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正弦函数、余弦函数的图象与性质（1）
正弦线
y
x
o
D
P
DP是正弦线
y
x
o
D
P
y
x
o
D
P
y
x
o
P
D
1
-1
0
y
x
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
01
作法:
(1) 等分
(2) 作正弦线
(3) 平移
(4) 连线
一、正弦函数的图象
1、用几何法作正弦函数的图象
y
x
o
思考:如何画函数y =sinx(x∈R)的图象
y=sinx x [0,2 ]
y=sinx x R
？
sin(x+2k )=sinx, k Z
正弦函数y=sinx, x R的图象叫正弦曲线.
与 x 轴的交点:
图象的最高点:
图象的最低点:
观察 y ＝ sin x ，x [ 0，2 ] 图象的最高点、最低点和图象与 x 轴的交点？坐标分别是什么？
-
-
-1
1
-
五点
法
2、用“五点法”作正弦函数的简图
简图作法
(1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标)
(3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
(2) 描点(定出五个关键点)
思考:怎样作余弦函数y＝cos x的图象？
注：余弦曲线的图象可以通过将正弦曲线向左平移 个单位长度而得到。余弦函数的图象叫做余弦曲线。
二、余弦函数的图象
x
6
y
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1

正弦、余弦函数的图象
余弦函数的图象
正弦函数的图象
x
6
y
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1

y=cosx=sin(x+ ), x R
余弦曲线
正弦曲线
形状完全一样只是位置不同
与x轴的交点
图象的最高点
图象的最低点
-
-
-
-1
1
-
-1
观察 y ＝ cos x ，x [ 0，2 ] 图象的最高点、最低点和图象与 x 轴的交点？坐标分别是什么？
用“五点法”作正弦函数的简图
简图作法
(1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标)
(3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
(2) 描点(定出五个关键点)
　　　　用“五点法”画出下列函数的简图：
　　(1) y＝1＋sin x，x∈［0，2π］；(2) y=2cosx，x∈［0，2π］ .
例
1
x
y
o
-1
1
2

