对值不超过5的实数组成的集合；
（4）反比例函数的图像上所有的点组成的集合。
答案：（1）列举法：{1，3，5，7，9}或描述法：{}；
（2）描述法：{}；
（3）描述法：{} 或区间：[]；
（4）描述法：{}.
典型例题
2、下列集合是有限集的是（ ）
A.{能被3整除的数}
B.{正方形}
C.{方程}
D.[0，2]
解析：由题目信息，可以知道方程有两个不等的实数根。
C
典型例题
3、已知三个实数组成的集合即可表示成{}，又可表示成
{}，则
解：由集合的基本属性可以得到：
∴
-1
典型例题
新知探究| 练习
1. 用列举法表示下列集合：
(1){不超过30的素数}； 　　　(2){五边形ABCDE的对角线}；
(3){60的正约数}； 　　　　　(4){(x，y)|x+2y=6，x∈N，y∈N}．
2. 用自然语言描述下列集合：
(1){1，3，5，7，9}； (2不等式3x＞2的解集；
(3){3，5，7，11，13，17，19}．
3. 用区间表示下列集合：
(1){ x∈R|3－x＞5}；　　　　 (2){ x∈R|x+3＞1且5－x＞2 }．
课堂小结
基本关系
集合与元素
表示集合的方法
基本属性
列举法
描述法
集合
已知集合
（1）若中只有一个元素，求的值；
（2）若中至多有一个元素，求的取值范围；
答案：（1） 的值为1，2；
（2）
拓展提高
解：（1）当时，符合题意；
当时，则
∴ 的值为1，2
（2）至多一个元素的含义是：
①不含任何元素；②仅含一个元素
若，则
若，则
综上所述， 的取值范围为
拓展提高
完成课本P6练习题
作业布置

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