2
.
.
.
.
.
x
（1）y=1+sinx , x∈[0， ]
2
0
0
1
0
-1
0
1
2
1
0
1
　　你能否从函数图象变换的角度，利用函数y=sinx，x ∈［0，2π］的图象来得到y=1+sinx，x ∈［0，2π］的图象吗？
　　　　用“五点法”画出下列函数的简图：
　(2) y=2cosx，x∈［0，2π］ .
例
1
一
正弦函数、余弦函数的图象与性质
　　(2) 按五个关键点列表：
　　描点，并将这些点依次连成一条光滑曲线，即得所求图象，如图5.3-6.
图5.3-6
一
正弦函数、余弦函数的图象与性质
　　用“五点法”画出下列函数的简图：
　　(1) y＝sin x，
(2) y＝－sin x，x∈［0，2π］ ．
(3) y＝cos x－1，x∈［－π，π］；
　　　　
练 习
一
正弦函数、余弦函数的图象与性质
　　下面，我们根据正弦函数y=sinx及余弦函数y=cosx的定义并结合函数图象，研究它们的诸多性质.
　　1. 周期性
　　由诱导公式sin(x＋2kπ)＝sinx(k∈Z)可知，当自变量x增加或减少2π的整数倍时，sin x的值会重复出现.为了定量地描述这种变化规律，我们引入周期函数的概念.
一
正弦函数、余弦函数的图象与性质
　　一般地，对于函数y＝f(x)，如果存在非零常数T，使得当x取定义域内每一个值时，x±T都有定义，并且
f(x±T)＝ f(x)，
则称这个函数y＝f(x)为周期函数， T称为这个函数的一个周期．
　　如果T是函数y＝f(x)的周期， 则由f(x)＝ f(x＋T) ＝f((x＋T)＋T)＝f(x＋2T)知道2T也是它的周期， 同理可知T的所有非零整数倍都是y＝f(x)的周期．
一
正弦函数、余弦函数的图象与性质
　　按照这个概念，y＝sinx，y＝cosx都是周期函数，2π及2π的所有非零整数倍也都是它们的周期．但从图象上可以看出，比2π更小的正数不可能是y＝sinx，y＝cosx的周期.也就是说：这两个函数的图象向右平移比2π更短的距离不可能与原来的曲线重合，我们称2π是y＝sinx，y＝cosx的最小正周期．最小正周期常简称为周期①.
①在本书中提到三角函数的周期时，一般是指它们的最小正周期.本章中对函数最小正周期的证明均从略.
一
正弦函数、余弦函数的图象与性质
　　2. 奇偶性
　　观察正弦曲线和余弦曲线，可以看到：正弦曲线关于原点O对称，正弦函数y=sinx应该是奇函数；余弦曲线关于y轴对称，余弦函数y=cos x应该是偶函数.
　　由诱导公式sin(－x)＝－sin x知，正弦函数y＝sin x是奇函数．
　　由诱导公式cos(－x)＝cos x知，余弦函数y＝cos x是偶函数．
一
正弦函数、余弦函数的图象与性质
　　3.值域与最值
　　从三角函数的定义和图象可知：正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］，最大值都是1，最小值都是－1.
　　对于正弦函数y＝sinx，当且仅当x＝　＋2kπ(k∈Z)时取得最大值1，当且仅当x＝－　＋2kπ(k∈Z)时取得最小值－1．
　　对于余弦函数y＝cosx，当且仅当x＝2kπ(k∈Z)时取得最大值1，当且仅当x＝(2k＋1)π(k∈Z)时取得最小值－1．
一
正弦函数、余弦函数的图象与性质
　　4.单调性
　　我们可以先在正弦函数y=sinx的一个周期的区间　　　　　　上讨论它的单调性，再利用它的周期性，将单调性扩展到整个定义域.
如图5.3-7
一
正弦函数、余弦函数的图象与性质
　　如图5.3-7， 可以看到：
　　当x由　 增大到　时，曲线逐渐上升，sin x的值由－1单调递增到1 ；
　　当x由　增大到　 时，曲线逐渐下降，sin x的值由1单调递减到－1.
　　这个变化情况如下表所示：
一
正弦函数、余弦函数的图象与性质
　　这就是说，正弦函数y=sinx在闭区间　　　 上是增函数，在闭区间
上是减函数.
　　由于正弦函数 y=sin x 的周期是 2π， 因此正弦函数y=sinx在闭区间
　　　 (k∈Z)上都是增函数，函数值从－1增大到1，在闭区间
(k∈Z)上都是减函数，函数值从1减小到－1.
　　对于余弦函数y=cos x，我们也可以在它的一个周期的区间上(如［0，2π］)上讨论它的单调性.
一
正弦函数、余弦函数的图象与性质
　　
　　如图5.3-8，当x由0增大到π时，曲线逐渐下降，cosx的值由1单调递减到－1；当x由π增大到2π时，曲线逐渐上升，cos x的值由－1单调递增到1.
　　类似地，余弦函数y=cosx在闭区间［2kπ，(2k+1)π］(k∈Z)上是减函数，函数值从1减小到－1；在闭区间［(2k+1)π，(2k+2)π］(k∈Z)上是增函数，函数值从－1增大到1．
图5.3-8
一
正弦函数、余弦函数的图象与性质
　　　　求下列函数的最大值及取得最大值时自变量x的集合：
　(1) y=2sin2x，x∈R；　　(2) y=2－cos　，x∈R.
　
例
2
一
正弦函数、余弦函数的图象与性质
　　　　求下列函数的最大值及取得最大值时自变量x的集合：
　(1) y=2sin2x，x∈R；　　(2) y=2－cos　，x∈R.
　解　(1)令z=2x，使函数y=2sin z，z∈R取得最大值的z的集合是
　由2x=　+2kπ，k∈Z，得x=　+kπ，k∈Z.
　因此使函数y=2sin2x，x∈R取得最大值的x的集合是　　　　　　　　　，最大值是2.
例
2
一
正弦函数、余弦函数的图象与性质
　　(2)令z=　，当函数y=2－cosz，z∈R取得最大值时，cosz取最小值，此时z的集合是
　　由　=π+2kπ，k∈Z，得x=3π+6kπ，k∈Z.
　　因此使函数 ，x∈R取得最大值的x的集合是　 　　　　　　　　
最大值是3.
　　你能求出例2中各函数取得最小值时自变量x的集合吗？
一
正弦函数、余弦函数的图象与性质
　　　　利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
　(1) sin(－1)，sin(－1.1) ； (2) ， ，
　(3) sin1，sin2
例
3
一
正弦函数、余弦函数的图象与性质
　　　　利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
　(1) sin(－1)，sin(－1.1) ； (2) ，
　解　(1)由于　　　　　　　　　，且y＝sin x在区间　　　　内单调递增，
　　　因此　sin(－1)＞ sin(－1.1).
　　　(2)由于　　　　　　　　 ，且y＝cos x在区间［π，2π］内单调递增，
　　　因此
例
3
一
正弦函数、余弦函数的图象与性质
　　　　求函数 　　　 的单调递增区间．
　
例
4
一
正弦函数、余弦函数的图象与性质
　　　　求函数 　　　 的单调递增区间．
　变式：（1）求函数 　　　 的单调递减区间．
（2）求函数 　　　 的单调递减区间．
例
4
一
正弦函数、余弦函数的图象与性质
　　　　求函数　　　　　　　的单调递增区间．
　　　　　　　
练习
一
正弦函数、余弦函数的图象与性质
　　　　求函数　　　　　　　的单调递增区间．
　解　
　令z＝2x－　，函数y=cos z的单调递增区间是［π+2kπ，2π+2kπ］，k∈Z.
　由　　　　　　　　　　　　，得
　因此，函数　　　　　　　的单调递增区间是　　　　　　．
　思考：你能求出函数　　　　　　　的单调递减区间吗？
例
4
　　若令 ，则如何求解呢？
一
正弦函数、余弦函数的图象与性质
　　1.求使下列函数取得最大值、最小值时自变量x的集合，并写出最大值、最小值:
　　(1) y=－2sin x+1，x∈R； 　　 (2) y= ，x∈R.
　　2.判断下列函数的奇偶性：
　　(1) y=－　cos 2x；　　　　　 (2) y=sinx cosx .
　　3.利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
　　(1) sin ，sin ； 　　　(2) cos 　，cos　 ；
　　(3) sin 1，sin 2； (4) cos ，cos .
　　4.求下列函数的单调区间：
　　(1) y＝－cos ；　　 (2) y＝
练 习
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